§ 87. Seštevanje ulomkov.
Seštevanje ulomkov je veliko podobno seštevanju celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno število (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.
Zaporedoma bomo obravnavali tri primere:
1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Seštevanje mešanih števil.
1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Razmislite o primeru: 1/5 + 2/5.
Vzemimo segment AB (slika 17), ga vzemimo kot enega in ga razdelimo na 5 enakih delov, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta CD pa bo enak 2/5 AB.
Iz risbe je razvidno, da če vzamemo segment AD, bo ta enak 3/5 AB; vendar je segment AD natanko vsota segmentov AC in CD. Torej lahko zapišemo:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ob upoštevanju teh členov in dobljene vsote vidimo, da smo števec vsote dobili s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.
Iz tega dobimo naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti in pustiti enak imenovalec.
Poglejmo primer:
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Seštejmo ulomke: 3 / 4 + 3 / 8 Najprej jih je treba zmanjšati na najmanjše skupni imenovalec:
Vmesnega člena 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; tukaj smo zapisali zaradi jasnosti.
Torej, če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec, sešteti njihove števce in označiti skupni imenovalec.
Oglejmo si primer (nad ustreznimi ulomki bomo zapisali dodatne faktorje):
3. Seštevanje mešanih števil.
Seštejmo številki: 2 3/8 + 3 5/6.
Najprej spravimo ulomke naših števil na skupni imenovalec in jih ponovno zapišimo:
Sedaj zaporedno seštevamo cela in ulomka:
§ 88. Odštevanje ulomkov.
Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s pomočjo katerega se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug člen. Oglejmo si tri primere zaporedoma:
1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.
1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Poglejmo primer:
13 / 15 - 4 / 15
Vzemimo segment AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo del AC tega segmenta predstavljal 1/15 AB, del AD istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odložimo še en segment ED, ki je enak 4/15 AB.
Od 13/15 moramo odšteti ulomek 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, ki je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:
Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.
Zato morate za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci odšteti števec odštevanca od števca manjšega in pustiti isti imenovalec.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Primer. 3/4 - 5/8
Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:
Vmesna povezava 6 / 8 - 5 / 8 je tukaj zapisana zaradi jasnosti, vendar jo lahko od zdaj naprej preskočite.
Če želite torej od ulomka odšteti ulomek, ju morate najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec, nato odšteti števec manjšega od števca manjšega in skupni imenovalec podpisati pod njihovo razliko.
Poglejmo primer:
3. Odštevanje mešanih števil.
Primer. 10 3/4 - 7 2/3.
Zmanjšajmo ulomke manjšega in odštevanca na najmanjši skupni imenovalec:
Od celote smo odšteli celoto in od ulomka ulomek. Toda obstajajo primeri, ko je delni del tega, kar se odšteje, večji od delnega dela tega, kar se zmanjšuje. V takšnih primerih morate vzeti eno enoto iz celega dela minuenda, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomek, in jo dodati ulomljenemu delu minuenda. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:
§ 89. Množenje ulomkov.
Pri preučevanju množenja ulomkov bomo upoštevali naslednja vprašanja:
1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotka danega števila. Razmislimo o njih zaporedno.
1. Množenje ulomka s celim številom.
Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množnika) s celim številom (faktorjem) pomeni ustvariti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.
To pomeni, da če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:
Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. torej
Upoštevanje tega dejanja pokaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka za tolikokrat, kot je število enot, ki jih vsebuje celo število. In ker se povečanje ulomka doseže s povečanjem njegovega števca
ali z zmanjšanjem njegovega imenovalca 
, potem lahko bodisi pomnožimo števec s celim številom bodisi z njim delimo imenovalec, če je tako deljenje možno.
Od tu dobimo pravilo:
Če želite pomnožiti ulomek s celim številom, pomnožite števec s tem celim številom in pustite imenovalec enak ali, če je mogoče, delite imenovalec s tem številom, števec pa pustite nespremenjen.
Pri množenju so možne okrajšave, npr.
2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko nalog, pri katerih morate najti ali izračunati del danega števila. Razlika med temi problemi in drugimi je v tem, da podajajo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili metodo za njihovo reševanje.
