Eno izmed področij matematike, s katerim se učenci najbolj mučijo, je trigonometrija. Ni presenetljivo: za svobodno obvladovanje tega področja znanja potrebujete prostorsko razmišljanje, sposobnost iskanja sinusov, kosinusov, tangentov, kotangensov s pomočjo formul, poenostavitev izrazov in sposobnost uporabe števila pi v izračuni. Poleg tega morate pri dokazovanju izrekov znati uporabljati trigonometrijo, kar zahteva bodisi razvit matematični spomin bodisi sposobnost izpeljave zapletenih logičnih verig.
Izvori trigonometrije
Spoznavanje te vede bi se moralo začeti z definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota, najprej pa morate razumeti, kaj na splošno počne trigonometrija.
Zgodovinsko gledano so bili glavni predmet študija v tej veji matematične znanosti pravokotni trikotniki. Prisotnost kota 90 stopinj omogoča izvajanje različnih operacij, ki omogočajo določitev vrednosti vseh parametrov zadevne figure z uporabo dveh strani in enega kota ali dveh kotov in ene strani. V preteklosti so ljudje opazili ta vzorec in ga začeli aktivno uporabljati pri gradnji zgradb, navigaciji, astronomiji in celo v umetnosti.
Začetna faza
Sprva so o razmerju med koti in stranicami govorili zgolj na primeru pravokotne trikotnike. Nato so bile odkrite posebne formule, ki so omogočile razširitev meja uporabe v vsakdanjem življenju to vejo matematike.
Študij trigonometrije se danes v šoli začne s pravokotnimi trikotniki, nato pa učenci pridobljeno znanje uporabljajo pri fiziki in reševanju abstraktnih problemov. trigonometrične enačbe, delo s katerim se začne v srednji šoli.
Sferična trigonometrija
Kasneje, ko je znanost dosegla naslednjo stopnjo razvoja, so se formule s sinusom, kosinusom, tangensom, kotangensom začele uporabljati v sferični geometriji, kjer veljajo drugačna pravila, vsota kotov v trikotniku pa je vedno večja od 180 stopinj. Ta razdelek se ne preučuje v šoli, vendar je treba vedeti o njegovem obstoju vsaj zato zemeljsko površje, površina katerega koli drugega planeta pa je konveksna, kar pomeni, da bo vsaka površinska oznaka v tridimenzionalnem prostoru "oblika loka".
Vzemi globus in nit. Pripnite nit na poljubni dve točki na globusu, tako da bo napeta. Upoštevajte - dobil je obliko loka. S takšnimi oblikami se ukvarja sferična geometrija, ki se uporablja v geodeziji, astronomiji in drugih teoretičnih in uporabnih področjih.
Pravokotni trikotnik
Ko smo se malo naučili o načinih uporabe trigonometrije, se vrnimo k osnovni trigonometriji, da bi nadalje razumeli, kaj so sinus, kosinus, tangens, katere izračune je mogoče izvesti z njihovo pomočjo in katere formule uporabiti.
Prvi korak je razumevanje pojmov, povezanih s pravokotnim trikotnikom. Prvič, hipotenuza je stran nasproti kota 90 stopinj. Je najdaljša. Spomnimo se, da je po Pitagorovem izreku njegova numerična vrednost enaka korenu vsote kvadratov drugih dveh strani.
Na primer, če sta obe strani dolgi 3 oziroma 4 centimetre, bo dolžina hipotenuze 5 centimetrov. Mimogrede, stari Egipčani so za to vedeli pred približno štiri tisoč leti in pol.
Dve preostali stranici, ki tvorita pravi kot, imenujemo kraki. Poleg tega se moramo spomniti, da je vsota kotov v trikotniku v pravokotnem koordinatnem sistemu enaka 180 stopinj.
Opredelitev
Končno se lahko s trdnim razumevanjem geometrijske osnove obrnemo na definicijo sinusa, kosinusa in tangensa kota.
Sinus kota je razmerje med nasprotnim krakom (tj. stranjo nasproti želenega kota) in hipotenuzo. Kosinus kota je razmerje med sosednjo stranjo in hipotenuzo.
