Kąt ABC jest kątem wpisanym. Opiera się na łuku AC, zamkniętym między jego bokami (ryc. 330).

Twierdzenie. Kąt wpisany mierzy się przez połowę łuku, na którym opiera się.

Należy to rozumieć w ten sposób: kąt wpisany zawiera tyle stopni kątowych, minut i sekund, ile stopni, minut i sekund łuku zawiera się w połowie łuku, na którym się opiera.

Dowodząc tego twierdzenia, należy rozważyć trzy przypadki.

Pierwszy przypadek. Środek okręgu leży po stronie kąta wpisanego (ryc. 331).

Niech ∠ABC będzie kątem wpisanym, a środek okręgu O leży na boku BC. Wymagane jest udowodnienie, że mierzy się go pół łuku AC.

Połącz punkt A ze środkiem okręgu. Otrzymujemy równoramienny \(\Delta\)AOB, w którym AO = OB, jako promienie tego samego okręgu. Zatem ∠A = ∠B.

∠AOC jest zewnętrzne w stosunku do trójkąta AOB, więc ∠AOC = ∠A + ∠B, a ponieważ kąty A i B są równe, to ∠B wynosi 1/2 ∠AOC.

Ale ∠AOC mierzy się za pomocą łuku AC, zatem ∠B mierzy się za pomocą połowy łuku AC.

Na przykład, jeśli \(\breve(AC)\) zawiera 60°18', to ∠B zawiera 30°9'.

Drugi przypadek. Środek okręgu leży pomiędzy bokami kąta wpisanego (ryc. 332).

Niech ∠ABD będzie kątem wpisanym. Środek okręgu O leży pomiędzy jego bokami. Musimy udowodnić, że ∠ABD mierzy się przez połowę łuku AD.

Aby to udowodnić, narysujmy średnicę BC. Kąt ABD dzieli się na dwa kąty: ∠1 i ∠2.

∠1 jest mierzone przez połowę łuku AC, a ∠2 jest mierzone przez połowę łuku CD, zatem całe ∠ABD jest mierzone przez 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve (CD)\), tj. pół łuku AD.

Na przykład, jeśli \(\breve(AD)\) zawiera 124°, to ∠B zawiera 62°.

Trzeci przypadek. Środek okręgu leży poza kątem wpisanym (ryc. 333).

Niech ∠MAD będzie kątem wpisanym. Środek okręgu O znajduje się na zewnątrz narożnika. Musimy udowodnić, że ∠MAD jest mierzone przez połowę MD łuku.

Aby to udowodnić, narysujmy średnicę AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ale ∠MAB mierzy 1/2 \(\breve(MB)\), a ∠DAB mierzy 1/2 \(\breve(DB)\).

Zatem ∠MAD mierzy 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), tj. 1/2 \(\breve(MD)\).

Na przykład, jeśli \(\breve(MD)\) zawiera 48° 38", to ∠MAD zawiera 24° 19' 8".

Konsekwencje
1. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe, ponieważ mierzy się je przez połowę tego samego łuku (ryc. 334, a).

2. Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym, ponieważ opiera się na połowie koła. Połowa koła zawiera 180 stopni łuku, co oznacza, że ​​​​kąt oparty na średnicy zawiera 90 stopni łuku (ryc. 334, b).

Poziom pośredni

Okrąg i kąt wpisany. Przewodnik wizualny (2019)

Podstawowe terminy.

Jak dobrze pamiętasz wszystkie imiona związane z kręgiem? Na wszelki wypadek przypomnijmy - spójrz na zdjęcia - odśwież swoją wiedzę.

Cóż, po pierwsze - Środek okręgu to punkt, od którego odległości od wszystkich punktów okręgu są takie same.

Po drugie - promień - odcinek łączący środek z punktem na okręgu.

Promieni jest wiele (tyle jest punktów na okręgu), ale Wszystkie promienie mają tę samą długość.

Czasem na krótko promień dokładnie to nazywają długość odcinka„środek jest punktem na okręgu”, a nie samym odcinkiem.

