Ta članek govori o iskanje največjega skupnega delitelja (GCD) dve ali več številk. Najprej si poglejmo Euclidov algoritem; omogoča iskanje gcd dveh števil. Po tem se bomo osredotočili na metodo, ki nam omogoča izračun gcd števil kot zmnožek njihovih skupnih prafaktorjev. Nato si bomo ogledali iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil in navedli tudi primere izračuna gcd negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Evklidski algoritem za iskanje GCD
Upoštevajte, da če bi se že od samega začetka obrnili na tabelo praštevil, bi ugotovili, da sta števili 661 in 113 praštevili, iz česar bi lahko takoj rekli, da sta njuni največji skupni delilnik je enako 1.
odgovor:
GCD(661, 113)=1.
Iskanje GCD z razlaganjem števil na prafaktorje
Razmislimo o drugem načinu iskanja GCD. Največji skupni delitelj je mogoče najti tako, da števila razložimo na prafaktorje. Oblikujmo pravilo: Gcd dveh pozitivnih celih števil a in b je enak zmnožku vseh skupnih prafaktorjev, ki jih najdemo v prafaktorizacijah števil a in b.
Dajmo primer za razlago pravila za iskanje GCD. Spoznajmo razgradnje števil 220 in 600 na prafaktorje, imata obliko 220=2·2·5·11 in 600=2·2·2·3·5·5. Pogosti prafaktorji, ki se uporabljajo pri faktoriziranju števil 220 in 600, so 2, 2 in 5. Zato je gcd(220, 600)=2·2·5=20.
Če torej števili a in b razčlenimo na prafaktorje in poiščemo zmnožek vseh njunih skupnih faktorjev, potem bomo s tem našli največji skupni delitelj števil a in b.
Oglejmo si primer iskanja GCD v skladu z navedenim pravilom.
Primer.
Poišči največji skupni delitelj števil 72 in 96.
rešitev.
Razstavimo števili 72 in 96 na prafaktorje: 
To je 72=2·2·2·3·3 in 96=2·2·2·2·2·3. Pogosti prafaktorji so 2, 2, 2 in 3. Tako je gcd(72, 96)=2·2·2·3=24.
odgovor:
GCD(72, 96)=24.
V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da veljavnost zgornjega pravila za iskanje GCD izhaja iz lastnosti največjega skupnega delitelja, ki pravi, da GCD(m a 1, m b 1)=m GCD(a 1, b 1), kjer je m poljubno pozitivno celo število.
Iskanje gcd treh ali več števil
Iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje gcd dveh števil. To smo omenili pri preučevanju lastnosti GCD. Tam smo oblikovali in dokazali izrek: največji skupni delitelj več števil a 1, a 2, …, a k enako številu d k , ki ga najdemo z zaporednim izračunom NOD(a 1 , a 2)=d 2 , NOD(d 2 , a 3)=d 3 , NOD(d 3 , a 4)=d 4 , …, NOD(d k - 1 , a k)=d k .
Poglejmo, kako izgleda postopek iskanja gcd več števil, tako da pogledamo rešitev primera.
Primer.
Poiščite največji skupni faktor štirih števil 78, 294, 570 in 36.
rešitev.
V tem primeru je a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Najprej z evklidskim algoritmom določimo največji skupni delitelj d 2 prvih dveh števil 78 in 294. Pri deljenju dobimo enakosti 294=78·3+60; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 in 18=6·3. Tako je d 2 =NOT(78, 294)=6.
Zdaj pa izračunajmo d 3 =NOT(d 2, a 3)=NOT(6, 570). Ponovno uporabimo evklidski algoritem: 570=6·95, torej d 3 = GCD(6, 570)=6.
Ostaja še izračunati d 4 =NOT(d 3, a 4)=NOT(6, 36). Ker je 36 deljivo s 6, potem je d 4 = GCD(6, 36) = 6.
Tako je največji skupni delitelj štirih danih števil d 4 =6, to je gcd(78, 294, 570, 36)=6.
odgovor:
GCD(78, 294, 570, 36)=6 .
