Aby to zrobić, użyj papieru milimetrowego lub kalkulatora graficznego. Wybierz dowolną liczbę wartości liczbowych dla zmiennej niezależnej x (\displaystyle x) i podłącz je do funkcji, aby obliczyć wartości zmiennej zależnej y (\displaystyle y). Narysuj znalezione współrzędne punktów płaszczyzna współrzędnych, a następnie połącz te punkty, aby wykreślić funkcję.
- Zastąp dodatnie wartości liczbowe x (\displaystyle x) i odpowiadające im ujemne wartości liczbowe do funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję . Zastąp to następujące wartości x (\ displaystyle x):
- fa (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ Displaystyle f (1) = 2 (1) ^ (2) + 1 = 2 + 1 = 3) (1, 3) (\ displaystyle (1,3)) .
- fa (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (2) = 2 (2) ^ (2) +1 = 2 (4) +1 =8+1=9) . Mamy punkt ze współrzędnymi (2, 9) (\ displaystyle (2,9)).
- fa (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ Displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ (2) +1 = 2 + 1 = 3) . Mamy punkt ze współrzędnymi (- 1, 3) (\ displaystyle (-1,3)) .
- fa (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ (2) + 1 = 2 ( 4)+1=8+1=9) . Mamy punkt ze współrzędnymi (− 2, 9) (\ displaystyle (-2,9)} .
Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem osi Y. Przez symetrię rozumiemy lustrzane odbicie wykresu względem osi Y. Jeżeli część wykresu po prawej stronie osi Y (dodatnie wartości zmiennej niezależnej) jest taka sama jak część wykresu po lewej stronie osi Y (ujemne wartości zmiennej niezależnej ), wykres jest symetryczny względem osi Y. Jeżeli funkcja jest symetryczna względem osi Y, to jest ona parzysta.
- Symetrię wykresu można sprawdzić za pomocą poszczególnych punktów. Jeśli wartość y (\ displaystyle y) x (\ displaystyle x) odpowiada wartości y (\ displaystyle y), która odpowiada wartości - x (\ displaystyle -x) , funkcja jest parzysta. W naszym przykładzie z funkcją f (x) = 2 x 2 + 1 (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) +1) otrzymaliśmy następujące współrzędne punktów:
- (1.3) i (-1.3)
- (2,9) i (-2,9)
- Należy zauważyć, że dla x=1 i x=-1 zmienną zależną jest y=3, a dla x=2 i x=-2 zmienną zależną jest y=9. Zatem funkcja jest parzysta. W rzeczywistości, aby dokładnie określić postać funkcji, należy wziąć pod uwagę więcej niż dwa punkty, ale opisana metoda jest dobrym przybliżeniem.
Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem początku.
- Początek to punkt o współrzędnych (0,0). Symetria względem początku oznacza, że dodatnia wartość y (dla dodatniej wartości x) odpowiada ujemnej wartości y (dla ujemnej wartości x) i odwrotnie. Funkcje nieparzyste mają symetrię co do początku. Jeśli zastąpimy kilka pozytywnych i odpowiadających wartości ujemne
- x (\ displaystyle x) , wartości y (\ displaystyle y) będą się różnić znakami. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję fa (x) = x 3 + x (\ displaystyle f (x) = x ^ (3) + x) . Zastąp w nim kilka wartości x (\ displaystyle x):
- fa (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\ displaystyle f (1) = 1 ^ (3) + 1 = 1 + 1 = 2) . Mamy punkt o współrzędnych (1,2).
- fa (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2 (\ Displaystyle f (-1) = (-1) ^ (3) + (-1) = -1- 1=-2)
- fa (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\ displaystyle f (2) = 2 ^ (3) + 2 = 8 + 2 = 10)
- fa (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = - 10 (\ Displaystyle f (-2) = (-2) ^ (3) + (-2) = -8- 2=-10) . Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (-2,-10).
Zatem f(x) = -f(-x), czyli funkcja jest nieparzysta.
- Sprawdź, czy wykres funkcji ma symetrię.
- Ostatni typ funkcji to funkcja, której wykres nie ma symetrii, czyli nie ma odbicia lustrzanego zarówno względem osi rzędnych, jak i względem początku układu współrzędnych. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję .
- Zastąp kilka dodatnich i odpowiednich ujemnych wartości x (\ displaystyle x) do funkcji:
- fa (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\ displaystyle f (1) = 1 ^ (2) + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 ) . Mamy punkt o współrzędnych (1,4).
- fa (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2 (\ Displaystyle f (-1) = (-1) ^ (2) +2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (-1,-2).
- fa (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\ displaystyle f (2) = 2 ^ (2) + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 ) . Mamy punkt o współrzędnych (2,10).
