Okrąg jest zamkniętą krzywą, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej odległości od środka. Ta liczba jest płaska. Dlatego rozwiązanie problemu, który polega na tym, jak znaleźć obwód, jest dość proste. W dzisiejszym artykule przyjrzymy się wszystkim dostępnym metodom.
Opisy rysunków
Oprócz dość prostej definicji opisowej, istnieją jeszcze trzy matematyczne cechy koła, które same w sobie zawierają odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód:
- Składa się z punktów A i B oraz wszystkich innych, z których widać AB pod kątem prostym. Średnica tej figury jest równa długości rozważanego odcinka.
- Obejmuje tylko te punkty X takie, że stosunek AX/BX jest stały i nie równy jedności. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to nie jest to okrąg.
- Składa się z punktów, dla każdego z nich zachodzi równość: suma kwadratów odległości do pozostałych dwóch jest daną wartością, która jest zawsze większa niż połowa długości odcinka między nimi.
Terminologia
Nie każdy w szkole miał dobrego nauczyciela matematyki. Dlatego odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód koła, dodatkowo komplikuje fakt, że nie wszyscy znają podstawowe pojęcia geometryczne. Promień to odcinek łączący środek figury z punktem na krzywej. Szczególnym przypadkiem trygonometrii jest okrąg jednostkowy. Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty na krzywej. Na przykład omawiany już AB podlega tej definicji. Średnica to cięciwa przechodząca przez środek. Liczba π jest równa długości półkola jednostkowego.
Podstawowe formuły
Z definicji wynika to bezpośrednio wzory geometryczne, które pozwalają obliczyć główne cechy koła:
- Długość jest równa iloczynowi liczby π i średnicy. Wzór zwykle zapisuje się w następujący sposób: C = π*D.
- Promień jest równy połowie średnicy. Można go również obliczyć, obliczając iloraz podzielenia obwodu przez dwukrotność liczby π. Wzór wygląda następująco: R = C/(2* π) = D/2.
- Średnica jest równa ilorazowi obwodu podzielonemu przez π lub dwukrotność promienia. Wzór jest dość prosty i wygląda następująco: D = C/π = 2*R.
- Pole koła jest równe iloczynowi π i kwadratu promienia. Podobnie w tym wzorze można zastosować średnicę. W tym przypadku powierzchnia będzie równa ilorazowi iloczynu π i kwadratu średnicy podzielonego przez cztery. Wzór można zapisać następująco: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Jak znaleźć obwód koła według średnicy
Aby uprościć wyjaśnienie, oznaczmy literami cechy figury niezbędne do obliczeń. Niech C będzie pożądaną długością, D jego średnicą, a π w przybliżeniu równym 3,14. Jeżeli mamy tylko jedną znaną wielkość, to problem można uznać za rozwiązany. Dlaczego jest to konieczne w życiu? Załóżmy, że zdecydujemy się otoczyć okrągły basen płotem. Jak obliczyć wymagana ilość kolumny? I tu z pomocą przychodzi umiejętność obliczenia obwodu. Wzór jest następujący: C = π D. W naszym przykładzie średnicę wyznaczamy na podstawie promienia basenu i wymaganej odległości od płotu. Załóżmy na przykład, że nasz przydomowy sztuczny staw ma szerokość 20 metrów i słupki będziemy stawiać w odległości dziesięciu metrów od niego. Średnica powstałego okręgu wynosi 20 + 10*2 = 40 m. Długość wynosi 3,14*40 = 125,6 metra. Będziemy potrzebować 25 słupków, jeśli odstęp między nimi będzie wynosił około 5 m.
Długość przez promień
Tradycyjnie zacznijmy od przypisania liter do charakterystyki okręgu. W rzeczywistości są one uniwersalne, więc matematycy z różne kraje Znajomość języka drugiej osoby wcale nie jest konieczna. Załóżmy, że C jest obwodem koła, r jest jego promieniem, a π jest w przybliżeniu równe 3,14. Wzór w tym przypadku wygląda następująco: C = 2*π*r. Oczywiście jest to całkowicie poprawne równanie. Jak już ustaliliśmy, średnica koła jest równa dwukrotności jego promienia, więc ten wzór wygląda następująco. W życiu ta metoda również często może się przydać. Na przykład pieczemy ciasto w specjalnej formie przesuwnej. Aby zapobiec zabrudzeniu, potrzebujemy ozdobnego opakowania. Ale jak wyciąć okrąg o wymaganym rozmiarze. I tu z pomocą przychodzi matematyka. Ci, którzy wiedzą, jak znaleźć obwód koła, natychmiast powiedzą, że należy pomnożyć liczbę π przez dwukrotność promienia kształtu. Jeśli jego promień wynosi 25 cm, długość wyniesie 157 centymetrów.