Ne pozabite, da niti sinus niti kosinus ne moreta biti večja od ena! Zakaj? Ker je hipotenuza privzeto najdaljša, ne glede na to, kako dolg je krak, bo krajši od hipotenuze, kar pomeni, da bo njuno razmerje vedno manjše od ena. Če torej v odgovoru na nalogo dobite sinus ali kosinus z vrednostjo, večjo od 1, poiščite napako v izračunih ali sklepanju. Ta odgovor očitno ni pravilen.
Končno je tangens kota razmerje med nasprotno stranico in sosednjo stranjo. Enak rezultat bo dal deljenje sinusa s kosinusom. Poglejte: po formuli dolžino stranice delimo s hipotenuzo, nato delimo z dolžino druge stranice in pomnožimo s hipotenuzo. Tako dobimo enako razmerje kot pri definiciji tangente.
Kotangens je torej razmerje med stranjo, ki meji na vogalu, in nasprotno stranjo. Enak rezultat dobimo, če ena delimo s tangento.
Tako smo si ogledali definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa in lahko nadaljujemo s formulami.
Najenostavnejše formule
V trigonometriji ne morete brez formul - kako najti sinus, kosinus, tangens, kotangens brez njih? A prav to je tisto, kar se zahteva pri reševanju problemov.
Prva formula, ki jo morate poznati, ko začnete študirati trigonometrijo, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa kota enaka ena. Ta formula je neposredna posledica Pitagorovega izreka, vendar prihrani čas, če morate poznati velikost kota in ne strani.
Mnogi učenci se ne morejo spomniti druge formule, ki je prav tako zelo priljubljena pri reševanju šolskih nalog: vsota ena in kvadrata tangensa kota je enaka ena, deljena s kvadratom kosinusa kota. Poglejte natančneje: to je ista izjava kot v prvi formuli, le da sta bili obe strani identitete deljeni s kvadratom kosinusa. Izkazalo se je, da preprosta matematična operacija trigonometrična formula popolnoma neprepoznaven. Ne pozabite: vedeti, kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens, pravila pretvorbe in več osnovne formule lahko kadar koli dvignete zahtevano več kompleksne formule na kos papirja.
Formule za dvojne kote in seštevanje argumentov
Še dve formuli, ki se ju morate naučiti, sta povezani z vrednostma sinusa in kosinusa za vsoto in razliko kotov. Predstavljeni so na spodnji sliki. Upoštevajte, da se v prvem primeru sinus in kosinus obakrat pomnožita, v drugem pa se doda parni produkt sinusa in kosinusa.
Obstajajo tudi formule, povezane z argumenti dvojnega kota. Popolnoma izhajajo iz prejšnjih - kot prakso jih poskusite dobiti sami, tako da vzamete kot alfa enak kotu beta.
Nazadnje upoštevajte, da je mogoče formule dvojnega kota preurediti, da zmanjšate moč sinusa, kosinusa in tangensa alfa.
Izreki
Dva glavna izreka v osnovni trigonometriji sta sinusni izrek in kosinusni izrek. S pomočjo teh izrekov lahko zlahka razumete, kako najti sinus, kosinus in tangens, s tem pa površino figure in velikost vsake strani itd.
Sinusni izrek pravi, da deljenje dolžine vsake stranice trikotnika z nasprotnim kotom povzroči isto število. Poleg tega bo to število enako dvema polmeroma opisanega kroga, to je kroga, ki vsebuje vse točke danega trikotnika.
Kosinusni izrek posplošuje Pitagorov izrek in ga projicira na vse trikotnike. Izkazalo se je, da od vsote kvadratov obeh strani odštejemo njihov produkt, pomnožen z dvojnim kosinusom sosednjega kota - dobljena vrednost bo enaka kvadratu tretje strani. Tako se izkaže, da je Pitagorov izrek poseben primer kosinusnega izreka.
Nepazljive napake
Tudi če vemo, kaj so sinus, kosinus in tangens, je enostavno narediti napako zaradi odsotnosti ali napake v najpreprostejših izračunih. Da bi se izognili takšnim napakam, si poglejmo najbolj priljubljene.