Razlaganje števil na prafaktorje vam omogoča tudi izračun gcd treh ali več števil. V tem primeru je največji skupni delitelj najden kot produkt vseh skupnih prafaktorjev danih števil.
Primer.
Izračunajte gcd števil iz prejšnjega primera z uporabo njihovih prafaktorizacij.
rešitev.
Razstavimo števila 78, 294, 570 in 36 na prafaktorje, dobimo 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Skupna prafaktorja vseh teh štirih števil sta števili 2 in 3. torej GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka z naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, povezava med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), In Posebna pozornost Osredotočimo se na reševanje primerov. Najprej bomo pokazali, kako se LCM dveh števil izračuna z uporabo GCD teh števil. Nato si bomo ogledali iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razlaganjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD vam omogoča izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh pozitivnih celih števil z uporabo znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Oglejmo si primere iskanja LCM z dano formulo.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik dveh števil 126 in 70.
rešitev.
V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo povezavo med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). To pomeni, da moramo najprej poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil s pomočjo zapisane formule.
Poiščimo NOD(126, 70) z evklidskim algoritmom: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, torej NOD(126, 70)=14.
Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primer.
Čemu je enako LCM(68, 34)?
rešitev.
Ker 68 je deljivo s 34, potem je GCD(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.
Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če sestavite produkt iz vseh prafaktorjev danih števil in nato iz tega produkta izključite vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah danih števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku danih števil .
Navedeno pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi števil a in b. V zameno je GCD(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD z uporabo ekspanzije števil v prafaktorje).
Dajmo primer. Naj vemo, da je 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Sestavimo produkt iz vseh faktorjev teh razširitev: 2·3·3·5·5·5·7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (takšna faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2·3·5·5·7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primer.
Razčlenite števili 441 in 700 na prafaktorje in poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
rešitev.
Razložimo števili 441 in 700 na prafaktorje:
Dobimo 441=3·3·7·7 in 700=2·2·5·5·7.
Sedaj naredimo produkt vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi teh števil: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Iz tega zmnožka izločimo vse faktorje, ki so istočasno prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. torej LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo faktorizacije števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razčlembi na prafaktorje so naslednji: 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2·3·5·5·7, katerega vrednost je enako LCM(75, 210).
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.
rešitev.
Najprej dobimo razčlenitve števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2·2·3·7 in 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik 84 in 648 4.536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.
Izrek.
Naj so dana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo z zaporednim izračunom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Oglejmo si uporabo tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Primer.
Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.
rešitev.
V tem primeru je a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Najprej najdemo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Da bi to naredili, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, torej GCD(140, 9)=1 , od koder je GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To je m 2 =1 260.
Zdaj najdemo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), ki ga prav tako določimo z evklidskim algoritmom: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potem je gcd(1,260, 54)=18, iz česar je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To je m 3 =3 780.
Vse kar ostane je najti m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bi to naredili, najdemo GCD(3,780, 250) z uporabo evklidskega algoritma: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Zato je GCM(3,780, 250)=10, od koder je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To je m 4 =94.500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
V mnogih primerih je priročno najti najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil z uporabo prafaktorjev danih števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila prištejemo vse faktorje iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila nastalim faktorjem dodamo tretje število in tako naprej.
Oglejmo si primer iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo prafaktorizacije.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
rešitev.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11·13.
Če želite najti LCM teh števil, faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razgradnja števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 prisotna že v razgradnji prvega števila 84. Nato faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo množico faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ne bo treba dodajati množiteljev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, kar je enako 48.048.
Iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje gcd dveh števil. To smo omenili pri preučevanju lastnosti GCD. Tam smo oblikovali in dokazali izrek: največji skupni delitelj več števil a 1, a 2, …, a k enako številu dk, ki se ugotovi z zaporednim izračunom GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
Poglejmo, kako izgleda postopek iskanja gcd več števil, tako da pogledamo rešitev primera.
Primer.
Poiščite največji skupni delitelj štirih števil 78 , 294 , 570 in 36 .
rešitev.
V tem primeru a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Najprej z evklidskim algoritmom določimo največji skupni delitelj d 2 prvi dve številki 78 in 294 . Pri deljenju dobimo enačbe 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 in 18=6·3. torej d 2 =NOT(78, 294)=6.
