Vsota vseh verjetnosti dogodkov v vzorčnem prostoru je enaka 1. Na primer, če je eksperiment metanje kovanca z Dogodkom A = glave in Dogodkom B = repom, potem A in B predstavljata celoten vzorčni prostor. pomeni, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Primer.V predhodno predlaganem primeru izračuna verjetnosti odstranitve rdečega pisala iz žepa halje (to je dogodek A), ki vsebuje dve modri in eno rdeče pisalo, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, je verjetnost nasprotnega dogodek - risanje modrega pisala - bo
Preden preidemo na glavne izreke, uvedemo dva kompleksnejša koncepta - vsoto in produkt dogodkov. Ti koncepti se razlikujejo od običajnih konceptov vsote in produkta v aritmetiki. Seštevanje in množenje v teoriji verjetnosti - simbolne operacije, ob upoštevanju določenih pravil in olajšanju logične konstrukcije znanstvenih zaključkov.
Znesek več dogodkov je dogodek, ki sestoji iz nastopa vsaj enega od njih. To pomeni, da se vsota dveh dogodkov A in B imenuje dogodek C, ki je sestavljen iz pojava dogodka A ali dogodka B ali dogodkov A in B skupaj.
Na primer, če potnik čaka na postaji tramvaja za eno od dveh prog, potem je dogodek, ki ga potrebuje, pojav tramvaja na prvi progi (dogodek A) ali tramvaj na drugi progi (dogodek B), ali skupni nastop tramvajev na prvi in drugi progi (dogodek Z). V jeziku teorije verjetnosti to pomeni, da je dogodek D, ki ga potrebuje potnik, sestavljen iz pojava bodisi dogodka A, ali dogodka B, ali dogodka C, kar bo simbolično zapisano v obliki:
D=A+B+C
Produkt dveh dogodkovA in IN je dogodek, sestavljen iz skupnega pojavljanja dogodkov A in IN. Produkt več dogodkov skupni pojav vseh teh dogodkov se imenuje.
V zgornjem primeru s potnikom je dogodek Z(skupni nastop tramvajev na dveh progah) je produkt dveh dogodkov A in IN, kar je simbolično zapisano takole:
Recimo, da dva zdravnika ločeno pregledata bolnika, da ugotovita določeno bolezen. Med pregledi se lahko pojavijo naslednji dogodki:
Odkritje bolezni pri prvem zdravniku ( A);
Neodkrivanje bolezni pri prvem zdravniku ();
Odkrivanje bolezni pri drugem zdravniku ( IN);
Neuspeh pri odkrivanju bolezni s strani drugega zdravnika ().
Upoštevajte primer, ko bo bolezen med pregledi odkrita točno enkrat. Ta dogodek je mogoče izvesti na dva načina:
Bolezen bo odkril prvi zdravnik ( A) in ne bo zaznal drugega ();
Bolezni ne bo odkril prvi zdravnik (), odkril pa jih bo drugi ( B).
Označimo obravnavani dogodek z in ga simbolično zapišemo:
Upoštevajte primer, ko bo bolezen odkrita na pregledu dvakrat (tako pri prvem kot pri drugem zdravniku). Označimo ta dogodek z in zapišimo: .
Dogodek, ko ne prvi ne drugi zdravnik ne odkrije bolezni, označimo z in zapišemo: .
Skupni in neskupni dogodki.
Dogodka se imenujeta skupni v danem poskusu, če pojav enega od njih ne izključuje pojava drugega. Primeri : Zadeti neuničljivo tarčo z dvema različnima puščicama in pridobiti enako število točk na obeh kockah.
Dogodka se imenujeta nezdružljivo(nezdružljive) v danem poskusu, če se ne morejo pojaviti skupaj v istem poskusu. Več dogodkov se imenuje nekompatibilnih, če so v paru nekompatibilni. Primeri nezdružljivih dogodkov: a) zadeti in zgrešiti z enim strelom; b) del je naključno vzet iz škatle z deli - dogodka "standardni del je vzet" in "nestandardni del je vzet" c) propad podjetja in njegov dobiček.
Z drugimi besedami, dogodki A in IN so združljivi, če ustrezni nizi A in IN imajo skupne elemente in so nekonsistentni, če so ustrezne množice A in IN nimajo skupnih elementov.
