Jaki jest wspólny mianownik ułamków? Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

26.09.2019

Początkowo chciałem uwzględnić metody rzutowania wspólny mianownik w sekcji „Dodawanie i odejmowanie ułamków”. Okazało się jednak, że informacji jest tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu nie tylko ułamki liczbowe mają wspólny mianownik), że lepiej przestudiować to zagadnienie osobno.

Powiedzmy, że mamy dwa ułamki z różne mianowniki. I chcemy mieć pewność, że mianowniki staną się takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa własność ułamka, która, przypominam, brzmi tak:

Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera.

Zatem, jeśli prawidłowo wybierzesz czynniki, mianowniki ułamków staną się równe - proces ten nazywa się redukcją do wspólnego mianownika. A wymagane liczby „wyrównujące” mianowniki nazywane są dodatkowymi czynnikami.

Dlaczego musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu wykonania tej operacji;
Porównywanie ułamków. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów z ułamkami zwykłymi i procentami. Procenty są w rzeczywistości wyrażeniami zwykłymi zawierającymi ułamki zwykłe.

Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb, które po pomnożeniu przez nie sprawią, że mianowniki ułamków będą równe. Rozważymy tylko trzy z nich - według rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, efektywności.

Mnożenie krzyżowe

Najprostszy i niezawodny sposób, co gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „na oślep”: mnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób zabezpieczysz się przed wieloma błędami i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „w kółko”, a wynik może być bardzo duże liczby. To cena, jaką trzeba zapłacić za niezawodność.

Metoda wspólnego dzielnika

Technika ta pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest stosowana dość rzadko. Metoda jest następująca:

Zanim pójdziesz na wprost (tj. metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten większy) dzieli się na drugi.
Liczba wynikająca z tego dzielenia będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
W tym przypadku ułamka o dużym mianowniku w ogóle nie trzeba przez nic mnożyć - tu leżą oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Zauważ, że 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest dzielony bez reszty przez drugi, stosujemy metodę wspólnych czynników. Mamy:

Zauważ, że drugi ułamek w ogóle nie został pomnożony przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Nawiasem mówiąc, nie przypadkowo wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj policzyć je metodą krzyżową. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie dużo więcej.

To jest siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można jej użyć tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Sprowadzanie ułamków do najniższego wspólnego mianownika, zasady, przykłady, rozwiązania.

W tym artykule wyjaśniono jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik I jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika.

Najpierw podano definicje wspólnego mianownika ułamków i najmniejszego wspólnego mianownika oraz pokazano, jak znaleźć wspólny mianownik ułamków. Poniżej znajduje się zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważane są przykłady zastosowania tej zasady. Na zakończenie omówiono przykłady sprowadzenia trzech lub więcej ułamków do wspólnego mianownika.

Jak nazywa się sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika?

Jeśli ułamki zwykłe mają równe mianowniki, to mówimy, że te ułamki są sprowadzone do wspólnego mianownika.

W ten sposób ułamki 45/76 i 143/76 sprowadza się do wspólnego mianownika wynoszącego 76, a ułamki 1/3, 3/3, 17/3 i 1000/3 sprowadza się do wspólnego mianownika wynoszącego 3.

Jeśli mianowniki ułamków nie są równe, wówczas takie ułamki zawsze można sprowadzić do wspólnego mianownika, mnożąc ich licznik i mianownik przez pewne dodatkowe czynniki.

Na przykład zwykłe ułamki 2/5 i 7/4 za pomocą dodatkowych współczynników odpowiednio 4 i 5 są redukowane do wspólnego mianownika 20. Rzeczywiście, mnożąc licznik i mianownik ułamka 2/5 przez 4, otrzymujemy ułamek 8/20 i mnożąc licznik i mianownik ułamka 7/4 przez 5, otrzymujemy ułamek 35/20 (patrz: Doprowadzanie ułamków do nowego mianownika).

Teraz możemy powiedzieć, jak to jest sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika- Jest to pomnożenie liczników i mianowników danych ułamków przez takie dodatkowe czynniki, że w rezultacie otrzymamy ułamki o tych samych mianownikach.