I oto co się dzieje jeśli połączysz dwa punkty na okręgu? Również odcinek?

Tak więc ten segment nazywa się "akord".

Podobnie jak w przypadku promienia, średnica jest często długością odcinka łączącego dwa punkty na okręgu i przechodzącego przez jego środek. Swoją drogą, w jaki sposób średnica i promień są ze sobą powiązane? Przyjrzyj się uważnie. Oczywiście promień jest równy połowie średnicy.

Oprócz akordów są też sieczne.

Pamiętasz najprostszą rzecz?

Kąt środkowy to kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami.

A teraz - kąt wpisany

Kąt wpisany - kąt pomiędzy dwiema cięciwami przecinającymi się w punkcie na okręgu.

W tym przypadku mówią, że kąt wpisany opiera się na łuku (lub cięciwie).

Spójrz na zdjęcie:

Pomiary łuków i kątów.

Obwód. Łuki i kąty mierzone są w stopniach i radianach. Najpierw o stopniach. Z kątami nie ma problemów - musisz nauczyć się mierzyć łuk w stopniach.

Miara stopnia (rozmiar łuku) to wartość (w stopniach) odpowiedniego kąta środkowego

Co oznacza tutaj słowo „odpowiedni”? Przyjrzyjmy się uważnie:

Czy widzisz dwa łuki i dwa kąty środkowe? Cóż, większy łuk odpowiada większemu kątowi (i dobrze, że jest większy), a mniejszy łuk odpowiada mniejszemu kątowi.

Zatem zgodziliśmy się: łuk zawiera tę samą liczbę stopni, co odpowiadający mu kąt środkowy.

A teraz o przerażającej rzeczy – o radianach!

Co to za bestia?

Wyobrażać sobie: Radiany to sposób pomiaru kątów... w promieniach!

Kąt mierzący radiany wygląda następująco kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Wtedy pojawia się pytanie - ile radianów znajduje się w kącie prostym?

Innymi słowy: ile promieni „mieści się” w połowie koła? Lub w inny sposób: ile razy długość połowy koła jest większa od promienia?

Naukowcy zadali to pytanie już w starożytnej Grecji.

I tak po długich poszukiwaniach odkryli, że stosunek obwodu do promienia nie chce być wyrażony w liczbach „ludzkich” itp.

I nie da się tej postawy wyrazić nawet poprzez korzenie. Oznacza to, że nie można powiedzieć, że połowa koła jest razy większa niż promień! Czy możesz sobie wyobrazić, jak niesamowite było dla ludzi odkrycie tego po raz pierwszy?! Dla stosunku długości połowy koła do promienia „normalne” liczby nie wystarczyły. Musiałem wpisać literę.

Zatem - jest to liczba wyrażająca stosunek długości półkola do promienia.

Teraz możemy odpowiedzieć na pytanie: ile radianów znajduje się w kącie prostym? Zawiera radiany. Właśnie dlatego, że połowa koła jest razy większa niż promień.

Starożytni (i nie tak starożytni) ludzie na przestrzeni wieków (!) próbował dokładniej obliczyć tę tajemniczą liczbę, lepiej ją wyrazić (przynajmniej w przybliżeniu) za pomocą „zwykłych” liczb. A teraz jesteśmy niesamowicie leniwi - wystarczą nam dwa znaki po pracowitym dniu, do tego jesteśmy przyzwyczajeni

Pomyśl o tym, oznacza to na przykład, że długość koła o promieniu jeden jest w przybliżeniu równa, ale tej dokładnej długości po prostu nie da się zapisać „ludzką” liczbą - potrzebujesz litery. A wtedy ten obwód będzie równy. I oczywiście obwód promienia jest równy.

Wróćmy do radianów.

Dowiedzieliśmy się już, że kąt prosty zawiera radiany.

Co mamy:

Więc cieszę się, to znaczy cieszę się. W ten sam sposób uzyskuje się płytę o najpopularniejszych kątach.

Zależność między wartościami kąta wpisanego i środkowego.

Jest niesamowity fakt:

Kąt wpisany jest o połowę mniejszy od odpowiadającego mu kąta środkowego.

