Poziom pośredni

Nierówności kwadratowe. Kompleksowy przewodnik (2019)

Aby dowiedzieć się, jak rozwiązywać równania kwadratowe, musimy zrozumieć, co funkcja kwadratowa i jakie ma właściwości.

Prawdopodobnie zastanawiałeś się, po co w ogóle funkcja kwadratowa jest potrzebna? Gdzie ma zastosowanie jej wykres (parabola)? Tak, wystarczy się rozejrzeć, a zauważysz to każdego dnia życie codzienne spotykasz ją. Czy zauważyłeś, jak rzucona piłka leci na wychowaniu fizycznym? „Wzdłuż łuku”? Najbardziej poprawną odpowiedzią byłoby „parabola”! I po jakiej trajektorii porusza się strumień w fontannie? Tak, także w paraboli! Jak leci kula lub łuska? Zgadza się, także w paraboli! Zatem znając właściwości funkcji kwadratowej, możliwe będzie rozwiązanie wielu praktycznych problemów. Np. pod jakim kątem należy rzucić piłkę, aby uzyskać jak największą odległość? Albo gdzie wyląduje pocisk, jeśli wystrzelisz go pod pewnym kątem? itp.

Funkcja kwadratowa

Więc rozwiążmy to.

Na przykład, . Jacy są tutaj równi i? Cóż, oczywiście!

A co jeśli, tj. mniej niż zero? Cóż, oczywiście, jesteśmy „smutni”, co oznacza, że ​​​​gałęzie będą skierowane w dół! Spójrzmy na wykres.

Ten rysunek przedstawia wykres funkcji. Ponieważ, tj. mniejsze od zera, gałęzie paraboli są skierowane w dół. Poza tym zapewne już zauważyłeś, że gałęzie tej paraboli przecinają oś, co oznacza, że ​​równanie ma 2 pierwiastki, a funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne!

Na samym początku, gdy podaliśmy definicję funkcji kwadratowej, zostało powiedziane, że i są pewnymi liczbami. Czy mogą być równe zeru? Oczywiście, że mogą! Zdradzę nawet jeszcze większą tajemnicę (która wcale nie jest tajemnicą, ale warto o tym wspomnieć): na te liczby (i) w ogóle nie ma żadnych ograniczeń!

Cóż, zobaczmy, co stanie się z wykresami, jeśli i są równe zeru.

Jak widać, wykresy rozważanych funkcji (i) przesunęły się tak, że ich wierzchołki znajdują się teraz w punkcie o współrzędnych, czyli na przecięciu osi i nie ma to wpływu na kierunek gałęzi . Można zatem stwierdzić, że to właśnie one odpowiadają za „ruch” wykresu paraboli po układzie współrzędnych.

Wykres funkcji dotyka osi w jednym punkcie. Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek. Zatem funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero.

Postępujemy według tej samej logiki z wykresem funkcji. W pewnym momencie dotyka osi X. Oznacza to, że równanie ma jeden pierwiastek. Zatem funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero, to znaczy.

Zatem, aby określić znak wyrażenia, pierwszą rzeczą do zrobienia jest znalezienie pierwiastków równania. Będzie to dla nas bardzo przydatne.

Nierówność kwadratowa

Rozwiązując takie nierówności, będziemy potrzebować umiejętności określenia, gdzie funkcja kwadratowa jest większa, mniejsza lub równa zeru. To jest:

• jeśli mamy nierówność formy, to tak naprawdę zadanie sprowadza się do wyznaczenia przedziału liczbowego wartości, dla których parabola leży nad osią.
• jeśli mamy nierówność postaci, to tak naprawdę zadanie sprowadza się do wyznaczenia przedziału liczbowego wartości x, dla których parabola leży poniżej osi.

Jeżeli nierówności nie są ścisłe, wówczas pierwiastki (współrzędne przecięcia paraboli z osią) są uwzględniane w żądanym przedziale liczbowym; w przypadku nierówności ścisłych są one wykluczane.

To wszystko jest dość sformalizowane, ale nie rozpaczaj ani nie bój się! Teraz spójrzmy na przykłady i wszystko się ułoży.

Rozwiązując nierówności kwadratowe będziemy trzymać się zadanego algorytmu i czeka nas nieunikniony sukces!