Zdaj pa izračunajmo d 3 =NOT(d 2, a 3)=NOT(6, 570). Ponovno uporabimo evklidski algoritem: 570=6·95, torej, d 3 =NOT(6, 570)=6.
Ostaja še izračunati d 4 =NOT(d 3, a 4)=NOT(6, 36). Ker 36 deljeno s 6 , To d 4 =NOT(6, 36)=6.
Tako je največji skupni delitelj štirih danih števil enak d 4 =6, to je GCD(78, 294, 570, 36)=6.
odgovor:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Razlaganje števil na prafaktorje vam omogoča tudi izračun gcd treh ali več števil. V tem primeru je največji skupni delitelj najden kot produkt vseh skupnih prafaktorjev danih števil.
Primer.
Izračunajte gcd števil iz prejšnjega primera z uporabo njihovih prafaktorjev.
rešitev.
Razčlenimo številke 78 , 294 , 570 in 36 s prafaktorji, dobimo 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Skupni prafaktorji vseh danih štirih števil so števila 2 in 3 . torej GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
odgovor:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Vrh strani
Iskanje gcd negativnih števil
Če so eno, več ali vsa števila, katerih največji delitelj je treba najti, negativna števila, potem je njihov gcd enak največjemu skupnemu delitelju modulov teh števil. To je posledica dejstva, da nasprotna števila a in −a imajo enake delitelje, kot smo razpravljali pri preučevanju lastnosti deljivosti.
Primer.
Poiščite gcd negativnih celih števil −231 in −140 .
rešitev.
Absolutna vrednost števila −231 enako 231 , in modul števila −140 enako 140 , In GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Evklidski algoritem nam daje naslednje enačbe: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 in 42=7 6. torej GCD(231, 140)=7. Potem je želeni največji skupni delitelj negativnih števil −231 in −140 enako 7 .
odgovor:
GCD(−231, −140)=7.
Primer.
Določite gcd treh števil −585 , 81 in −189 .
rešitev.
Pri iskanju največjega skupnega delitelja lahko negativna števila nadomestimo z njihovimi absolutnimi vrednostmi, tj. GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Razširitve številk 585 , 81 in 189 v prafaktorje imajo obliko 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 in 189=3·3·3·7. Skupni prafaktorji teh treh števil so 3 in 3 . Potem GCD(585, 81, 189)=3·3=9, torej, GCD(−585, 81, −189)=9.
odgovor:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Korenine polinoma. Bezoutov izrek. (33 in več)
36. Več korenin, kriterij za množičnost korenin.
Največje naravno število, s katerim delimo števili a in b brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj te številke. Označimo GCD(a, b).
Razmislimo o iskanju GCD na primeru dveh naravna števila 18 in 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 in 432
Razložimo števila na prafaktorje:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Če iz prve številke prečrtamo faktorje, katerih ni v drugi in tretji številki, dobimo:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Kot rezultat, GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Iskanje GCD z evklidskim algoritmom
Drugi način za iskanje največjega skupnega delitelja je uporaba Evklidski algoritem. Evklidov algoritem je najbolj učinkovit način ugotovitev GCD, z njegovo uporabo morate nenehno najti preostanek deljenih števil in uporabiti ponovitvena formula.
Formula ponovitve za GCD, GCD(a, b)=NOT(b, a mod b), kjer je a mod b ostanek a deljeno z b.
Evklidov algoritem
Primer Poiščite največji skupni delitelj števil 7920 in 594
Poiščimo GCD( 7920 , 594 ) z evklidskim algoritmom bomo s pomočjo kalkulatorja izračunali ostanek pri deljenju.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Kot rezultat dobimo GCD( 7920 , 594 ) = 198
Najmanjši skupni večkratnik
Da bi našli skupni imenovalec pri seštevanju in odštevanju ulomkov z različne imenovalce moraš znati in znati izračunati najmanjši skupni večkratnik(NOK).
Večkratnik števila "a" je število, ki je samo po sebi deljivo s številom "a" brez ostanka.
Števila, ki so večkratniki števila 8 (torej so ta števila deljiva z 8 brez ostanka): to so števila 16, 24, 32 ...
Večkratniki 9: 18, 27, 36, 45…
Obstaja neskončno veliko večkratnikov danega števila a, v nasprotju z delitelji istega števila. Obstaja končno število deliteljev.
Skupni večkratnik dveh naravnih števil je število, ki je deljivo z obema tema številoma..
Najmanjši skupni večkratnik(LCM) dveh ali več naravnih števil je najmanjše naravno število, ki je samo po sebi deljivo z vsakim od teh števil.
Kako najti NOC
LCM je mogoče najti in zapisati na dva načina.
Prvi način za iskanje LOC
Ta metoda se običajno uporablja za majhne številke.
- Večkratnike vsakega števila zapisujemo v črto, dokler ne najdemo večkratnika, ki je enak za obe števili.
- Večkratnik števila "a" je označen z veliko črko "K".
Primer. Poiščite LCM 6 in 8.
Drugi način za iskanje LOC
Ta metoda je priročna za iskanje LCM za tri ali več številk.
Število enakih faktorjev v razčlembah števil je lahko različno.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Odgovor: LCM (24, 60) = 120
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) lahko formalizirate tudi na naslednji način. Poiščimo LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Kot vidimo iz razčlenitve števil, so vsi faktorji 12 vključeni v razgradnjo 24 (največjega izmed števil), zato LCM dodamo le eno 2 iz razčlenitve števila 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48
Posebni primeri ugotovitve NOC
Na primer, LCM (60, 15) = 60
Ker je obojestransko praštevila nimajo skupnih prafaktorjev, potem je njihov najmanjši skupni večkratnik enak produktu teh števil.
Na naši spletni strani lahko uporabite tudi poseben kalkulator za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika na spletu in preverite svoje izračune.
Če je naravno število deljivo samo z 1 in samim seboj, se imenuje praštevilo.
Vsako naravno število je vedno deljivo z 1 in samim seboj.
Število 2 je najmanjše praštevilo. To je edino sodo praštevilo, ostala praštevila so liha.
Praštevil je veliko in prvo med njimi je število 2. Vendar zadnje praštevilo ne obstaja. V razdelku »Za študij« lahko prenesete tabelo praštevil do 997.
Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.
- število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;
- Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.
- razčleniti delitelje števil na prafaktorje;
Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), imenujemo delilniki števila.
Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano številko"a" brez ostanka.
Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno.
Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Te številke so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12.
Skupni delitelj dveh danih števil "a" in "b" je število, s katerim sta obe dani števili "a" in "b" deljeni brez ostanka.
Največji skupni delitelj(GCD) dveh danih števil "a" in "b" je največje število, s katerim sta obe števili "a" in "b" deljeni brez ostanka.
Na kratko, največji skupni delitelj števil "a" in "b" zapišemo takole::
Primer: gcd (12; 36) = 12.
Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko črko »D«.
Števili 7 in 9 imata samo en skupni delitelj - število 1. Takšne številke se imenujejo soprosta števila.
Kopraštevila- to so naravna števila, ki imajo le en skupni delitelj - število 1. Njihov gcd je 1.
Kako najti največji skupni delitelj
Če želite najti gcd dveh ali več naravnih števil, potrebujete:
Izračune je priročno pisati z navpično vrstico. Na levi strani črte najprej zapišemo dividendo, na desno - delitelj. Nato v levi stolpec zapišemo vrednosti količnikov.
Takoj razložimo s primerom. Razložimo števili 28 in 64 na prafaktorje.
- Pri obeh številih poudarjamo iste praštevile.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Poiščite zmnožek enakih prafaktorjev in zapišite odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Odgovor: GCD (28; 64) = 4
Lokacijo GCD lahko formalizirate na dva načina: v stolpcu (kot je storjeno zgoraj) ali "v vrstici".
Prvi način pisanja gcd
Poiščite gcd 48 in 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi način pisanja gcd
Sedaj pa v vrstico zapišimo rešitev iskanja GCD. Poiščite gcd 10 in 15.
Na našem spletnem mestu z informacijami lahko za preverjanje svojih izračunov uporabite tudi spletno pomočnika za največji skupni delilec.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, metode, primeri iskanja LCM.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka z naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, povezava med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), posebno pozornost pa bomo namenili reševanju primerov. Najprej bomo pokazali, kako se LCM dveh števil izračuna z uporabo GCD teh števil. Nato si bomo ogledali iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razlaganjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD nam omogoča, da izračunamo najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil preko znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Oglejmo si primere iskanja LCM z dano formulo.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik dveh števil 126 in 70.
V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo povezavo med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . To pomeni, da moramo najprej poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil s pomočjo zapisane formule.
Poiščimo NOD(126, 70) z evklidskim algoritmom: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, torej NOD(126, 70)=14.
Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: LCM(126, 70)=126·70:NOT(126, 70)= 126·70:14=630.
Čemu je enako LCM(68, 34)?
Ker je 68 deljivo s 34, potem je GCD(68, 34)=34. Sedaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: LCM(68, 34)=68·34:NOT(68, 34)= 68·34:34=68.
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.
Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če sestavite produkt iz vseh prafaktorjev danih števil in nato iz tega produkta izključite vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah danih števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku danih števil .
Navedeno pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a·b:NOT(a, b) . Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi števil a in b. V zameno je GCD(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD z uporabo ekspanzije števil v prafaktorje).
Dajmo primer. Naj vemo, da je 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Sestavimo produkt iz vseh faktorjev teh razširitev: 2·3·3·5·5·5·7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (ta faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2·3·5·5·7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil 75 in 210, to je LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Razčlenite števili 441 in 700 na prafaktorje in poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Razložimo števili 441 in 700 na prafaktorje: 
Dobimo 441=3·3·7·7 in 700=2·2·5·5·7.
Sedaj naredimo produkt vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi teh števil: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Iz tega zmnožka izločimo vse faktorje, ki so istočasno prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tako je LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo faktorizacije števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razčlembi na prafaktorje so naslednji: 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2·3·5·5·7, katerega vrednost je enako LCM(75, 210).
Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.
Najprej dobimo razčlenitve števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2·2·3·7 in 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik 84 in 648 4.536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.
Naj so dana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo z zaporednim izračunom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Oglejmo si uporabo tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.
Najprej najdemo m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Da bi to naredili, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, zato je GCD(140, 9)=1, iz česar je LCM(140, 9)=140·9:NOT(140, 9)= 140·9:1=1,260. To je m 2 =1 260.
Sedaj najdemo m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), ki ga prav tako določimo z evklidskim algoritmom: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potem je gcd(1,260, 54)=18, iz česar je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To je m 3 =3 780.
Ostaja še najti m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Da bi to naredili, najdemo GCD(3,780, 250) z uporabo evklidskega algoritma: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Zato je GCD(3,780, 250)=10, iz česar je GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To je m 4 =94.500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
V mnogih primerih je priročno najti najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil z uporabo prafaktorjev danih števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila prištejemo vse faktorje iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila nastalim faktorjem dodamo tretje število in tako naprej.
Oglejmo si primer iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo prafaktorizacije.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11·13.
Če želite najti LCM teh števil, faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razgradnja števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 prisotna že v razgradnji prvega števila 84. Nato faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo množico faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ne bo treba dodajati množiteljev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, kar je enako 48.048.
Zato je LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil
Včasih obstajajo naloge, v katerih morate najti najmanjši skupni večkratnik števil, med katerimi so ena, več ali vsa števila negativna. V teh primerih je treba vsa negativna števila zamenjati z nasprotnimi števili, nato pa je treba najti LCM pozitivnih števil. To je način za iskanje LCM negativnih števil. Na primer, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) in LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
To lahko storimo, ker je množica večkratnikov a enaka množici večkratnikov −a (a in −a sta nasprotni števili). Dejansko naj bo b nek večkratnik a, potem je b deljiv z a in koncept deljivosti navaja obstoj celega števila q, tako da je b=a·q. Veljala pa bo tudi enakost b=(−a)·(−q), kar zaradi istega koncepta deljivosti pomeni, da je b deljiv z −a, torej je b večkratnik −a. Velja tudi obratno: če je b nek večkratnik števila −a, potem je tudi b večkratnik števila a.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik negativnih števil −145 in −45.