Przykłady problemów
Przyjrzeliśmy się już kilku praktycznym przypadkom zdobytej wiedzy na temat obliczania obwodu koła. Ale często nie martwimy się o nie, ale o realne problemy matematyczne które znajdują się w podręczniku. W końcu nauczyciel daje im punkty! Przyjrzyjmy się zatem bardziej złożonemu problemowi. Załóżmy, że obwód koła wynosi 26 cm. Jak znaleźć promień takiej figury?
Przykładowe rozwiązanie
Najpierw napiszmy, co nam podano: C = 26 cm, π = 3,14. Pamiętaj także o wzorze: C = 2* π*R. Z niego możesz wyodrębnić promień okręgu. Zatem R= C/2/π. Przejdźmy teraz do właściwych obliczeń. Najpierw podziel długość przez dwa. Otrzymujemy 13. Teraz musimy podzielić przez wartość liczby π: 13/3,14 = 4,14 cm. Ważne jest, aby nie zapomnieć o poprawnym zapisaniu odpowiedzi, to znaczy z jednostkami miary, w przeciwnym razie całe praktyczne znaczenie takie problemy przepadają. Dodatkowo za taką nieuwagę można otrzymać ocenę o jeden punkt niższą. I bez względu na to, jak denerwujące może to być, będziesz musiał znieść ten stan rzeczy.
Bestia nie jest taka straszna, jak ją malują
Zatem na pierwszy rzut oka poradziliśmy sobie z tak trudnym zadaniem. Jak się okazuje, wystarczy zrozumieć znaczenie terminów i zapamiętać kilka prostych formuł. Matematyka nie jest taka straszna, wystarczy włożyć w nią trochę wysiłku. Zatem geometria czeka na Ciebie!
Często brzmi to jak część płaszczyzny ograniczonej okręgiem. Obwód koła jest płaską, zamkniętą krzywą. Wszystkie punkty leżące na krzywej znajdują się w tej samej odległości od środka okręgu. W okręgu jego długość i obwód są takie same. Stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy jest stały i oznaczany liczbą π = 3,1415.
Wyznaczanie obwodu koła
Obwód koła o promieniu r jest równy dwukrotności iloczynu promienia r i liczby π(~3,1415)
Wzór na obwód koła
Obwód koła o promieniu \(r\) :
\[ \DUŻY(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]
\[ \DUŻY(P) = \pi \cdot d \]
\(P\) – obwód (obwód).
\(r\) – promień.
\(d\) – średnica.
Okrąg nazwiemy figurą geometryczną składającą się ze wszystkich takich punktów, które znajdują się w tej samej odległości od dowolnego punktu.
Środek okręgu nazwiemy punkt określony w Definicji 1.
Promień okręgu będziemy nazywać odległość od środka tego okręgu do któregokolwiek z jego punktów.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(xOy\) możemy również wprowadzić równanie dowolnego okręgu. Oznaczmy środek okręgu punktem \(X\) , który będzie miał współrzędne \((x_0,y_0)\) . Niech promień tego okręgu będzie równy \(τ\) . Weźmy dowolny punkt \(Y\), którego współrzędne oznaczamy przez \((x,y)\) (ryc. 2).
Korzystając ze wzoru na odległość pomiędzy dwoma punktami w danym układzie współrzędnych otrzymujemy:
\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)
Z drugiej strony \(|XY| \) to odległość od dowolnego punktu na okręgu do wybranego przez nas środka. Oznacza to, że z definicji 3 otrzymujemy, że \(|XY|=τ\)
\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)
Otrzymujemy zatem, że równanie (1) jest równaniem okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Obwód (obwód koła)
Długość dowolnego okręgu \(C\) wyprowadzimy, korzystając z jego promienia równego \(τ\) .
