Če že poznate trigonometrični krog , in si želite le osvežiti spomin na določene elemente ali pa ste popolnoma nepotrpežljivi, potem je tukaj:
Tukaj bomo vse podrobno analizirali korak za korakom.
Trigonometrični krog ni razkošje, ampak nuja
Trigonometrija
Mnogi ga povezujejo z neprehodno goščavo. Nenadoma se nabere toliko pomenov trigonometrične funkcije, toliko formul ... Ampak kot da na začetku ni šlo in ... in naprej ... popoln nesporazum ...
Zelo pomembno je, da ne obupate vrednosti trigonometričnih funkcij, - pravijo, lahko vedno pogledate spur s tabelo vrednosti.
Če nenehno gledate tabelo z vrednostmi trigonometrične formule, znebimo se te navade!
Pomagal nam bo! Večkrat boste delali z njim, potem pa se vam bo porodilo v glavi. Kako je boljši od mize? Da, v tabeli boste našli omejeno število vrednosti, na krogu pa - VSE!
Na primer, recite med gledanjem standardna tabela vrednosti trigonometričnih formul , zakaj enako sinusu, recimo 300 stopinj ali -45.
Ni šans?.. seveda se lahko povežeš redukcijske formule... In če pogledamo trigonometrični krog, lahko zlahka odgovorite na takšna vprašanja. In kmalu boste izvedeli, kako!
In pri odločanju trigonometrične enačbe in neenakosti brez trigonometrične krožnice - sploh nikjer.
Uvod v trigonometrični krog
Gremo po vrsti.
Najprej zapišimo to vrsto številk:
In zdaj še to:
In končno še to:
Seveda je jasno, da je pravzaprav na prvem mestu , na drugem mestu in na zadnjem mestu . Se pravi, bolj nas bo zanimala veriga.
Toda kako lepo se je izkazalo! Če se kaj zgodi, bomo to »čudežno lestev« obnovili.
In zakaj ga potrebujemo?
Ta veriga je glavna vrednost sinusa in kosinusa v prvem četrtletju.
Narišimo krog z enotskim polmerom v pravokotnem koordinatnem sistemu (to pomeni, da v dolžino vzamemo poljuben polmer in njegovo dolžino razglasimo za enoto).
Od nosilca "0-Start" položimo vogale v smeri puščice (glej sliko).
Na krogu dobimo ustrezne točke. Torej, če projiciramo točke na vsako od osi, potem bomo dobili točno tiste vrednosti iz zgornje verige.
Zakaj je to, se sprašujete?
Ne analizirajmo vsega. Razmislimo načelo, ki vam bo omogočil, da se spopadete z drugimi, podobnimi situacijami.
Trikotnik AOB je pravokoten in vsebuje . In vemo, da nasproti kota b leži krak, ki je velik za polovico hipotenuze (imamo hipotenuzo = polmer krožnice, to je 1).
To pomeni AB= (in torej OM=). In po pitagorejskem izreku
Upam, da je že kaj jasno?
Torej bo točka B ustrezala vrednosti, točka M pa vrednosti
Enako z drugimi vrednostmi prvega četrtletja.
Kot razumete, bo znana os (vol). kosinusna os, in os (oy) – os sinusov . Kasneje.
Levo od ničle vzdolž kosinusne osi (pod ničlo vzdolž sinusne osi) bo seveda negativne vrednosti.
Torej, tukaj je VSEMOGOČNI, brez katerega v trigonometriji ni nikamor.
Toda govorili bomo o tem, kako uporabiti trigonometrični krog.
Štetje kotov na trigonometričnem krogu.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
To je skoraj enako kot v prejšnji lekciji. Obstajajo osi, krog, kot, vse je v redu. Dodane številke četrtin (v vogalih velikega kvadrata) - od prve do četrte. Kaj če nekdo ne ve? Kot lahko vidite, četrtine (imenujejo jih tudi lepa beseda"kvadranta") so oštevilčeni v nasprotni smeri urinega kazalca. Dodane vrednosti kotov na oseh. Vse je jasno, brez težav.
In dodana je zelena puščica. S plusom. Kaj to pomeni? Naj vas spomnim, da je fiksna stranica kota Nenehno pribit na pozitivno pol os OX. Torej, če zavrtimo gibljivo stran kota ob puščici s plusom, tj. v naraščajočem vrstnem redu četrtin, bo kot pozitiven. Na sliki je kot primer prikazan pozitivni kot +60°.