Pri določanju verjetnosti dogodkov se pogosto uporablja koncept enako možno dogodkov. Več dogodkov v danem eksperimentu se imenuje enako možnih, če glede na pogoje simetrije obstaja razlog za domnevo, da nobeden od njih ni objektivno bolj možen od drugih (izguba glav in repov, pojav karte katerega koli obleka, izbira žoge iz žare itd.)
Vsak poskus je povezan s številnimi dogodki, ki se na splošno lahko zgodijo hkrati. Na primer, pri metu kocke je dogodek met dvojke, dogodek pa met sodega števila. Očitno se ti dogodki med seboj ne izključujejo.
Naj bodo vsi možni rezultati testa realizirani v številnih edinstveno možnih posebnih primerih, ki se med seboj izključujejo. Potem
ü vsak izid testa je predstavljen z enim in samo enim elementarnim dogodkom;
ü vsak dogodek, povezan s tem testom, je niz končnega ali neskončnega števila elementarnih dogodkov;
ü dogodek se zgodi, če in samo, če se realizira eden od elementarnih dogodkov, vključenih v ta niz.
Poljuben, a fiksen prostor elementarnih dogodkov je mogoče predstaviti kot določeno območje na ravnini. V tem primeru so osnovni dogodki točke ravnine, ki ležijo znotraj. Ker je dogodek identificiran z nizom, se vse operacije, ki jih je mogoče izvesti na nizih, lahko izvajajo na dogodkih. Po analogiji s teorijo množic konstruiramo algebra dogodkov. V tem primeru je mogoče definirati naslednje operacije in razmerja med dogodki:
AÌ B(nastavite relacijo vključitve: nastavite A je podmnožica množice IN) – dogodek A vključuje dogodek B. Z drugimi besedami, dogodek IN se zgodi vsakič, ko se zgodi dogodek A. Primer - pri metanju dvojke se vrže sodo število točk.
(nastavi ekvivalenčno razmerje) – dogodek enako oz enakovreden dogodek. To je mogoče, če in samo če in hkrati, tj. vsak se pojavi, ko se pojavi drugi. Primer – dogodek A – okvara naprave, dogodek B – okvara vsaj enega od blokov (delov) naprave.
() – vsota dogodkov. To je dogodek, ki sestoji iz dejstva, da se je zgodil vsaj eden od dveh dogodkov ali (logično "ali"). Na splošno se vsota več dogodkov razume kot dogodek, ki ga sestavlja pojav vsaj enega od teh dogodkov. Primer – tarča je zadeta s prvim orožjem, z drugim ali obema hkrati.
() – produkt dogodkov. To je dogodek, ki je sestavljen iz skupnega pojava dogodkov in (logični »in«). Na splošno je proizvodnja več dogodkov razumljena kot dogodek, ki je sestavljen iz hkratnega pojava vseh teh dogodkov. Tako so dogodki nekompatibilni, če je njihova produkcija nemogoč dogodek, tj. . Primer – dogodek A je odstranitev karte v karo barvi iz kompleta, dogodek B je odstranitev asa, potem se as karo ni pojavil.
Geometrična interpretacija operacij nad dogodki je pogosto uporabna. Grafične ponazoritve operacij imenujemo Vennovi diagrami.
Definicija 1. Pravijo, da v nekaterih izkušnjah dogodek A vključuje sledi pojav dogodka IN, če ob nastanku dogodka A pride dogodek IN. Zapis za to definicijo A Ì IN. Kar zadeva elementarne dogodke, to pomeni, da vsak elementarni dogodek, vključen v A, je vključen tudi v IN.
Definicija 2. Dogodki A in IN se imenujejo enake ali enakovredne (označeno A= IN), Če A Ì IN in INÌ A, tj. A in IN sestavljajo enaki osnovni dogodki.
Zanesljiv dogodek je predstavljena z obsegajočo množico Ω, nemogoč dogodek pa s prazno podmnožico Æ v njej. Nezdružljivost dogodkov A in IN pomeni, da ustrezne podmnožice A in IN ne sekata: A∩IN = Æ.
Definicija 3. Vsota dveh dogodkov A in IN(označeno Z= A + IN) se imenuje dogodek Z, sestavljen iz prihaja vsaj enega od dogodkov A oz IN(veznik "ali" za količino je ključna beseda), tj. pride oz A, oz IN, oz A in IN skupaj.
