Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. I w tym najlepszy pomocnik znowu okazuje się, że jest to okrąg trygonometryczny.
Przypomnijmy definicje cosinusa i sinusa.
Cosinus kąta jest odciętą (to znaczy współrzędną wzdłuż osi) punktu okrąg jednostkowy, odpowiadający obrotowi o zadany kąt.
Sinus kąta to rzędna (to znaczy współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadająca obrotowi o dany kąt.
Pozytywny kierunek ruchu wzdłuż okrąg trygonometryczny Brany jest pod uwagę ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót o 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1;0)
Używamy tych definicji do rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.
1. Rozwiąż równanie
Równanie to spełniają wszystkie wartości kąta obrotu odpowiadające punktom na okręgu, którego rzędna jest równa .
Zaznaczmy punkt rzędną na osi rzędnych:
Narysuj poziomą linię równoległą do osi x, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymujemy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach:
Jeśli wychodząc z punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian, okrążymy pełne koło, to dotrzemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i mającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać dowolną liczbę „jałowych” obrotów, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „jałowych” obrotów będzie oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy dokonać tych obrotów zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub) możemy przyjmować dowolne wartości całkowite.
Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:
, , - zbiór liczb całkowitych (1)
Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:
, Gdzie , . (2)
Jak można się domyślić, cała seria rozwiązań opiera się na punkcie na okręgu odpowiadającym kątowi obrotu o .
Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:
Jeśli przyjmiemy (czyli chociaż) w tym wpisie, to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.
Jeśli w tym wpisie weźmiemy (to znaczy nieparzyste), wówczas otrzymamy drugą serię rozwiązań.
2. Teraz rozwiążmy równanie
Ponieważ jest to odcięta punktu na okręgu jednostkowym uzyskana przez obrót o kąt, oznaczamy ten punkt odciętą na osi:
Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i posiadające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu w i radianach. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara otrzymujemy ujemny kąt obrotu:
Zapiszmy dwie serie rozwiązań:
,
,
(Do pożądanego punktu dochodzimy wychodząc z głównego pełnego okręgu, tj.
Połączmy te dwie serie w jeden wpis:
3. Rozwiąż równanie
Styczna przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległych do osi OY
Zaznaczmy na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy tangensu, którego kąty są równe 1):
Połączmy ten punkt z początkiem współrzędnych linią prostą i zaznaczmy punkty przecięcia tej prostej z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :
Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w odległości radianów od siebie, rozwiązanie możemy zapisać w ten sposób:
4. Rozwiąż równanie
Linia cotangensów przechodzi przez punkt o współrzędnych okręgu jednostkowego równoległych do osi.
Zaznaczmy punkt odciętą -1 na prostej kotangentów:
Połączmy ten punkt z początkiem prostej i kontynuujmy ją aż przetnie się z okręgiem. Ta linia prosta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu w i radianach:
Ponieważ punkty te są oddzielone od siebie odległością równą , a następnie rozwiązanie ogólne Równanie to możemy zapisać w następujący sposób:
W podanych przykładach ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych wykorzystano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.
Jeżeli jednak prawa strona równania zawiera wartość nietabelaryczną, to tę wartość podstawiamy do ogólnego rozwiązania równania:
ROZWIĄZANIA SPECJALNE:
Zaznaczmy punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna wynosi 1:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego rzędna jest równa -1:
Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie piszemy w następujący sposób:
Zaznaczmy punkty na okręgu, którego odcięta jest równa 0:
5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa -1:
I nieco bardziej złożone przykłady:
1.
Sinus jest równy jeden, jeśli argument jest równy
Argument naszego sinusa jest równy, więc otrzymujemy:
Podziel obie strony równości przez 3:
Odpowiedź:
2.
Cosinus wynosi zero, jeśli argumentem jest cosinus
Argument naszego cosinusa jest równy , więc otrzymujemy:
Wyraźmy , aby to zrobić, najpierw przesuwamy się w prawo z przeciwnym znakiem:
Uprośćmy prawą stronę:
Podziel obie strony przez -2:
Należy zauważyć, że znak przed terminem się nie zmienia, ponieważ k może przyjmować dowolną wartość całkowitą.
Odpowiedź:
Na koniec obejrzyj samouczek wideo „Wybieranie pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą okrąg trygonometryczny"
Na tym kończy się nasza rozmowa na temat rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak podjąć decyzję.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie zapytań lub żądań opinii publicznej agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Najprostsze równania trygonometryczne rozwiązuje się z reguły za pomocą wzorów. Przypomnę, że najprostsze równania trygonometryczne to:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x to kąt, który należy znaleźć,
a jest dowolną liczbą.