Naloga 1. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stale knjige?
Naloga 2. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?
Naloga 3. V vasi je 400 hiš, 3/4 so zidane, ostale so lesene. Koliko zidanih hiš je skupaj?
To je nekaj od številnih težav, ki vključujejo iskanje dela danega števila, s katerimi se srečujemo. Običajno se imenujejo naloge iskanja ulomka danega števila.
Rešitev problema 1. Od 60 rub. 1/3 sem porabil za knjige; To pomeni, da morate za ugotovitev cene knjig število 60 deliti s 3:
Reševanje problema 2. Bistvo problema je v tem, da morate najti 2/3 od 300 km. Najprej izračunajmo 1/3 od 300; to dobimo tako, da 300 km delimo s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Če želite najti dve tretjini od 300, morate dobljeni količnik podvojiti, tj. pomnožiti z 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Reševanje problema 3. Tukaj morate določiti število zidanih hiš, ki sestavljajo 3/4 od 400. Najprej poiščemo 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Za izračun treh četrtin od 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, tj. pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:
Če želite poiskati vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tem odstavku (1. točka) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni iskanje vsote enakih členov, ki so enaki temu ulomku.
V obeh primerih je množenje obsegalo iskanje vsote enakih členov.
Zdaj preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj bomo naleteli na primer na množenje: 9 2 / 3. Jasno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takega množenja ne moremo nadomestiti s seštevanjem enakih števil.
Zaradi tega bomo morali podati novo definicijo množenja, torej z drugimi besedami odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo pod množenjem z ulomkom, kako to dejanje razumeti.
Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: množenje celega števila (množnika) z ulomkom (množnika) pomeni iskanje tega ulomka množenika.
Namreč pomnožiti 9 z 2/3 pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da bomo na koncu imeli 6.
Toda zdaj je zanimiv in pomembno vprašanje: zakaj so taki na prvi pogled? razne akcije kako najti vsoto enako število in iskanje ulomkov števil, se v aritmetiki imenujeta ista beseda "množenje"?
To se zgodi zato, ker prejšnje dejanje (večkratno ponavljanje števila s členi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovore na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz tega, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z istim dejanjem.
Da bi to razumeli, razmislite o naslednji težavi: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?
Ta problem se reši tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rubljev).
Vzemimo isto težavo, vendar bo v njej količina blaga izražena kot ulomek: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?«
Tudi ta problem je treba rešiti tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (3/4).
Številke v njem lahko še večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen problema, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.
Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki se uporabljajo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.
Kako pomnožiš celo število z ulomkom?
Vzemimo številke, ki smo jih našli pri zadnji težavi:
Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej poiščemo 1/4 od 50 in nato 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 števila 50 je .
Zato.
Poglejmo še en primer: 12 5 / 8 =?
1/8 števila 12 je 12/8,
5/8 števila 12 je .
torej
Od tu dobimo pravilo:
Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec tega ulomka pa podpisati kot imenovalec.
Zapišimo to pravilo s črkami:
Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno ugotovljeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §.
Pomembno si je zapomniti, da morate pred izvajanjem množenja narediti (če je mogoče) zmanjšanja, na primer:
4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, tj. pri množenju ulomka z ulomkom morate najti ulomek, ki je v faktorju iz prvega ulomka (množenik).
Namreč pomnožiti 3/4 z 1/2 (polovico) pomeni najti polovico 3/4.
Kako pomnožiš ulomek z ulomkom?
Vzemimo primer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To pomeni, da morate najti 5/7 od 3/4. Najprej poiščimo 1/7 od 3/4 in nato 5/7
1/7 števila 3/4 bo izražena kot sledi:
5/7 številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:
torej
Drug primer: 5/8 pomnoženo s 4/9.
1/9 od 5/8 je,
4/9 števila 5/8 je .
torej 
Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem, pri čemer bo prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.