Algorytm	Przykład:
1) Zapiszmy odpowiednią nierówność równanie kwadratowe(wystarczy zmienić znak nierówności na znak równości „=”).
2) Znajdźmy pierwiastki tego równania.
3) Zaznacz pierwiastki na osi i schematycznie pokaż orientację gałęzi paraboli („w górę” lub „w dół”)
4) Na osi postawmy znaki odpowiadające znakowi funkcji kwadratowej: gdzie parabola znajduje się nad osią, wstawiamy „ ”, a gdzie poniżej – „”.
5) Zapisz przedział(y) odpowiadający „ ” lub „ ”, w zależności od znaku nierówności. Jeśli nierówność nie jest ścisła, pierwiastki są uwzględniane w przedziale; jeśli jest ścisła, nie są uwzględniane.

Rozumiem? Zatem śmiało i przypnij to!

Przykład:

No cóż, zadziałało? Jeśli masz jakieś trudności, szukaj rozwiązań.

Rozwiązanie:

Zapiszmy przedziały odpowiadające znakowi „ ”, ponieważ znakiem nierówności jest „ ”. Nierówność nie jest ścisła, więc pierwiastki uwzględnia się w przedziałach:

Zapiszmy odpowiednie równanie kwadratowe:

Znajdźmy pierwiastki tego równania kwadratowego:

Zaznaczmy schematycznie otrzymane pierwiastki na osi i uporządkujmy znaki:

Zapiszmy przedziały odpowiadające znakowi „ ”, ponieważ znakiem nierówności jest „ ”. Nierówność jest ścisła, dlatego w przedziałach nie uwzględnia się pierwiastków:

Zapiszmy odpowiednie równanie kwadratowe:

Znajdźmy pierwiastki tego równania kwadratowego:

to równanie ma jeden pierwiastek

Zaznaczmy schematycznie otrzymane pierwiastki na osi i uporządkujmy znaki:

Zapiszmy przedziały odpowiadające znakowi „ ”, ponieważ znakiem nierówności jest „ ”. Dla dowolnego funkcja przyjmuje wartości nieujemne. Ponieważ nierówność nie jest ścisła, odpowiedź będzie taka.

Zapiszmy odpowiednie równanie kwadratowe:

Znajdźmy pierwiastki tego równania kwadratowego:

Narysujmy schematycznie wykres paraboli i uporządkujmy znaki:

Zapiszmy przedziały odpowiadające znakowi „ ”, ponieważ znakiem nierówności jest „ ”. Dla dowolnego funkcja przyjmuje wartości dodatnie, dlatego rozwiązaniem nierówności będzie przedział:

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE. POZIOM ŚREDNI

Funkcja kwadratowa.

Zanim porozmawiamy o temacie „nierówności kwadratowe”, przypomnijmy sobie, czym jest funkcja kwadratowa i jaki jest jej wykres.

Inaczej mówiąc, to wielomian drugiego stopnia.

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą (pamiętasz, co to jest?). Jego gałęzie są skierowane w górę, jeśli „a) funkcja przyjmuje dla wszystkich tylko wartości dodatnie, a w drugiej () - tylko ujemne:

W przypadku, gdy równanie () ma dokładnie jeden pierwiastek (np. jeśli dyskryminator wynosi zero), oznacza to, że wykres styka się z osią:

Następnie, podobnie jak w poprzednim przypadku, dla „ .

Niedawno nauczyliśmy się więc określać, gdzie funkcja kwadratowa jest większa od zera, a gdzie mniejsza:

Jeśli nierówność kwadratowa nie jest ścisła, wówczas pierwiastki są uwzględniane w przedziale liczbowym, jeśli jest ścisła, nie są.

Jeśli jest tylko jeden pierwiastek, nie ma problemu, wszędzie będzie ten sam znak. Jeśli nie ma pierwiastków, wszystko zależy tylko od współczynnika: jeśli „25((x)^(2))-30x+9

Odpowiedzi:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nie ma pierwiastków, więc całe wyrażenie po lewej stronie przyjmuje znak współczynnika przed:

• Jeśli chcesz znaleźć przedział liczbowy, w którym trójmian kwadratowy jest większy od zera, to jest to przedział liczbowy, w którym parabola leży nad osią.
• Jeśli chcesz znaleźć przedział liczbowy, w którym trójmian kwadratowy jest mniejszy od zera, to jest to przedział liczbowy, w którym parabola leży poniżej osi.

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Funkcja kwadratowa jest funkcją postaci: ,

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą. Jego gałęzie są skierowane w górę, jeśli i w dół, jeśli:

Rodzaje nierówności kwadratowych:

Wszystkie nierówności kwadratowe sprowadzają się do czterech następujących typów:

Algorytm rozwiązania:

Algorytm	Przykład:
1) Napiszmy równanie kwadratowe odpowiadające nierówności (wystarczy zmienić znak nierówności na znak równości „”).
2) Znajdźmy pierwiastki tego równania.
3) Zaznacz pierwiastki na osi i schematycznie pokaż orientację gałęzi paraboli („w górę” lub „w dół”)
4) Na osi postawmy znaki odpowiadające znakowi funkcji kwadratowej: gdzie parabola znajduje się nad osią, wstawiamy „ ”, a gdzie poniżej – „”.
5) Zapisz przedział(y) odpowiadający „ ” lub „ ”, w zależności od znaku nierówności. Jeśli nierówność nie jest ścisła, pierwiastki są uwzględniane w przedziale; jeśli jest ścisła, nie są uwzględniane.

Nierówność kwadratowa – „OD i DO”.W tym artykule przyjrzymy się rozwiązaniu nierówności kwadratowych, które sprowadza się do subtelności. Zalecam dokładne przestudiowanie materiału zawartego w artykule, aby niczego nie pominąć. Nie opanujesz artykułu od razu, polecam zrobić to na kilka sposobów, informacji jest naprawdę dużo.

Treść:

Wstęp. Ważny!

Wstęp. Ważny!

Nierówność kwadratowa jest nierównością postaci:

Jeśli weźmiesz równanie kwadratowe i zastąpisz znak równości dowolnym z powyższych, otrzymasz nierówność kwadratową. Rozwiązanie nierówności polega na odpowiedzi na pytanie, dla jakich wartości x ta nierówność będzie prawdziwa. Przykłady:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

Nierówność kwadratową można określić pośrednio, na przykład:

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

W takim przypadku należy wykonać przekształcenia algebraiczne i doprowadzić je do postaci standardowej (1).

*Współczynniki mogą być ułamkowe i irracjonalne, ale takie przykłady są rzadkie w szkolnym programie nauczania i w ogóle nie można ich znaleźć w zadaniach Unified State Examination. Ale nie przejmuj się, jeśli natkniesz się na przykład na:

To też jest nierówność kwadratowa.

Na początek przyjrzyjmy się prostemu algorytmowi rozwiązania, który nie wymaga zrozumienia, czym jest funkcja kwadratowa i jak wygląda jej wykres na płaszczyźnie współrzędnych względem osi współrzędnych. Jeśli potrafisz mocno i długo zapamiętać informacje oraz regularnie wzmacniać je praktyką, algorytm Ci w tym pomoże. Ponadto, jeśli, jak mówią, musisz rozwiązać taką nierówność „od razu”, algorytm ci pomoże. Postępując zgodnie z nim, z łatwością wdrożysz rozwiązanie.

Jeśli uczysz się w szkole, zdecydowanie zalecam rozpoczęcie studiowania artykułu od drugiej części, która opisuje całe znaczenie rozwiązania (patrz poniżej od punktu -). Jeśli zrozumiesz istotę, nie będzie potrzeby uczenia się ani zapamiętywania określonego algorytmu, możesz łatwo szybko rozwiązać dowolną nierówność kwadratową.

Oczywiście powinienem od razu zacząć wyjaśnienie od wykresu funkcji kwadratowej i wyjaśnienia samego znaczenia, ale zdecydowałem się „skonstruować” artykuł w ten sposób.

Kolejna uwaga teoretyczna! Spójrz na wzór na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:

gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego oś 2+ bx+c=0

*Aby rozwiązać nierówność kwadratową, konieczne będzie rozłożenie na czynniki trójmianu kwadratowego.

Algorytm przedstawiony poniżej nazywany jest także metodą interwałową. Nadaje się do rozwiązywania nierówności postaci F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 iF(X)≤0 . Należy pamiętać, że mogą istnieć więcej niż dwa mnożniki, na przykład:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algorytm rozwiązania. Metoda interwałowa. Przykłady.

Biorąc pod uwagę nierówność topór 2 + bx+ c > 0 (dowolny znak).

1. Napisz równanie kwadratowe topór 2 + bx+ c = 0 i rozwiązać to. Dostajemy x1 i x2– pierwiastki równania kwadratowego.

2. Podstaw współczynnik do wzoru (2) A i korzenie. :

topór – X 1 )(X – x2)>0

3. Zdefiniuj przedziały na osi liczbowej (pierwiastki równania dzielą oś liczbową na przedziały):

4. Określ „znaki” na przedziałach (+ lub –), podstawiając dowolną wartość „x” z każdego wynikowego przedziału do wyrażenia:

topór – X 1 )(X – x2)

i świętować je.