- Należy pamiętać, że funkcję f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\ displaystyle f (x) = x ^ (2) +2x+1) można zapisać w następujący sposób: f (x) = (x + 1 ) 2 (\ Displaystyle f (x) = (x + 1) ^ (2)) . Funkcja zapisana w tej postaci pojawia się nawet dlatego, że występuje wykładnik parzysty. Ale ten przykład pokazuje, że nie można szybko określić typu funkcji, jeśli zmienną niezależną ujęto w nawiasy. W takim przypadku należy otworzyć nawiasy i przeanalizować uzyskane wykładniki.
Równość i nieparzystość funkcji to jedne z jej głównych właściwości, a parzystość zajmuje imponującą część kurs szkolny w matematyce. W dużej mierze determinuje zachowanie funkcji i znacznie ułatwia konstrukcję odpowiedniego wykresu.
Określmy parzystość funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, badaną funkcję rozważa się nawet wtedy, gdy dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej (x) znajdującej się w jej dziedzinie definicji odpowiadające wartości y (funkcji) okazują się równe.
Podajmy bardziej ścisłą definicję. Rozważmy pewną funkcję f(x), która jest zdefiniowana w dziedzinie D. Będzie tak nawet, jeśli dla dowolnego punktu x znajdującego się w dziedzinie definicji:
- -x (punkt przeciwny) również leży w tym zakresie,
- f(-x) = f(x).
Z powyższej definicji wynika warunek niezbędny dla dziedziny definicji takiej funkcji, a mianowicie symetria względem punktu O, który jest początkiem współrzędnych, gdyż jeśli jakiś punkt b mieści się w dziedzinie definicji parzystej funkcji, to odpowiedni punkt b również należy do tej dziedziny. Z powyższego wynika więc wniosek: funkcja parzysta ma postać symetryczną względem osi rzędnych (Oy).
Jak w praktyce wyznaczyć parzystość funkcji?
Określmy to wzorem h(x)=11^x+11^(-x). Kierując się algorytmem wynikającym bezpośrednio z definicji, w pierwszej kolejności zbadamy jej dziedzinę definicyjną. Oczywiście jest on zdefiniowany dla wszystkich wartości argumentu, czyli spełniony jest pierwszy warunek.
Następnym krokiem jest zastąpienie argumentu (x) wartością przeciwną (-x).
Otrzymujemy:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ponieważ dodawanie spełnia prawo przemienności (przemienności), oczywiste jest, że h(-x) = h(x) i dana zależność funkcyjna jest parzysta.
Sprawdźmy parzystość funkcji h(x)=11^x-11^(-x). Postępując zgodnie z tym samym algorytmem, otrzymujemy, że h(-x) = 11^(-x) -11^x. Po odjęciu minusa ostatecznie mamy
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Dlatego h(x) jest nieparzyste.
Nawiasem mówiąc, należy przypomnieć, że istnieją funkcje, których nie można sklasyfikować według tych kryteriów, nie nazywa się ich ani parzystymi, ani nieparzystymi.
Nawet funkcje mają wiele interesujących właściwości:
- w wyniku dodania podobnych funkcji otrzymują parzystą;
- w wyniku odjęcia takich funkcji otrzymuje się parzystą;
- nawet, także;
- w wyniku pomnożenia dwóch takich funkcji otrzymuje się parzystą;
- w wyniku pomnożenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymujemy funkcję nieparzystą;
- w wyniku podzielenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymuje się nieparzystą;
- pochodna takiej funkcji jest nieparzysta;
- Jeśli podniesiesz funkcję nieparzystą do kwadratu, otrzymasz parzystą.
Parzystość funkcji można wykorzystać do rozwiązywania równań.
Aby rozwiązać równanie takie jak g(x) = 0, gdzie lewa strona równania jest funkcją parzystą, wystarczy znaleźć jej rozwiązania dla nieujemnych wartości zmiennej. Powstałe pierwiastki równania należy połączyć z liczbami przeciwnymi. Jeden z nich podlega weryfikacji.
Można to również z powodzeniem stosować do rozwiązywania niestandardowych problemów z parametrem.
Na przykład, czy istnieje taka wartość parametru a, dla której równanie 2x^6-x^4-ax^2=1 będzie miało trzy pierwiastki?
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że zmienna wchodzi do równania w potęgach parzystych, to jasne jest, że zastąpienie x przez - x dane równanie nie zmieni się. Wynika z tego, że jeśli pewna liczba jest jej pierwiastkiem, to liczba przeciwna również jest pierwiastkiem. Wniosek jest oczywisty: pierwiastki równania różne od zera włączamy do zbioru jego rozwiązań „parami”.
Oczywiste jest, że sama liczba nie wynosi 0, to znaczy liczba pierwiastków takiego równania może być tylko parzysta i oczywiście dla dowolnej wartości parametru nie może mieć trzech pierwiastków.
Ale liczba pierwiastków równania 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 może być nieparzysta i to dla dowolnej wartości parametru. Rzeczywiście, łatwo jest sprawdzić, że zbiór pierwiastków dane równanie zawiera rozwiązania w parach. Sprawdźmy, czy 0 jest pierwiastkiem. Kiedy podstawimy to do równania, otrzymamy 2=2. Zatem oprócz „sparowanych” 0 jest także pierwiastkiem, co dowodzi ich nieparzystej liczby.
Funkcja nazywa się parzystą (nieparzystą), jeśli dla dowolnego i równości 
.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi 
.
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.
Przykład 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Zbadaj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.
Rozwiązanie 
1) Funkcja jest zdefiniowana, gdy 
.
. Znajdziemy 
Te. . Oznacza, tę funkcję
jest równa. 
. Znajdziemy 
2) Funkcja jest zdefiniowana, gdy
. Zatem ta funkcja jest nieparzysta.
,
. Zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nazwijmy to funkcją postaci ogólnej.
Funkcjonować 
nazywa się wzrostem (maleniem) w pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale każdy wyższa wartość argument odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji.
Funkcje rosnące (malejące) w pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi.
Jeśli funkcja 
różniczkowalna na przedziale 
i ma dodatnią (ujemną) pochodną 
, a następnie funkcja 
wzrasta (maleje) w tym przedziale.
Przykład 6.3. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji
1)
;
3)
.
Zbadaj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.
1) Funkcja ta jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Znajdźmy pochodną.
Pochodna jest równa zeru, jeśli 
I 
. Dziedziną definicji jest oś liczbowa podzielona kropkami 
,
niegęsto. Wyznaczmy znak pochodnej w każdym przedziale.
W przerwie 
pochodna jest ujemna, funkcja maleje w tym przedziale.
W przerwie 
pochodna jest dodatnia, zatem funkcja rośnie w tym przedziale.
2) Ta funkcja jest zdefiniowana jeśli 
Lub
.
W każdym przedziale wyznaczamy znak trójmianu kwadratowego.
Zatem dziedzina definicji funkcji
Znajdźmy pochodną 
,
, Jeśli 
, tj. 
, Ale 
. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach 
.
W przerwie 
pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na przedziale 
. W przerwie 
pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie w przedziale 
.
Kropka 
nazywany maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji 
, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu 
to dla wszystkich 
z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność 
.
Maksymalne i minimalne punkty funkcji nazywane są ekstremami.
Jeśli funkcja 
w tym punkcie 
ma ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zero lub nie istnieje (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Punkty, w których pochodna wynosi zero lub nie istnieje, nazywane są krytycznymi.
5. Warunki wystarczające na istnienie ekstremum.Zasada 1. Jeśli podczas przejścia (od lewej do prawej) przez punkt krytyczny 
pochodna 
zmienia znak z „+” na „–”, a następnie w punkcie 
funkcjonować 
ma maksimum; jeśli od „–” do „+”, to minimum; Jeśli 
nie zmienia znaku, to nie ma ekstremum.
Zasada 2. Niech w punkt 
pierwsza pochodna funkcji 
równy zeru 
, a druga pochodna istnieje i jest różna od zera. Jeśli 
, To 
– maksymalny punkt, jeśli 
, To 
– minimalny punkt funkcji.
Przykład 6.4. Poznaj funkcje maksymalne i minimalne:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Rozwiązanie.
1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale 
.
Znajdźmy pochodną 
i rozwiązać równanie 
, tj. 
.Stąd 
– punkty krytyczne.
Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach, 
.
Podczas przechodzenia przez punkty 
I 
pochodna zmienia znak z „–” na „+”, zatem zgodnie z zasadą 1 
– minimalna liczba punktów.
Podczas przechodzenia przez punkt 
pochodna zmienia znak z „+” na „–”, tj 
– maksymalny punkt.
,
.
2) Funkcja jest określona i ciągła w przedziale 
. Znajdźmy pochodną 
.
Po rozwiązaniu równania 
, znajdziemy 
I 
– punkty krytyczne. Jeśli mianownik 
, tj. 
, to pochodna nie istnieje. Więc, 
– trzeci punkt krytyczny. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach.
Zatem funkcja ma w tym punkcie minimum 
, maksimum w punktach 
I 
.
3) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła jeśli 
, tj. Na 
.
Znajdźmy pochodną 
.
Znajdźmy punkty krytyczne: 
Sąsiedztwa punktów 
nie należą do dziedziny definicji, zatem nie są ekstremami. Przeanalizujmy zatem punkty krytyczne 
I 
.
4) Funkcja jest określona i ciągła na przedziale 
. Skorzystajmy z reguły 2. Znajdź pochodną 
.
Znajdźmy punkty krytyczne:
Znajdźmy drugą pochodną 
i określ jego znak w punktach 
W punktach 
funkcja ma minimum.
W punktach 
funkcja ma maksimum.
Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?
Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.
Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam Ci skorzystanie z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.
Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) użycie prosty kod możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.
Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:
Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.
Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.
Każdy fraktal jest skonstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.
Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.