Zobacz, jak to stwierdzenie wygląda na obrazku. „Odpowiadający” kąt środkowy to taki, którego końce pokrywają się z końcami kąta wpisanego, a wierzchołek znajduje się w środku. Jednocześnie „odpowiadający” kąt środkowy musi „patrzeć” na tę samą cięciwę (), co kąt wpisany.

Dlaczego tak jest? Najpierw rozwiążmy to prosty przypadek. Niech jeden z akordów przejdzie przez środek. Czasem tak się zdarza, prawda?

Co się tutaj dzieje? Rozważmy. W końcu jest to równoramienny i - promień. A więc (oznaczył je).

Teraz spójrzmy. To jest zewnętrzny kącik! Przypominamy, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają, i piszemy:

To jest! Nieoczekiwany efekt. Ale istnieje także kąt centralny dla wpisanego.

Oznacza to, że w tym przypadku udowodniono, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego. Ale to boleśnie szczególny przypadek: czy nie jest prawdą, że akord nie zawsze przechodzi prosto przez środek? Ale nie ma sprawy, teraz ten konkretny przypadek nam bardzo pomoże. Spójrz: drugi przypadek: niech środek leży w środku.

Zróbmy tak: narysuj średnicę. I wtedy... widzimy dwa obrazy, które były już analizowane w pierwszym przypadku. Dlatego już to mamy

Oznacza to (na rysunku a)

Cóż, zostałem ostatni przypadek: środek poza narożnikiem.

Robimy to samo: rysujemy średnicę przez punkt. Wszystko jest takie samo, ale zamiast sumy jest różnica.

To wszystko!

Wyprowadźmy teraz dwie główne i bardzo ważne konsekwencje ze stwierdzenia, że ​​kąt wpisany jest połową kąta środkowego.

Wniosek 1

Wszystkie kąty wpisane oparte na jednym łuku są sobie równe.

Ilustrujemy:

Kątów wpisanych opartych na tym samym łuku jest niezliczona ilość (mamy ten łuk), mogą wyglądać zupełnie inaczej, ale wszystkie mają ten sam kąt środkowy (), co oznacza, że ​​wszystkie te kąty wpisane są między sobą równe.

Konsekwencja 2

Kąt oparty na średnicy jest kątem prostym.

Spójrz: dla jakiego kąta jest centralny?

Z pewnością, . Ale on jest równy! Cóż, zatem (jak również wiele innych kątów wpisanych spoczywających na) i jest równy.

Kąt między dwoma cięciwami i siecznymi

A co jeśli kąt, który nas interesuje NIE jest wpisany i NIE jest środkowy, ale np. taki:

lub tak?

Czy można to jakoś wyrazić za pomocą kątów środkowych? Okazuje się, że jest to możliwe. Spójrz: jesteśmy zainteresowani.

a) (jako narożnik zewnętrzny). Ale - wpisany, spoczywa na łuku -. - wpisany, spoczywa na łuku - .

O pięknie mówią:

Kąt między cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Piszą to dla zwięzłości, ale oczywiście używając tego wzoru, należy pamiętać o kątach środkowych

b) A teraz - „na zewnątrz”! Jak to możliwe? Tak, prawie takie same! Dopiero teraz (ponownie stosujemy właściwość kąta zewnętrznego dla). To jest teraz.

A to oznacza... Dodajmy piękna i zwięzłości do notatek i sformułowań:

Kąt między siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Cóż, teraz jesteś uzbrojony w całą podstawową wiedzę na temat kątów związanych z okręgiem. Śmiało, podejmuj wyzwania!

okrąg i wcięty kąt. POZIOM ŚREDNI

Nawet pięcioletnie dziecko wie, co to jest okrąg, prawda? Matematycy jak zawsze mają na ten temat zawiłą definicję, ale nie podamy jej (patrz), ale raczej przypomnijmy sobie, jak nazywają się punkty, proste i kąty związane z okręgiem.

Ważne warunki

Cóż, po pierwsze:

środek okręgu- punkt, od którego wszystkie punkty na okręgu są w tej samej odległości.