To je pravilo v splošni pogled lahko zapišemo takole:
Pri množenju je treba (če je mogoče) zmanjšati. Poglejmo primere:
5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko sta množitelj ali faktor ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestita z nepravilnimi ulomki. Pomnožimo na primer mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Vsakega od njih spremenimo v nepravi ulomek in nato dobljene ulomke pomnožimo po pravilu za množenje ulomka z ulomkom:
Pravilo.Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in jih nato pomnožiti po pravilu za množenje ulomkov z ulomki.
Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi distribucijskega zakona, kot sledi:
6. Koncept obresti. Pri reševanju nalog in izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar se je treba zavedati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršnih koli, temveč naravne delitve. Na primer, lahko vzamete stotinko (1/100) rublja, to bo kopejka, dve stotinki je 2 kopejka, tri stotinke pa 3 kopejka. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopeck ali kos za deset kopecks". Lahko vzamete četrt rublja, to je 25 kopecks, pol rublja, to je 50 kopecks (petdeset kopecks). Ampak praktično ne jemljejo, na primer 2/7 rublja, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.
Enota za težo, to je kilogram, omogoča predvsem decimalno deljenje, na primer 1/10 kg ali 100 g. Takšni deli kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/13, niso pogosti.
Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalno deljenje.
Vendar je treba opozoriti, da je zelo uporabno in priročno v najrazličnejših primerih uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev »stotina«. Oglejmo si več primerov, ki se nanašajo na najrazličnejša področja človeške prakse.
1. Cena knjig se je znižala za 12/100 prejšnje cene.
Primer. Prejšnja cena knjige je bila 10 rubljev. Zmanjšal se je za 1 rubelj. 20 kopejk
2. Hranilnice izplačajo vlagateljem med letom 2/100 zneska varčevanja.
Primer. 500 rubljev se položi v blagajno, dohodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.
3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila dijakov.
PRIMER Na šoli je bilo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 maturiralo.
Stotinko števila imenujemo odstotek.
Beseda "odstotek" je izposojena iz latinščine in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (pro centum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen takega izraza izhaja iz dejstva, da sprva v stari Rim obresti so bile denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu »za vsakih sto«. Besedo "cent" slišimo v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (recimo centimeter).
Na primer, namesto da rečemo, da je tovarna v preteklem mesecu proizvedla 1/100 vseh svojih izdelkov kot pomanjkljivih, bomo rekli tole: v zadnjem mesecu je tovarna proizvedla en odstotek pomanjkljivih. Namesto da je obrat proizvedel 4/100 izdelkov več od postavljenega plana, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.
Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:
1. Cene knjig so se znižale za 12 odstotkov prejšnje cene.
2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, položenega v prihrankih.
3. Število maturantov ene šole je bilo 5 odstotkov vseh dijakov.
Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati simbol %.
Ne pozabite pa, da pri izračunih znak % običajno ni zapisan, lahko je zapisan v izjavi o nalogi in v končnem rezultatu. Pri izračunih morate namesto celega števila s tem simbolom napisati ulomek z imenovalcem 100.
Celo število z označeno ikono morate znati zamenjati z ulomkom z imenovalcem 100:
Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z navedenim simbolom namesto ulomka z imenovalcem 100:
7. Iskanje odstotka danega števila.
Naloga 1.Šola je dobila 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezovih drv. Koliko je bilo brezovih drv?
Pomen tega problema je v tem, da so brezova drva predstavljala le del drv, ki so bila dostavljena šoli, in ta del je izražen v razmerju 30/100. To pomeni, da imamo nalogo najti ulomek števila. Da bi jo rešili, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (probleme iskanja ulomka števila rešujemo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).
To pomeni, da je 30 % od 200 enako 60.
Ulomek 30/100, na katerega naletimo v tem problemu, je mogoče zmanjšati za 10. To zmanjšanje bi bilo možno izvesti že od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.
Naloga 2. V taborišču je bilo 300 otrok različnih starosti. Otroci stari 11 let so predstavljali 21 %, otroci stari 12 let 61 % in končno 13 let stari otroci 18 %. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taborišču?
V tej nalogi morate izvesti tri izračune, tj. zaporedno poiskati število otrok, starih 11 let, nato 12 let in nazadnje 13 let.