Če odložimo vogale v nasprotni smeri, v smeri urinega kazalca, bo kot negativen. Premaknite kazalec nad sliko (ali se dotaknite slike na tablici), videli boste modro puščico z znakom minus. To je smer odčitavanja negativnega kota. Prikazan je na primer negativni kot (- 60°). In videli boste tudi, kako so se spremenile številke na oseh ... Pretvoril sem jih tudi v negativne kote. Oštevilčenje kvadrantov se ne spremeni.
Tu se običajno začnejo prvi nesporazumi. Kako to!? Kaj pa, če negativni kot na krožnici sovpada s pozitivnim!? In na splošno se izkaže, da lahko isti položaj gibljive strani (ali točke na številskem krogu) imenujemo tako negativni kot kot pozitiven!?
ja točno tako. Recimo, da pozitivni kot 90 stopinj zajema krog povsem enako položaj kot negativni kot minus 270 stopinj. Pozitiven kot, na primer, +110° stopinj povsem enako položaj kot negativni kot -250°.
Brez težav. Vse je pravilno.) Izbira pozitivnega ali negativnega izračuna kota je odvisna od pogojev naloge. Če pogoj ne pove nič v čistem besedilu o predznaku kota, (kot "določite najmanjši pozitivno kot« itd.), potem delamo z vrednostmi, ki so nam primerne.
Izjema (kako bi živeli brez njih?!) so trigonometrične neenakosti, a tam bomo ta trik obvladali.
In zdaj vprašanje za vas. Kako sem vedel, da je položaj kota 110° enak položaju kota -250°?
Naj namignem, da je to povezano s popolno revolucijo. V 360°... Ni jasno? Nato narišemo krog. Narišemo ga sami, na papir. Označevanje vogala približno 110°. IN mislimo, koliko časa je še do popolne revolucije. Samo 250° bo ostalo...
Razumem? In zdaj - pozor! Če kota 110° in -250° zavzemata krog enako
situacija, kaj potem? Da, kota sta 110° in -250° povsem enako
sinus, kosinus, tangens in kotangens!
Tisti. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) in tako naprej. Zdaj je to res pomembno! In samo po sebi je veliko nalog, kjer morate poenostaviti izraze in kot osnovo za poznejše obvladovanje redukcijskih formul in drugih zapletenosti trigonometrije.
Seveda sem vzel 110° in -250° naključno, čisto za primer. Vse te enakosti veljajo za vse kote, ki zavzemajo enak položaj na krogu. 60° in -300°, -75° in 285° itd. Naj takoj opozorim, da so koti v teh parih drugačen. Vendar imajo trigonometrične funkcije - enako.
Mislim, da razumete, kaj so negativni koti. Čisto preprosto je. V nasprotni smeri urinega kazalca - pozitivno štetje. Na poti - negativno. Upoštevajte kot pozitiven ali negativen odvisno od nas. Od naše želje. No, pa tudi iz naloge, seveda... Upam, da razumeš, kako se v trigonometričnih funkcijah premika od negativnih kotov k pozitivnim kotom in nazaj. Narišite krog, približni kot in poglejte, koliko manjka za popolni obrat, tj. do 360°.
Koti večji od 360°.
Ukvarjajmo se s koti, ki so večji od 360°. Ali obstajajo take stvari? Seveda obstajajo. Kako jih narisati na krog? Brez problema! Recimo, da moramo razumeti, v katero četrtino bo padel kot 1000°? Enostavno! Naredimo en polni obrat v nasprotni smeri urinega kazalca (kot, ki smo ga dobili, je pozitiven!). Zavrteli smo za 360°. Pa gremo naprej! Še en obrat - že je 720°. Koliko je ostalo? 280°. Ni dovolj za polni obrat ... Toda kot je več kot 270 ° - in to je meja med tretjo in četrto četrtino. Zato naš kot 1000° pade v četrto četrtino. Vse.
Kot lahko vidite, je povsem preprosto. Naj vas še enkrat spomnim, da sta kota 1000° in kota 280°, ki smo ju dobili tako, da smo zavrgli »odvečne« polne vrtljaje, strogo gledano oz. drugačen vogali. Toda trigonometrične funkcije teh kotov povsem enako! Tisti. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Če bi bil sinus, ne bi opazil razlike med tema dvema kotoma...
Zakaj je vse to potrebno? Zakaj moramo pretvarjati kote iz enega v drugega? Da, vsi za isto stvar.) Da bi poenostavili izraze. Poenostavitev izrazov pravzaprav glavna nalogašolska matematika. No, in na poti se glava trenira.)
No, vadimo?)
Odgovarjamo na vprašanja. Najprej preproste.
1. V katero četrtino spada kot -325°?
2. V katero četrtino spada kot 3000°?
3. V katero četrtino spada kot -3000°?
Tukaj je problem? Ali negotovost? Pojdimo na razdelek 555, Praktično delo s trigonometričnim krogom. Tam, v prvi lekciji te zelo " Praktično delo..." vse v podrobnosti ... In takega vprašanja negotovosti ne bi smel!
4. Kakšen predznak ima sin555°?
5. Kakšen predznak ima tg555°?
Ste se odločili? Super! Imate kakšne dvome? Morate iti v razdelek 555 ... Mimogrede, tam se boste naučili risati tangento in kotangens na trigonometričnem krogu. Zelo uporabna stvar.
In zdaj so vprašanja bolj prefinjena.
6. Reduciraj izraz sin777° na sinus najmanjšega pozitivnega kota.
7. Zmanjšaj izraz cos777° na kosinus največjega negativnega kota.
8. Zmanjšaj izraz cos(-777°) na kosinus najmanjšega pozitivnega kota.
9. Zmanjšaj izraz sin777° na sinus največjega negativnega kota.
Kaj, vprašanja 6-9 so vas zmedla? Navadite se, na Enotnem državnem izpitu ne najdete takšnih formulacij ... Tako bo, prevedel bom. Samo zate!
Besede "prenesti izraz v ..." pomenijo preoblikovati izraz tako, da je njegov pomen se ni spremenilo A videz spremenjeno glede na nalogo. Torej, v nalogah 6 in 9 moramo dobiti sinus, znotraj katerega je najmanjši pozitivni kot. Vse drugo ni pomembno.
Odgovore bom dal po vrsti (v nasprotju z našimi pravili). Kaj storiti, znaki sta samo dve, četrti pa samo štiri ... Ne boste razvajeni.
6. greh57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -sin (-57°)
Predvidevam, da so odgovori na vprašanja 6-9 nekatere ljudi zmedli. Še posebej -sin (-57°), res?) Dejansko je v elementarnih pravilih za izračun kotov prostor za napake ... Zato sem moral opraviti lekcijo: "Kako določiti znake funkcij in podati kote na trigonometričnem krogu?" V razdelku 555. Tam so zajete naloge 4–9. Dobro urejeno, z vsemi pastmi. In tukaj so.)
V naslednji lekciji se bomo ukvarjali s skrivnostnimi radiani in številom "Pi". Naučimo se enostavno in pravilno pretvoriti stopinje v radiane in obratno. In presenečeni bomo, ko odkrijemo, da so te osnovne informacije na spletnem mestu dovolj že rešiti nekaj trigonometričnih problemov po meri!
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Predznak trigonometrične funkcije je odvisen izključno od koordinatnega kvadranta, v katerem se nahaja numerični argument. Zadnjič smo se naučili pretvarjati argumente iz radianske mere v stopinjsko mero (glejte lekcijo “Radianska in stopinjska mera kota”) in nato določiti to isto koordinatno četrtino. Zdaj pa se dejansko lotimo določanja predznaka sinusa, kosinusa in tangensa.
Sinus kota α je ordinata (y koordinata) točke na trigonometrični krog, ki nastane, ko se polmer zasuka za kot α.
Kosinus kota α je abscisa (koordinata x) točke na trigonometričnem krogu, ki nastane, ko se polmer zasuka za kot α.
Tangens kota α je razmerje med sinusom in kosinusom. Ali, kar je isto, razmerje med koordinato y in koordinato x.
Zapis: sin α = y ; cos α = x; tg α = y : x .