5. Pozostaje tylko spisać interesujące nas interwały, są one zaznaczone:

- ze znakiem „+”, jeżeli nierówność zawierała „>0” lub „≥0”.

- znak „–”, jeżeli nierówność zawierała „<0» или «≤0».

UWAŻAĆ NA!!! Same znaki nierówności mogą być:

ścisłe – to jest „>”, „<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Jaki to ma wpływ na wynik decyzji?

Przy ścisłych znakach nierówności granice przedziału NIE są ujęte w rozwiązaniu, natomiast w odpowiedzi sam przedział jest zapisany w postaci ( X 1 ; X 2 ) – nawiasy okrągłe.

W przypadku słabych znaków nierówności w rozwiązaniu uwzględnia się granice przedziału, a odpowiedź zapisuje się w postaci [ X 1 ; X 2 ] – nawiasy kwadratowe.

*Dotyczy to nie tylko nierówności kwadratowych. Nawias kwadratowy oznacza, że ​​sama granica przedziału jest uwzględniona w rozwiązaniu.

Zobaczysz to na przykładach. Przyjrzyjmy się kilku, aby wyjaśnić wszystkie pytania na ten temat. W teorii algorytm może wydawać się nieco skomplikowany, ale w rzeczywistości wszystko jest proste.

PRZYKŁAD 1: Rozwiąż X 2 – 60 X+500 ≤ 0

Rozwiązywanie równania kwadratowego X 2 –60 X+500=0

D = B 2 –4 AC = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Odnalezienie korzeni:

Zastąp współczynnik A

X 2 –60 X+500 = (x–50)(x–10)

Nierówność zapisujemy w postaci (x–50)(x–10) ≤ 0

Pierwiastki równania dzielą oś liczbową na przedziały. Pokażmy je na osi liczbowej:

Otrzymaliśmy trzy przedziały (–∞;10), (10;50) i (50;+∞).

Określamy „znaki” na przedziałach, robimy to, podstawiając dowolne wartości każdego wynikowego przedziału do wyrażenia (x–50)(x–10) i sprawdzamy zgodność powstałego „znaku” z znakiem nierówność (x–50)(x–10) ≤ 0:

przy x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 niepoprawne

przy x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

przy x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 niepoprawne

Rozwiązaniem będzie przerwa.

Dla wszystkich wartości x z tego przedziału nierówność będzie prawdziwa.

*Pamiętaj, że uwzględniliśmy nawiasy kwadratowe.

Dla x = 10 i x = 50 nierówność również będzie prawdziwa, to znaczy granice zostaną uwzględnione w rozwiązaniu.

Odpowiedź: x∊

Ponownie:

— Granice przedziału są uwzględniane w rozwiązaniu nierówności, gdy warunek zawiera znak ≤ lub ≥ (nierówność nieścisła). W takim przypadku zwyczajowo wyświetla się powstałe korzenie na szkicu za pomocą KREŚLONEGO okręgu.

— Granice przedziału NIE są uwzględniane w rozwiązaniu nierówności, gdy warunek zawiera znak< или >(ścisła nierówność). W takim przypadku zwyczajowo wyświetla się pierwiastek na szkicu jako NIEKREŚLONY okrąg.

PRZYKŁAD 2: Rozwiąż X 2 + 4 X–21 > 0

Rozwiązywanie równania kwadratowego X 2 + 4 X–21 = 0

D = B 2 –4 AC = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Odnalezienie korzeni:

Zastąp współczynnik A i pierwiastkujemy we wzorze (2), otrzymujemy:

X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)

Nierówność zapisujemy w postaci (x–3)(x+7) > 0.

Pierwiastki równania dzielą oś liczbową na przedziały. Zaznaczmy je na osi liczbowej:

*Nierówność nie jest ścisła, więc oznaczenia pierwiastków NIE są zacienione. Otrzymaliśmy trzy przedziały (–∞;–7), (–7;3) i (3;+∞).

Wyznaczamy „znaki” na przedziałach, robimy to podstawiając dowolne wartości tych przedziałów do wyrażenia (x–3)(x+7) i szukamy zgodności z nierównością (x–3)(x+7)> 0:

przy x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 poprawnie

przy x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

przy x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 poprawne

Rozwiązaniem będą dwa przedziały (–∞;–7) i (3;+∞). Dla wszystkich wartości x z tych przedziałów nierówność będzie prawdziwa.