To pomeni, da boste morali tukaj trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:
1) Koliko je bilo 11-letnih otrok?
2) Koliko je bilo 12-letnih otrok?
3) Koliko je bilo 13-letnih otrok?
Po rešitvi problema je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota naj bo 300:
63 + 183 + 54 = 300
Upoštevati je treba tudi, da je vsota odstotkov, navedenih v izjavi o problemu, 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To nakazuje, da skupno število otroci v taborišču so bili vzeti kot 100 %.
3 a d a h a 3. Delavec je prejel 1200 rubljev na mesec. Od tega je porabil 65 % za hrano, 6 % za stanovanja in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % privarčeval. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v problemu?
Če želite rešiti to težavo, morate najti ulomek 1200 5-krat.
1) Koliko denarja je bilo porabljenega za hrano? Problem pravi, da je ta strošek 65% celotnega zaslužka, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:
2) Koliko denarja ste plačali za stanovanje z ogrevanjem? S podobnim razmišljanjem kot prejšnji pridemo do naslednjega izračuna:
3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?
4) Koliko denarja je bilo porabljenega za kulturne potrebe?
5) Koliko denarja je delavec privarčeval?
Za preverjanje je koristno sešteti števila, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1200 rubljev. Vsi zaslužki so vzeti kot 100 %, kar je enostavno preveriti tako, da seštejete odstotne številke, navedene v izjavi o problemu.
Rešili smo tri probleme. Kljub temu, da se te naloge ukvarjajo razne stvari(dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so bili rešeni na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah potrebno najti nekaj odstotkov danih števil.
§ 90. Delitev ulomkov.
Ko preučujemo deljenje ulomkov, bomo obravnavali naslednja vprašanja:
1. Deli celo število s celim številom.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Deljenje mešanih števil.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
7. Iskanje števila po odstotku.
Razmislimo o njih zaporedno.
1. Deli celo število s celim številom.
Kot je bilo navedeno v razdelku o celih številih, je deljenje dejanje, ki sestoji iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividend) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde drug faktor.
V razdelku o celih številih smo si ogledali deljenje celega števila s celim številom. Tam smo naleteli na dva primera deljenja: deljenje brez ostanka oziroma »v celoti« (150 : 10 = 15) in deljenje z ostankom (100 : 9 = 11 in 1 ostanek). Lahko torej rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, saj dividenda ni vedno zmnožek delitelja s celim številom. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko štejemo za možne vse primere deljenja celih števil (izključeno je le deljenje z ničlo).
Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega produkt z 12 bi bil enak 7. Takšno število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14 / 25, ker je 14 / 25 25 = 14.
Torej, če želite deliti celo število s celim številom, morate ustvariti ulomek, katerega števec je enak dividendi in imenovalec enak delitelju.
2. Deljenje ulomka s celim številom.
Ulomek 6/7 delimo s 3. Glede na definicijo deljenja, podano zgoraj, imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); morate najti drugi faktor, ki bi dal, če bi ga pomnožili s 3 to delo 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.
Vemo že, da lahko ulomek skrajšamo tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo njegov imenovalec. Zato lahko napišete:
IN v tem primeruŠtevec števila 6 je deljiv s 3, zato je treba števec razpoloviti.
Vzemimo drug primer: 5/8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:
Na podlagi tega je mogoče narediti pravilo: Če želite deliti ulomek s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom.(če je mogoče), pustite enak imenovalec ali pa pomnožite imenovalec ulomka s tem številom in pustite enak števec.
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
Naj bo treba 5 deliti z 1/2, tj. najti število, ki bo po množenju z 1/2 dalo produkt 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1/2 pravi ulomek , pri množenju števila pa mora biti produkt pravilnega ulomka manjši od produkta, ki ga množimo. Da bo to bolj jasno, zapišimo naša dejanja takole: 5: 1 / 2 = X , kar pomeni x 1/2 = 5.
Takšno številko moramo najti X , kar bi, če bi ga pomnožili z 1/2, dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni iskanje 1/2 tega števila, potem je torej 1/2 neznanega števila X je enako 5 in celo število X dvakrat toliko, tj. 5 2 = 10.
