Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha. Pariteta funkcije

celo, če za vse \(x\) iz njegove domene definicije velja naslednje: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf sode funkcije je simetričen glede na os \(y\):

Primer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je soda, ker \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Klicana je funkcija \(f(x)\). liho, če za vse \(x\) iz njegove definicijske domene velja naslednje: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor:

Primer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je liha, ker \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcije, ki niso niti sode niti lihe, se imenujejo funkcije splošni pogled. Tako funkcijo lahko vedno enolično predstavimo kot vsoto sode in lihe funkcije.

Na primer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je vsota sode funkcije \(f_1=x^2\) in lihe \(f_2=-x\) .

\(\črnitrikotnik desno\) Nekatere lastnosti:

1) Zmnožek in količnik dveh funkcij iste paritete - celo funkcijo.

2) Zmnožek in količnik dveh funkcij različnih paritet je liha funkcija.

3) Vsota in razlika sodih funkcij je soda funkcija.

4) Vsota in razlika lihih funkcij - liha funkcija.

5) Če je \(f(x)\) soda funkcija, potem ima enačba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) edinstven koren takrat in samo takrat, ko \( x =0\) .

6) Če je \(f(x)\) soda ali liha funkcija in ima enačba \(f(x)=0\) koren \(x=b\), potem bo ta enačba nujno imela drugo koren \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se imenuje periodična na \(X\), če za neko število \(T\ne 0\) velja naslednje: \(f(x)=f( x+T) \) , kjer je \(x, x+T\v X\) . Najmanjši \(T\), za katerega je ta enakost izpolnjena, se imenuje glavna (glavna) perioda funkcije.

Periodična funkcija ima poljubno število v obliki \(nT\) , kjer bo \(n\in \mathbb(Z)\) tudi obdobje.

Primer: katerikoli trigonometrična funkcija je periodičen;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) in \(f(x)=\cos x\) je glavna perioda enaka \(2\pi\), za funkcije \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) in \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavna perioda je enaka \(\pi\) .

Če želite zgraditi graf periodične funkcije, lahko narišete njen graf na katerikoli segment dolžine \(T\) (glavna perioda); potem se graf celotne funkcije dopolni s premikom konstruiranega dela za celo število obdobij v desno in levo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je množica, ki jo sestavljajo vse vrednosti argumenta \(x\), za katere je funkcija smiselna (je definirano).

Primer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima definicijsko domeno: \(x\in

Naloga 1 #6364

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Pri katerih vrednostih parametra \(a\) velja enačba

ima eno samo rešitev?

Upoštevajte, da sta \(x^2\) in \(\cos x\) sodi funkciji, če ima enačba koren \(x_0\) , bo imela tudi koren \(-x_0\) .
Res, naj bo \(x_0\) koren, to je enakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) desno. Zamenjajmo \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Če je torej \(x_0\ne 0\), bo enačba že imela vsaj dva korena. Zato \(x_0=0\) . Nato:

Za parameter \(a\) smo prejeli dve vrednosti. Upoštevajte, da smo uporabili dejstvo, da je \(x=0\) točno koren izvirne enačbe. Nikoli pa nismo uporabili dejstva, da je edini. Zato morate dobljene vrednosti parametra \(a\) nadomestiti z izvirno enačbo in preveriti, za kateri \(a\) bo koren \(x=0\) res edinstven.

1) Če \(a=0\) , bo enačba imela obliko \(2x^2=0\) . Očitno ima ta enačba samo en koren \(x=0\) . Zato nam ustreza vrednost \(a=0\).

2) Če \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , bo enačba imela obliko \ Prepišimo enačbo v obliki \ Ker \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Posledično vrednosti desne strani enačbe (*) pripadajo segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Ker je \(x^2\geqslant 0\) , je leva stran enačbe (*) večja ali enaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Tako je lahko enakost (*) izpolnjena le, če sta obe strani enačbe enaki \(\mathrm(tg)^2\,1\) . In to pomeni to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zato nam ustreza vrednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Naloga 2 #3923

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih je graf funkcije \

simetričen glede izvora.