Vse te definicije so vam znane iz srednješolske algebre. Vendar nas ne zanimajo definicije same, temveč posledice, ki nastanejo na trigonometričnem krogu. Poglej:
Modra barva označuje pozitivno smer osi OY (ordinatna os), rdeča označuje pozitivno smer osi OX (abscisna os). Na tem "radarju" postanejo znaki trigonometričnih funkcij očitni. Še posebej:
- sin α > 0, če kot α leži v I ali II koordinatnem kvadrantu. To je zato, ker je po definiciji sinus ordinata (y koordinata). In koordinata y bo pozitivna ravno v I in II koordinatnih četrtinah;
- cos α > 0, če kot α leži v 1. ali 4. koordinatnem kvadrantu. Ker bo samo tam koordinata x (ali abscisa) večja od nič;
- tan α > 0, če kot α leži v I ali III koordinatnem kvadrantu. To izhaja iz definicije: navsezadnje je tan α = y : x, torej je pozitiven samo tam, kjer predznaka x in y sovpadata. To se zgodi v prvi koordinatni četrtini (tukaj x > 0, y > 0) in tretji koordinatni četrtini (x< 0, y < 0).
Zaradi jasnosti si zabeležimo znake vsake trigonometrične funkcije - sinus, kosinus in tangens - na ločenih "radarjih". Dobimo naslednjo sliko:
Upoštevajte: v svojih razpravah nikoli nisem govoril o četrti trigonometrični funkciji - kotangensu. Dejstvo je, da kotangensni znaki sovpadajo s tangentnimi znaki - tam ni posebnih pravil.
Zdaj predlagam, da razmislimo o primerih, podobnih težavam B11 iz testnega enotnega državnega izpita iz matematike, ki je potekal 27. septembra 2011. Konec koncev, Najboljši način razumevanje teorije je praksa. Priporočljivo je veliko vaditi. Seveda so bili pogoji nalog nekoliko spremenjeni.
Naloga. Določite znake trigonometričnih funkcij in izrazov (vrednosti samih funkcij ni treba izračunati):
- greh (3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Akcijski načrt je naslednji: najprej pretvorimo vse kote iz radianskih mer v stopinje (π → 180°), nato pa pogledamo, v kateri koordinatni četrtini leži dobljeno število. S poznavanjem četrti zlahka najdemo znake - po pravkar opisanih pravilih. Imamo:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Ker je 135° ∈ , je to kot iz koordinatnega kvadranta II. Toda sinus v drugi četrtini je pozitiven, torej sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Ker 210° ∈ , to je kot iz III koordinatnega kvadranta, v katerem so vsi kosinusi negativni. Zato cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ smo v četrtini IV, kjer tangenta zavzame negativne vrednosti. Zato tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Ukvarjajmo se s sinusom: ker 135° ∈ , to je druga četrtina, v kateri so sinusi pozitivni, tj. sin (3π/4) > 0. Zdaj delamo s kosinusom: 150° ∈ - spet druga četrtina, tamkajšnji kosinus je negativen. Zato cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Pogledamo kosinus: 120° ∈ je II koordinatna četrtina, torej cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый pravilni kot v trigonometriji). Tamkajšnji tangens je pozitiven, torej tan (π/4) > 0. Spet dobimo produkt, v katerem imajo faktorji različne predznake. Ker "minus za plus daje minus", imamo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Delamo s sinusom: od 150° ∈ govorimo o II koordinatni četrtini, kjer so sinusi pozitivni. Zato je sin (5π/6) > 0. Podobno je 315° ∈ IV koordinatna četrtina, tam so kosinusi pozitivni. Torej cos (7π/4) > 0. Dobili smo produkt dveh pozitivnih števil - tak izraz je vedno pozitiven. Sklepamo: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Toda kot 135° ∈ je druga četrtina, tj. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Ker "minus za plus daje znak minus," imamo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Pogledamo argument kotangensa: 240° ∈ je koordinatna četrtina III, torej ctg (4π/3) > 0. Podobno velja za tangento: 30° ∈ je koordinatna četrtina I, tj. najpreprostejši kot. Zato je tan (π/6) > 0. Spet imamo dva pozitivna izraza - tudi njun produkt bo pozitiven. Zato je cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Za zaključek si poglejmo še nekaj kompleksne naloge. Poleg tega, da ugotovite predznak trigonometrične funkcije, boste morali tukaj narediti malo matematike - natanko tako, kot je to storjeno pri resničnih nalogah B11. Načeloma so to skoraj resnične težave, ki se dejansko pojavljajo na Enotnem državnem izpitu iz matematike.
Naloga. Poiščite sin α, če je sin 2 α = 0,64 in α ∈ [π/2; π].
Ker je sin 2 α = 0,64, imamo: sin α = ±0,8. Ostaja le še odločitev: plus ali minus? Po pogoju kot α ∈ [π/2; π] je II koordinatna četrtina, kjer so vsi sinusi pozitivni. Zato je sin α = 0,8 - negotovost s predznaki je odpravljena.
Naloga. Poiščite cos α, če je cos 2 α = 0,04 in α ∈ [π; 3π/2].
Podobno ravnamo, tj. ekstrakt Kvadratni koren: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Po pogoju kot α ∈ [π; 3π/2], tj. Govorimo o tretji koordinatni četrtini. Vsi tamkajšnji kosinusi so negativni, tako da je cos α = −0,2.
Naloga. Poiščite sin α, če je sin 2 α = 0,25 in α ∈ .
Imamo: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Ponovno pogledamo kot: α ∈ je IV koordinatna četrtina, v kateri bo, kot vemo, sinus negativen. Tako sklepamo: sin α = −0,5.
Naloga. Poiščite tan α, če je tan 2 α = 9 in α ∈ .
Vse je isto, samo za tangento. Izvlecite kvadratni koren: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Toda po pogoju je kot α ∈ I koordinatna četrtina. Vse trigonometrične funkcije, vklj. tangenta, obstajajo pozitivni, torej tan α = 3. To je to!
Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.
Geometrijska definicija
|BD| - dolžina krožnega loka s središčem v točki A.
α je kot, izražen v radianih.
Tangenta ( tan α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotni trikotnik, enako razmerju dolžine nasprotne stranice |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .
Kotangens ( ctg α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| .
Tangenta
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
Kotangens
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
;
;
.
Graf funkcije kotangens, y = ctg x
Lastnosti tangensa in kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x in y = ctg x so periodični s periodo π.
Pariteta
Funkciji tangens in kotangens sta lihi.
Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje
Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celota).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Obseg in kontinuiteta | ||
| Razpon vrednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povečanje | - | |
| Sestopanje | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Ničle, y = 0 | ||
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa
;
;
;
;
;
Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike
Preostale formule je na primer enostavno dobiti
Produkt tangent
Formula za vsoto in razliko tangent
Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta. 
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami
;
;
Odvod
; .
.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>
Integrali
Razširitve serije
Če želite dobiti razširitev tangente na potenco x, morate vzeti več členov razširitve v potenčne vrste za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, . To ustvari naslednje formule.
Ob .
ob .
Kje Bn- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
;
;
Kje .
Ali po Laplaceovi formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzne funkcije na tangento in kotangens sta arktangens oziroma arkotangens.
Arktangens, arctg
, Kje n- cela.
Arkotangens, arcctg
, Kje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.
Omogoča vam, da določite številne značilne rezultate - lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. V tem članku si bomo ogledali tri glavne lastnosti. Prvi od njih označuje znake sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota α, odvisno od tega, pod kotom katere koordinatne četrtine je α. Nato bomo preučili lastnost periodičnosti, ki določa nespremenljivost vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota α, ko se ta kot spremeni za celo število vrtljajev. Tretja lastnost izraža razmerje med vrednostmi sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa nasprotnih kotov α in −α.
Če vas zanimajo lastnosti funkcij sinus, kosinus, tangens in kotangens, jih lahko preučite v ustreznem razdelku članka.
Navigacija po strani.
Predznaki sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa po četrtinah
Spodaj v tem odstavku se pojavi besedna zveza "kota I, II, III in IV koordinatne četrtine". Razložimo, kaj so ti koti.
Vzemimo enotski krog, na njem označimo začetno točko A(1, 0) in ga zavrtimo okoli točke O za kot α ter predpostavimo, da bomo prišli do točke A 1 (x, y).
To pravijo kot α je kot I, II, III, IV koordinatnega kvadranta, če točka A 1 leži v četrtini I, II, III, IV; če je kot α tak, da točka A 1 leži na kateri koli koordinatni premici Ox ali Oy, potem ta kot ne pripada nobeni od štirih četrtin.
Za jasnost je tukaj grafična ilustracija. Spodnje risbe prikazujejo rotacijske kote 30, −210, 585 in −45 stopinj, ki so koti koordinatnih četrtin I, II, III in IV.
Koti 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopinje ne pripadajo nobeni koordinatni četrtini.
Zdaj pa ugotovimo, kateri znaki imajo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa rotacijskega kota α, odvisno od tega, kateri četrtinski kot je α.
Za sinus in kosinus je to enostavno narediti.
Po definiciji je sinus kota α ordinata točke A 1. Očitno je v I in II koordinatnih četrtinah pozitivna, v III in IV četrtinah pa negativna. Tako ima sinus kota α v 1. in 2. četrtini predznak plus, v 3. in 6. četrtini pa predznak minus.
Po drugi strani pa je kosinus kota α abscisa točke A 1. V I in IV četrtini je pozitiven, v II in III četrtini pa negativen. Posledično so vrednosti kosinusa kota α v četrtinah I in IV pozitivne, v četrtinah II in III pa so negativne.
Če želite določiti znake po četrtinah tangente in kotangensa, se morate spomniti njihovih definicij: tangenta je razmerje med ordinato točke A 1 in absciso, kotangens pa je razmerje med absciso točke A 1 in ordinato. Potem od pravila za deljenje števil z enakim in različna znamenja iz tega sledi, da imata tangens in kotangens predznak plus, kadar sta abscisni in ordinatni predznak točke A 1 enaka, in minus, kadar sta abscisni in ordinatni predznak točke A 1 različna. Posledično imata tangens in kotangens kota v I in III koordinatni četrtini znak +, v II in IV četrtini pa znak minus.
Dejansko sta na primer v prvi četrtini tako abscisa x kot ordinata y točke A 1 pozitivni, potem sta količnik x/y in količnik y/x pozitivna, zato imata tangens in kotangens predznak +. In v drugi četrtini je abscisa x negativna, ordinata y pa pozitivna, zato sta tako x/y kot y/x negativna, zato imata tangens in kotangens predznak minus.
Pojdimo k naslednji lastnosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.
Lastnost periodičnosti
Zdaj si bomo ogledali morda najbolj očitno lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota. To je naslednje: ko se kot spremeni za celo število polnih vrtljajev, se vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa tega kota ne spremenijo.
To je razumljivo: ko se kot spremeni za celo število vrtljajev, bomo vedno prišli od začetne točke A do točke A 1 na enotskem krogu, zato vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostanejo nespremenjene, saj so koordinate točke A 1 nespremenjene.
Z uporabo formul lahko obravnavano lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa zapišemo takole: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kjer je α rotacijski kot v radianih, z je poljuben, katerega absolutna vrednost označuje število polnih vrtljajev, za katere spreminja kot α, predznak števila z pa označuje smer obrata.
Če je rotacijski kot α določen v stopinjah, bodo navedene formule prepisane kot sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .
Navedimo primere uporabe te lastnosti. na primer 
, Ker 
, A 
. Tu je še en primer: ali .
Ta lastnost se skupaj z redukcijskimi formulami zelo pogosto uporablja pri izračunu vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa "velikih" kotov.
Obravnavana lastnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa se včasih imenuje lastnost periodičnosti.
Lastnosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov
Naj bo A 1 točka, ki jo dobimo z vrtenjem začetne točke A(1, 0) okoli točke O za kot α, točka A 2 pa rezultat vrtenja točke A za kot −α, nasproten kotu α.
Lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov temelji na dokaj očitnem dejstvu: zgoraj omenjeni točki A 1 in A 2 bodisi sovpadata (at) ali sta nameščeni simetrično glede na os Ox. Če ima točka A 1 koordinate (x, y), bo imela točka A 2 koordinate (x, −y). Od tu z uporabo definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa zapišemo enakosti in .
Če jih primerjamo, pridemo do razmerij med sinusi, kosinusi, tangenti in kotangensi nasprotnih kotov α in −α oblike.
To je obravnavana lastnost v obliki formul.
Navedimo primere uporabe te lastnosti. Na primer, enakosti in 
.
Omeniti velja le, da se lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov, tako kot prejšnja lastnost, pogosto uporablja pri izračunu vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa in vam omogoča, da se popolnoma izognete negativnim koti.
Bibliografija.
- Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
- Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
- Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovič A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.