>

Koło trygonometryczne. Kompleksowy przewodnik (2019). Koło trygonometryczne. Podstawowe znaczenia funkcji trygonometrycznych

Jeśli już zapoznałeś się z okrąg trygonometryczny , a chcesz po prostu odświeżyć sobie pamięć o pewnych elementach, albo zupełnie się niecierpliwisz, to oto on:

Tutaj przeanalizujemy wszystko szczegółowo krok po kroku.

Koło trygonometryczne nie jest luksusem, ale koniecznością

Trygonometria Wielu osobom kojarzy się z nieprzeniknioną gęstwiną. Nagle pojawiło się tak wiele znaczeń funkcje trygonometryczne, tyle formuł... Ale jakoś tak na początku nie wyszło i... z przerwami... kompletne nieporozumienie...

Bardzo ważne jest, aby się nie poddawać wartości funkcji trygonometrycznych, - mówią, zawsze możesz spojrzeć na ostrogę z tabelą wartości.

Jeśli ciągle patrzysz na tabelę z wartościami wzory trygonometryczne, pozbądźmy się tego nawyku!

On nam pomoże! Będziesz z nim pracować kilka razy, a potem pojawi się w Twojej głowie. W czym jest lepszy od stołu? Tak, w tabeli znajdziesz ograniczoną liczbę wartości, ale na okręgu - WSZYSTKO!

Powiedz na przykład, patrząc standardowa tabela wartości wzorów trygonometrycznych , Dlaczego równy sinusowi powiedzmy 300 stopni, czyli -45.


Nie ma mowy?.. oczywiście, że możesz się połączyć formuły redukcyjne... A patrząc na okrąg trygonometryczny, możesz łatwo odpowiedzieć na takie pytania. A wkrótce dowiesz się jak!

I przy podejmowaniu decyzji równania trygonometryczne i nierówności bez koła trygonometrycznego - nigdzie.

Wprowadzenie do koła trygonometrycznego

Chodźmy po kolei.

Najpierw napiszmy ten ciąg liczb:

A teraz to:

I na koniec ten:

Oczywiście jasne jest, że tak naprawdę na pierwszym miejscu jest , na drugim miejscu jest , a na ostatnim miejscu jest . Oznacza to, że będziemy bardziej zainteresowani łańcuchem.

Ale jak pięknie wyszło! Jeśli coś się stanie, przywrócimy tę „cudowną drabinę”.

Dlaczego tego potrzebujemy?

Łańcuch ten to główne wartości sinusa i cosinusa w pierwszym kwartale.

Narysujmy okrąg o promieniu jednostkowym w prostokątnym układzie współrzędnych (to znaczy, bierzemy dowolny promień o długości i deklarujemy jego długość jako jednostkową).

Z belki „0-Start” układamy narożniki w kierunku strzałki (patrz rysunek).

Otrzymujemy odpowiednie punkty na okręgu. Jeśli więc rzutujemy punkty na każdą z osi, otrzymamy dokładnie wartości z powyższego łańcucha.

Dlaczego tak jest, pytasz?

Nie analizujmy wszystkiego. Rozważmy zasada, co pozwoli Ci poradzić sobie z innymi, podobnymi sytuacjami.

Trójkąt AOB jest prostokątny i zawiera . I wiemy, że naprzeciw kąta b leży odnoga o połowę mniejsza od przeciwprostokątnej (mamy przeciwprostokątną = promień okręgu, czyli 1).

Oznacza to AB= (a zatem OM=). I zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Mam nadzieję, że coś już się wyjaśniło?

Zatem punkt B będzie odpowiadał wartości, a punkt M będzie odpowiadał wartości

Podobnie z pozostałymi wartościami pierwszego kwartału.

Jak rozumiesz, będzie znana oś (wół). oś cosinusa i oś (oy) – oś sinusów . Później.

Na lewo od zera wzdłuż osi cosinus (poniżej zera na osi sinus) będzie oczywiście wartości ujemne.

A więc oto WSZECHMOCNY, bez którego nie ma miejsca w trygonometrii.

Ale porozmawiamy o tym, jak używać koła trygonometrycznego.