Torej 5: 1/2 = 5 2 = 10
Preverimo: 
Poglejmo še en primer. Recimo, da želite 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo najti želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).
Slika 19
Narišimo odsek AB, ki je enak 6 enotam, in vsako enoto razdelimo na 3 enake dele. V vsaki enoti so tri tretjine (3/3) celotnega segmenta AB 6-krat večje, tj. e. 18/3. Z majhnimi oklepaji povežemo 18 nastalih segmentov 2; Segmentov bo samo 9. To pomeni, da je ulomek 2/3 vsebovan v 6 enotah 9-krat, ali z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. torej
Kako do tega rezultata brez risbe samo z izračuni? Recimo takole: 6 moramo deliti z 2/3, tj. odgovoriti moramo na vprašanje, kolikokrat 2/3 vsebuje 6. Ugotovimo najprej: kolikokrat 1/3 vsebuje 6? V celi enoti so 3 tretjine, v 6 enotah pa 6-krat več, to je 18 tretjin; da bi našli to število, moramo 6 pomnožiti s 3. To pomeni, da je 1/3 vsebovana v b enotah 18-krat, 2/3 pa je vsebovana v b enotah ne 18-krat, ampak polovico manj, tj. 18: 2 = 9 Zato smo pri deljenju 6 z 2/3 naredili naslednje:
Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da je ta produkt števec, ga deliti s števcem danega ulomka.
Zapišimo pravilo s črkami:
Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.
Pri delitvi so možne okrajšave, npr.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
Recimo, da moramo 3/4 deliti s 3/8. Kaj pomeni število, ki nastane pri deljenju? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 vsebovan v ulomku 3/4. Da bi razumeli to težavo, naredimo risbo (slika 20).
Vzemimo odsek AB, ga vzemimo kot enega, ga razdelimo na 4 enake dele in označimo 3 take dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Razdelimo zdaj vsakega od štirih prvotnih segmentov na pol, potem bo segment AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takšne segmente z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; To pomeni, da lahko rezultat deljenja zapišemo takole:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Poglejmo še en primer. Recimo, da moramo 15/16 deliti s 3/32:
Lahko sklepamo takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo produkt enak 15/16. Zapišimo izračune takole:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznana številka X so 15/16
1/32 neznanega števila X je,
32/32 številke X make up .
torej
Torej, če želite deliti ulomek z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka s števcem drugega in prvi produkt narediti števec, drugi pa imenovalec.
Zapišimo pravilo s črkami:
Pri delitvi so možne okrajšave, npr.
5. Deljenje mešanih števil.
Pri deljenju mešanih števil jih je treba najprej pretvoriti v neprave ulomke, nato pa nastale ulomke deliti po pravilih za deljenje ulomkov. Poglejmo primer:
Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:
Zdaj pa razdelimo:
Če želite deliti mešana števila, jih morate torej pretvoriti v neprave ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
Med različnimi težavami z ulomki so včasih tudi takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in to število morate najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in bilo je potrebno najti nek delček tega števila, tukaj je bil podan delček števila in zahtevano je bilo najti to število samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se bomo posvetili reševanju tovrstnih problemov.
Naloga 1. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?
rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken v hiši, kar pomeni, da je vseh oken 3x več, tj.
Hiša je imela 150 oken.
Naloga 2. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 celotne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila začetna zaloga moke v trgovini?
rešitev. Iz pogojev problema je razvidno, da 1500 kg prodane moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; to pomeni, da bo 1/8 te rezerve 3-krat manjša, tj. da jo izračunate, morate 1500 zmanjšati za 3-krat:
1.500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezerve).
Očitno bo celotna ponudba 8-krat večja. torej
500 8 = 4000 (kg).
Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.
Iz obravnave tega problema je mogoče izpeljati naslednje pravilo.
Če želite najti število iz dane vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.
Rešili smo dve nalogi o iskanju števila glede na njegov ulomek. Takšne težave, kot je še posebej jasno razvidno iz zadnjega, se rešujejo z dvema dejanjema: deljenjem (ko najdemo en del) in množenjem (ko najdemo celo število).
Ko pa smo se naučili deliti ulomke, lahko zgornje probleme rešimo z enim dejanjem, in sicer z deljenjem z ulomkom.
Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:
V prihodnje bomo naloge iskanja števila iz njegovega ulomka reševali z enim dejanjem – deljenjem.
7. Iskanje števila po odstotku.
V teh nalogah boste morali najti število, ki pozna nekaj odstotkov tega števila.
Naloga 1. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. dohodek od zneska, ki sem ga privarčeval pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2-odstotni donos na leto.)
Bistvo problema je v tem, da sem dal določeno vsoto denarja v hranilnico in tam ostal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodka, kar je 2/100 denarja, ki sem ga položil. Koliko denarja sem vložil?
Posledično, če poznamo del tega denarja, izražen na dva načina (v rubljih in frakcijah), moramo najti celoten, še neznan znesek. To je navaden problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednji problemi:
To pomeni, da je bilo v hranilnici položenih 3000 rubljev.
Naloga 2. Mesečni načrt so ribiči v dveh tednih izpolnili za 64 % in ulovili 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?
Iz pogojev problema je razvidno, da so ribiči izpolnili del načrta. Ta del znaša 512 ton, kar je 64% načrta. Ne vemo, koliko ton rib je treba pripraviti po načrtu. Iskanje te številke bo rešitev problema.
Takšne težave se rešujejo z delitvijo:
To pomeni, da je po načrtu treba pripraviti 800 ton rib.
Naloga 3. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov vprašal mimovozečega sprevodnika, koliko poti so že prevozili. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?
Iz pogojev problema je jasno, da je 30% poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med temi mesti, tj. za ta del najti celoto:
§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.
Vzemimo ulomek 2/3 in nadomestimo števec namesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo inverzijo tega ulomka.
Če želite dobiti obratni ulomek, morate njegov števec postaviti namesto imenovalca in imenovalec namesto števca. Na ta način lahko dobimo recipročno vrednost katerega koli ulomka. Na primer:
3/4, vzvratno 4/3; 5/6, vzvratno 6/5
Dva ulomka, ki imata to lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, imenujemo medsebojno obratno.
Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročna vrednost 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Z iskanjem inverznega ulomka danega smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:
1/3, hrbtna stran 3; 1/5, vzvratno 5
Ker smo se pri iskanju vzajemnih ulomkov srečali tudi s celimi števili, v nadaljevanju ne bomo govorili o vzajemnih ulomkih, temveč o vzajemnih številih.
Ugotovimo, kako zapisati inverzno celo število. Za ulomke je to mogoče preprosto rešiti: namesto števca morate postaviti imenovalec. Na enak način lahko dobite inverzno vrednost celega števila, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. To pomeni, da bo inverzna vrednost 7 1/7, ker je 7 = 7/1; za število 10 bo obratno 1/10, saj je 10 = 10/1
To idejo je mogoče izraziti drugače: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da ena delimo z dano številko . Ta trditev ne velja le za cela števila, ampak tudi za ulomke. Pravzaprav, če moramo zapisati inverzijo ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.
Zdaj pa poudarimo eno stvar premoženje recipročne številke, ki nam bodo koristile: produkt vzajemnih števil je enak ena. Pravzaprav:
Z uporabo te lastnosti lahko najdemo recipročna števila na naslednji način. Recimo, da moramo najti obratno število 8.
Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1/8. Poiščimo drugo število, ki je obratno od 7/12 in ga označimo s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1: 7 / 12 ali X = 12 / 7 .
Tu smo predstavili koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o deljenju ulomkov.
Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:
Prosim plačaj posebna pozornost do izraza in ga primerjaj z danim: .
Če vzamemo izraz ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod izvira: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih se zgodi isto. Zato lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z inverzno vrednostjo delitelja.
Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo to ugotovitev.
Vsebina lekcijeSeštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:
- Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Najprej se naučimo seštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:
Primer 2. Seštejte ulomke in.
Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:
Ta primer je zlahka razumljiv, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate še pico, dobite eno celo pico:
Primer 3. Seštejte ulomke in.
Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:
Primer 4. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.
Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
- Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.
Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.
Toda ulomkov ni mogoče dodati takoj, saj ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.
Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.
Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.
Primer 1. Seštejmo ulomke in
Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6
LCM (2 in 3) = 6
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej LCM delite z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.
Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:
Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.
Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto čez drugi ulomek in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:
Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:
Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:
S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:
Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).
Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).
Upoštevajte, da smo opisali ta primer preveč podrobno. IN izobraževalne ustanove Ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:
Obstaja pa tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.
Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:
- Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
- LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
- Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
- Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
.
Uporabimo zgoraj navedena navodila.
Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov
Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4
2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in pridobite dodatni faktor za vsak ulomek
LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji
Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:
Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:
Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve vrstice in na začetku postaviti znak enačaja (=). nova vrstica. Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.
Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del
Izkazalo se je, da je naš odgovor nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:
Dobili smo odgovor
Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:
- Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.
Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza.
Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:
Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
- Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.
Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.
Primer 1. Poiščite pomen izraza:
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12
LCM (3 in 4) = 12
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:
Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:
Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:
Dobili smo odgovor
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico
To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:
Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):
Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.
Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.
Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.
Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:
Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.
Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.
Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:
Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10
Dobili smo odgovor
Množenje ulomka s številom
Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.
Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.
Števec ulomka pomnožite s številom 1
Posnetek je mogoče razumeti kot pol 1 časa. Na primer, če enkrat vzameš pico, jo dobiš
Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:
Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec ulomka s 4
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:
Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici
In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:
Množenje ulomkov
Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
Primer 1. Poiščite vrednost izraza.
Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:
Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:
Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:
In vzemite dva od teh treh kosov:
Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, razdeljena na tri dele:
En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:
Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:
Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupni delilnik(GCD) številki 105 in 450.
Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:
Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15
Predstavitev celega števila kot ulomka
Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", to pa je, kot vemo, enako pet:
Vzajemna števila
Zdaj se bomo seznanili z zelo zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".
Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki je pomnoženo sa daje enega.
V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:
Obrnite na številko 5 je število, ki je pomnoženo s 5 daje enega.
Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:
Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, le na glavo:
Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:
To pomeni, da je inverzna številka 5 številka , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.
Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.
Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.
Deljenje ulomka s številom
Recimo, da imamo pol pice:
Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?
Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.
Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemna števila vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.
Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.
S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.
Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.
Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s
) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).
Formula za množenje ulomkov:
Na primer:
Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.
Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.
Deljenje ulomkov z naravnimi števili.
Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:
Množenje mešanih ulomkov.
Pravila za množenje ulomkov (mešano):
- pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
- množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
- zmanjšati delež;
- Če dobiš nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.
Pozor! Pomnožiti mešana frakcija v drug mešani ulomek, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu množenja navadni ulomki.
Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.
Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Pozor!Če želite ulomek pomnožiti s naravno število Treba je razdeliti imenovalec ulomka na to številko, števec pa pustiti nespremenjen.
Iz zgornjega primera je razvidno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.
Večnadstropni ulomki.
V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:
Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:
Pozor! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.
Prosimo, upoštevajte Na primer:
Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:
Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.
2. Pri nalogah z različne vrste ulomki - pojdite v obliko navadnih ulomkov.
3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.
4. Večnadstropna ulomki izrazi jih spravimo v običajno obliko z deljenjem na 2 točki.
5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.
V tem članku bomo ugotovili, kako deljenje mešanih števil. Najprej orišemo pravilo za deljenje mešanih števil in razmislimo o rešitvah primerov. Nato se bomo osredotočili na deljenje mešanega števila z naravnim številom in deljenje naravnega števila z mešanim številom. Za zaključek si poglejmo, kako mešano število delimo z navadnim ulomkom.
Navigacija po straneh.
Deljenje mešanega števila z mešanim številom
Deljenje mešanih števil lahko zmanjšamo na deljenje navadnih ulomkov. Če želite to narediti, je dovolj, da mešana števila pretvorite v nepravilne ulomke.
Zapišimo pravilo za deljenje mešanih števil: če želite deliti mešano število z mešanim številom, morate:
- razdeli ustrezne navadne ulomke.