Prvič, ulomkov ne smete pretvarjati v decimalke, dokler ne dobite končnega rezultata – odgovor lahko pustite kot navadni ulomek, razen če je v pogojih navedeno drugače. Takšne preobrazbe ne moremo imenovati napaka, vendar se je treba spomniti, da se lahko na vsaki stopnji problema pojavijo nove korenine, ki jih je treba po avtorjevi zamisli zmanjšati. V tem primeru boste izgubljali čas za nepotrebne matematične operacije. To še posebej velja za vrednosti, kot sta koren iz tri ali koren iz dva, saj jih najdemo v težavah na vsakem koraku. Enako velja za zaokroževanje "grdih" številk.
Upoštevajte tudi, da kosinusni izrek velja za vsak trikotnik, ne pa za Pitagorov izrek! Če pomotoma pozabite dvakrat odšteti produkt stranic, pomnožen s kosinusom kota med njima, ne boste le dobili popolnoma napačnega rezultata, ampak boste tudi pokazali popolno nerazumevanje predmeta. To je hujše kot napaka iz neprevidnosti.
Tretjič, ne zamenjujte vrednosti za kote 30 in 60 stopinj za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapomnite si te vrednosti, saj je sinus 30 stopinj enak kosinusu 60 in obratno. Zlahka jih je zamenjati, zaradi česar boste neizogibno dobili napačen rezultat.
Aplikacija
Mnogi študenti se ne mudi, da bi začeli študirati trigonometrijo, ker ne razumejo njenega praktičnega pomena. Kaj je sinus, kosinus, tangens za inženirja ali astronoma? To so koncepti, s katerimi lahko izračunate razdaljo do oddaljenih zvezd, napoveste padec meteorita ali pošljete raziskovalno sondo na drug planet. Brez njih ni mogoče zgraditi stavbe, načrtovati avtomobila, izračunati obremenitev površine ali poti predmeta. In to so le najbolj očitni primeri! Navsezadnje se trigonometrija v takšni ali drugačni obliki uporablja povsod, od glasbe do medicine.
Za zaključek
Torej ste sinus, kosinus, tangens. Uporabite jih lahko pri računanju in uspešno rešujete šolske naloge.
Bistvo trigonometrije je v tem, da morate z uporabo znanih parametrov trikotnika izračunati neznanke. Skupaj je šest parametrov: dolžina tri strani in velikosti treh kotov. Edina razlika pri nalogah je ta, da so podani različni vhodni podatki.
Kako najti sinus, kosinus, tangens na podlagi znane dolžine noge ali hipotenuza, zdaj veste. Ker ti izrazi ne pomenijo nič drugega kot razmerje, razmerje pa je ulomek, je glavni cilj trigonometričnega problema najti korenine navadne enačbe ali sistema enačb. In tu vam bo pomagala redna šolska matematika.
Sinus je ena od osnovnih trigonometričnih funkcij, katere uporaba ni omejena le na geometrijo. Tabele za izračun trigonometričnih funkcij, kot so inženirski kalkulatorji, niso vedno pri roki, izračun sinusa pa je včasih potreben za reševanje različnih problemov. Na splošno bo izračun sinusa pomagal pri utrjevanju risarskih veščin in znanja o trigonometričnih identitetah.
Igre z ravnilom in svinčnikom
Preprosta naloga: kako najti sinus kota, narisanega na papir? Če želite to rešiti, boste potrebovali običajno ravnilo, trikotnik (ali šestilo) in svinčnik. Sinus kota najenostavneje izračunamo tako, da skrajni krak trikotnika s pravim kotom delimo z daljšo stranjo - hipotenuzo. Tako morate najprej dopolniti ostri kot do oblike pravokotnega trikotnika, tako da narišete črto, pravokotno na enega od žarkov na poljubni razdalji od vrha kota. Ohraniti bomo morali kot točno 90°, za kar potrebujemo klerikalni trikotnik.