Če je graf funkcije simetričen glede na izvor, potem je taka funkcija liha, to pomeni, da \(f(-x)=-f(x)\) velja za kateri koli \(x\) iz domene definicije funkcije. Zato je potrebno najti tiste vrednosti parametrov, za katere \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\levo(3\mathrm(tg)\,\levo(\dfrac(ax)5\desno)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \konec(poravnano)\]

Zadnja enačba mora biti izpolnjena za vse \(x\) iz domene \(f(x)\), torej, \(\sin(2\pi a)=0 \Desna puščica a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Naloga 3 #3069

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\) , za vsako od katerih ima enačba \ 4 rešitve, kjer je \(f\) soda periodična funkcija s periodo \(T=\dfrac(16)3\) definirana na celotni številski premici in \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Naloga naročnikov)

Ker je \(f(x)\) soda funkcija, je njen graf simetričen glede na ordinatno os, ko \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Torej, ko \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), in to je odsek dolžine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Naj \(a>0\) . Potem bo graf funkcije \(f(x)\) videti takole:


Potem, da ima enačba 4 rešitve, je potrebno, da gre graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) skozi točko \(A\):


torej \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(poravnano)\end(zbrano)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zbrano)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( zbrano)\desno.\] Ker je \(a>0\), potem je \(a=\dfrac(18)(23)\) primeren.

2) Naj \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Potrebno je, da gre graf \(g(x)\) skozi točko \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(zbrano)\desno.\] Ker \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Primer, ko \(a=0\) ni primeren, saj potem \(f(x)=0\) za vse \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) in enačba bo imela samo 1 koren.

odgovor:

\(a\in \levo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Naloga 4 #3072

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima vsaj en koren.

(Naloga naročnikov)

Prepišimo enačbo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) in \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je soda in ima točko minimuma \(x=0\) (in \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je padajoča in za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Dejansko, ko \(x>0\) se bo drugi modul odprl pozitivno (\(|x|=x\)), torej ne glede na to, kako se bo odprl prvi modul, bo \(f(x)\) enako na \( kx+A\) , kjer je \(A\) izraz \(a\) in \(k\) enako \(-9\) ali \(-3\) . Ko \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Poiščimo vrednost \(f\) na največji točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ \\]

odgovor:

\(a\v \(-7\)\skodelica\)

Naloga 5 #3912

Raven naloge: Enako enotnemu državnemu izpitu

Poiščite vse vrednosti parametra \(a\), za vsako od katerih enačba \

ima šest različnih rešitev.

Naredimo zamenjavo \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potem bo enačba dobila obliko \ Postopoma bomo izpisali pogoje, pod katerimi bo imela prvotna enačba šest rešitev.
Upoštevajte, da ima lahko kvadratna enačba \((*)\) največ dve rešitvi. Katera koli kubična enačba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ima lahko največ tri rešitve. Torej, če ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi (pozitivni!, ker mora biti \(t\) večje od nič) \(t_1\) in \(t_2\) , potem z obratnim zamenjava, dobimo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(zbrano)\desno.\] Ker je lahko vsako pozitivno število do neke mere predstavljeno kot \(\sqrt2\), na primer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potem bo prva enačba množice prepisana v obliki \ Kot smo že povedali, katera koli kubična enačba nima več kot tri rešitve, zato bo vsaka enačba v nizu imela največ tri rešitve. To pomeni, da celoten niz ne bo imel več kot šest rešitev.
To pomeni, da mora imeti prvotna enačba šest rešitev kvadratna enačba \((*)\) dve različni rešitvi in ​​vsaka nastala kubična enačba (iz niza) mora imeti tri različne rešitve (in ne ene same rešitve ena enačba mora sovpadati s katero koli - po odločitvi druge!)
Očitno je, da če ima kvadratna enačba \((*)\) eno rešitev, potem ne bomo dobili šestih rešitev prvotne enačbe.

Tako postane načrt rešitve jasen. Zapišimo pogoje, ki morajo biti izpolnjeni po točkah.

1) Da ima enačba \((*)\) dve različni rešitvi, mora biti njen diskriminant pozitiven: \

2) Prav tako je potrebno, da sta oba korena pozitivna (ker \(t>0\) ). Če je zmnožek dveh korenov pozitiven in je njuna vsota pozitivna, bosta korena sama pozitivna. Zato potrebujete: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Tako smo si že zagotovili dva različna pozitivna korena \(t_1\) in \(t_2\) .