Góra strony

Wspólny mianownik, definicja, przykłady

Teraz czas na zdefiniowanie wspólnego mianownika ułamków.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem pewnego zestawu ułamków zwykłych jest dowolny liczba naturalna, który jest podzielny przez wszystkie mianowniki tych ułamków.

Z podanej definicji wynika, że dany zbiór ułamków ma nieskończenie wiele wspólnych mianowników, gdyż istnieje nieskończona liczba wspólnych wielokrotności wszystkich mianowników pierwotnego zbioru ułamków.

Wyznaczanie wspólnego mianownika ułamków pozwala znaleźć wspólne mianowniki danych ułamków. Niech na przykład biorąc pod uwagę ułamki 1/4 i 5/6, ich mianowniki wynoszą odpowiednio 4 i 6.

Dodatnie wspólne wielokrotności 4 i 6 to 12, 24, 36, 48, ... Każda z tych liczb jest wspólnym mianownikiem ułamków 1/4 i 5/6.

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie poniższego przykładu.

Czy ułamki 2/3, 23/6 i 7/12 można sprowadzić do wspólnego mianownika wynoszącego 150?

Aby odpowiedzieć na postawione pytanie, musimy dowiedzieć się, czy liczba 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników 3, 6 i 12. W tym celu sprawdzimy, czy 150 jest podzielne przez każdą z tych liczb (w razie potrzeby zob. zasady i przykłady dzielenia liczb naturalnych oraz zasady i przykłady dzielenia liczb naturalnych z resztą): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (reszta.

Zatem 150 nie dzieli się równomiernie przez 12, dlatego 150 nie jest wspólną wielokrotnością 3, 6 i 12. Dlatego liczba 150 nie może być wspólnym mianownikiem pierwotnych ułamków.

Góra strony

Najniższy wspólny mianownik, jak go znaleźć?

W zbiorze liczb będących wspólnymi mianownikami danych ułamków znajduje się najmniejsza liczba naturalna, którą nazywamy najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Sformułujmy definicję najniższego wspólnego mianownika tych ułamków.

Pozostaje jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć najmniejszy wspólny dzielnik.

Ponieważ najmniejsza wspólna wielokrotność jest najmniejszą wartością dodatnią wspólny dzielnik danego zbioru liczb, wówczas LCM mianowników danych ułamków jest najmniejszym wspólnym mianownikiem danych ułamków.

Zatem znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika ułamków sprowadza się do znalezienia LCM mianowników tych ułamków.

Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.

Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków 3/10 i 277/28.

Mianowniki tych ułamków to 10 i 28. Pożądany najmniejszy wspólny mianownik można znaleźć jako LCM liczb 10 i 28. W naszym przypadku łatwo jest znaleźć LCM rozkładając liczby na czynniki pierwsze: ponieważ 10=2,5 i 28=2,2,7, to LCM(15, 28)=2,2,5,7=140.

Góra strony

Jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika? Reguła, przykłady, rozwiązania

Ułamki zwykłe zwykle dają najniższy wspólny mianownik.

Zapiszemy teraz regułę wyjaśniającą, jak sprowadzać ułamki do najniższego wspólnego mianownika.

Zasada sprowadzania ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika składa się z trzech kroków:

Najpierw znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
Po drugie, dla każdego ułamka obliczany jest dodatkowy współczynnik poprzez podzielenie najniższego wspólnego mianownika przez mianownik każdego ułamka.
Po trzecie, licznik i mianownik każdego ułamka są mnożone przez jego dodatkowy współczynnik.

Zastosujmy podaną regułę do rozwiązania następującego przykładu.

Skróć ułamki 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika.

Wykonajmy wszystkie kroki algorytmu redukcji ułamków do najniższego wspólnego mianownika.

Najpierw znajdujemy najmniejszy wspólny mianownik, który jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 14 i 18. Ponieważ 14=2,7 i 18=2,3,3, to LCM(14, 18)=2,3 ·3·7=126.

Teraz obliczamy dodatkowe współczynniki, za pomocą których ułamki 5/14 i 7/18 zostaną sprowadzone do mianownika 126. Dla ułamka 5/14 dodatkowy współczynnik wynosi 126:14=9, a dla ułamka 7/ 18 dodatkowy współczynnik wynosi 126:18=7 .

Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków 5/14 i 7/18 przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 9 i 7.

Mamy I .

Zatem redukcja ułamków 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika została zakończona.

Otrzymane frakcje wynosiły 45/126 i 49/126.

Góra strony

Sprowadzanie trzech lub więcej ułamków do najniższego wspólnego mianownika

Reguła z poprzedniego akapitu pozwala sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika nie tylko dwa ułamki, ale także trzy ułamki i więcej.

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Skróć cztery wspólne ułamki zwykłe 3/2, 5/6, 3/8 i 17/18 do ich najniższego wspólnego mianownika.

Najmniejszy wspólny mianownik tych ułamków jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 2, 6, 8 i 18. Aby znaleźć LCM(2, 6, 8, 18) korzystamy z informacji z sekcji Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb.

Otrzymujemy LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, ostatecznie LCM(24, 18)=72, zatem LCM(2, 6, 8, 18)=72. Zatem najniższy wspólny mianownik to 72.

Teraz obliczamy dodatkowe współczynniki. Dla ułamka 3/2 dodatkowy współczynnik wynosi 72:2=36, dla ułamka 5/6 jest to 72:6=12, dla ułamka 3/8 dodatkowy współczynnik wynosi 72:8=9, a dla ułamka 17/18 jest 72:18=4.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Pozostał jeszcze jeden krok w redukcji pierwotnych ułamków do najniższego wspólnego mianownika: .

Góra strony

Wspólny mianownik jest dowolną dodatnią wspólną wielokrotnością wszystkich mianowników tych ułamków.

Najniższy wspólny mianownik- Ten najmniejsza liczba, ze wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik dla klasy V. instytucje edukacyjne.
Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.

Wspólny mianownik wspólnych ułamków

Jeśli ułamki zwykłe mają te same mianowniki, to ułamki te mają wspólny mianownik. Na przykład,

mają wspólny mianownik.

Wspólny mianownik Jest to liczba będąca mianownikiem dwóch lub więcej ułamków regularnych.

Ułamki o różnych mianownikach można sprowadzić do wspólnego mianownika.

Dostarczanie ułamków o wspólnym mianowniku

Dostarczanie ułamków o wspólnym mianowniku Czy zastąpienie tych ułamków różnymi mianownikami spowoduje powstanie tych samych ułamków o tych samych mianownikach?

Ułamki można po prostu sprowadzić do wspólnego mianownika lub najniższego wspólnego mianownika.

Najniższy wspólny mianownik Jest to najniższy wspólny mianownik tych ułamków.

Wspólny mianownik frakcji w Internecie

Aby dać ułamkom najniższy wspólny mianownik, potrzebujesz:

Jeśli to możliwe, wykonaj redukcję ułamkową.
Znajdź najmniejsze wspólne katalogi tych ułamków. NOC będzie ich najniższym wspólnym mianownikiem.
Podziel LCM przez mianowniki tych ułamków. Miara ta pozwala znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdej z tych frakcji. Dodatkowy współczynnik Czy jest to liczba, która wymaga pomnożenia członków ułamka, aby doprowadzić ją do wspólnego mianownika?
Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik.

Przykład.

1) Znajdź nazwy NOC tych frakcji:

NOC(8, 12) = 24

2) Znaleziono dodatkowe czynniki:

24: 8 = 3 (dla ) i 24: 12 = 2 (dla )

3) Pomnóż członków każdej frakcji przez dodatkowy współczynnik:

Zmniejszanie wspólnego mianownika można zapisać w krótszej formie, podając dodatkowy współczynnik oprócz licznika każdego ułamka (w prawym górnym lub lewym górnym rogu) i nie zapisując obliczeń pośrednich:

Wspólny mianownik można łatwiej zmniejszyć, mnożąc elementy pierwszego ułamka przez drugi immanentny udział, a elementy drugiego ułamka przez mianownik pierwszego.

Przykład. Znajdź wspólny mianownik ułamków i:

Iloczyn ich mianowników można przyjąć jako wspólny mianownik ułamków.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika służy do dodawania, odejmowania i porównywania ułamków o różnych mianownikach.

Kalkulator redukcji do wspólnego mianownika

Ten kalkulator pomoże Ci sprowadzić ułamki zwykłe do najniższego wspólnego mianownika.

Wystarczy wpisać dwa ułamki i kliknąć.

5.4.5. Przykłady zamiany ułamków zwykłych na najmniejszy wspólny mianownik

Najniższy wspólny mianownik ułamków ciągłych jest najniższym wspólnym mianownikiem tych ułamków. ( patrz rozdział „Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności”: 5.3.5. Znajdź najmniejszą liczbę wielokrotności (NOC) podanych liczb).

Aby skrócić ułamek przez najniższy wspólny mianownik, należy: 1) znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków i będzie to najmniejszy wspólny mianownik.

2) znajduje dodatkowy współczynnik dla każdego z ułamków, dla którego rozdzielany jest nowy mianownik z nazwą każdego ułamka. 3) pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik.

Przykłady. Aby sprowadzić poniższe ułamki do najniższego wspólnego mianownika.

Znajdujemy najmniejszy wspólny wielocyfrowy mianownik: LCM (5; 4) = 20, ponieważ 20 to najmniejsza liczba podzielona przez 5 i 4.

Dla pierwszej części dodatkowy współczynnik 4 (20 : 5 = 4). Dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 5 (20 : 4 = 5). Pomnóż liczbę i mianownik pierwszego ułamka przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 5.

20 ).

Najniższym wspólnym mianownikiem tych ułamków jest liczba 8, ponieważ jest ona podzielna przez 4 i wewnętrznie.

Dla pierwszego ułamka nie ma dodatkowego współczynnika (lub możemy powiedzieć, że jest równy jeden), drugi czynnik to dodatkowy współczynnik 2 (8 : 4 = 2). Pomnóż licznik i mianownik drugiego ułamka przez 2.

Kalkulator internetowy. Dostarczanie ułamków o wspólnym mianowniku

Sprowadziliśmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika ( 8 miejsce).

Te frakcje są nie do tolerowania.

Pierwsza frakcja została zmniejszona o 4, a druga frakcja została zmniejszona o 2. (Zobacz Przykłady redukcji powszechnych frakcji: Mapa strony → 5.4.2.

Przykłady redukcji ułamków zwykłych). Znajduje NOC (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. Dodatkowym czynnikiem dla pierwszego ułamka jest 5 (80 : 16 = 5). Dodatkowym czynnikiem dla drugiego ułamka jest 4 (80 : 20 = 4).

Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 5, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 4. Informacje ułamkowe przekazano do najniższego wspólnego mianownika ( 80 ).

Znajdź najniższy wspólny mianownik NOx (5 ; 6 i 15) = NOK (5 ; 6 i 15) = 30. Dodatkowym czynnikiem dla pierwszego ułamka jest 6 (30 : 5 = 6), jest dodatkowym czynnikiem w drugiej części liczby 5 (30 : 6 = 5), jest dodatkowym czynnikiem dla trzeciego ułamka 2 (30 : 15 = 2).

Liczbę i mianownik pierwszego ułamka mnoży się przez 6, liczbę i mianownik drugiego ułamka przez 5, a liczbę i mianownik trzeciego ułamka przez 2. Dane częściowe otrzymały najmniejszy wspólny mianownik 30 ).

Strona 1 z 11

Najniższy wspólny mianownik.

Jaki jest najmniejszy wspólny mianownik?

Definicja:
Najniższy wspólny mianownik jest najmniejszą liczbą dodatnią będącą wielokrotnością mianowników tych ułamków.

Jak sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika? Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozważmy przykład:

Skróć ułamki o różnych mianownikach do najniższego wspólnego mianownika.

Rozwiązanie:
Aby znaleźć najniższy wspólny mianownik, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników tych ułamków.

Pierwszy ułamek ma mianownik 20; rozłóżmy go na czynniki pierwsze.
20=2⋅5⋅2

Rozłóżmy także drugi mianownik ułamka 14 na czynniki pierwsze.
14=7⋅2

NOC(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Odpowiedź: Najniższym wspólnym mianownikiem byłoby 140.

Jak sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika?

Musisz pomnożyć pierwszy ułamek \(\frac(1)(20)\) przez 7, aby otrzymać mianownik 140.

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
I pomnóż drugi ułamek przez 10.

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

Zasady lub algorytm sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.

Algorytm sprowadzania ułamków do najniższego wspólnego mianownika:

Musisz rozłożyć mianowniki ułamków na czynniki pierwsze.
Musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników tych ułamków.
Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika, to znaczy pomnóż licznik i mianownik ułamka przez współczynnik.

Wspólny mianownik dla kilku ułamków.

Jak znaleźć wspólny mianownik dla kilku ułamków?

Spójrzmy na przykład:
Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\)

Rozwiązanie:
Rozłóżmy mianowniki 11, 15 i 22 na czynniki pierwsze.

Liczba 11 sama w sobie jest już prostą liczbą, więc nie ma potrzeby jej opisywać.
Rozwińmy liczbę 15=5⋅3
Rozwińmy liczbę 22=11⋅2

Znajdźmy najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników 11, 15 i 22.
LCM(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Znaleźliśmy najniższy wspólny mianownik dla tych ułamków. Sprowadźmy teraz te ułamki \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) do wspólnego mianownika równego 330.

\(\rozpocznij (wyrównaj)
\frac(2)(11)=\frac(2 \times 30)(11 \times 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \times 22)(15 \times 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \times 15)(22 \times 15)=\frac(60)(330) \\\\
\end(wyrównaj)\)

Pierwotnie chciałem uwzględnić techniki wspólnego mianownika w sekcji Dodawanie i odejmowanie ułamków. Okazało się jednak, że informacji jest tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu nie tylko ułamki liczbowe mają wspólny mianownik), że lepiej przestudiować to zagadnienie osobno.

Załóżmy, że mamy dwa ułamki o różnych mianownikach. I chcemy mieć pewność, że mianowniki staną się takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa własność ułamka, która, przypominam, brzmi tak:

Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera.

Dlaczego musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu wykonania tej operacji;
Porównywanie ułamków. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów z ułamkami zwykłymi i procentami. Procenty to zasadniczo zwykłe wyrażenia zawierające ułamki zwykłe.

Mnożenie krzyżowe

Najprostsza i najbardziej niezawodna metoda, która gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „na oślep”: mnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób zabezpieczysz się przed wieloma błędami i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, ponieważ mianowniki są mnożone „do końca”, a wynikiem mogą być bardzo duże liczby. To cena, jaką trzeba zapłacić za niezawodność.

Metoda wspólnego dzielnika

Technika ta pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest stosowana dość rzadko. Metoda jest następująca:

Zanim pójdziesz na wprost (tj. metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten większy) dzieli się na drugi.
Liczba wynikająca z tego dzielenia będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
W tym przypadku ułamka o dużym mianowniku w ogóle nie trzeba przez nic mnożyć - tu leżą oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Zauważ, że 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest dzielony bez reszty przez drugi, stosujemy metodę wspólnych czynników. Mamy:

Zauważ, że drugi ułamek w ogóle nie został pomnożony przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

To jest siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można jej użyć tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej popularna metoda wielokrotna

Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo staramy się znaleźć liczbę, która jest podzielna przez każdy mianownik. Następnie doprowadzamy mianowniki obu ułamków do tej liczby.

Takich liczb jest wiele i najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa iloczynowi bezpośredniemu mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest duża mniej produktu 8 12 = 96.

Najmniejszą liczbę podzielną przez każdy z mianowników nazywa się ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).

Notacja: Najmniejszą wspólną wielokrotność aib oznaczamy LCM(a; b). Na przykład LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników innych niż 1), a czynnik 117 jest wspólny. Dlatego LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest wspólny. Dlatego LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

Zwróć uwagę, jak przydatne było rozłożenie pierwotnych mianowników na czynniki:

Po odkryciu identycznych czynników od razu dotarliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest problemem nietrywialnym;
Z powstałego rozwinięcia można dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” w każdym ułamku. Na przykład 234 · 3 = 702, dlatego dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 3.

Aby docenić różnicę, jaką powoduje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady, stosując metodę krzyżową. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarz będzie zbędny.

Nie myśl, że w rzeczywistych przykładach nie będzie tak skomplikowanych ułamków. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Jedynym problemem jest to, jak znaleźć ten właśnie NOC. Czasami wszystko można znaleźć w ciągu kilku sekund, dosłownie „na oko”, ale ogólnie jest to złożone zadanie obliczeniowe, które wymaga osobnego rozważenia. Nie będziemy tego tutaj dotykać.