Uporaba kompasa je nekoliko natančnejša, vendar bo trajalo več časa. Na enem od žarkov morate na določeni razdalji označiti 2 točki, na kompasu nastaviti polmer, ki je približno enak razdalji med točkama, in narisati polkroge s središči na teh točkah, dokler ne dobite presečišč teh črt. S povezovanjem presečišč naših krogov med seboj dobimo strogo pravokotno na žarek našega kota; ostane le, da podaljšamo črto, dokler se ne seka z drugim žarkom.
V dobljenem trikotniku morate z ravnilom izmeriti stran nasproti vogala in dolgo stran na enem od žarkov. Razmerje med prvo dimenzijo in drugo bo želena vrednost sinusa oster kot.
Poiščite sinus za kot, večji od 90°
Za tupi kot naloga ni veliko težja. Iz oglišča moramo z ravnilom potegniti žarek v nasprotni smeri, da z enim od žarkov kota, ki nas zanima, tvori premico. Nastali ostri kot je treba obravnavati, kot je opisano zgoraj; sinusi sosednjih kotov, ki skupaj tvorijo obratni kot 180°, so enaki.
Računanje sinusa z uporabo drugih trigonometričnih funkcij
Prav tako je izračun sinusa možen, če so znane vrednosti drugih trigonometričnih funkcij kota ali vsaj dolžine stranic trikotnika. Pri tem nam bodo pomagale trigonometrične identitete. Poglejmo pogoste primere.
Kako najti sinus z znanim kosinusom kota? Prva trigonometrična istovetnost, ki temelji na Pitagorovem izreku, pravi, da je vsota kvadratov sinusa in kosinusa istega kota enaka ena.
Kako najti sinus z znanim tangensom kota? Tangens dobimo tako, da oddaljeno stran delimo z bližnjo stranjo ali sinus delimo s kosinusom. Tako bo sinus produkt kosinusa in tangensa, kvadrat sinusa pa kvadrat tega produkta. Kvadrat kosinusa nadomestimo z razliko med enoto in kvadratnim sinusom v skladu s prvo trigonometrično istovetnostjo in s preprostimi manipulacijami enačbo reduciramo na izračun kvadratnega sinusa skozi tangens; v skladu s tem boste izračunali sinus izluščiti koren dobljenega rezultata.
Kako najti sinus z znanim kotangensom kota? Vrednost kotangensa lahko izračunate tako, da dolžino kraka, ki je najbližje kotu, delite z dolžino oddaljenega kraka, pa tudi kosinus delite s sinusom, to pomeni, da je kotangens funkcija, inverzna relativnemu tangentu na število 1. Za izračun sinusa lahko izračunate tangens z uporabo formule tg α = 1 / ctg α in uporabite formulo v drugi možnosti. Po analogiji s tangento lahko izpeljete tudi direktno formulo, ki bo videti takole.
Kako najti sinus treh strani trikotnika
Obstaja formula za iskanje dolžine neznane stranice katerega koli trikotnika, ne le pravokotnega trikotnika, iz dveh znanih strani z uporabo trigonometrične funkcije kosinusa nasprotnega kota. Izgleda takole.
Srednja stopnja
Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)
PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. ZAČETNA STOPNJA.
Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,
in v tem
in v tem 
Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.
Pozor na risbo!
Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!
No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek.
Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je poznavalcem prinesla veliko koristi. In najboljše pri tem je, da je preprosto.
Torej, Pitagorov izrek:
Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?
Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo. 
Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:
"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."
Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.
Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.
Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?
Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?
Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starodobnikom, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:
Zdaj bi moralo biti enostavno:
| Kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadrati nog. |
No, najpomembnejši izrek o pravokotnih trikotnikih je bil obravnavan. Če vas zanima, kako se dokazuje, si preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.
Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti težave o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:
Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave 1 - 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!
1.
Pravzaprav zveni takole:
Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda obstaja! To je noga!
Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in
Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:
Poglejte, kako kul je:
Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.
Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?
Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?
In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:
Nadaljevanje
Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.
 |
Pitagorov izrek: |
Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek
Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje
Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako naj to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.
Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!
Sedaj povežimo označene točke
Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.
Kolikšna je površina večjega kvadrata? prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.
Sestavimo vse skupaj.
Pretvorimo:
Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.
Pravokotni trikotnik in trigonometrija
Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:
Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo
Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.