3) Poglejmo to enačbo \ Za kaj \(t\) bo imel tri različne rešitve?
Razmislite o funkciji \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Lahko se faktorizira: \ Zato so njene ničle: \(x=-1;2\) .
Če najdemo odvod \(f"(x)=3x^2-6x\) , potem dobimo dve ekstremni točki \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Zato je graf videti takole:


Vidimo, da je vsaka vodoravna črta \(y=k\), kjer je \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) imel tri različne rešitve, je potrebno, da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Torej potrebujete: \[\začetek(primeri) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Naj takoj opazimo tudi, da če sta števili \(t_1\) in \(t_2\) različni, potem bosta števili \(\log_(\sqrt2)t_1\) in \(\log_(\sqrt2)t_2\) različne, kar pomeni enačbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) in \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bodo imeli različne korenine.
Sistem \((**)\) je mogoče prepisati na naslednji način: \[\začetek(primeri) 1

Tako smo ugotovili, da morata oba korena enačbe \((*)\) ležati v intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ta pogoj?
Korenov ne bomo izrecno zapisali.
Razmislite o funkciji \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njen graf je parabola z vejami navzgor, ki ima dve presečni točki z osjo x (ta pogoj smo zapisali v 1. odstavku)). Kako naj bo videti njegov graf, da bodo presečišča z osjo x v intervalu \((1;4)\)? Torej:


Prvič, vrednosti \(g(1)\) in \(g(4)\) funkcije v točkah \(1\) in \(4\) morajo biti pozitivne, in drugič, oglišče parabola \(t_0\ ) mora biti tudi v intervalu \((1;4)\) . Zato lahko zapišemo sistem: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ima vedno vsaj en koren \(x=0\) . To pomeni, da je za izpolnjevanje pogojev problema potrebno, da enačba \

je imela štiri različne korene, različne od nič, ki skupaj z \(x=0\) predstavljajo aritmetično progresijo.

Upoštevajte, da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) soda, kar pomeni, da če je \(x_0\) koren enačbe \( (*)\ ) , potem bo \(-x_0\) tudi njegov koren. Potem je potrebno, da so koreni te enačbe števila, urejena v naraščajočem vrstnem redu: \(-2d, -d, d, 2d\) (nato \(d>0\)). Takrat bo teh pet števil tvorilo aritmetično progresijo (z razliko \(d\)).

Da so te korenine števila \(-2d, -d, d, 2d\) , morajo biti številke \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) korenine enačba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potem, po Vietovem izreku:

Prepišimo enačbo v obliki \ in upoštevajte dve funkciji: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) in \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima največjo točko \(x=0\) (in \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Ničelni derivat: \(x=0\) . Ko \(x<0\) имеем: \(g">0\), za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) narašča in za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Dejansko, ko \(x>0\) se bo prvi modul odprl pozitivno (\(|x|=x\)), torej ne glede na to, kako se bo odprl drugi modul, bo \(f(x)\) enako na \( kx+A\), kjer je \(A\) izraz \(a\) in \(k\) je enako \(13-10=3\) ali \(13+10 =23\). Ko \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Poiščimo vrednost \(f\) na najmanjši točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \(f\) in \(g\) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ Če rešimo ta sklop sistemov, dobimo odgovor: \\]

odgovor:

\(a\v \(-2\)\skodelica\)

Če želite to narediti, uporabite grafični papir ali grafični kalkulator. Izberite poljubno število vrednosti neodvisne spremenljivke x (\displaystyle x) in jih vključite v funkcijo za izračun vrednosti odvisne spremenljivke y (\displaystyle y). Narišite najdene koordinate točk na koordinatni ravnini in nato povežite te točke, da zgradite graf funkcije.

• V funkcijo nadomestite pozitivne številske vrednosti x (\displaystyle x) in ustrezne negativne številske vrednosti. Na primer, glede na funkcijo. Vanjo nadomestite naslednje vrednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Imamo točko s koordinatami (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Imamo točko s koordinatami (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Imamo točko s koordinatami (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Funkcijske ničle
Nič funkcije je vrednost X, pri kateri se funkcija spremeni v 0, to je f(x)=0.

Ničle so točke presečišča grafa funkcije z osjo Oh.

Pariteta funkcije
Funkcija je poklicana tudi, če za katero koli X iz domene definicije velja enakost f(-x) = f(x).

Soda funkcija je simetrična glede na os Oh

Funkcija lihe paritete
Funkcijo imenujemo liho, če za katero koli X iz področja definicije velja enakost f(-x) = -f(x).

Liha funkcija je simetrična glede na izvor.
Funkcijo, ki ni niti soda niti liha, imenujemo splošna funkcija.

Povečanje funkcije
Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, tj.

Padajoča funkcija
Funkcijo f(x) imenujemo padajoča, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, tj.

Imenujemo intervale, v katerih funkcija samo pada ali samo narašča intervali monotonosti. Funkcija f(x) ima 3 intervale monotonosti:

Poiščite intervale monotonosti s storitvijo Intervali naraščajoče in padajoče funkcije

Lokalni maksimum
Pika x 0 se imenuje lokalna največja točka, če za katero koli X iz bližine točke x 0 neenakost velja: f(x 0) > f(x)

Lokalni minimum
Pika x 0 se imenuje lokalna minimalna točka, če obstaja X iz bližine točke x 0 neenakost velja: f(x 0)< f(x).

Lokalne maksimalne točke in lokalne minimalne točke imenujemo lokalne ekstremne točke.

lokalne ekstremne točke.

Funkcijska frekvenca
Funkcijo f(x) imenujemo periodična s periodo T, če sploh X velja enakost f(x+T) = f(x).

Intervali konstantnosti predznaka
Intervali, na katerih je funkcija samo pozitivna ali samo negativna, se imenujejo intervali konstantnega predznaka.

Kontinuiteta delovanja
Funkcija f(x) se imenuje zvezna v točki x 0, če je limita funkcije pri x → x 0 enaka vrednosti funkcije v tej točki, tj. .

Prelomne točke
Točke, kjer je pogoj kontinuitete kršen, se imenujejo prelomne točke.

x 0- prelomna točka.

Splošna shema za risanje funkcij

1. Poišči domeno definicije funkcije D(y).

2. Poiščite točke presečišča grafa funkcij s koordinatnimi osemi.

3. Preglejte funkcijo za sodo ali liho.

4. Preverite periodičnost funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije.

6. Poiščite intervale konveksnosti in prevojne točke funkcije.

7. Poiščite asimptote funkcije.

8. Na podlagi rezultatov raziskave sestavite graf.

primer: Raziščite funkcijo in jo narišite: y = x 3 – 3x

1) Funkcija je definirana na celotni numerični osi, tj. njena definicijska domena je D(y) = (-∞; +∞).

2) Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi:

z osjo OX: reši enačbo x 3 – 3x = 0

z osjo OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Iz tega sledi, da je funkcija liha.

4) Funkcija je neperiodična.

5) Poiščimo intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije: y’ = 3x 2 - 3.

Kritične točke: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Poiščite intervale konveksnosti in prevojne točke funkcije: y'' = 6x

Kritične točke: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funkcija je zvezna, nima asimptote.

8) Na podlagi rezultatov študije bomo zgradili graf funkcije.

Odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x, pri kateri vsaka vrednost x ustreza eni sami vrednosti y, se imenuje funkcija. Za oznako uporabimo oznako y=f(x). Vsaka funkcija ima številne osnovne lastnosti, kot so monotonost, parnost, periodičnost in druge.

Pobliže si oglejte lastnost paritete.

Funkcija y=f(x) je poklicana, tudi če izpolnjuje naslednja dva pogoja:

2. Vrednost funkcije v točki x, ki pripada domeni definicije funkcije, mora biti enaka vrednosti funkcije v točki -x. To pomeni, da mora biti za katero koli točko x iz domene definicije funkcije izpolnjena naslednja enakost: f(x) = f(-x).

Graf sode funkcije

Če narišete graf sode funkcije, bo ta simetričen glede na os Oy.

Na primer, funkcija y=x^2 je soda. Preverimo. Domen definicije je celotna numerična os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko O.

Vzemimo poljuben x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Zato je f(x) = f(-x). Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija soda. Spodaj je graf funkcije y=x^2.

Slika prikazuje, da je graf simetričen glede na os Oy.

Graf lihe funkcije

Funkcija y=f(x) se imenuje liha, če izpolnjuje naslednja dva pogoja:

1. Definicijsko področje dane funkcije mora biti simetrično glede na točko O. To pomeni, da če neka točka a pripada definicijskemu področju funkcije, mora tudi ustrezna točka -a pripadati definicijskemu področju dane funkcije.

2. Za vsako točko x mora biti iz domene definicije funkcije izpolnjena naslednja enakost: f(x) = -f(x).

Graf lihe funkcije je simetričen glede na točko O - izhodišče koordinat. Na primer, funkcija y=x^3 je liha. Preverimo. Domen definicije je celotna numerična os, kar pomeni, da je simetrična glede na točko O.

Vzemimo poljuben x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Zato je f(x) = -f(x). Tako sta izpolnjena oba pogoja, kar pomeni, da je funkcija liha. Spodaj je graf funkcije y=x^3.

Slika jasno kaže, da je liha funkcija y=x^3 simetrična glede na izvor.