Primer. Naj dva strelca streljata na tarčo hkrati in dogodek A sestoji iz dejstva, da 1. strelec zadene tarčo, in dogodek B- da 2. strelec zadene tarčo. Dogodek A+ B pomeni, da je tarča zadeta oziroma z drugimi besedami, da je vsaj eden od strelcev (1. strelec ali 2. strelec ali oba strelca) zadel tarčo.
Podobno je vsota končnega števila dogodkov A 1 , A 2 , …, A n (označeno A= A 1 + A 2 + … + A n) dogodek je poklican A, sestavljen iz pojav vsaj enega od dogodkov A jaz ( i = 1, … , n), ali poljubna zbirka A jaz ( i = 1, 2, … , n).
Primer. Seštevek dogodkov A, B, C je dogodek, ki ga sestavlja pojav enega od naslednjih dogodkov: A, B, C, A in IN, A in Z, IN in Z, A in IN in Z, A oz IN, A oz Z, IN oz Z,A oz IN oz Z.
Definicija 4. Produkt dveh dogodkov A in IN imenovan dogodek Z(označeno Z = A ∙ B), ki sestoji iz dejstva, da se je kot rezultat preizkusa zgodil tudi dogodek A, in dogodek IN istočasno. (Ključna beseda je veznik »in« za ustvarjanje dogodkov).
Podobno produktu končnega števila dogodkov A 1 , A 2 , …, A n (označeno A = A 1 ∙A 2 ∙…∙ A n) dogodek je poklican A, ki sestoji iz dejstva, da so se kot rezultat preskusa zgodili vsi navedeni dogodki.
Primer. Če dogodki A, IN, Z obstaja pojav "grba" v prvem, drugem in tretjem poskusu, nato dogodek A× IN× Z V vseh treh sojenjih je padec "grba".
Opomba 1. Za nezdružljive dogodke A in IN enakost je res A ∙ B= Æ, kjer je Æ nemogoč dogodek.
Opomba 2. Dogodki A 1 , A 2, … , A n tvori popolno skupino po parih nekompatibilnih dogodkov, če .
Definicija 5. Nasprotni dogodki imenujemo dva enolično možna nekompatibilna dogodka, ki tvorita popolno skupino. Dogodek nasproten dogodku A, označen z . Dogodek nasproten dogodku A, je popestritev dogodka A na množico Ω.
Pri nasprotnih dogodkih sta hkrati izpolnjena dva pogoja A∙= Æ in A+= Ω.
Opredelitev 6. Z razliko dogodkov A in IN(označeno A– IN) imenujemo dogodek, sestavljen iz dejstva, da dogodek A bo prišel, dogodek pa IN - ne in je enako A– IN= A× .
Upoštevajte, da dogodki A + B, A ∙ B, , A – B priročno je grafično interpretirati z uporabo Euler-Vennovih diagramov (slika 1.1).
|
riž. 1.1. Operacije nad dogodki: negacija, vsota, produkt in razlika |
Primer oblikujmo takole: pustimo izkušnjo G sestoji iz naključnega streljanja v območju Ω, katerega točke so elementarni dogodki ω. Naj bo vstop v regijo Ω zanesljiv dogodek Ω in naj bo vstop v regijo A in IN– oziroma dogodkov A in IN. Potem dogodki A+B(oz AÈ IN– svetloba območje na sliki), A ∙ B(oz AÇ IN - območje v središču), A – B(oz A\IN - lahke podregije) bo ustrezal štirim slikam na sl. 1.1. V pogojih prejšnjega primera z dvema strelcema, ki streljata na tarčo, produkt dogodkov A in IN dogodek bo C = AÇ IN, ki sestoji iz zadetka tarče z obema puščicama.
Opomba 3. Če so operacije na dogodkih predstavljene kot operacije na množicah, dogodki pa kot podmnožice neke množice Ω, potem je vsota dogodkov A+B se ujema z zvezo AÈ IN te podmnožice in produkt dogodkov A ∙ B- križišče A∩IN te podmnožice.
