Wstęp
Logarytmy zostały wynalezione, aby przyspieszyć i uprościć obliczenia. Idea logarytmu, czyli idea wyrażania liczb jako potęg o tej samej podstawie, należy do Michaiła Stiefela. Ale w czasach Stiefela matematyka nie była tak rozwinięta i nie rozwinęła się idea logarytmu. Logarytmy zostały później wynalezione jednocześnie i niezależnie od siebie przez szkockiego naukowca Johna Napiera (1550-1617) i szwajcarskiego Jobsta Burgi (1552-1632). Napier jako pierwszy opublikował swoje dzieło w 1614 roku. zatytułowany „Opis niesamowitej tablicy logarytmów” wystarczająco szczegółowo podano teorię logarytmów Napiera całkowicie, metoda obliczania logarytmów jest najprostsza, dlatego zasługi Napiera w wynalezieniu logarytmów są większe niż zasługi Bürgiego. Burgi pracował nad stołami w tym samym czasie co Napier, jednak długo utrzymywał je w tajemnicy i opublikował dopiero w 1620 roku. Napier opanował ideę logarytmu około 1594 roku. chociaż tabele opublikowano 20 lat później. Początkowo nazywał swoje logarytmy „liczbami sztucznymi”, dopiero potem zaproponował, aby nazwać te „liczby sztuczne” jednym słowem „logarytm”, co w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza „liczby skorelowane”, wzięte jedna z ciągu arytmetycznego, a druga z ciągu specjalnie do tego dobraną progresję geometryczną. Pierwsze tablice w języku rosyjskim opublikowano w 1703 roku. z udziałem wspaniałego nauczyciela XVIII wieku. L. F. Magnitsky. W rozwoju teorii logarytmów wielka wartość miał prace petersburskiego akademika Leonharda Eulera. Jako pierwszy uznał logarytmy za odwrotność podniesienia do potęgi; wprowadził terminy „podstawa logarytmu” i „mantysa”. Briggs stworzył tablice logarytmów o podstawie 10. Tablice dziesiętne są wygodniejsze w praktyce, zgodnie z ich teorią. prostsze niż logarytmy Napiera. Dlatego logarytmy dziesiętne są czasami nazywane logarytmami Briggsa. Termin „charakterystyka” został wprowadzony przez Briggsa.
W tych odległych czasach, kiedy mędrcy po raz pierwszy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane ilości, prawdopodobnie nie było monet ani portfeli. Były jednak stosy, a także garnki i kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek do przechowywania, mogących pomieścić nieznaną liczbę przedmiotów. U starożytnych problemy matematyczne Mezopotamia, Indie, Chiny, Grecja, nieznane ilości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, ogół rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Uczeni w Piśmie, urzędnicy i kapłani wtajemniczeni w wiedzę tajemną, dobrze wyszkoleni w nauce rachunków, radzili sobie z takimi zadaniami całkiem skutecznie.
Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy dysponowali pewnymi ogólnymi technikami rozwiązywania problemów z nieznanymi wielkościami. Jednakże ani jeden papirus czy gliniana tabliczka nie zawiera opisu tych technik. Autorzy jedynie sporadycznie opatrywali swoje obliczenia numeryczne skąpymi komentarzami w rodzaju: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś właściwy”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do układania równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.
Jednak pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, było dzieło naukowca z Bagdadu z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” od arabskiej nazwy tego traktatu – „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Księga restauracji i opozycji”) – z czasem przekształciło się w dobrze znane słowo „algebra”, a dzieło samego al-Khwarizmiego posłużyło za punkt wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań.
Równania i nierówności logarytmiczne
1. Równania logarytmiczne
Nazywa się równanie zawierające niewiadomą pod znakiem logarytmu lub u podstawy równanie logarytmiczne.
Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci
dziennik A X = B . (1)
Stwierdzenie 1. Jeśli A > 0, A≠ 1, równanie (1) dla dowolnej liczby rzeczywistej B ma unikalne rozwiązanie X = a b .
Przykład 1. Rozwiąż równania:
a) log 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)
Rozwiązanie. Korzystając ze twierdzenia 1, otrzymujemy a) X= 2 3 lub X= 8; B) X= 3 -1 lub X= 1/3; C)
Lub X = 1.Przedstawmy podstawowe własności logarytmu.
P1. Podstawowa tożsamość logarytmiczna:
Gdzie A > 0, A≠ 1 i B > 0.
P2. Logarytm iloczynu czynników dodatnich równa sumie logarytmy tych czynników:
dziennik A N 1 · N 2 = log A N 1 + log A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Komentarz. Jeśli N 1 · N 2 > 0, wówczas właściwość P2 przyjmuje postać
dziennik A N 1 · N 2 = log A |N 1 | +log A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Komentarz. Jeśli
, (co jest równoważne N 1 N 2 > 0) wówczas właściwość P3 przyjmuje postać
(A
> 0, A
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu tej liczby:
dziennik A N k = k dziennik A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).
Komentarz. Jeśli k - liczba parzysta (k = 2S), To
dziennik A N 2S = 2S dziennik A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Formuła przejścia do innej bazy:
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, B
≠ 1, N
> 0),
w szczególności jeśli N = B, otrzymujemy
(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)Korzystając z właściwości P4 i P5, łatwo jest uzyskać następujące właściwości
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (3)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (4)
(A
> 0, A
≠ 1, B
> 0, C
≠ 0), (5)
i jeśli w (5) C- liczba parzysta ( C = 2N), trzyma
(B
> 0, A
≠ 0, |A
| ≠ 1). (6)
Wymieńmy główne właściwości funkcji logarytmicznej F (X) = log A X :
1. Dziedziną definicji funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.
2. Zakres wartości funkcji logarytmicznej to zbiór liczb rzeczywistych.
3. Kiedy A> 1 funkcja logarytmiczna jest ściśle rosnąca (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2) i przy 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > zaloguj A X 2).
4.log A 1 = 0 i log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).
5. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest ujemna, gdy X(0;1) i dodatni przy X(1;+∞), a jeśli 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) i ujemne przy X (1;+∞).
6. Jeśli A> 1, to funkcja logarytmiczna jest wypukła w górę, a jeśli A(0;1) - wypukły w dół.
Poniższe stwierdzenia (patrz na przykład) są używane podczas rozwiązywania równań logarytmicznych.
Nierówność nazywa się logarytmiczną, jeśli zawiera funkcję logarytmiczną.
Metody rozwiązania nierówności logarytmiczne nie różni się od , z wyjątkiem dwóch rzeczy.
Po pierwsze, przechodząc od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych, należy podążaj za znakiem powstałej nierówności. Przestrzega następującej zasady.
Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż 1$, to przy przejściu od nierówności logarytmicznej do nierówności funkcji sublogarytmicznych znak nierówności zostaje zachowany, natomiast jeśli jest mniejszy niż 1$, to zmienia się na przeciwny .
Po drugie, rozwiązaniem dowolnej nierówności jest przedział, dlatego na końcu rozwiązywania nierówności funkcji sublogarytmicznych konieczne jest utworzenie układu dwóch nierówności: pierwszą nierównością tego układu będzie nierówność funkcji sublogarytmicznych, a drugi będzie przedziałem dziedziny definicji funkcji logarytmicznych zawartych w nierówności logarytmicznej.
Praktyka.
Rozwiążmy nierówności:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
Podstawą logarytmu jest $2>1$, więc znak się nie zmienia. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )