Opredelitev. Največji naravno število, s katerim sta števili a in b deljeni brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj (GCD) te številke.
Poiščimo največjega skupni delilnikštevilki 24 in 35.
Delitelji števila 24 so števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili se imenujeta medsebojno prime.
Opredelitev. Naravna števila imenujemo medsebojno prime, če je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.
Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.
Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Izmed dejavnikov, vključenih v razširitev prvega od teh števil, prečrtamo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Preostala faktorja sta 2 * 2 * 3. Njun produkt je enak 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.
Najti največji skupni delitelj
2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.
Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj števil 15, 45, 75 in 180 je število 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.
Najmanjši skupni večkratnik (LCM)
Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razgradimo 75 in 60 na glavni dejavniki: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišimo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (tj. faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.
Poiščejo tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.
Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razložite na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.
Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik števil 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljivo z vsemi temi števili.
Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. številka, enaka vsoti Vse njegove delitelje (brez samega števila) so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33.550.336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda znanstveniki še vedno ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila izhaja iz dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevila, torej praštevila so kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Elementi, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, tj. za vsakim praštevilom stoji še večje praštevilo. število.
Da bi našli praštevila, je drug grški matematik iz istega časa, Eratosten, prišel do te metode. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal eno, ki ni niti praštevilo niti sestavljeno število, nato pa skozi 1 prečrtal vsa števila, ki prihajajo za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka za 2 je bila 3. Nato so bile za dve prečrtane vse številke za 3 (števila, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala samo praštevila neprečrtana.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka z naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, povezava med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), In posebna pozornost Osredotočimo se na reševanje primerov. Najprej bomo pokazali, kako se LCM dveh števil izračuna z uporabo GCD teh števil. Nato si bomo ogledali iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razlaganjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD vam omogoča izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh pozitivnih celih števil z uporabo znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Oglejmo si primere iskanja LCM z dano formulo.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik dveh števil 126 in 70.
rešitev.
V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo povezavo med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). To pomeni, da moramo najprej poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil s pomočjo zapisane formule.
Poiščimo NOD(126, 70) z evklidskim algoritmom: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, torej NOD(126, 70)=14.
Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primer.
Čemu je enako LCM(68, 34)?
rešitev.
Ker 68 je deljivo s 34, potem je GCD(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.
Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če sestavite produkt iz vseh prafaktorjev danih števil in nato iz tega produkta izključite vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah danih števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku danih števil .
Navedeno pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi števil a in b. V zameno je GCD(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD z uporabo ekspanzije števil v prafaktorje).
Dajmo primer. Naj vemo, da je 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Sestavimo produkt iz vseh faktorjev teh razširitev: 2·3·3·5·5·5·7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (takšna faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2·3·5·5·7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primer.
Razložite števili 441 in 700 na prafaktorje in poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
rešitev.
Razložimo števili 441 in 700 na prafaktorje:
Dobimo 441=3·3·7·7 in 700=2·2·5·5·7.
Sedaj naredimo produkt vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi teh števil: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Iz tega zmnožka izločimo vse faktorje, ki so istočasno prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. torej LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo faktorizacije števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razčlembi na prafaktorje so naslednji: 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2·3·5·5·7, katerega vrednost je enako LCM(75, 210).
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.
rešitev.
Najprej dobimo razčlenitve števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2·2·3·7 in 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik 84 in 648 4.536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.
Izrek.
Naj so dana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo z zaporednim izračunom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Oglejmo si uporabo tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Primer.
Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.
rešitev.
V tem primeru je a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Najprej najdemo m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Če želite to narediti, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, torej GCD(140, 9)=1 , od koder je GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To je m 2 =1 260.
Zdaj najdemo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), ki ga prav tako določimo z evklidskim algoritmom: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potem je gcd(1,260, 54)=18, iz česar je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To je m 3 =3 780.
Vse kar ostane je najti m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bi to naredili, najdemo GCD(3,780, 250) z uporabo evklidskega algoritma: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Zato je GCM(3,780, 250)=10, od koder je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To je m 4 =94.500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
V mnogih primerih je priročno najti najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil z uporabo prafaktoriziranja danih števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila se prištejejo vsi faktorji iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila tretje število se doda nastalim faktorjem in tako naprej.