Tako lahko operacije na dogodkih povežemo z operacijami na množicah. Ta korespondenca je prikazana v tabeli. 1.1
Tabela 1.1
|
Poimenovanja |
Jezik verjetnosti |
Jezik teorije množic |
|
Vesoljski element. dogodkov |
Univerzalni set |
|
|
Osnovni dogodek |
Element iz univerzalnega kompleta |
|
|
Naključni dogodek |
Podmnožica elementov ω iz Ω |
|
|
Zanesljiv dogodek |
Množica vseh ω |
|
|
Nemogoč dogodek |
Prazen komplet |
|
|
AМ В |
A vključuje IN |
A– podmnožica IN |
|
A+B(AÈ IN) |
Seštevek dogodkov A in IN |
Zveza sklopov A in IN |
|
A× V(AÇ IN) |
Produkcija dogodkov A in IN |
Presečišče množic A in IN |
|
A – B(A\IN) |
Dogodek razlika |
Set razlike |
Dejanja na dogodkih imajo naslednje lastnosti:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(komutativni);
(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (distribucija);
(A + B) + Z = A + (B + C), (A ∙ B) ∙ Z= A ∙ (B ∙ C) (asociativno);
A + A = A, A ∙ A = A;
A + Ω = Ω, A∙ Ω = A;
Pravilo dodajanja- če lahko element A izberemo na n načinov, element B pa na m načinov, potem lahko A ali B izberemo na n + m načinov.
^ Pravilo množenja - če lahko element A izberemo na n načinov in za poljubno izbiro A lahko element B izberemo na m načinov, potem lahko par (A, B) izberemo na n·m načinov.
Preureditev. Permutacija množice elementov je razporeditev elementov v določenem vrstnem redu. Tako so vse različne permutacije niza treh elementov
Število vseh permutacij elementov je označeno z . Zato se število vseh različnih permutacij izračuna po formuli
Namestitev.Število postavitev množice elementov po elementih je enako
^ Postavitev s ponavljanjem. Če obstaja nabor n vrst elementov in morate na vsako od m mest postaviti element neke vrste (vrste elementov lahko sovpadajo na različnih mestih), potem bo število možnosti za to n m .
^ Kombinacija. Opredelitev. Kombinacije različne elemente glede naelemente imenujemo kombinacije, ki so sestavljene iz podatkov elementi po elementov in se razlikujejo v vsaj enem elementu (z drugimi besedami,-elementne podmnožice dane množice elementi). butback="" onclick="goback(684168)">^
" ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
vsak niz medsebojno izključujočih se rezultatov eksperimenta, tako da je vsak rezultat, ki nas zanima, mogoče nedvoumno opisati z uporabo elementov tega niza. Lahko je končna in neskončna (šteta in nešteta) Naključni dogodek -
^ katera koli podmnožica prostora elementarnih dogodkov. Zanesljiv dogodek -
se bo zagotovo zgodilo kot rezultat poskusa. Nemogoč dogodek -
ne bo prišlo kot rezultat poskusa. Dejanja na dogodke: vsota, zmnožek in razlika dogodkov. Nasprotni dogodek. Skupni in neskupni dogodki. Polna skupina
^ če se lahko pojavijo hkrati kot rezultat poskusa. Nezdružljivi dogodki – če se zaradi poskusa ne morejo pojaviti hkrati. Pravijo, da nastane več nezdružljivih dogodkov celotna skupina dogodkov
, če se eden od njih pojavi kot rezultat poskusa. Če prvi dogodek sestavljajo vsi osnovni izidi razen tistih, ki so vključeni v drugi dogodek, se takšni dogodki imenujejo
nasprotje. Vsota dveh dogodkov A in B je ^ dogodek, sestavljen iz elementarnih dogodkov, ki pripadajo vsaj enemu od dogodkov A ali B. Produkt dveh dogodkov A in B – dogodek, sestavljen iz elementarnih dogodkov, ki hkrati pripadajo A in B. Razlika A in B –
dogodek, sestavljen iz elementov A, ki ne pripadajo dogodku B. Klasične, statistične in geometrijske definicije
P(A)= ^ , g – del slike G. 1) 0≤Р(А)≤1, 2) Verjetnost zanesljivega dogodka je 1, 3) Verjetnost nemogočega dogodka je 0.
Izrek za seštevanje verjetnosti nezdružljivih dogodkov in njegovih posledic.
Pogojna verjetnost. Neodvisni dogodki. Množenje verjetnosti odvisnih in neodvisnih dogodkov.
^ Množenje verjetnosti: Za odvisnike. Izrek. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). Komentiraj. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Posledica. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Za neodvisne. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Tizrek za seštevanje verjetnosti skupnih dogodkov. Izrek . Verjetnost pojava vsaj enega od dveh skupnih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti teh dogodkov brez verjetnosti njihovega skupnega nastopa.
Formula skupne verjetnosti. Bayesove formule.
H 1, H 2 ...H n - tvorijo popolno skupino - hipoteze.
Dogodek A se lahko zgodi le, če se pojavi H 1, H 2 ... H n,
Potem je P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
^ Bayesova formula
Naj so Н 1, Н 2 ...Н n hipoteze, dogodek A se lahko zgodi pod eno od hipotez
P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
Predpostavimo, da se je zgodil dogodek A.
Kako se je spremenila verjetnost H 1 zaradi dejstva, da se je zgodil A? Tisti. R A (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* PA (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => PA (N 1)= (P(N 1)* P n1 ( A) )/ P(A)
H 2, H 3 ... H n se določijo podobno
Splošni pogled:
PA (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , kjer je i=1,2,3…n.
Formule nam omogočajo, da precenimo verjetnosti hipotez zaradi dejstva, da postane znan rezultat testov, zaradi katerih se je pojavil dogodek A.
"Pred" testiranjem – apriorne verjetnosti - P(N 1), P(N 2)…P(N n)
“Po” testu - posteriorne verjetnosti - PA (N 1), PA (N 2) ... PA (N n)
Posteriorne verjetnosti, kot tudi predhodne, seštejejo do 1.
9. Bernoullijeve in Poissonove formule.
Bernoullijeva formula
Naj bo izvedenih n poskusov, v vsakem od katerih se dogodek A lahko pojavi ali ne. Če je verjetnost dogodka A v vsakem od teh poskusov konstantna, potem so ti poskusi neodvisni glede na A.
Razmislite o n neodvisnih poskusih, v vsakem od katerih se lahko pojavi A z verjetnostjo p. To zaporedje preskusov se imenuje Bernoullijevo vezje.
Izrek: verjetnost, da se bo v n poskusih dogodek A zgodil točno m-krat, je enaka: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Število m 0 - pojav dogodka A se imenuje najbolj verjeten, če ustrezna verjetnost P n (m 0) ni manjša od drugih P n (m)
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Za iskanje m 0 uporabite:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Poissonova formula
Razmislite o Bernoullijevem testu:
n je število testov, p je verjetnost uspeha
Naj bo p majhen (p→0) in n velik (n→∞)
povprečno število primerov uspeha v n poskusih
V Bernoullijevo formulo dodamo λ=n*p → p= λ:
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Če je p≤0,1 in λ=n*p≤10, daje formula dobre rezultate.
10. Lokalni in integralni izrek Moivre-Laplace.
Naj bo n število testov, p verjetnost uspeha, n bo velik in teži k neskončnosti. (n->∞)
^ Lokalni izrek
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, kjer je f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Če je npq≥ 20 – daje dobre rezultate, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Integralni izrek
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
kjer je ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Laplaceova funkcija
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Lastnosti Laplaceove funkcije
ȹ(x) – nenavadna funkcija: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – monotono narašča
vrednosti ȹ(x) (-0,5;0,5), in lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), kjer je z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Naključna spremenljivka. Vrste naključnih spremenljivk. Metode za določanje naključne spremenljivke.
SV je funkcija, definirana na množici elementarnih dogodkov.
X,Y,Z – NE, njegova vrednost pa je x,y,z
Naključno Imenujejo količino, ki bo zaradi testiranja dobila eno in samo eno možno vrednost, ki ni vnaprej znana in je odvisna od naključnih razlogov, ki jih ni mogoče vnaprej upoštevati.
SV diskretna, če je niz njegovih vrednosti končen ali preštev (lahko jih oštevilčimo). Zavzema posamezne, izolirane možne vrednosti s posebnimi verjetnostmi. Število možnih vrednosti diskretnega SV je lahko končno ali neskončno.
SV neprekinjeno, če zavzame vse možne vrednosti iz določenega intervala (na celotni osi). Njegovi pomeni se lahko zelo malo razlikujejo.
^ Zakon porazdelitve diskretnih SV M.B. podaril:
1.miza
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | str 1 | str 2 | … | p n |
(distribucijska serija)
X=x 1) so nedosledni
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.grafični
Poligon porazdelitve verjetnosti
3.analitični
P=P(X)
12. Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke. Osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.
Porazdelitvena funkcija SV X je funkcija F(X), ki določa verjetnost, da bo SV X zavzel vrednost manjšo od x, tj.
x x = kumulativna porazdelitvena funkcija
Zvezni SV ima zvezno, po delih diferencialno funkcijo.