Po drugie:

Istnieje inne akceptowane wyrażenie: „akord zaciąga łuk”. Na przykład tutaj, na rysunku, cięciwa opiera się na łuku. A jeśli akord nagle przechodzi przez środek, ma specjalną nazwę: „średnica”.

Swoją drogą, w jaki sposób średnica i promień są ze sobą powiązane? Przyjrzyj się uważnie. Oczywiście

A teraz - nazwy narożników.

Naturalne, prawda? Boki kąta rozciągają się od środka, co oznacza, że ​​kąt jest środkowy.

W tym miejscu czasami pojawiają się trudności. Zwróć uwagę - ŻADEN kąt wewnątrz okręgu nie jest wpisany, ale tylko taki, którego wierzchołek „siedzi” na samym okręgu.

Zobaczmy różnicę na zdjęciach:

Inaczej mówią:

Jest tu jeden trudny punkt. Co to jest „odpowiadający” lub „własny” kąt środkowy? Tylko kąt z wierzchołkiem w środku okręgu i końcami na końcach łuku? Nie bardzo. Spójrz na rysunek.

Jeden z nich jednak nawet nie wygląda na narożnik – jest większy. Ale trójkąt nie może mieć więcej kątów, ale okrąg może! Zatem: mniejszy łuk AB odpowiada mniejszemu kątowi (pomarańczowy), a większy łuk odpowiada większemu. Właśnie tak, prawda?

Zależność między wielkościami kąta wpisanego i środkowego

Zapamiętaj to bardzo ważne stwierdzenie:

W podręcznikach lubią zapisywać ten sam fakt w ten sposób:

Czy nie jest prawdą, że sformułowanie jest prostsze w przypadku kąta środkowego?

Ale mimo to znajdźmy zgodność między tymi dwoma sformułowaniami, a jednocześnie nauczmy się znajdować na rysunkach „odpowiadający” kąt środkowy i łuk, na którym „opiera się kąt wpisany”.

Spójrz: tutaj jest okrąg i kąt wpisany:

Gdzie jest jego „odpowiadający” kąt środkowy?

Spójrzmy jeszcze raz:

Jaka jest zasada?

Ale! W tym przypadku ważne jest, aby kąt wpisany i środkowy „patrzyły” na łuk z jednej strony. Tutaj na przykład:

Co dziwne, niebieski! Ponieważ łuk jest długi, dłuższy niż połowa koła! Więc nigdy nie daj się zwieść!

Jakie konsekwencje można wywnioskować z „połowy” kąta wpisanego?

Ale na przykład:

Kąt wyznaczony przez średnicę

Już zauważyłeś, że matematycy uwielbiają rozmawiać o tych samych rzeczach. innymi słowami? Dlaczego tego potrzebują? Widzisz, język matematyki, choć formalny, jest żywy i dlatego, jak w języku potocznym, za każdym razem chcesz go wypowiedzieć w sposób, który jest wygodniejszy. Cóż, widzieliśmy już, co oznacza „kąt opiera się na łuku”. I wyobraźcie sobie, że ten sam obraz nazywa się „kątem opartym na cięciwie”. Jaki? Tak, oczywiście, temu, który zacieśnia ten łuk!

Kiedy wygodniej jest polegać na akordzie niż na łuku?

Cóż, w szczególności, gdy ten cięciwa jest średnicą.

Istnieje zaskakująco proste, piękne i przydatne stwierdzenie na taką sytuację!

Spójrz: oto okrąg, jego średnica i kąt, który na nim spoczywa.

okrąg i wcięty kąt. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

1. Podstawowe pojęcia.

3. Pomiary łuków i kątów.

Kąt radianów to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Jest to liczba wyrażająca stosunek długości półkola do jego promienia.

Obwód promienia jest równy.

4. Zależność między wartościami kąta wpisanego i środkowego.

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.
Kąt wpisany- kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki go przecinają.

Na rysunku przedstawiono kąt środkowy i wpisany oraz ich najważniejsze właściwości.