Rozważymy dwa dowolne kręgi. Oznaczmy ich długości przez \(C\) i \(C"\) , których promienie są równe \(τ\) i \(τ"\) . W te okręgi wpiszemy regularne \(n\)-kąty, których obwody są równe \(ρ\) i \(ρ"\), długości boków są równe \(α\) i \ (α"\), odpowiednio. Jak wiemy, bok zwykłego kwadratu \(n\) wpisanego w okrąg jest równy
\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)
Wtedy to otrzymamy
\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)
\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)
\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)
Rozumiemy, że jest to związek \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) będzie prawdziwe niezależnie od liczby boków wpisanych wielokątów foremnych. To jest
\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)
Z drugiej strony, jeśli nieskończenie zwiększymy liczbę boków wpisanych wielokątów foremnych (czyli \(n → ∞\)), otrzymamy równość:
\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)
Z dwóch ostatnich równości otrzymujemy to
\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)
\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)
Widzimy, że stosunek obwodu koła do jego podwójnego promienia jest zawsze tą samą liczbą, niezależnie od wyboru okręgu i jego parametrów, czyli
\(\frac(C)(2τ)=stała \)
Stałą tę należy nazwać liczbą „pi” i oznaczyć \(π\) . W przybliżeniu liczba ta będzie równa \(3,14\) ( dokładna wartość liczba ta nie istnieje, gdyż jest liczbą niewymierną). Zatem
\(\frac(C)(2τ)=π \)
Wreszcie stwierdzamy, że obwód (obwód koła) jest określony przez wzór
\(C=2πτ\)
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
Sama linijka nie wystarczy; trzeba znać specjalne formuły. Jedyne, co musimy zrobić, to określić średnicę lub promień okręgu. W niektórych zadaniach ilości te są wskazane. A co jeśli nie mamy nic poza rysunkiem? Bez problemu. Średnicę i promień można obliczyć za pomocą zwykłej linijki. Przejdźmy teraz do podstaw.
Formuły, które każdy powinien znać
Prawie 4000 lat temu naukowcy odkryli niesamowitą zależność: jeśli obwód koła zostanie podzielony przez jego średnicę, otrzymamy tę samą liczbę, która wynosi około 3,14. Znaczenie to zostało nazwane tą literą w starożytnym języku greckim, zaczęły się słowa „obwód” i „obwód”. Na podstawie odkrycia dokonanego przez starożytnych naukowców możesz obliczyć długość dowolnego koła:
Gdzie P oznacza długość (obwód) okręgu,
D - średnica, P - liczba „Pi”.
Obwód koła można również obliczyć na podstawie jego promienia (r), który jest równy połowie długości średnicy. Oto druga formuła, o której musisz pamiętać:
Jak sprawdzić średnicę koła?
Jest to akord przechodzący przez środek figury. Jednocześnie łączy dwa najbardziej odległe punkty na okręgu. Na tej podstawie możesz samodzielnie narysować średnicę (promień) i zmierzyć jej długość za pomocą linijki.
Metoda 1: wprowadź prawy trójkąt w kręgu
Obliczenie obwodu koła będzie łatwe, jeśli obliczymy jego średnicę. Konieczne jest narysowanie koła, w którym przeciwprostokątna będzie równa średnicy koła. Aby to zrobić, musisz mieć pod ręką linijkę i kwadrat, w przeciwnym razie nic nie zadziała.
Metoda 2: dopasuj dowolny trójkąt
Na boku okręgu zaznaczamy dowolne trzy punkty, łączymy je - otrzymujemy trójkąt. Ważne jest, aby środek koła znajdował się w obszarze trójkąta; można to zrobić wzrokowo. Rysujemy środkowe po obu stronach trójkąta, punkt ich przecięcia pokrywa się ze środkiem okręgu. A znając środek, możemy łatwo narysować średnicę za pomocą linijki.
Ta metoda jest bardzo podobna do pierwszej, ale można ją zastosować w przypadku braku kwadratu lub w przypadkach, gdy nie można narysować figury, na przykład na talerzu. Musisz wziąć kartkę papieru pod kątem prostym. Nakładamy arkusz na okrąg tak, aby jeden wierzchołek jego narożnika dotykał krawędzi koła. Następnie zaznaczamy kropkami miejsca przecięcia boków papieru z linią okręgu. Połącz te punkty za pomocą ołówka i linijki. Jeśli nie masz nic pod ręką, po prostu złóż papier. Ta linia będzie równa długości średnicy.