Liczenie kątów w okręgu trygonometrycznym.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Jest prawie tak samo jak na poprzedniej lekcji. Są osie, okrąg, kąt, wszystko jest w porządku. Dodano numery kwartałów (w rogach dużego kwadratu) - od pierwszego do czwartego. A co jeśli ktoś nie wie? Jak widać, ćwiartki (nazywane są również piękne słowo„kwadranty”) są numerowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dodano wartości kątów na osiach. Wszystko jasne, nie ma żadnych problemów.

Dodano zieloną strzałkę. Z plusem. Co to znaczy? Przypomnę, że stała strona kąta Zawsze przybity do dodatniej półosi OX. Tak więc, jeśli obrócimy ruchomą stronę kąta wzdłuż strzałki z plusem, tj. w kolejności rosnącej według numerów kwartałów, kąt zostanie uznany za dodatni. Przykładowo zdjęcie pokazuje dodatni kąt +60°.

Jeśli odłożymy rogi w przeciwnym kierunku, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, kąt zostanie uznany za ujemny. Najedź kursorem na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie), zobaczysz niebieską strzałkę ze znakiem minus. Jest to kierunek odczytu kąta ujemnego. Na przykład pokazany jest kąt ujemny (- 60°). Zobaczycie też jak zmieniły się liczby na osiach... Przeliczyłem je również na kąty ujemne. Numeracja ćwiartek nie ulega zmianie.

Tutaj zwykle zaczynają się pierwsze nieporozumienia. Jak to!? A co jeśli ujemny kąt na okręgu zbiega się z dodatnim!? I ogólnie okazuje się, że to samo położenie poruszającej się strony (lub punktu na okręgu liczbowym) można nazwać zarówno kątem ujemnym, jak i dodatnim!?

Tak. Dokładnie. Powiedzmy, że dodatni kąt 90 stopni przyjmuje okrąg dokładnie to samo pozycji jako kąt ujemny wynoszący minus 270 stopni. Na przykład kąt dodatni wynosi +110° stopni dokładnie to samo położenie jako kąt ujemny -250°.

Bez problemu. Wszystko jest poprawne.) Wybór obliczenia kąta dodatniego lub ujemnego zależy od warunków zadania. Jeśli warunek nic nie mówi czystym tekstem o znaku kąta (np. „określ najmniejszy pozytywny kąt” itp.), wówczas pracujemy z wartościami, które są dla nas wygodne.

Wyjątkiem (jak moglibyśmy bez nich żyć?!) są nierówności trygonometryczne, ale tam opanujemy ten trik.

A teraz pytanie do Ciebie. Skąd wiedziałem, że położenie kąta 110° jest takie samo jak położenie kąta -250°?
Podpowiem, że wiąże się to z całkowitą rewolucją. W 360°... Nie jasne? Następnie rysujemy okrąg. Rysujemy to sami, na papierze. Zaznaczanie narożnika około 110°. I myślimy, ile czasu pozostało do pełnego obrotu. Zostanie tylko 250°...

Rozumiem? A teraz – uwaga! Jeśli kąty 110° i -250° zajmują okrąg To samo sytuacja i co wtedy? Tak, kąty wynoszą 110° i -250° dokładnie to samo sinus, cosinus, tangens i cotangens!
Te. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tak dalej. Teraz to jest naprawdę ważne! I samo w sobie istnieje wiele zadań, w których należy uprościć wyrażenia, a także jako podstawę do późniejszego opanowania wzorów redukcyjnych i innych zawiłości trygonometrii.

Oczywiście wziąłem losowo 110° i -250°, wyłącznie jako przykład. Wszystkie te równości działają dla dowolnych kątów zajmujących to samo położenie na okręgu. 60° i -300°, -75° i 285° i tak dalej. Od razu zauważę, że kąty w tych parach wynoszą różny. Ale mają funkcje trygonometryczne - ten sam.

Myślę, że rozumiesz, czym są kąty ujemne. To całkiem proste. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara – liczenie dodatnie. Swoją drogą - negatywnie. Rozważ kąt dodatni lub ujemny zależy od nas. Z naszego pragnienia. No i oczywiście także z zadania... Mam nadzieję, że rozumiesz, jak przechodzić od kątów ujemnych do kątów dodatnich i z powrotem w funkcjach trygonometrycznych. Narysuj okrąg, przybliżony kąt i zobacz, ile brakuje do pełnego obrotu, czyli tzw. do 360°.

Kąty większe niż 360°.