W tym artykule wyjaśniono jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik I jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Najpierw podano definicje wspólnego mianownika ułamków i najmniejszego wspólnego mianownika oraz pokazano, jak znaleźć wspólny mianownik ułamków. Poniżej znajduje się zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważane są przykłady zastosowania tej zasady. Na zakończenie omówiono przykłady sprowadzenia trzech lub więcej ułamków do wspólnego mianownika.

Nawigacja strony.

Jak nazywa się sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika?

Wspólny mianownik, definicja, przykłady

Teraz czas na zdefiniowanie wspólnego mianownika ułamków.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem pewnego zbioru ułamków zwykłych jest dowolna liczba naturalna, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki tych ułamków.

Wyznaczanie wspólnego mianownika ułamków pozwala znaleźć wspólne mianowniki danych ułamków. Niech na przykład biorąc pod uwagę ułamki 1/4 i 5/6, ich mianowniki wynoszą odpowiednio 4 i 6. Dodatnie wspólne wielokrotności liczb 4 i 6 to liczby 12, 24, 36, 48, ... Każda z tych liczb jest wspólnym mianownikiem ułamków 1/4 i 5/6.

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład.

Czy ułamki 2/3, 23/6 i 7/12 można sprowadzić do wspólnego mianownika wynoszącego 150?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na postawione pytanie, musimy dowiedzieć się, czy liczba 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników 3, 6 i 12. Aby to zrobić, sprawdźmy, czy 150 jest podzielne przez każdą z tych liczb (w razie potrzeby zobacz zasady i przykłady dzielenia liczb naturalnych, a także zasady i przykłady dzielenia liczb naturalnych z resztą): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (pozostałe 6).

Więc, Liczba 150 nie dzieli się równomiernie przez 12, zatem 150 nie jest wspólną wielokrotnością liczby 3, 6 i 12. Dlatego liczba 150 nie może być wspólnym mianownikiem pierwotnych ułamków.

Odpowiedź:

Jest to zabronione.

Najniższy wspólny mianownik, jak go znaleźć?

W zbiorze liczb będących wspólnymi mianownikami danych ułamków znajduje się najmniejsza liczba naturalna, co nazywa się najniższym wspólnym mianownikiem. Sformułujmy definicję najniższego wspólnego mianownika tych ułamków.

Definicja.

Najniższy wspólny mianownik jest najmniejszą liczbą wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.

Pozostaje jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć najmniejszy wspólny dzielnik.

Ponieważ jest to najmniej dodatni wspólny dzielnik danego zbioru liczb, LCM mianowników danych ułamków reprezentuje najmniejszy wspólny mianownik danych ułamków.

Zatem znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika ułamków sprowadza się do mianowników tych ułamków. Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków 3/10 i 277/28.

Rozwiązanie.

Mianowniki tych ułamków to 10 i 28. Pożądany najniższy wspólny mianownik można znaleźć jako LCM liczb 10 i 28. W naszym przypadku jest to proste: skoro 10=2,5, a 28=2,2,7, to LCM(15, 28)=2,2,5,7=140.

Odpowiedź:

140 .

Jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika? Reguła, przykłady, rozwiązania

Ułamki zwykłe zwykle dają najniższy wspólny mianownik. Zapiszemy teraz regułę wyjaśniającą, jak sprowadzać ułamki do najniższego wspólnego mianownika.

Zasada sprowadzania ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika składa się z trzech kroków:

Najpierw znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
Po drugie, dla każdego ułamka obliczany jest dodatkowy współczynnik poprzez podzielenie najniższego wspólnego mianownika przez mianownik każdego ułamka.
Po trzecie, licznik i mianownik każdego ułamka są mnożone przez jego dodatkowy współczynnik.

Zastosujmy podaną regułę do rozwiązania następującego przykładu.

Przykład.

Skróć ułamki 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika.

Rozwiązanie.

Wykonajmy wszystkie kroki algorytmu redukcji ułamków do najniższego wspólnego mianownika.

Najpierw znajdujemy najmniejszy wspólny mianownik, który jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 14 i 18. Ponieważ 14=2,7 i 18=2,3,3, to LCM(14, 18)=2,3,3,7=126.