Przykładowe zadanie
- Średnicę szukamy za pomocą kwadratu, linijki i ołówka według metody nr 1. Załóżmy, że wynosi ona 5 cm.
- Znając średnicę, możemy ją łatwo wstawić do naszego wzoru: P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 W naszym przypadku wyszło to około 15,7. Teraz możesz łatwo wyjaśnić, jak obliczyć obwód koła.
Uczniowie klasy szkoły średnie na kursie uczą się koła i koła jako figury geometrycznej oraz wszystkiego, co jest z tą figurą związane. Dzieci zapoznają się z pojęciami takimi jak promień i średnica, obwód lub obwód, pole koła. To właśnie na ten temat dowiadują się o tajemniczej liczbie Pi - jest to liczba Ludolpha, jak ją wcześniej nazywano. Liczba Pi jest niewymierna, ponieważ jest przedstawiona w formie dziesiętny bez końca. W praktyce używana jest jego skrócona wersja trzech liczb: 3.14. Ta stała wyraża stosunek długości dowolnego koła do jego średnicy.
Szóstoklasiści rozwiązują zadania, wyprowadzając z tych samych danych i liczby „Pi” pozostałe cechy okręgu i okręgu. W zeszytach i na tablicy rysują abstrakcyjne kule, aby je skalować i dokonują bezsensownych obliczeń.
Ale w praktyce
W praktyce taki problem może pojawić się w sytuacji, gdy np. zachodzi potrzeba wytyczenia trasy o określonej długości, aby możliwe było przeprowadzenie zawodów ze startem i metą w jednym miejscu. Po obliczeniu promienia możesz wybrać na planie przebieg tej trasy z kompasem w ręku, biorąc pod uwagę opcje, biorąc pod uwagę cechy geograficzne region. Przesuwając nogę kompasu – równoodległy środek przyszłej trasy, już na tym etapie można przewidzieć, gdzie na odcinkach będą podjazdy, a gdzie zjazdy, biorąc pod uwagę naturalne różnice w rzeźbie terenu. Możesz także od razu zdecydować, gdzie najlepiej umieścić stoiska dla kibiców.
Promień od okręgu
Załóżmy więc, że do zawodów autocrossowych potrzebny jest tor okrężny o długości 10 000 m. Oto wzór niezbędny do określenia promienia (R) okręgu, biorąc pod uwagę jego znaną długość (C):
R=C/2п (п – liczba równa 3,14).
Zastępując dostępne wartości, można łatwo uzyskać wynik:
R = 10 000:3,14 = 3184,71 (m) lub 3 km 184 m i 71 cm.
Od promienia do obszaru
Znając promień okręgu, możesz łatwo określić obszar, który zostanie usunięty z krajobrazu. Wzór na pole koła (S): S=пR2
Przy R = 3184,71 m będzie to wynosić: S = 3,14 x 3184,71 x 3184,71 = 31 847 063 (mkw.), czyli prawie 32 kilometry kwadratowe.
Podobne obliczenia mogą przydać się przy szermierce. Na przykład masz wystarczającą ilość materiału na ogrodzenie. Przyjmując tę wartość jako obwód koła, możesz łatwo określić jego średnicę (promień) i powierzchnię, a tym samym wizualnie wyobrazić sobie wielkość przyszłego ogrodzonego obszaru.
Okrąg składa się z wielu punktów znajdujących się w równych odległościach od środka. Jest płasko figura geometryczna, a znalezienie jego długości nie jest trudne. Człowiek na co dzień styka się z kołem i kołem, niezależnie od tego, w jakiej dziedzinie pracuje. Wiele warzyw i owoców, urządzenia i mechanizmy, naczynia i meble mają okrągły kształt. Okrąg to zbiór punktów leżących w granicach okręgu. Dlatego długość figury jest równa obwodowi koła.
Charakterystyka postaci
Oprócz tego, że opis pojęcia koła jest dość prosty, łatwo jest zrozumieć także jego charakterystykę. Za ich pomocą możesz obliczyć jego długość. Wnętrze Okrąg składa się z wielu punktów, spośród których dwa – A i B – widać pod kątem prostym. Segment ten nazywany jest średnicą, składa się z dwóch promieni.