Więc, wielkość kąta środkowego jest równa wielkości kątowej łuku, na którym jest on oparty. Oznacza to, że kąt środkowy o wartości 90 stopni będzie spoczywał na łuku równym 90°, czyli okręgu. Kąt środkowy równy 60° opiera się na łuku o mierze 60 stopni, czyli na szóstej części koła.

Wartość kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Ponadto, aby rozwiązać problemy, będziemy potrzebować pojęcia „akord”.

Równe kąty środkowe opierają się na równych cięciwach.

1. Jaki jest kąt wpisany oparty na średnicy koła? Podaj odpowiedź w stopniach.

Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

2. Kąt środkowy jest o 36° większy od kąta ostrego wpisanego opartego na tym samym łuku kołowym. Znajdź kąt wpisany. Podaj odpowiedź w stopniach.

Niech kąt środkowy będzie równy x, a kąt wpisany oparty na tym samym łuku będzie równy y.

Wiemy, że x = 2y.
Stąd 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Promień okręgu jest równy 1. Znajdź wartość kąta wpisanego rozwartego opartego na cięciwie, równą . Podaj odpowiedź w stopniach.

Niech akord AB będzie równy . Kąt wpisany rozwarty oparty na tej cięciwie będzie oznaczony przez α.
W trójkącie AOB boki AO i OB są równe 1, a bok AB równy . Spotkaliśmy już takie trójkąty. Oczywiście trójkąt AOB jest prostokątny i równoramienny, czyli kąt AOB wynosi 90°.
Wtedy łuk ACB jest równy 90°, a łuk AKB jest równy 360° - 90° = 270°.
Kąt wpisany α opiera się na łuku AKB i jest równy połowie wartości kątowej tego łuku, czyli 135°.

Odpowiedź: 135.

4. Cięciwa AB dzieli okrąg na dwie części, których wartości stopni są w stosunku 5:7. Pod jakim kątem widoczna jest ta cięciwa z punktu C należącego do mniejszego łuku okręgu? Podaj odpowiedź w stopniach.

Najważniejsze w tym zadaniu jest prawidłowe narysowanie i zrozumienie warunków. Jak rozumiesz pytanie: „Pod jakim kątem cięciwa jest widoczna z punktu C?”
Wyobraź sobie, że siedzisz w punkcie C i musisz widzieć wszystko, co dzieje się na cięciwie AB. To tak, jakby akord AB był ekranem w kinie :-)
Oczywiście musisz znaleźć kąt ACB.
Suma dwóch łuków, na które cięciwa AB dzieli okrąg, wynosi 360°, czyli
5x + 7x = 360°
Stąd x = 30°, a następnie kąt wpisany ACB opiera się na łuku równym 210°.
Wielkość kąta wpisanego jest równa połowie wielkości kątowej łuku, na którym jest on oparty, co oznacza, że ​​kąt ACB jest równy 105°.

Kąt wpisany, teoria problemu. Przyjaciele! W tym artykule porozmawiamy o zadaniach, dla których musisz znać właściwości kąta wpisanego. To cała grupa zadań, które są uwzględnione w ujednoliconym egzaminie państwowym. Większość z nich można rozwiązać bardzo prosto, w jednej akcji.

Są trudniejsze problemy, ale nie sprawią ci one większej trudności; musisz znać właściwości kąta wpisanego. Stopniowo będziemy analizować wszystkie prototypy zadań, zapraszam na bloga!

Teraz niezbędna teoria. Przypomnijmy sobie, czym jest kąt środkowy i wpisany, cięciwa, łuk, na którym opierają się te kąty:

Kąt środkowy w okręgu jest kątem płaskimwierzchołek w jego środku.

Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiegozwany łukiem koła.

Nazywa się miarą stopnia łuku koła miara stopnia odpowiedni kąt środkowy.

Mówi się, że kąt jest wpisany w okrąg, jeśli wierzchołek kąta leżyna okręgu, a boki kąta przecinają ten okrąg.

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa sięakord. Największy akord przechodzi przez środek okręgu i nazywa sięśrednica.