Oglejmo si še primer deljenja mešanih števil.
Primer.
Kakšen je rezultat deljenja mešanega števila z mešanim številom?
rešitev.
Da zmanjšamo deljenje mešanih števil na deljenje navadnih ulomkov, pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke, dobimo 
in 
.
torej 
. Zdaj pa uporabimo pravilo za deljenje navadnih ulomkov: 
. Na tej stopnji lahko zmanjšate delež: . S tem je deljenje mešanih števil končano.
odgovor:
.
Deljenje mešanega števila z naravnim številom
Deljenje mešanega števila z naravnim številom vodi do deljenja navadnega ulomka z naravnim številom. Če želite to narediti, je dovolj, da mešano število, ki ga delite, pretvorite v nepravilen ulomek.
Primer.
Mešano število delimo z naravnim številom 75.
rešitev.
Najprej preidemo z mešanega števila na nepravi ulomek: 
, Potem 
. Ostaja še razdelitev navadnega ulomka z naravnim številom: 
. Po zmanjšanju dobimo ulomek 1/20, ki je količnik deljenja mešanega števila z naravnim številom 75.
odgovor:
Deljenje naravnega števila z mešanim številom
Deljenje naravnega števila z mešanim številom po zamenjavi mešanega števila z nepravilnim ulomkom se zmanjša na deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom. Za jasnost si poglejmo rešitev primera.
Primer.
Naravno število 40 delimo z mešanim številom.
rešitev.
Najprej predstavimo mešano število kot nepravilni ulomek: 
.
Zdaj lahko nadaljujemo z deljenjem, dobimo . Nastali ulomek je nezmanjšljiv (glej pomanjšljivi in nezmanjšljivi ulomki), vendar nepravilen, zato morate od njega ločiti cel del, imamo . S tem je deljenje naravnega števila z mešanim številom zaključeno.
Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje ulomkov«). Najtežji del teh dejanj je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.
Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo preprostejše od seštevanja in odštevanja. Najprej poglejmo najpreprostejši primer, ko sta dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.
Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.
Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim ulomkom.
Oznaka:
Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "obrniti" ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo skozi lekcijo obravnavali predvsem množenje.
Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšljiv ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se po vseh zmanjšanjih izkaže, da ulomek ni pravilen, je treba poudariti cel del. Toda tisto, kar se pri množenju zagotovo ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največji faktorji in najmanjši skupni večkratniki.
Po definiciji imamo:
Množenje ulomkov s celimi deli in negativnimi ulomki
Če ulomki vsebujejo celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.
Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko izločimo iz množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:
- Plus z minusom daje minus;
- Dve nikalnici pomenita pritrdilno.
Doslej so se s temi pravili srečevali le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za delo jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več pomanjkljivosti hkrati:
- Negative prečrtamo v parih, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnih primerih lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
- Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga vzamemo iz meja množenja. Rezultat je negativen ulomek.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Vse ulomke pretvorimo v neprave, nato pa iz množenja odstranimo minuse. Kar ostane, pomnožimo po običajnih pravilih. Dobimo:
Naj vas še enkrat spomnim, da se minus, ki se pojavi pred ulomkom s poudarjenim celim delom, nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov cel del (to velja za zadnja dva primera).
Pozorni bodite tudi na negativna števila: pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov množenja in naredimo celoten zapis natančnejši.
Zmanjševanje ulomkov sproti
Množenje je zelo delovno intenzivna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev težave lahko poskusite ulomek še zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Po definiciji imamo:
V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.
Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na njihovem mestu ostanejo enote, ki jih na splošno ni treba pisati. V drugem primeru popolno zmanjšanje Tega ni bilo mogoče doseči, vendar se je skupni znesek izračunov vseeno zmanjšal.
Vendar te tehnike nikoli ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:
Tega ne smeš!
Do napake pride, ker pri seštevanju števec ulomka ustvari vsoto in ne produkt števil. Posledično je nemogoče uporabiti osnovno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.
Drugih razlogov za zmanjševanje ulomkov preprosto ni, torej prava odločitev prejšnja naloga izgleda takole:
Pravilna rešitev:
Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.