A oto wzory, za pomocą których możesz od razu zapisać rozwiązania tych najprostszych równań.
Dla sinusa:
Dla cosinusa:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Dla stycznej:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Dla cotangensu:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Właściwie jest to teoretyczna część rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. Co więcej, wszystko!) Zupełnie nic. Jednak liczba błędów na ten temat jest po prostu nieprawdopodobna. Zwłaszcza jeśli przykład nieznacznie odbiega od szablonu. Dlaczego?
Tak, ponieważ wiele osób pisze te listy, w ogóle nie rozumiejąc ich znaczenia! Zapisuje ostrożnie, żeby coś się nie stało...) Trzeba to uporządkować. W końcu trygonometria dla ludzi, czy ludzie dla trygonometrii!?)
Rozwiążmy to?
Jeden kąt będzie równy arccos, drugi: -arcos a.
I zawsze tak będzie. Dla każdego A.
Jeśli mi nie wierzysz, najedź myszką na zdjęcie lub dotknij obrazka na tablecie.) Zmieniłem numer A do czegoś negatywnego. Tak czy inaczej, mamy jeden róg arccos, drugi: -arcos a.
Dlatego odpowiedź zawsze można zapisać w postaci dwóch serii pierwiastków:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Połączmy te dwie serie w jedną:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I to wszystko. Otrzymaliśmy ogólny wzór na rozwiązanie najprostszego równania trygonometrycznego z cosinusem.
Jeśli zrozumiesz, że nie jest to jakaś nadnaukowa mądrość, ale tylko skrócona wersja dwóch serii odpowiedzi, Będziesz także w stanie poradzić sobie z zadaniami „C”. Z nierównościami, z wybieraniem pierwiastków z danego przedziału... Tam odpowiedź z plusem/minusem nie działa. Ale jeśli potraktujesz odpowiedź w sposób rzeczowy i podzielisz ją na dwie osobne odpowiedzi, wszystko zostanie rozwiązane.) Właściwie dlatego się nad tym zastanawiamy. Co, jak i gdzie.
W najprostszym równaniu trygonometrycznym
sinx = a
otrzymujemy również dwie serie pierwiastków. Zawsze. I te dwie serie również można nagrać w jednej linii. Tylko ta linia będzie trudniejsza:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ale istota pozostaje ta sama. Matematycy po prostu opracowali formułę, która pozwala na utworzenie jednego zamiast dwóch wpisów dla serii pierwiastków. To wszystko!
Sprawdźmy matematyków? I nigdy nie wiadomo...)
Na poprzedniej lekcji szczegółowo omówiliśmy rozwiązanie (bez żadnych wzorów) równania trygonometrycznego z sinusem:
Odpowiedź zaowocowała dwiema seriami pierwiastków:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jeśli rozwiążemy to samo równanie za pomocą wzoru, otrzymamy odpowiedź:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Właściwie jest to niedokończona odpowiedź.) Uczeń musi to wiedzieć arcsin 0,5 = π /6. Pełna odpowiedź brzmiałaby:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Tutaj powstaje ciekawe pytanie. Odpowiedz przez x1; x 2 (to jest poprawna odpowiedź!) i przez samotność X (i to jest poprawna odpowiedź!) - czy to to samo, czy nie? Dowiemy się teraz.)
Zastępujemy w odpowiedzi przez x 1 wartości N =0; 1; 2; itd., liczymy, otrzymujemy szereg pierwiastków:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tak dalej.
Z tym samym podstawieniem w odpowiedzi z x 2 , otrzymujemy:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tak dalej.
Teraz podstawimy wartości N (0; 1; 2; 3; 4...) do ogólnego wzoru na liczbę pojedynczą X . Oznacza to, że podnosimy minus jeden do potęgi zerowej, a następnie do pierwszej, drugiej itd. Cóż, oczywiście, podstawiamy 0 do drugiego członu; 1; 2 3; 4 itd. I liczymy. Otrzymujemy szereg:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tak dalej.
To wszystko, co możesz zobaczyć.) Daje nam to ogólny wzór dokładnie takie same wyniki podobnie jak dwie odpowiedzi osobno. Po prostu wszystko na raz, po kolei. Matematycy nie dali się oszukać.)
Można również sprawdzić wzory do rozwiązywania równań trygonometrycznych ze styczną i cotangensem. Ale tego nie zrobimy). Są już proste.