Oglejmo si primer iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo prafaktorizacije.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
rešitev.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11·13.
Če želite najti LCM teh števil, faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razgradnja števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 prisotna že v razgradnji prvega števila 84. Nato faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo množico faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ne bo treba dodajati množiteljev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, kar je enako 48.048.
Nadaljujmo pogovor o najmanjšem skupnem večkratniku, ki smo ga začeli v razdelku "LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri." V tej temi si bomo ogledali načine, kako najti LCM za tri ali več števil, in preučili bomo vprašanje, kako najti LCM negativnega števila.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD
Razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem smo že ugotovili. Zdaj pa se naučimo, kako določiti LCM prek GCD. Najprej ugotovimo, kako to narediti za pozitivna števila.
Definicija 1
Najmanjši skupni večkratnik lahko poiščete prek največjega skupnega delitelja z uporabo formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Primer 1
Najti morate LCM števil 126 in 70.
rešitev
Vzemimo a = 126, b = 70. Nadomestimo vrednosti v formulo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika skozi največji skupni delitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Poišče gcd števil 70 in 126. Za to potrebujemo evklidski algoritem: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, torej GCD (126 , 70) = 14 .
Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
odgovor: LCM(126, 70) = 630.
Primer 2
Poišči število 68 in 34.
rešitev
GCD v v tem primeru To ni težko, saj je 68 deljivo s 34. Izračunajmo najmanjši skupni večkratnik po formuli: LCM (68, 34) = 68 34 : NTO (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.
odgovor: LCM(68, 34) = 68.
V tem primeru smo uporabili pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika pozitivnih celih števil a in b: če je prvo število deljivo z drugim, bo LCM teh števil enak prvemu številu.
Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje
Zdaj pa si poglejmo metodo iskanja LCM, ki temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje.
Definicija 2
Da bi našli najmanjši skupni večkratnik, moramo opraviti nekaj preprostih korakov:
- sestavimo zmnožek vseh prafaktorjev števil, za katera moramo najti LCM;
- iz njihovih produktov izključimo vse prafaktorje;
- produkt, dobljen po izločitvi skupnih prafaktorjev, bo enak LCM danih števil.
Ta metoda iskanja najmanjšega skupnega večkratnika temelji na enakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Če pogledate formulo, bo postalo jasno: produkt števil a in b je enak produktu vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razgradnji teh dveh števil. V tem primeru je gcd dveh števil enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v faktorizacijah danih dveh števil.
Primer 3
Imamo dve številki 75 in 210. Lahko jih faktoriziramo na naslednji način: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Če sestavite produkt vseh faktorjev obeh izvirnih števil, dobite: 2 3 3 5 5 5 7.
Če izločimo faktorje, ki so skupni številkama 3 in 5, dobimo produkt naslednje oblike: 2 3 5 5 7 = 1050. Ta izdelek bo naš LCM za številki 75 in 210.
Primer 4
Poiščite LCM števil 441 in 700 , pri čemer obe števili razložimo na prafaktorje.
rešitev
Poiščimo vse prafaktorje števil, navedenih v pogoju:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobimo dve verigi števil: 441 = 3 3 7 7 in 700 = 2 2 5 5 7.
Produkt vseh faktorjev, ki so sodelovali pri razgradnji teh števil, bo imel obliko: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poiščimo skupne dejavnike. To je številka 7. Izločimo ga iz skupni izdelek: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izkazalo se je, da NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.
Dajmo še eno formulacijo metode za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje.
Definicija 3
Prej smo iz skupnega števila faktorjev izključili skupne obema številkama. Zdaj bomo to storili drugače:
- Razložimo obe števili na prafaktorje:
- zmnožku prafaktorjev prvega števila prišteti manjkajoče faktorje drugega števila;
- dobimo produkt, ki bo želeni LCM dveh števil.
Primer 5
Vrnimo se k številkama 75 in 210, za katera smo LCM iskali že v enem od prejšnjih primerov. Razčlenimo jih na preproste dejavnike: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Zmnožku faktorjev 3, 5 in 5 številki 75 seštejte manjkajoče faktorje 2 in 7 številke 210. Dobimo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To je LCM števil 75 in 210.
Primer 6
Izračunati je treba LCM števil 84 in 648.
rešitev
Razložimo števila iz pogoja na preproste faktorje: 84 = 2 2 3 7 in 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Zmnožku prištejmo faktorje 2, 2, 3 in 7
števila 84 manjkajoči faktorji 2, 3, 3 in
3
številke 648. Dobimo izdelek 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. To je najmanjši skupni večkratnik 84 in 648.
odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Ne glede na to, s koliko številkami imamo opravka, bo algoritem naših dejanj vedno enak: zaporedno bomo našli LCM dveh števil. Za ta primer obstaja izrek.
1. izrek
Predpostavimo, da imamo cela števila a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ta števila se najdejo z zaporednim izračunom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Zdaj pa poglejmo, kako lahko izrek uporabimo za reševanje specifičnih problemov.
Primer 7
Izračunati morate najmanjši skupni večkratnik štirih števil 140, 9, 54 in 250 .
rešitev
Uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Začnimo z izračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Uporabimo evklidski algoritem za izračun GCD števil 140 in 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobimo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1.260. Zato je m 2 = 1,260.
Zdaj pa izračunajmo z istim algoritmom m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Med izračuni dobimo m 3 = 3 780.
Izračunati moramo le m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Delujemo po istem algoritmu. Dobimo m 4 = 94 500.
LCM štirih števil iz vzorčnega pogoja je 94500.
odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Kot lahko vidite, so izračuni preprosti, a precej delovno intenzivni. Če želite prihraniti čas, lahko greste drugače.
Definicija 4
Ponujamo vam naslednji algoritem dejanj:
- vsa števila razstavimo na prafaktorje;
- zmnožku faktorjev prvega števila prištejemo manjkajoče faktorje iz zmnožka drugega števila;
- produktu, dobljenemu na prejšnji stopnji, dodamo manjkajoče faktorje tretje številke itd.;
- dobljeni produkt bo najmanjši skupni večkratnik vseh števil iz pogoja.
Primer 8
Najti morate LCM petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
rešitev
Razštejmo vseh pet števil na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Praštevil, ki je število 7, ni mogoče razložiti na praštevila. Takšna števila sovpadajo z njihovo razgradnjo na prafaktorje.
Zdaj pa vzemimo produkt prafaktorjev 2, 2, 3 in 7 števila 84 in jim prištejmo manjkajoče faktorje drugega števila. Število 6 smo razstavili na 2 in 3. Ti faktorji so že v produktu prve številke. Zato jih izpuščamo.
Nadaljujemo z dodajanjem manjkajočih množiteljev. Pojdimo k številu 48, od produkta prafaktorjev katerega vzamemo 2 in 2. Nato dodamo prafaktor 7 iz četrtega števila ter faktorja 11 in 13 iz petega. Dobimo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. To je najmanjši skupni večkratnik prvotnih petih števil.
odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil
Da bi našli najmanjši skupni večkratnik negativnih števil, je treba ta števila najprej zamenjati s števili z nasprotnim predznakom, nato pa izvesti izračune z zgornjimi algoritmi.
Primer 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) in LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takšna dejanja so dopustna zaradi dejstva, da če to sprejmemo a in − a– nasprotna števila,
nato množica večkratnikov števila a se ujema z množico večkratnikov števila − a.
Primer 10
Izračunati je treba LCM negativnih števil − 145 in − 45 .
rešitev
Zamenjajmo številke − 145 in − 45 nasprotnim številkam 145 in 45 . Sedaj z uporabo algoritma izračunamo NKT (145, 45) = 145 · 45: NKT (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, pri čemer smo predhodno določili NKT z evklidskim algoritmom.
Dobimo, da je LCM števil − 145 in − 45 enako 1 305 .
odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Da bi razumeli, kako izračunati LCM, morate najprej določiti pomen izraza "več".