Aby rozwiązać zadania dotyczące kątów wpisanych w okrąg,musisz znać następujące właściwości:

1. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

2. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

3. Wszystkie kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie i których wierzchołki leżą po tej samej stronie tej cięciwy, są równe.

4. Dowolna para kątów opartych na tej samej cięciwie, której wierzchołki leżą po przeciwnych stronach cięciwy, sumuje się do 180°.

Wniosek: przeciwne kąty czworokąta wpisanego w okrąg sumują się do 180 stopni.

5. Wszystkie kąty wpisane oparte na średnicy są kątami prostymi.

Ogólnie rzecz biorąc, właściwość ta jest konsekwencją właściwości (1); jest to jej szczególny przypadek. Spójrz - kąt środkowy wynosi 180 stopni (a ten kąt rozłożony to nic innego jak średnica), co oznacza, zgodnie z pierwszą właściwością, że kąt wpisany C jest równy połowie jego, czyli 90 stopni.

Znajomość tej właściwości pomaga w rozwiązaniu wielu problemów i często pozwala uniknąć niepotrzebnych obliczeń. Dobrze go opanowawszy, będziesz w stanie rozwiązać ustnie ponad połowę tego typu problemów. Można wyciągnąć dwa wnioski:

Wniosek 1: Jeżeli trójkąt jest wpisany w okrąg i jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą tego okręgu, to trójkąt jest prostokątny (wierzchołek prosty kąt leży na okręgu).

Wniosek 2: centrum opisywanego tematu prawy trójkąt okrąg pokrywa się ze środkiem jego przeciwprostokątnej.

Wiele prototypów problemów stereometrycznych rozwiązuje się również przy użyciu tej właściwości i tych konsekwencji. Zapamiętaj sam fakt: jeśli średnica koła jest bokiem trójkąta wpisanego, to trójkąt ten jest prostokątny (kąt leżący naprzeciw średnicy wynosi 90 stopni). Wszystkie inne wnioski i konsekwencje możesz wyciągnąć sam, nie musisz ich uczyć.

Z reguły połowa problemów dotyczących kąta wpisanego jest podawana ze szkicem, ale bez symboli. Aby zrozumieć proces rozumowania przy rozwiązywaniu problemów (poniżej w artykule), wprowadzono oznaczenia wierzchołków (kątów). Nie musisz tego robić na egzaminie Unified State Examination.Rozważmy zadania:

Jaka jest wartość kąta wpisanego ostrego opartego na cięciwie równej promieniowi okręgu? Podaj odpowiedź w stopniach.

Konstruujemy kąt środkowy dla danego kąta wpisanego i wyznaczamy jego wierzchołki:

Z własności kąta wpisanego w okrąg:

Kąt AOB jest równy 60 0, ponieważ trójkąt AOB jest równoboczny i in trójkąt równoboczny wszystkie kąty są równe 60 0. Boki trójkąta są równe, ponieważ warunek mówi, że cięciwa jest równa promieniowi.

Zatem kąt wpisany ACB jest równy 30 0.

Odpowiedź: 30

Znajdź cięciwę podpartą kątem 30 0 wpisanym w okrąg o promieniu 3.

Jest to zasadniczo problem odwrotny (poprzedniego). Skonstruujmy kąt środkowy.

Jest dwa razy większy od wpisanego, czyli kąt AOB jest równy 60 0. Z tego możemy wywnioskować, że trójkąt AOB jest równoboczny. Zatem akord jest równy promieniowi, czyli trzem.

Odpowiedź: 3

Promień okręgu wynosi 1. Znajdź wielkość rozwartego kąta wpisanego opartego na cięciwie równej pierwiastkowi z dwóch. Podaj odpowiedź w stopniach.

Skonstruujmy kąt środkowy:

Znając promień i cięciwę, możemy znaleźć kąt środkowy ASV. Można to zrobić za pomocą twierdzenia cosinus. Znając kąt środkowy, łatwo znaleźć kąt wpisany ACB.

Twierdzenie cosinus: wyrównać dowolny bok trójkąta równa sumie kwadraty pozostałych dwóch boków, bez podwajania iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Dlatego drugi kąt środkowy wynosi 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kąt ACB, zgodnie z właściwością kąta wpisanego, jest równy jego połowie, czyli 135 stopni.