Opisałem całe to podstawianie i sprawdzanie konkretnie. Ważne jest, aby zrozumieć tutaj jedną rzecz prosta rzecz: istnieją wzory na rozwiązywanie elementarnych równań trygonometrycznych, tylko krótkie podsumowanie odpowiedzi. Aby zachować zwięzłość, musieliśmy wstawić plus/minus do rozwiązania cosinus i (-1) n do rozwiązania sinus.
Wkładki te w żaden sposób nie przeszkadzają w zadaniach, w których wystarczy zapisać odpowiedź na równanie elementarne. Ale jeśli chcesz rozwiązać nierówność lub musisz coś zrobić z odpowiedzią: wybrać pierwiastki w przedziale, sprawdzić ODZ itp., te wstawki mogą łatwo zaniepokoić osobę.
Co więc powinienem zrobić? Tak, albo napisz odpowiedź w dwóch seriach, albo rozwiąż równanie/nierówność za pomocą koła trygonometrycznego. Wtedy te wstawki znikają i życie staje się łatwiejsze.)
Możemy podsumować.
Aby rozwiązać najprostsze równania trygonometryczne, istnieją gotowe formuły odpowiedzi. Cztery sztuki. Są dobre do szybkiego zapisywania rozwiązania równania. Na przykład musisz rozwiązać równania:
sinx = 0,3
Łatwo: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Bez problemu: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Łatwo: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Został jeden: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Jeśli lśnisz wiedzą, od razu napisz odpowiedź:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
to już świecisz, to... tamto... z kałuży.) Prawidłowa odpowiedź: nie ma rozwiązań. Nie rozumiesz dlaczego? Przeczytaj, co to jest arc cosinus. Ponadto, jeśli po prawej stronie pierwotnego równania znajdują się wartości tabelaryczne sinus, cosinus, tangens, cotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 itp. - odpowiedź przez łuki będzie niedokończona. Łuki należy przeliczyć na radiany.
A jeśli natkniesz się na nierówność, np
wtedy odpowiedź brzmi:
x πn, n ∈ Z
zdarzają się rzadkie bzdury, tak...) Tutaj musisz rozwiązać za pomocą koła trygonometrycznego. Co zrobimy w odpowiednim temacie.
Dla tych, którzy bohatersko przeczytali te wersety. Po prostu nie mogę nie docenić twoich tytanicznych wysiłków. Bonus dla Ciebie.)
Premia:
Zapisując formuły w alarmującej sytuacji bojowej, nawet doświadczeni kujonowie często nie wiedzą, gdzie je zapisać πn, i gdzie 2π rz. Oto prosty trik dla Ciebie. W wszyscy wartości formuł πn. Z wyjątkiem jedynej formuły z arc cosinusem. Stoi tam 2πn. Dwa nosek. Słowo kluczowe - dwa. W tej samej formule są dwa podpisz na początku. Plus i minus. I tam, i tam - dwa.
Więc jeśli napisałeś dwa znak przed łukiem cosinus, łatwiej zapamiętać, co się stanie na końcu dwa nosek. Dzieje się tak również w drugą stronę. Osoba ta przegapi znak ± , dochodzi do końca, pisze poprawnie dwa Pien, a on odzyska rozum. Jest coś przed nami dwa podpisać! Osoba wróci do początku i poprawi błąd! Tak.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne zwłaszcza te, które mają miejsce przed klasą 10, jasno określona jest kolejność wykonywanych działań, które doprowadzą do celu. Takie problemy obejmują na przykład problemy liniowe i równania kwadratowe, liniowe i nierówności kwadratowe, równania ułamkowe i równania redukujące do kwadratu. Zasada pomyślnego rozwiązania każdego z wymienionych problemów jest następująca: musisz ustalić, jakiego rodzaju problem rozwiązujesz, pamiętaj o niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj poniższe kroki.
Oczywiste jest, że sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie zostanie określony rodzaj rozwiązywanego równania, jak poprawnie zostanie odtworzona kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście w tym przypadku niezbędna jest umiejętność wykonywania identycznych przekształceń i obliczeń.
Inaczej jest z równania trygonometryczne. Ustalenie faktu, że równanie jest trygonometryczne, wcale nie jest trudne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu sekwencji działań, które doprowadziłyby do prawidłowej odpowiedzi.
Przez wygląd równaniu, czasami trudno określić jego rodzaj. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.
Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować:
1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu pod „te same kąty”;
2. doprowadzić równanie do „funkcji identycznych”;
3. uwzględnij lewą stronę równania itp.