Wewnątrz okręgu znajdują się punkty X takie, który nie zmienia się i nie jest równy jedności, stosunek AX/BX. W okręgu warunek ten musi być spełniony; w przeciwnym razie figura ta nie ma kształtu koła. Zasada dotyczy każdego punktu tworzącego figurę: suma kwadratów odległości tych punktów od pozostałych dwóch zawsze przekracza połowę długości odcinka między nimi.
Podstawowe pojęcia okręgowe
Aby móc obliczyć długość figury, należy znać podstawowe pojęcia z nią związane. Głównymi parametrami figury są średnica, promień i cięciwa. Promień to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na jego krzywej. Wielkość cięciwy jest równa odległości między dwoma punktami na krzywej figury. Średnica - odległość między punktami, przechodząc przez środek figury.
Podstawowe wzory do obliczeń
Parametry są wykorzystywane we wzorach do obliczania wymiarów okręgu:
Średnica we wzorach obliczeniowych
W ekonomii i matematyce często zachodzi potrzeba znalezienia obwodu koła. Ale także w życie codzienne Możesz spotkać się z taką potrzebą na przykład podczas budowy ogrodzenia wokół okrągłego basenu. Jak obliczyć obwód koła według średnicy? W tym przypadku należy zastosować wzór C = π*D, gdzie C jest pożądaną wartością, D jest średnicą.
Na przykład szerokość basenu wynosi 30 metrów, a słupki ogrodzeniowe planuje się umieścić w odległości dziesięciu metrów od niego. W tym przypadku wzór na obliczenie średnicy jest następujący: 30+10*2 = 50 metrów. Wymagana wartość (w tym przykładzie długość ogrodzenia): 3,14*50 = 157 metrów. Jeżeli słupki ogrodzeniowe będą rozmieszczone w odległości trzech metrów od siebie, to w sumie potrzebne będą 52 z nich.
Obliczenia promienia
Jak obliczyć obwód koła ze znanego promienia? Aby to zrobić, użyj wzoru C = 2*π*r, gdzie C to długość, r to promień. Promień w okręgu to połowa średnicy i ta zasada może przydać się w życiu codziennym. Na przykład w przypadku przygotowania ciasta w formie przesuwnej.
Aby zapobiec zabrudzeniu produktu kulinarnego, konieczne jest zastosowanie opakowania dekoracyjnego. Jak wyciąć papierowe kółko o odpowiednim rozmiarze?
Ci, którzy są trochę zaznajomieni z matematyką, rozumieją, że w tym przypadku należy pomnożyć liczbę π przez dwukrotność promienia użytego kształtu. Na przykład średnica kształtu wynosi odpowiednio 20 centymetrów, a jego promień wynosi 10 centymetrów. Korzystając z tych parametrów, znajduje się wymagany rozmiar koła: 2*10*3, 14 = 62,8 centymetra.
Przydatne metody obliczeniowe
Jeżeli nie da się znaleźć obwodu za pomocą wzoru, należy skorzystać z dostępnych metod obliczenia tej wartości:
- Jeśli okrągły przedmiot jest mały, jego długość można określić za pomocą jednokrotnie owiniętej wokół niego liny.
- Rozmiar dużego przedmiotu mierzy się w następujący sposób: na płaskiej powierzchni układa się linę i raz toczy się po niej okrąg.
- Współcześni uczniowie i uczniowie używają kalkulatorów do obliczeń. W Internecie możesz znaleźć nieznane ilości, korzystając ze znanych parametrów.
Okrągłe przedmioty w historii życia człowieka
Pierwszym okrągłym produktem wynalezionym przez człowieka było koło. Pierwsze konstrukcje były małymi okrągłymi balami osadzonymi na osi. Potem pojawiły się koła wykonane z drewnianych szprych i felg. Stopniowo do produktu dodawano części metalowe, aby zmniejszyć zużycie. Aby poznać długość metalowych pasków tapicerki kół, naukowcy minionych stuleci szukali wzoru na obliczenie tej wartości.
Ma kształt koła koło garncarskie , większość części skomplikowanych mechanizmów, projekty młynów wodnych i kołowrotków. W budownictwie często spotyka się okrągłe przedmioty - ramy okrągłych okien w stylu romańskim styl architektoniczny, iluminatory na statkach. Architekci, inżynierowie, naukowcy, mechanicy i projektanci na co dzień w swojej dziedzinie działalność zawodowa stoją przed koniecznością obliczenia rozmiaru koła.