Odpowiedź: 135

Znajdź cięciwę wyznaczoną przez kąt 120 stopni wpisany w okrąg o pierwiastku z promienia z trzech.

Połącz punkty A i B ze środkiem okręgu. Oznaczmy to jako O:

Znamy promień i kąt wpisany ASV. Możemy znaleźć kąt środkowy AOB (większy niż 180 stopni), a następnie znaleźć kąt AOB w trójkącie AOB. A następnie, korzystając z twierdzenia cosinus, oblicz AB.

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego, kąt środkowy AOB (który jest większy niż 180 stopni) będzie równy dwukrotności kąta wpisanego, czyli 240 stopni. Oznacza to, że kąt AOB w trójkącie AOB jest równy 360 0 – 240 0 = 120 0.

Zgodnie z twierdzeniem cosinus:

Odpowiedź:3

Znajdź kąt wpisany oparty na łuku stanowiącym 20% okręgu. Podaj odpowiedź w stopniach.

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego jest on o połowę mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku w tym przypadku Mówimy o łuku AB.

Mówi się, że łuk AB stanowi 20 procent obwodu. Oznacza to, że kąt środkowy AOB wynosi również 20 procent z 360 0.*Okrąg to kąt mający 360 stopni. Oznacza,

Zatem kąt wpisany ACB wynosi 36 stopni.

Odpowiedź: 36

Łuk koła AC, nie zawierający punktu B, wynosi 200 stopni. Oraz łuk okręgu BC, niezawierający punktu A, wynosi 80 stopni. Znajdź kąt wpisany ACB. Podaj odpowiedź w stopniach.

Dla jasności oznaczmy łuki, których miary kątowe są podane. Łuk odpowiadający 200 stopniom – niebieski, łuk odpowiadający 80 stopniom jest czerwony, pozostała część koła jest czerwona żółty.

Zatem miara stopnia łuku AB (żółty), a zatem kąt środkowy AOB wynosi: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Kąt wpisany ACB jest o połowę mniejszy od kąta środkowego AOB, czyli równy 40 stopni.

Odpowiedź: 40

Jaki jest kąt wpisany oparty na średnicy okręgu? Podaj odpowiedź w stopniach.

Dziś przyjrzymy się innemu rodzajowi problemów 6 - tym razem z okręgiem. Wielu uczniów ich nie lubi i uważa je za trudne. I zupełnie na próżno, ponieważ takie problemy zostały rozwiązane podstawowy, jeśli znasz pewne twierdzenia. Albo w ogóle nie mają odwagi, jeśli ich nie znasz.

Zanim opowiem o głównych właściwościach, przypomnę definicję:

Kąt wpisany to taki, którego wierzchołek leży na samym okręgu i którego boki przecinają cięciwę na tym okręgu.

Kąt środkowy to dowolny kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Jego boki również przecinają ten okrąg i rzeźbią na nim cięciwę.

Zatem pojęcia kąta wpisanego i środkowego są nierozerwalnie związane z okręgiem i znajdującymi się w nim akordami. A teraz główne stwierdzenie:

Twierdzenie. Kąt środkowy jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Pomimo prostoty stwierdzenia istnieje cała klasa problemów 6, które można za jego pomocą rozwiązać – i nic więcej.

Zadanie. Znajdź ostry kąt wpisany oparty na cięciwie równej promieniowi okręgu.

Niech AB będzie cięciwą, o której mowa, O środkiem okręgu. Dodatkowa konstrukcja: OA i OB to promienie okręgu. Otrzymujemy:

Rozważmy trójkąt ABO. W nim AB = OA = OB - wszystkie boki są równe promieniowi okręgu. Zatem trójkąt ABO jest równoboczny i wszystkie zawarte w nim kąty mają po 60°.

Niech M będzie wierzchołkiem kąta wpisanego. Ponieważ kąty O i M opierają się na tym samym łuku AB, kąt wpisany M jest 2 razy mniejszy od kąta środkowego O. Mamy:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Zadanie. Kąt środkowy jest o 36° większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku koła. Znajdź kąt wpisany.