Zajmijmy się kątami większymi niż 360°. Czy są takie rzeczy? Oczywiście, że istnieją. Jak narysować je na okręgu? Bez problemu! Powiedzmy, że musimy dowiedzieć się, w którą ćwiartkę wpadnie kąt 1000°? Łatwo! Wykonujemy jeden pełny obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (podany nam kąt jest dodatni!). Przewinęliśmy o 360°. Cóż, przejdźmy dalej! Jeszcze jeden zakręt – jest już 720°. Ile zostało? 280°. Na pełny obrót nie wystarczy... Ale kąt jest większy niż 270° - i to jest granica między trzecią a czwartą ćwiartką. Dlatego nasz kąt 1000° przypada na czwartą ćwiartkę. Wszystko.

Jak widać, jest to dość proste. Przypomnę jeszcze raz, że kąt 1000° i kąt 280°, które otrzymaliśmy po odrzuceniu „dodatkowych” pełnych obrotów, są ściśle biorąc różny rogi. Ale funkcje trygonometryczne tych kątów dokładnie to samo! Te. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Gdybym był sinusem, nie zauważyłbym różnicy między tymi dwoma kątami...

Dlaczego to wszystko jest potrzebne? Dlaczego musimy konwertować kąty z jednego na drugi? Tak, wszyscy w tym samym.) W celu uproszczenia wyrażeń. W rzeczywistości uproszczenie wyrażeń główne zadanie matematyka szkolna. Cóż, po drodze głowa jest trenowana.)

Cóż, poćwiczmy?)

Odpowiadamy na pytania. Najpierw proste.

1. W którą ćwiartkę wchodzi kąt -325°?

2. W którą ćwiartkę wchodzi kąt 3000°?

3. W jaką ćwiartkę wchodzi kąt -3000°?

Tam jest problem? Albo niepewność? Przejdźmy do Sekcji 555, Praktyczna praca z kołem trygonometrycznym. Tam, na pierwszej lekcji tego właśnie „ Praktyczna praca..." wszystko szczegółowo... W taki pytania o niepewność nie powinien!

4. Jaki znak ma sin555°?

5. Jaki znak ma tg555°?

Czy ustaliłeś? Świetnie! Czy masz jakieś wątpliwości? Musisz przejść do Sekcji 555... Przy okazji, tam nauczysz się rysować styczną i cotangensę na okręgu trygonometrycznym. Bardzo przydatna rzecz.

A teraz pytania są bardziej wyrafinowane.

6. Sprowadź wyrażenie sin777° do sinusa najmniejszego kąta dodatniego.

7. Sprowadź wyrażenie cos777° do cosinusa największego kąta ujemnego.

8. Sprowadź wyrażenie cos(-777°) do cosinusa najmniejszego kąta dodatniego.

9. Sprowadź wyrażenie sin777° do sinusa największego kąta ujemnego.

Co, pytania 6-9 Cię zaintrygowały? Przyzwyczaj się, na egzaminie Unified State Exam nie znajdziesz takich sformułowań... Niech tak będzie, przetłumaczę to. Tylko dla Ciebie!

Słowa „doprowadzić wyrażenie do…” oznaczają przekształcenie wyrażenia tak, aby jego wartość nie uległo zmianie A wygląd zmieniane w zależności od zadania. Tak więc w zadaniach 6 i 9 musimy uzyskać sinus, w którym się znajduje najmniejszy kąt dodatni. Wszystko inne nie ma znaczenia.

Odpowiedzi podam po kolei (z naruszeniem naszego regulaminu). Co robić, są tylko dwa znaki, a są tylko cztery ćwiartki... Wybór nie będzie rozpieszczany.

6. grzech57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -grzech(-57°)

Zakładam, że odpowiedzi na pytania 6-9 zdezorientowały część osób. Zwłaszcza -grzech(-57°), naprawdę?) Rzeczywiście, w elementarnych zasadach obliczania kątów jest miejsce na błędy... Dlatego musiałem odrobić lekcję: „Jak wyznaczać znaki funkcji i podawać kąty na okręgu trygonometrycznym?” W artykule 555. Omówiono tam zadania 4–9. Dobrze posortowane, ze wszystkimi pułapkami. I są tutaj.)