*Pamiętaj, że dodaliśmy nawiasy. Przy x = 3 i x = –7 nierówność będzie błędna – w rozwiązaniu nie zostaną uwzględnione granice.

Odpowiedź: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

PRZYKŁAD 3: Rozwiąż – X 2 –9 X–20 > 0

Rozwiązywanie równania kwadratowego – X 2 –9 X–20 = 0.

A = –1 B = –9 C = –20

D = B 2 –4 AC = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Odnalezienie korzeni:

Zastąp współczynnik A i pierwiastkujemy we wzorze (2), otrzymujemy:

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Nierówność zapisujemy w postaci –(x+5)(x+4) > 0.

Pierwiastki równania dzielą oś liczbową na przedziały. Zaznaczmy na osi liczbowej:

*Nierówność jest ścisła, więc symbole pierwiastków nie są zacienione. Otrzymaliśmy trzy przedziały (–∞;–5), (–5; –4) i (–4;+∞).

Definiujemy „znaki” na przedziałach, robimy to poprzez podstawienie do wyrażenia –(x+5)(x+4) dowolne wartości tych przedziałów i spójrz na zgodność z nierównością –(x+5)(x+4)>0:

przy x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

przy x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 poprawnie

przy x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

Rozwiązaniem będzie przedział (–5,–4). Dla wszystkich należących do niego wartości „x” nierówność będzie prawdziwa.

*Proszę pamiętać, że granice nie są częścią rozwiązania. Dla x = –5 i x = –4 nierówność nie będzie prawdziwa.

KOMENTARZ!

Rozwiązując równanie kwadratowe, możemy otrzymać jeden pierwiastek lub nie mieć go wcale, wtedy stosując tę ​​metodę na ślepo, mogą pojawić się trudności w określeniu rozwiązania.

Małe podsumowanie! Metoda jest dobra i wygodna w użyciu, zwłaszcza jeśli znasz funkcję kwadratową i znasz właściwości jej wykresu. Jeśli nie, spójrz i przejdź do następnej sekcji.

Korzystanie z wykresu funkcji kwadratowej. polecam!

Kwadratowy jest funkcją postaci:

Jego wykresem jest parabola, gałęzie paraboli są skierowane w górę lub w dół:

Wykres można ustawić w następujący sposób: może przecinać oś x w dwóch punktach, może dotykać jej w jednym punkcie (wierzchołku) lub nie może się przecinać. Więcej na ten temat później.

Teraz spójrzmy na to podejście na przykładzie. Cały proces rozwiązania składa się z trzech etapów. Rozwiążmy nierówność X 2 +2 X –8 >0.

Pierwszy etap

Rozwiązanie równania X 2 +2 X–8=0.

D = B 2 –4 AC = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Odnalezienie korzeni:

Mamy x 1 = 2 i x 2 = – 4.

Drugi etap

Budowanie paraboli y=X 2 +2 X–8 według punktów:

Punkty 4 i 2 to punkty przecięcia paraboli i osi x. To proste! Co zrobiłeś? Rozwiązaliśmy równanie kwadratowe X 2 +2 X–8=0. Sprawdź jego wpis w ten sposób:

0 = x 2+2x – 8

Zero jest dla nas wartością „y”. Gdy y = 0, otrzymujemy odciętą punktów przecięcia paraboli z osią x. Można powiedzieć, że wartość zerowa „y” jest osią x.

Teraz spójrz, jakie wartości x ma wyrażenie X 2 +2 X – 8 większy (lub mniejszy) od zera? Nie jest to trudne do ustalenia na podstawie wykresu paraboli; jak mówią, wszystko jest w zasięgu wzroku:

1. O x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 będzie pozytywne.

2. W –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 będzie negatywna.

3. Dla x > 2 gałąź paraboli leży powyżej osi x. Dla określonego x, trójmian X 2 +2 X –8 będzie pozytywne.

Trzeci etap

Z paraboli możemy od razu zobaczyć, przy jakim x wyrażeniu X 2 +2 X–8 większy od zera, równy zero, mniejszy od zera. Na tym polega istota trzeciego etapu rozwiązania, a mianowicie dostrzeżenia i zidentyfikowania pozytywnych i negatywnych obszarów na rysunku. Otrzymany wynik porównujemy z pierwotną nierównością i zapisujemy odpowiedź. W naszym przykładzie konieczne jest określenie wszystkich wartości x, dla których wyrażenie X 2 +2 X–8 więcej niż zero. Zrobiliśmy to w drugim etapie.

Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Podsumujmy: po obliczeniu pierwiastków równania w pierwszym kroku możemy zaznaczyć powstałe punkty na osi x (są to punkty przecięcia paraboli z osią x). Następnie schematycznie konstruujemy parabolę i już widzimy rozwiązanie. Dlaczego schematycznie? Nie potrzebujemy matematycznie dokładnego harmonogramu. I wyobraźcie sobie np., że pierwiastki wyniosą 10 i 1500, spróbujcie zbudować dokładny wykres na kartce papieru z takim zakresem wartości. Powstaje pytanie! No cóż, pierwiastki mamy, no cóż, zaznaczyliśmy je na osi O, ale czy powinniśmy naszkicować położenie samej paraboli - z jej gałęziami w górę czy w dół? Tutaj wszystko jest proste! Współczynnik x 2 powie Ci:

- jeśli jest większa od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w górę.

- jeśli jest mniejszy od zera, wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół.

W naszym przykładzie jest równy jeden, czyli dodatni.

*Notatka! Jeżeli nierówność zawiera znak nieścisły, czyli ≤ lub ≥, to pierwiastki na osi liczbowej należy zacieniować, co umownie wskazuje, że granica samego przedziału jest uwzględniona w rozwiązaniu nierówności. W tym przypadku korzenie nie są zacienione (przebite), ponieważ nasza nierówność jest ścisła (jest znak „>”). Co więcej, w tym przypadku w odpowiedzi zastosowano nawiasy zamiast kwadratów (w rozwiązaniu nie uwzględniono obramowań).

Wiele już napisano, pewnie kogoś wprowadziłem w błąd. Ale jeśli rozwiążesz co najmniej 5 nierówności za pomocą paraboli, twój podziw nie będzie miał granic. To proste!

A więc krótko:

1. Zapisujemy nierówność i sprowadzamy ją do standardowej.

2. Zapisz równanie kwadratowe i rozwiąż je.

3. Narysuj oś x, zaznacz powstałe pierwiastki, narysuj schematycznie parabolę z rozgałęzieniami w górę, jeśli współczynnik x 2 jest dodatni, lub rozgałęzieniami w dół, jeśli jest ujemny.

4. Wizualnie zidentyfikuj obszary dodatnie lub ujemne i zapisz odpowiedź na pierwotną nierówność.

Spójrzmy na przykłady.

PRZYKŁAD 1: Rozwiąż X 2 –15 X+50 > 0

Pierwszy etap.

Rozwiązywanie równania kwadratowego X 2 –15 X+50=0

D = B 2 –4 AC = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Odnalezienie korzeni:

Drugi etap.

Budujemy oś o. Zaznaczmy powstałe korzenie. Ponieważ nasza nierówność jest ścisła, nie będziemy ich zacieniać. Schematycznie konstruujemy parabolę, jest ona umieszczona z gałęziami do góry, ponieważ współczynnik x 2 jest dodatni:

Trzeci etap.

Definiujemy obszary wizualnie pozytywne i negatywne, tutaj dla przejrzystości oznaczyliśmy je różnymi kolorami, nie musisz tego robić.

Zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Znak U oznacza rozwiązanie unifikacyjne. Mówiąc obrazowo, rozwiązaniem jest „ten” ORAZ „ten” przedział.

PRZYKŁAD 2: Rozwiąż – X 2 + X+20 ≤ 0

Pierwszy etap.

Rozwiązywanie równania kwadratowego – X 2 + X+20=0

D = B 2 –4 AC = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Odnalezienie korzeni:

Drugi etap.

Budujemy oś o. Zaznaczmy powstałe korzenie. Ponieważ nasza nierówność nie jest ścisła, zacieniamy oznaczenia pierwiastków. Schematycznie konstruujemy parabolę, jest ona umieszczona z gałęziami w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny (jest równy –1):

Trzeci etap.

Wizualnie identyfikujemy obszary pozytywne i negatywne. Porównujemy to z pierwotną nierównością (nasz znak to ≤ 0). Nierówność będzie prawdziwa dla x ≤ – 4 i x ≥ 5.

Zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: x∊(–∞;–4] U; pod red. S. A. Telyakovsky'ego - wyd. 16 - M.: Edukacja, 2008. - 271 s.: chory - ISBN 978-5-09 -019243-9.