Teraz obliczamy dodatkowe współczynniki, za pomocą których ułamki 5/14 i 7/18 zostaną zredukowane do mianownika 126. Dla ułamka 5/14 dodatkowy współczynnik wynosi 126:14=9, a dla ułamka 7/18 dodatkowy współczynnik wynosi 126:18=7.

Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków 5/14 i 7/18 przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 9 i 7. Mamy i .

Zatem redukcja ułamków 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika została zakończona. Otrzymane frakcje wynosiły 45/126 i 49/126.

Ta metoda ma sens, jeśli stopień wielomianu jest nie mniejszy niż dwa. W tym przypadku wspólnym czynnikiem może być nie tylko dwumian pierwszego stopnia, ale także wyższych stopni.

Aby znaleźć wspólny czynnik względem wielomianu należy dokonać szeregu przekształceń. Najprostszy dwumian lub jednomian, który można wyjąć z nawiasów, będzie jednym z pierwiastków wielomianu. Oczywiście w przypadku, gdy wielomian nie ma wyrazu wolnego, w pierwszym stopniu będzie niewiadoma - wielomian równy 0.

Trudniej znaleźć wspólny czynnik ma miejsce w przypadku, gdy wolny wyraz nie jest równy zero. Stosuje się wówczas metody prostego doboru lub grupowania. Na przykład, niech wszystkie pierwiastki wielomianu będą wymierne, a wszystkie współczynniki wielomianu będą liczbami całkowitymi: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Zapisz wszystkie dzielniki całkowite wyrazu wolnego. Jeśli wielomian ma racjonalne korzenie, to są wśród nich. W wyniku selekcji uzyskuje się pierwiastki 2 i -3. Oznacza to, że wspólnymi czynnikami tego wielomianu będą dwumiany (y - 2) i (y + 3).

Powszechnie stosowana metoda faktoryzacji jest jednym z elementów faktoryzacji. Opisaną powyżej metodę można zastosować, jeśli współczynnik najwyższego stopnia wynosi 1. Jeżeli tak nie jest, należy najpierw wykonać szereg przekształceń. Na przykład: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Dokonaj podstawienia postaci t = 2³·y³. W tym celu należy pomnożyć wszystkie współczynniki wielomianu przez 4: 2³·y³ + 19,2²·y² + 82,2·y + 60. Po podstawieniu: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Teraz do znajdź wspólny czynnik, zastosujemy powyższą metodę.

Oprócz, skuteczna metoda Znalezienie wspólnego czynnika to elementy wielomianu. Jest to szczególnie przydatne, gdy pierwsza metoda tego nie robi, tj. wielomian nie ma racjonalne korzenie. Jednak grupowanie nie zawsze jest oczywiste. Na przykład: Wielomian y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nie ma pierwiastków całkowitych.

Użyj grupowania: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1). Wspólnym czynnikiem elementów tego wielomianu jest (y² - 2).

Mnożenie i dzielenie, podobnie jak dodawanie i odejmowanie, to podstawowe operacje arytmetyczne. Bez nauki rozwiązywania przykładów mnożenia i dzielenia osoba napotka wiele trudności nie tylko podczas studiowania bardziej złożonych działów matematyki, ale nawet w najzwyklejszych codziennych sprawach. Mnożenie i dzielenie są ze sobą ściśle powiązane, a nieznane składniki przykładów i problemów związanych z jedną z tych operacji są obliczane przy użyciu drugiej operacji. Jednocześnie konieczne jest jasne zrozumienie, że przy rozwiązywaniu przykładów nie ma absolutnie żadnego znaczenia, które obiekty dzielisz lub mnożysz.

Będziesz potrzebować

- tabliczka mnożenia;
- kalkulator lub kartka papieru i ołówek.

Instrukcje

Zapisz potrzebny przykład. Oznacz nieznane czynnik jak x. Przykład może wyglądać następująco: a*x=b. Zamiast czynnika a i iloczynu b w tym przykładzie mogą występować dowolne liczby lub . Pamiętaj o podstawowej zasadzie mnożenia: zmiana miejsc czynników nie powoduje zmiany iloczynu. Tak nieznany czynnik x można umieścić absolutnie wszędzie.