Wprowadźmy następującą notację:

1. AB jest cięciwą okręgu;
2. Punkt O jest środkiem okręgu, więc kąt AOB jest kątem środkowym;
3. Punkt C jest wierzchołkiem kąta wpisanego ACB.

Ponieważ szukamy kąta wpisanego ACB, oznaczmy go ACB = x. Wtedy kąt środkowy AOB wynosi x + 36. Z drugiej strony kąt środkowy jest 2 razy większy od kąta wpisanego. Mamy:

AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Zatem znaleźliśmy kąt wpisany AOB - wynosi on 36°.

Okrąg jest kątem 360°

Po przeczytaniu podtytułu doświadczony czytelnik prawdopodobnie powie teraz: „Ugh!” Rzeczywiście porównanie koła z kątem nie jest całkowicie poprawne. Aby zrozumieć o czym mówimy, spójrz na klasyczny okrąg trygonometryczny:

Do czego służy to zdjęcie? A poza tym pełny obrót to kąt 360 stopni. A jeśli podzielisz go, powiedzmy, na 20 równych części, wówczas rozmiar każdej z nich będzie wynosić 360: 20 = 18 stopni. To jest dokładnie to, czego potrzeba do rozwiązania problemu B8.

Punkty A, B i C leżą na okręgu i dzielą go na trzy łuki, których miary stopni są w stosunku 1: 3: 5. Znajdź większy kąt trójkąta ABC.

Najpierw znajdźmy miarę stopnia każdego łuku. Niech mniejszy będzie x. Na rysunku łuk ten oznaczony jest jako AB. Następnie pozostałe łuki - BC i AC - można wyrazić w postaci AB: łuk BC = 3x; AC = 5x. W sumie łuki te dają 360 stopni:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Rozważmy teraz duży łuk AC, który nie zawiera punktu B. Łuk ten, podobnie jak odpowiadający mu kąt środkowy AOC, wynosi 5x = 5 · 40 = 200 stopni.

Kąt ABC jest największym ze wszystkich kątów w trójkącie. Jest to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy AOC. Oznacza to, że kąt ABC jest 2 razy mniejszy od AOC. Mamy:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Będzie to miara stopnia większego kąta w trójkącie ABC.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Wiele osób zapomina o tym twierdzeniu. Ale na próżno, ponieważ bez tego niektórych problemów B8 w ogóle nie da się rozwiązać. Dokładniej, są one rozwiązywane, ale przy takiej liczbie obliczeń, że wolisz zasnąć, niż dotrzeć do odpowiedzi.

Twierdzenie. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej.

Co wynika z tego twierdzenia?

1. Środek przeciwprostokątnej jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków trójkąta. Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia;
2. Mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej dzieli pierwotny trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. To jest dokładnie to, czego potrzeba do rozwiązania problemu B8.

W trójkącie ABC rysujemy środkową CD. Kąt C ma 90°, a kąt B 60°. Znajdź kąt ACD.

Ponieważ kąt C wynosi 90°, trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Okazuje się, że CD to mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że trójkąty ADC i BDC są równoramienne.

W szczególności rozważ trójkąt ADC. W nim AD = CD. Ale w trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe - patrz „Zadanie B8: Odcinki linii i kąty w trójkątach”. Dlatego pożądany kąt ACD = A.

Pozostaje więc dowiedzieć się, jaki jest kąt A. Aby to zrobić, wróćmy ponownie do pierwotnego trójkąta ABC. Oznaczmy kąt A = x. Ponieważ suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180°, mamy:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Oczywiście ostatni problem można rozwiązać inaczej. Na przykład łatwo udowodnić, że trójkąt BCD jest nie tylko równoramienny, ale równoboczny. Zatem kąt BCD wynosi 60 stopni. Zatem kąt ACD wynosi 90 − 60 = 30 stopni. Jak widać, można użyć różnych trójkątów równoramiennych, ale odpowiedź zawsze będzie taka sama.