Na następnej lekcji zajmiemy się tajemniczymi radianami i liczbą „Pi”. Nauczmy się, jak łatwo i poprawnie konwertować stopnie na radiany i odwrotnie. I będziemy zaskoczeni, gdy odkryjemy, że te podstawowe informacje znajdują się na stronie już wystarczy aby rozwiązać niektóre niestandardowe problemy z trygonometrią!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Znak funkcji trygonometrycznej zależy wyłącznie od ćwiartki współrzędnych, w której znajduje się argument numeryczny. Ostatnim razem nauczyliśmy się konwertować argumenty z miary radianu na miarę stopnia (zobacz lekcję „Radian i miara kąta w stopniach”), a następnie wyznaczać tę samą ćwiartkę współrzędnych. Teraz określmy znak sinusa, cosinusa i tangensa.

Sinus kąta α jest współrzędną (współrzędną y) punktu okrąg trygonometryczny, co ma miejsce, gdy promień jest obracany o kąt α.

Cosinus kąta α to odcięta (współrzędna x) punktu na okręgu trygonometrycznym, która występuje, gdy promień jest obracany o kąt α.

Tangens kąta α jest stosunkiem sinusa do cosinusa. Lub, co jest tym samym, stosunek współrzędnej y do współrzędnej x.

Notacja: sin α = y ; sałata α = x ; tg α = y : x .

Wszystkie te definicje są Ci znane z algebry ze szkoły średniej. Nie interesują nas jednak same definicje, ale konsekwencje, jakie powstają na okręgu trygonometrycznym. Spójrz:

Kolor niebieski oznacza dodatni kierunek osi OY (oś rzędnych), kolor czerwony wskazuje dodatni kierunek osi OX (oś odciętych). Na tym „radarze” znaki funkcji trygonometrycznych stają się oczywiste. W szczególności:

  1. sin α > 0, jeśli kąt α leży w I lub II ćwiartce współrzędnych. Dzieje się tak, ponieważ z definicji sinus jest rzędną (współrzędną y). A współrzędna y będzie dodatnia dokładnie w ćwiartkach współrzędnych I i II;
  2. cos α > 0, jeśli kąt α leży w 1. lub 4. ćwiartce współrzędnych. Ponieważ tylko tam współrzędna x (czyli odcięta) będzie większa od zera;
  3. tan α > 0, jeśli kąt α leży w I lub III ćwiartce współrzędnych. Wynika to z definicji: przecież tan α = y : x, zatem jest dodatni tylko wtedy, gdy znaki x i y pokrywają się. Dzieje się tak w pierwszej ćwiartce współrzędnych (tutaj x > 0, y > 0) i trzeciej ćwiartce współrzędnych (x< 0, y < 0).

Dla jasności zwróćmy uwagę na znaki każdej funkcji trygonometrycznej - sinus, cosinus i tangens - na oddzielnych „radarach”. Otrzymujemy następujący obraz:


Uwaga: w moich dyskusjach nigdy nie mówiłem o czwartej funkcji trygonometrycznej – cotangensie. Faktem jest, że znaki cotangens pokrywają się ze znakami stycznymi - nie ma tam specjalnych zasad.

Teraz proponuję rozważyć przykłady podobne do problemów B11 z testu Unified State Exam z matematyki, który odbył się 27 września 2011 r. Przecież Najlepszym sposobem zrozumienie teorii jest praktyką. Wskazane jest, aby mieć dużo praktyki. Oczywiście nieco zmieniono warunki wykonywania zadań.

Zadanie. Określ znaki funkcji i wyrażeń trygonometrycznych (wartości samych funkcji nie trzeba obliczać):

  1. grzech(3π/4);
  2. cos(7π/6);
  3. tg(5π/3);
  4. grzech (3π/4) cos (5π/6);
  5. cos (2π/3) tg (π/4);
  6. grzech (5π/6) cos (7π/4);
  7. tan (3π/4) cos (5π/3);
  8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Plan działania jest następujący: najpierw przeliczamy wszystkie kąty z miar radianów na stopnie (π → 180°), a następnie sprawdzamy, w której ćwiartce współrzędnych leży otrzymana liczba. Znając kwatery, bez problemu odnajdziemy znaki – zgodnie z opisanymi powyżej zasadami. Mamy:

  1. grzech (3π/4) = grzech (3 · 180°/4) = grzech 135°. Ponieważ 135° ∈ , jest to kąt z II ćwiartki współrzędnych. Ale sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni, więc grzech (3π/4) > 0;
  2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Ponieważ 210° ∈ , jest to kąt wychodzący z trzeciej ćwiartki współrzędnych, w którym wszystkie cosinusy są ujemne. Zatem cos(7π/6)< 0;
  3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ jesteśmy w IV ćwiartce, gdzie tangens przyjmuje wartości ujemne. Dlatego tan (5π/3)< 0;
  4. grzech (3π/4) cos (5π/6) = grzech (3 180°/4) cos (5 180°/6) = grzech 135° cos 150°. Zajmijmy się sinusem: ponieważ 135° ∈ , jest to drugi kwartał, w którym sinusy są dodatnie, tj. sin (3π/4) > 0. Teraz pracujemy z cosinusem: 150° ∈ - znowu druga ćwiartka, cosinusy są tam ujemne. Zatem cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
  5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Patrzymy na cosinus: 120° ∈ to druga ćwiartka współrzędnych, więc cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый regularny kąt w trygonometrii). Styczna tam jest dodatnia, więc tan (π/4) > 0. Ponownie otrzymujemy iloczyn, w którym czynniki mają różne znaki. Ponieważ „minus przez plus daje minus”, mamy: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
  6. grzech (5π/6) cos (7π/4) = grzech (5 180°/6) cos (7 180°/4) = grzech 150° cos 315°. Pracujemy z sinusem: od 150° ∈ mówimy o II ćwiartce współrzędnej, gdzie sinusy są dodatnie. Dlatego sin (5π/6) > 0. Podobnie 315° ∈ to ćwiartka współrzędnej IV, a cosinusy są tam dodatnie. Zatem cos (7π/4) > 0. Otrzymaliśmy iloczyn dwóch liczb dodatnich – takie wyrażenie jest zawsze dodatnie. Wnioskujemy: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
  7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ale kąt 135° ∈ to druga ćwiartka, tj. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Ponieważ „minus przez plus daje znak minus”, mamy: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
  8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Patrzymy na argument cotangens: 240° ∈ to ćwiartka III współrzędnych, zatem ctg (4π/3) > 0. Podobnie dla stycznej mamy: 30° ∈ to ćwiartka I współrzędnych, tj. najprostszy kąt. Zatem tan (π/6) > 0. Znów mamy dwa wyrażenia dodatnie – ich iloczyn również będzie dodatni. Zatem cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

Podsumowując, spójrzmy na coś więcej złożone zadania. Oprócz obliczenia znaku funkcji trygonometrycznej będziesz musiał tutaj wykonać trochę matematyki - dokładnie tak, jak to się robi w rzeczywistych zadaniach B11. W zasadzie są to prawie realne problemy, które faktycznie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki.

Zadanie. Znajdź sin α, jeśli sin 2 α = 0,64 i α ∈ [π/2; π].

Ponieważ sin 2 α = 0,64, mamy: sin α = ±0,8. Pozostaje tylko zdecydować: plus czy minus? Według warunku kąt α ∈ [π/2; π] to druga ćwiartka współrzędnej, w której wszystkie sinusy są dodatnie. Dlatego sin α = 0,8 - niepewność ze znakami jest wyeliminowana.

Zadanie. Znajdź cos α jeśli cos 2 α = 0,04 i α ∈ [π; 3π/2].

Postępujemy podobnie, tj. wyciąg Pierwiastek kwadratowy: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Według warunku kąt α ∈ [π; 3π/2], tj. Mówimy o trzeciej ćwiartce współrzędnych. Wszystkie cosinusy są tam ujemne, więc cos α = −0,2.

Zadanie. Znajdź sin α jeśli sin 2 α = 0,25 i α ∈ .

Mamy: grzech 2 α = 0,25 ⇒ grzech α = ±0,5. Patrzymy jeszcze raz na kąt: α ∈ to ćwiartka współrzędnej IV, w której, jak wiemy, sinus będzie ujemny. Zatem wnioskujemy: sin α = −0,5.

Zadanie. Znajdź tan α jeśli tan 2 α = 9 i α ∈ .

Wszystko jest takie samo, tylko dla stycznej. Wyodrębnij pierwiastek kwadratowy: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ale zgodnie z warunkiem, kąt α ∈ jest ćwiartką współrzędnej I. Wszystkie funkcje trygonometryczne, w tym. tangens, są dodatnie, więc tan α = 3. To wszystko!