Aby znaleźć nieznane czynnik w przykładzie, w którym istnieją tylko dwa czynniki, wystarczy podzielić iloczyn przez znaną czynnik. Oznacza to, że robi się to w następujący sposób: x=b/a. Jeśli operowanie wielkościami abstrakcyjnymi sprawia ci trudność, spróbuj wyobrazić sobie ten problem w postaci konkretnych obiektów. Ty masz tylko jabłka i ile ich zjesz, ale nie wiesz, ile jabłek wszyscy dostaną. Na przykład masz 5 członków rodziny i jest 15 jabłek. Oznacz liczbę jabłek przeznaczonych dla każdego jako x. Wtedy równanie będzie wyglądało następująco: 5(jabłka)*x=15(jabłka). Nieznany czynnik znajduje się w ten sam sposób, jak w równaniu z literami, czyli dzielimy 15 jabłek pomiędzy pięciu członków rodziny, na koniec okazuje się, że każdy z nich zjadł 3 jabłka.

W ten sam sposób odnajduje się nieznane czynnik z liczbą czynników. Na przykład przykład wygląda następująco: a*b*c*x*=d. Teoretycznie znajdź za pomocą czynnik jest to możliwe analogicznie jak w późniejszym przykładzie: x=d/a*b*c. Ale równanie można zredukować do większej liczby prosty widok, oznaczając iloczyn znanych czynników inną literą - na przykład m. Znajdź, ile wynosi m, mnożąc liczby a, b i c: m=a*b*c. Wtedy cały przykład można przedstawić jako m*x=d, a nieznana wielkość będzie równa x=d/m.

Jeśli jest znany czynnik i iloczynem są ułamki, przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w przypadku . Ale w tym przypadku musisz pamiętać o działaniach. Podczas mnożenia ułamków mnożone są ich liczniki i mianowniki. Dzieląc ułamki, licznik dzielnej mnoży się przez mianownik dzielnika, a mianownik dzielnej mnoży się przez licznik dzielnika. Oznacza to, że w tym przypadku przykład będzie wyglądał następująco: a/b*x=c/d. Aby znaleźć nieznaną ilość, należy podzielić produkt przez znaną czynnik. Oznacza to, że x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Wideo na ten temat

Uwaga

Rozwiązując przykłady za pomocą ułamków, ułamek znanego czynnika można po prostu odwrócić i wykonać operację w postaci pomnożenia ułamków.

Wielomian jest sumą jednomianów. Jednomian jest iloczynem kilku czynników, którymi są cyfra lub litera. Stopień niewiadoma jest, ile razy jest ona mnożona przez samą siebie.

Instrukcje

Proszę o jego podanie, jeżeli nie zostało to jeszcze zrobione. Jednomianami podobnymi są monomiany tego samego typu, czyli jednomiany z tymi samymi niewiadomymi tego samego stopnia.

Weźmy na przykład wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Wielomian ten ma dwie niewiadome - x i y.

Połącz podobne jednomiany. Jednomiany z drugą potęgą y i trzecią potęgą x przyjmą postać y²*x3, a jednomiany z czwartą potęgą y zostaną anulowane. Okazuje się, że y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Weź y jako główną nieznaną literę. Znajdź maksymalny stopień dla nieznanego y. Jest to jednomian y²*x³ i odpowiednio stopień 2.

Wyciągnij wniosek. Stopień wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² w x równa się trzy, a w y równa się dwa.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y przez y. Jest równy maksymalnemu stopniowi y, czyli jeden.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y w x. Nieznany x znajduje się, co oznacza, że jego stopień będzie ułamkiem. Ponieważ pierwiastek jest pierwiastkiem kwadratowym, potęga x wynosi 1/2.

Wyciągnij wniosek. Dla wielomian√x+5*y potęga x wynosi 1/2, a potęga y wynosi 1.

Wideo na ten temat

Uproszczenie wyrażenia algebraiczne wymagane w wielu obszarach matematyki, w tym w rozwiązywaniu równań wyższe stopnie, różnicowanie i integracja. Stosuje się kilka metod, w tym faktoryzację. Aby zastosować tę metodę, musisz znaleźć i stworzyć generał czynnik Do nawiasy.