In še enkrat vse to v obliki tablete:
Zelo je priročno!
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov
I. Na dveh straneh
II. Po nogi in hipotenuzi
III. S hipotenuzo in ostrim kotom
IV. Ob kraku in ostrem kotu
a) 
b) 
Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:
POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.
Nujno je, da v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.
Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?
Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
I. Vzdolž ostrega kota
II. Na dveh straneh
III. Po nogi in hipotenuzi
Mediana v pravokotnem trikotniku
Zakaj je temu tako?
Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.
Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?
In kaj iz tega sledi?
Tako se je izkazalo, da
- - mediana:
Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!
Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.
Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko
Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Kaj se je torej zgodilo?
Pa začnimo s tem “poleg ...”.
Poglejmo in.
Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!
Enako lahko rečemo za in
Zdaj pa ga narišimo skupaj:
Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?
No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.
Zapišimo razmerja korespondentnih strank:
Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":
Torej, uporabimo podobnost: .
Kaj bo zdaj?
Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:
Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat
Pitagorov izrek:
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- na dveh straneh:
- po kateti in hipotenuzi: oz
- vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
- vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
- s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:
- en oster vogal: oz
- iz sorazmernosti dveh nog:
- iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku
- Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
- Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
- Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
- Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .
Višina pravokotnega trikotnika: oz.
V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz oglišča pravi kot, je enako polovici hipotenuze: .
Območje pravokotnega trikotnika:
- preko nog:
Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.
Geometrijska definicija
|BD|
- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.
α je kot, izražen v radianih. Tangenta () tan α
je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .) Kotangens (
ctg α
je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta
kje
.
;
;
.
n
- cela.
je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta
V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
;
;
.
Kotangens
V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
Graf funkcije kotangens, y = ctg x Lastnosti tangensa in kotangensa Periodičnost Funkcije y = tg x
in y =
ctg x
so periodični s periodo π.
Pariteta na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Funkciji tangens in kotangens sta lihi.
| Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje Lastnosti tangensa in kotangensa | Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje Funkcije y = | |
| Obseg in kontinuiteta | ||
| Razpon vrednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povečanje | - | |
| Sestopanje | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Ničle, y = 0 | ||
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje 0 | - |
Formule
Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa
;
;
;
;
;
Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike
Preostale formule je na primer enostavno dobiti
Produkt tangent
Formula za vsoto in razliko tangent
Ta tabela predstavlja vrednosti tangensov in kotangensov za določene vrednosti argumenta. 
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami
;
;
Izvedeni finančni instrumenti
; .
.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>
Integrali
Razširitve serije
Če želite dobiti razširitev tangente na potenco x, morate vzeti več členov razširitve v potenčne vrste za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, .
To ustvari naslednje formule.
Ob .
ob . kje Bn
;
;
- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
kje . 
Ali po Laplaceovi formuli:
Inverzne funkcije Inverzne funkcije
na tangento in kotangens sta arktangens in arkotangens.
Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta
, Kje
Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta
Arkotangens, arcctg
Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.
Učenje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens ostrega kota. To so osnove trigonometrije. Naj vas spomnimo, da pravi kot
je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota. Ostri kot
- manj kot 90 stopinj. Topi kot
- več kot 90 stopinj. V zvezi s takšnim kotom "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)
Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.
Kot je označen z ustrezno grško črko. hipotenuza
pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu. Noge
- strani ležita nasproti ostrih kotov. Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje (glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje.
sosednji Sinus
Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo: ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje sosednjega kraka s hipotenuzo:
Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje nasprotne strani do sosednje:
Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:
Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):
Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.
Dokažimo nekatere izmed njih.
V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?
To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.
Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .
Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svojega. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?
S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.
Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko najdete vse njegove trigonometrične funkcije s pomočjo posebnih tabel. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.
Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.
Upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih vrednostih kotov tangens in kotangens ne obstajata.
Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.
1. V trikotniku je kot , . Najdi .
Problem je rešen v štirih sekundah.
Od , .
2. V trikotniku je kot , , . Najdi .
Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.
Problem je rešen.
Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!
Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.
Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.
Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznanih stranic ali kotov. A to še ni vse! IN Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki obstaja veliko problemov, ki vključujejo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.