Dane referencyjne dla tangensu (tg x) i cotangensu (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, formuły. Tabela stycznych i cotangensów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Powiązanie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna




|BD|
- długość łuku okręgu o środku w punkcie A.

α to kąt wyrażony w radianach. Styczna () opalenizna α jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a nogą trójkąt prostokątny

, równy stosunkowi długości przeciwległego boku |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .) Cotangens (

ctg α

jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

Gdzie
.
;
;
.

N


- cały.

jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

W literaturze zachodniej tangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
Wykres funkcji stycznej, y = tan x
;
;
.

Cotangens


W literaturze zachodniej cotangens oznacza się w następujący sposób:

Akceptowane są także następujące oznaczenia:

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x Własności tangensa i cotangensa Okresowość Funkcje y = tg x

i y =

ctg x

są okresowe z okresem π.

Parytet do długości przeciwnej nogi |BC| . Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Obszary definicji i wartości, rosnące, malejące Własności tangensa i cotangensa Obszary definicji i wartości, rosnące, malejące Funkcje y =
Funkcje styczne i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangens przedstawiono w tabeli (
- cały). -∞ < y < +∞ -∞ < y < +∞
y= -
Zakres i ciągłość -
Zakres wartości - -
Wzrastający 0
Malejąco 0 Obszary definicji i wartości, rosnące, malejące 0 -

Skrajności

Zera, y =

; ;
; ;
;

Punkty przecięcia z osią współrzędnych, x =



Formuły

Wyrażenia wykorzystujące sinus i cosinus

Wzory na tangens i cotangens z sumy i różnicy

Ta tabela przedstawia wartości stycznych i cotangensów dla określonych wartości argumentu.

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

;
;

Pochodne

; .


.
Pochodna n-tego rzędu po zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzanie wzorów na styczną > > > ; dla cotangens > > >

Całki

Rozszerzenia serii

Aby uzyskać rozwinięcie stycznej w potęgach x, należy wziąć pod uwagę kilka wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy dla funkcji grzech x I bo x i podzielić te wielomiany przez siebie, .

W ten sposób powstają następujące formuły.

Na .
Na . Gdzie Bn
;
;
- Liczby Bernoulliego. Wyznacza się je albo z relacji powtarzalności:
Gdzie .


Lub zgodnie ze wzorem Laplace'a:

Funkcje odwrotne Funkcje odwrotne

do stycznej i cotangens są odpowiednio arcustangensem i arccotangensem.


Arcus tangens, arctg do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

, Gdzie


Arcus tangens, arctg do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

Arccotangens, arcctg
Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012. Pozwala na ustalenie szeregu charakterystycznych wyników - właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

. W tym artykule przyjrzymy się trzem głównym właściwościom. Pierwszy z nich wskazuje znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α w zależności od kąta, którego ćwiartką współrzędnych jest α. Następnie rozważymy właściwość okresowości, która ustala niezmienność wartości sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensu kąta α, gdy kąt ten zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia właściwość wyraża związek między wartościami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu przeciwnych kątów α i −α.

Jeśli interesują Cię właściwości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens, możesz je przestudiować w odpowiedniej części artykułu.

Nawigacja strony.

Znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa według ćwiartek

Poniżej w tym akapicie pojawi się wyrażenie „kąt ćwiartki współrzędnych I, II, III i IV”. Wyjaśnijmy, jakie są te kąty.

Weźmy okrąg jednostkowy, zaznaczmy na nim punkt początkowy A(1, 0) i obróćmy go wokół punktu O o kąt α i załóżmy, że dotrzemy do punktu A 1 (x, y). Mówią, że kąt α jest kątem ćwiartki współrzędnych I, II, III, IV

Dla przejrzystości poniżej zamieszczam ilustrację graficzną. Poniższe rysunki przedstawiają kąty obrotu 30, -210, 585 i -45 stopni, które są kątami odpowiednio I, II, III i IV współrzędnych.

Kąty 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopnie nie należą do żadnej ćwiartki współrzędnych.

Teraz zastanówmy się, jakie znaki mają wartości sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta obrotu α, w zależności od tego, który kwadrant jest kątem α.

W przypadku sinusa i cosinusa jest to łatwe do zrobienia.