Večkratnik A je naravno število, ki je deljivo z A brez ostanka. Število, ki je večkratnik števila 5, lahko štejemo za 15, 20, 25 itd.
Obstajajo lahko delilniki določenega števila omejena količina, vendar obstaja neskončno število večkratnikov.
Skupni večkratnik naravnih števil je število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.
Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil
Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsemi temi števili.
Če želite najti LOC, lahko uporabite več metod.
Za majhna števila je priročno zapisati vse večkratnike teh števil v črto, dokler med njimi ne najdete nekaj skupnega. Večkratnike označujemo z veliko črko K.
Na primer, večkratnike števila 4 lahko zapišemo takole:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Tako lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik števil 4 in 6 število 24. Ta zapis je narejen na naslednji način:
LCM(4, 6) = 24
Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več števil, potem je bolje uporabiti drugo metodo izračuna LCM.
Za dokončanje naloge morate dana števila razložiti na prafaktorje.
Najprej morate na črto zapisati razgradnjo največjega števila, pod njim pa ostalo.
Razčlenitev vsakega števila lahko vsebuje različno število faktorjev.
Na primer, razložimo števili 50 in 20 na prafaktorje.
Pri širjenju manjšega števila je treba poudariti dejavnike, ki jih pri širjenju prvega ni. veliko število, nato pa ji jih dodajte. V predstavljenem primeru manjka dvojka.
Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Torej, produkt prafaktorjev več in faktorji drugega števila, ki niso bili vključeni v razširitev večjega števila, bodo najmanjši skupni večkratnik.
Če želite najti LCM treh ali več števil, jih morate vse razložiti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.
Kot primer lahko poiščete najmanjši skupni večkratnik števil 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Tako le dve dvojki iz razširitve šestnajstice nista bili vključeni v faktorizacijo večjega števila (ena je v razširitvi štiriindvajsetice).
Tako jih je treba razširitvi dodati večje število.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če je mogoče eno od števil brez ostanka deliti z drugim, potem bo večje od teh števil najmanjši skupni večkratnik.
Na primer, LCM za dvanajst in štiriindvajset je štiriindvajset.
Če je treba najti najmanjši skupni večkratnik soprostih števil, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.
Na primer, LCM (10, 11) = 110.
Druga številka: b=
Ločilo tisočic Brez ločila presledkov "´
rezultat:
Največji skupni delitelj GCD( a,b)=6
Najmanjši skupni večkratnik LCM( a,b)=468
Največje naravno število, s katerim delimo števili a in b brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj(GCD) teh številk. Označeno z gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ali hcf(a,b).
Najmanjši skupni večkratnik LCM dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. Označeno z LCM(a,b) ali lcm(a,b).
Celi števili a in b se imenujeta medsebojno prime, če nimata skupnih deliteljev, razen +1 in −1.
Največji skupni delitelj
Naj sta podani dve pozitivni števili a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. najti tako številko λ , ki deli števila a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.
1) V tem članku bomo besedo številka razumeli kot celo število.
Naj a 1 ≥ a 2 in pustite
kje m 1 , a 3 je nekaj celih števil, a 3 <a 2 (ostanek delitve a 1 na osebo a 2 mora biti manj a 2).
Predpostavimo, da λ deli a 1 in a 2 potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. trditev članka »Deljivost števil. Preizkus deljivosti«). Iz tega sledi, da vsak skupni delitelj a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delilnik a 2 in a 3 potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 je tudi deljivo s λ . Torej skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšana na enostavnejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .
če a 3 ≠0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem
,
kje m 1 in a 4 je nekaj celih števil, ( a 4 ostanek pri deljenju a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim razmišljanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 sovpada s skupnimi delitelji števil a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi delilniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... so števila, ki nenehno padajo, in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato na nekem koraku n, ostanek deljenja a n naprej a n+1 bo enako nič ( a n+2 =0).
.
Vsak skupni delitelj λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n+1 . Velja tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n+1 so tudi delitelji števil a n−1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n+1 je število a n+1, ker a n in a n+1 so deljivi s a n+1 (zapomni si to a n+2 =0). Zato a n+1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .
Upoštevajte, da je številka a n+1 je največji delitelj števil a n in a n+1 , saj je največji delitelj a n+1 je sam a n+1 . če a n+1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi običajni delitelji števil a 1 in a 2. številka a n+1 se imenuje največji skupni deliteljštevilke a 1 in a 2 .
Številke a 1 in a 2 so lahko pozitivna ali negativna števila. Če je eno od števil enako nič, potem bo največji skupni delitelj teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj števil nič je nedefiniran.
Pokliče se zgornji algoritem Evklidski algoritem najti največji skupni delitelj dveh celih števil.
Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil
Poiščite največji skupni delitelj dveh števil 630 in 434.
- Korak 1. Število 630 delite s 434. Ostanek je 196.
- Korak 2. Število 434 delite s 196. Ostanek je 42.
- Korak 3. Število 196 razdelite na 42. Ostanek je 28.
- Korak 4. Število 42 delite z 28. Ostanek je 14.
- 5. korak. Število 28 delite s 14. Ostanek je 0.
V 5. koraku je ostanek deljenja 0. Zato je največji skupni delitelj števil 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta števili 2 in 7 tudi delitelja števil 630 in 434.
Kopraštevila
Opredelitev 1. Naj bo največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Nato se pokličejo te številke soprosta števila, ki nima skupnega delitelja.
Izrek 1. če a 1 in a 2 soprosti števili in λ neko število, nato poljuben skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .
Dokaz. Razmislite o evklidskem algoritmu za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).
.
Iz pogojev izreka sledi, da je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 in zato a n in a n+1 je 1. To je a n+1 =1.
Pomnožimo vse te enakosti z λ , Potem
.
Naj skupni delilec a 1 λ in a 2 da δ . Potem δ je vključen kot množitelj v a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Deljivost števil", trditev 2). Naprej δ je vključen kot množitelj v a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato vključen kot dejavnik v a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Če tako razmišljamo, smo prepričani, da δ je vključen kot množitelj v a n−1 λ in m n−1 a n λ , in torej v a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Ker a n+1 =1, torej δ je vključen kot množitelj v λ . Zato število δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .
Oglejmo si posebne primere izreka 1.
Posledica 1. Naj a in c Praštevila so relativna b. Nato njihov izdelek ac je praštevilo glede na b.
res Iz izreka 1 ac in b imajo enake skupne delitelje kot c in b. Ampak številke c in b razmeroma preprosto, tj. imajo en sam skupni delitelj 1. Potem ac in b imajo tudi en sam skupni delitelj 1. Zato ac in b medsebojno preprosta.
Posledica 2. Naj a in b soprosta števila in pustimo b deli ak. Potem b deli in k.
res Iz pogoja odobritve ak in b imajo skupni delitelj b. Na podlagi izreka 1, b mora biti skupni delilnik b in k. Zato b deli k.
Posledico 1 lahko posplošimo.
Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m so praštevila glede na število b. Potem a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, je produkt teh števil praštevil glede na število b.
2. Naj imamo dve vrstici številk
tako, da je vsako število v prvem nizu praštevilo v razmerju vsakega števila v drugem nizu. Nato izdelek
Poiskati morate števila, ki so deljiva z vsakim od teh števil.
Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1 kje s neko število. če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, torej
kje s 1 je neko celo število. Potem
je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2 .
a 1 in a 2 so relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:
Najti moramo najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Iz zgoraj navedenega sledi, da vsak večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik številk ε in a 3 in nazaj. Najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 da ε 1. Nato večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik številk ε 1 in a 4. Najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 da ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.
V posebnem primeru, ko so številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Naprej, saj a 3 praštevila glede na števila a 1 , a 2 potem a 3 praštevilo a 1 · a 2 (posledica 1). Pomeni najmanjši skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a 1 · a 2 · a 3. Če sklepamo na podoben način, pridemo do naslednjih trditev.
Izjava 1. Najmanjši skupni večkratnik soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enak njihovemu produktu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Izjava 2. Vsako število, ki je deljivo z vsakim od soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je tudi deljiv z njihovim produktom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.