Rozważmy podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
I. Sprowadzenie do najprostszych równań trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.
Krok 2. Znajdź argument funkcji, korzystając ze wzorów:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
grzech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3. Znajdź nieznaną zmienną.
Przykład.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rozwiązanie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zmienna wymiana
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.
Krok 2. Wynikową funkcję oznacz zmienną t (w razie potrzeby wprowadź ograniczenia na t).
Krok 3. Zapisz i rozwiąż powstałe równanie algebraiczne.
Krok 4. Dokonaj odwrotnej wymiany.
Krok 5. Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.
Przykład.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rozwiązanie.
1) 2(1 – grzech 2 (x/2)) – 5 grzech (x/2) – 5 = 0;
2 grzech 2 (x/2) + 5 grzech (x/2) + 3 = 0.
2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 lub e = -3/2, nie spełnia warunku |t| ≤ 1.
4) grzech(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukcji rzędu równań
Schemat rozwiązania
Krok 1. Zastępować dane równanie liniowo, korzystając ze wzorów na redukcję stopnia:
grzech 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
sałata 2 x = 1/2 · (1 + sałata 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, stosując metody I i II.
Przykład.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rozwiązanie.
1) sałata 2x + 1/2 · (1 + sałata 2x) = 5/4.
2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 · sałata 2x = 5/4;
3/2 sałata 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Równania jednorodne
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci
a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)
lub do widoku
b) a grzech 2 x + b grzech x · cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).
Krok 2. Podziel obie strony równania przez
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i uzyskaj równanie na tan x:
a) opalenizna x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Krok 3. Rozwiąż równanie znanymi metodami.
Przykład.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rozwiązanie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
grzech 2 x + 3 grzech x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Niech więc tg x = t
t 2 + 3 t – 4 = 0;
t = 1 lub t = -4, co oznacza
tg x = 1 lub tg x = -4.
Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda przekształcenia równania za pomocą wzorów trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Używanie wszelkiego rodzaju wzory trygonometryczne sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, korzystając ze znanych metod.
Przykład.
grzech x + grzech 2x + grzech 3x = 0.
Rozwiązanie.
1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;
2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.
2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;
grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;
Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.
Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
W rezultacie x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Zdolność i umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych jest bardzo duża 
Co ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.
Wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Jest związanych z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych. Proces rozwiązywania takich problemów obejmuje wiele wiedzy i umiejętności, które można zdobyć studiując elementy trygonometrii.
Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie uczenia się matematyki i rozwoju osobistego w ogóle.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Informacje referencyjne na temat funkcji trygonometrycznych sinus (sin x) i cosinus (cos x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, formuły. Tabela sinusów i cosinusów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów, siecznych, cosekansów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Związek z funkcjami hiperbolicznymi.
Geometryczna definicja sinusa i cosinusa
|BD|- długość łuku okręgu o środku w punkcie A.
α
- kąt wyrażony w radianach.
Definicja
Sinus (sin α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a nogą prawy trójkąt, równy stosunkowi długość przeciwległego boku |BC| do długości przeciwprostokątnej |AC|.
Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwprostokątnej |AC|.
Zaakceptowane oznaczenia
;
;
.
;
;
.
Wykres funkcji sinus, y = sin x
Wykres funkcji cosinus, y = cos x
Własności sinusa i cosinusa
Okresowość
Funkcje y = grzech x i y = bo x okresowe z okresem 2π.
Parytet
Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.
Dziedzina definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek
Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla każdego x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n - liczba całkowita).
| y= grzech x | y= bo x | |
| Zakres i ciągłość | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Zakres wartości | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Wzrastający | ||
| Malejąco | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Zera, y = 0 | ||
| Punkty przecięcia z osią współrzędnych, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Podstawowe formuły
Suma kwadratów sinusa i cosinusa
Wzory na sinus i cosinus z sumy i różnicy
;
;
Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów
Wzory na sumę i różnicę
Wyrażanie sinusa przez cosinus
;
;
;
.
Wyrażanie cosinusa poprzez sinus
;
;
;
.
Wyrażenie poprzez tangens
; .
Kiedy , mamy:
;
.
Na :
;
.
Tabela sinusów i cosinusów, stycznych i kotangentów
Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu. 
Wyrażenia poprzez zmienne zespolone
;
Wzór Eulera
{ -∞ < x < +∞ }
Sieczna, cosekansowa
Funkcje odwrotne
Funkcje odwrotne do sinusa i cosinusa odpowiadają odpowiednio arcsinus i arccosinus.
Arcsin, arcsin
Arcosinus, arccos
Wykorzystana literatura:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.