Z definicji sinus kąta α jest rzędną punktu A 1. Oczywiście w ćwiartkach współrzędnych I i II jest dodatnia, a w ćwiartce III i IV ujemna. Zatem sinus kąta α ma znak plus w 1. i 2. ćwiartce oraz znak minus w 3. i 6. ćwiartce.

Z kolei cosinus kąta α jest odciętą punktu A 1. W I i IV kwartale jest ona dodatnia, natomiast w II i III kwartale jest ujemna. W konsekwencji wartości cosinusa kąta α w ćwiartkach I i IV są dodatnie, a w ćwiartkach II i III ujemne.


Aby określić znaki za pomocą ćwiartek stycznej i cotangensu, należy pamiętać o ich definicjach: styczna to stosunek rzędnej punktu A 1 do odciętej, a cotangens to stosunek odciętej punktu A 1 do rzędnej. Następnie od zasady dzielenia liczb z tym samym i różne znaki wynika z tego, że tangens i cotangens mają znak plus, gdy znaki odciętych i rzędnych punktu A 1 są takie same, oraz znak minus, gdy znaki odciętych i rzędnych punktu A 1 są różne. W związku z tym tangens i cotangens kąta mają znak + w ćwiartkach współrzędnych I i III oraz znak minus w ćwiartkach II i IV.

Rzeczywiście, na przykład w pierwszej ćwiartce zarówno odcięta x, jak i rzędna y punktu A 1 są dodatnie, wówczas zarówno iloraz x/y, jak i iloraz y/x są dodatnie, dlatego styczna i cotangens mają znaki +. W drugiej ćwiartce odcięta x jest ujemna, a rzędna y jest dodatnia, zatem zarówno x/y, jak i y/x są ujemne, stąd styczna i cotangens mają znak minus.


Przejdźmy do kolejnej własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Właściwość okresowości

Teraz przyjrzymy się być może najbardziej oczywistym właściwościom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta. Sprawa wygląda następująco: gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę pełnych obrotów, wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu tego kąta nie ulegają zmianie.

Jest to zrozumiałe: gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dotrzemy z punktu początkowego A do punktu A 1 na okręgu jednostkowym, dlatego wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu pozostają niezmienione, ponieważ współrzędne punktu A 1 pozostają niezmienione.

Za pomocą wzorów rozważane właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens można zapisać w następujący sposób: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, gdzie α jest kątem obrotu w radianach, z jest dowolną, której wartość bezwzględna oznacza liczbę pełnych obrotów, o jakie zmienia się kąt α, a znak liczby z wskazuje kierunek skrętu.

Jeżeli kąt obrotu α zostanie podany w stopniach, wówczas wskazane wzory zostaną przepisane jako sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Podajmy przykłady wykorzystania tej właściwości. Na przykład, , ponieważ , A . Oto kolejny przykład: lub .

Właściwość ta wraz ze wzorami redukcyjnymi jest bardzo często wykorzystywana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu „dużych” kątów.

Rozważana właściwość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens jest czasami nazywana właściwością okresowości.

Własności sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów kątów przeciwnych

Niech A 1 będzie punktem uzyskanym przez obrót punktu początkowego A(1, 0) wokół punktu O o kąt α, a punkt A 2 będzie wynikiem obrotu punktu A o kąt −α, przeciwny do kąta α.

Własność sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów przeciwnych kątów opiera się na dość oczywistym fakcie: wspomniane powyżej punkty A 1 i A 2 albo pokrywają się (w), albo są położone symetrycznie względem osi Wółu. Oznacza to, że jeśli punkt A 1 ma współrzędne (x, y), to punkt A 2 będzie miał współrzędne (x, -y). Stąd, korzystając z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, zapisujemy równości i .
Porównując je, dochodzimy do zależności pomiędzy sinusami, cosinusami, stycznymi i cotangensami przeciwnych kątów α i −α postaci.
Jest to właściwość rozważana w formie wzorów.

Podajmy przykłady wykorzystania tej właściwości. Na przykład równości i .

Pozostaje tylko zauważyć, że właściwość sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów przeciwnych kątów, podobnie jak poprzednia właściwość, jest często używana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa i pozwala całkowicie uniknąć negatywnych kąty.

Bibliografia.

  • Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. śr. szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. SA Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
  • Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa – wyd. 14 – M.: Edukacja, 2004. – 384 s.: il. – ISBN 5-09-013651-3.
  • Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. śr. szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.