Zamenjajmo negativni števili −145 in −45 z njima nasprotnima številoma 145 in 45. Imamo LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Ko smo določili GCD(145, 45)=5 (na primer z uporabo evklidskega algoritma), izračunamo GCM(145, 45)=145·45:NOT(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Tako je najmanjši skupni večkratnik negativnih celih števil −145 in −45 1305.
www.cleverstudents.ru
Nadaljujemo s preučevanjem delitve. IN to lekcijo ogledali si bomo pojme kot so GCD in NOC.
GCD je največji skupni delitelj.
NOC je najmanjši skupni večkratnik.
Tema je precej dolgočasna, vendar jo morate vsekakor razumeti. Brez razumevanja te teme ne boste mogli učinkovito delati z ulomki, ki so v matematiki prava ovira.
Največji skupni delitelj
Opredelitev. Največji skupni delitelj števil a in b a in b razdeljeno brez ostanka.
Za dobro razumevanje te definicije zamenjajmo spremenljivke a in b kateri koli dve števili, na primer namesto spremenljivke a Zamenjajmo številko 12 in namesto spremenljivke bštevilka 9. Zdaj pa poskusimo prebrati to definicijo:
Največji skupni delitelj števil 12 in 9 je največje število, po katerem 12 in 9 razdeljeno brez ostanka.
Iz definicije je jasno, da govorimo o skupnem delitelju števil 12 in 9, ta delitelj pa je največji od vseh obstoječih deliteljev. Ta največji skupni delitelj (GCD) je treba najti.
Za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil se uporabljajo tri metode. Prva metoda je precej delovno intenzivna, vendar vam omogoča, da jasno razumete bistvo teme in občutite njen polni pomen.
Druga in tretja metoda sta precej preprosta in omogočata hitro iskanje GCD. Ogledali si bomo vse tri metode. In katero boste uporabili v praksi, je odvisno od vas.
Prva metoda je, da poiščemo vse možne delitelje dveh števil in izberemo največjega. Oglejmo si to metodo naslednji primer: poišči največji skupni delitelj števil 12 in 9.
Najprej bomo poiskali vse možne delitelje števila 12. Da bi to naredili, bomo 12 delili z vsemi delitelji v območju od 1 do 12. Če nam delitelj omogoča delitev 12 brez ostanka, ga bomo označili v modro in v oklepaju napiši ustrezno razlago.
12: 1 = 12
(12 je deljeno z 1 brez ostanka, kar pomeni, da je 1 delitelj števila 12)
12: 2 = 6
(12 je deljeno z 2 brez ostanka, kar pomeni, da je 2 delitelj števila 12)
12: 3 = 4
(12 je deljeno s 3 brez ostanka, kar pomeni, da je 3 delitelj števila 12)
12: 4 = 3
(12 je deljeno s 4 brez ostanka, kar pomeni, da je 4 delitelj števila 12)
12: 5 = 2 (2 ostaneta)
(12 ni deljeno s 5 brez ostanka, kar pomeni, da 5 ni delitelj števila 12)
12: 6 = 2
(12 je deljeno s 6 brez ostanka, kar pomeni, da je 6 delitelj števila 12)
12: 7 = 1 (5 ostankov)
(12 ni deljeno s 7 brez ostanka, kar pomeni, da 7 ni delitelj števila 12)
12: 8 = 1 (4 ostanki)
(12 ni deljeno z 8 brez ostanka, kar pomeni, da 8 ni delitelj 12)
12: 9 = 1 (3 ostanki)
(12 ni deljeno z 9 brez ostanka, kar pomeni, da 9 ni delitelj števila 12)
12: 10 = 1 (2 preostanka)
(12 ni deljeno z 10 brez ostanka, kar pomeni, da 10 ni delitelj števila 12)
12: 11 = 1 (1 ostanek)
(12 ni deljeno z 11 brez ostanka, kar pomeni, da 11 ni delitelj 12)
12: 12 = 1
(12 je deljeno z 12 brez ostanka, kar pomeni, da je 12 delitelj števila 12)
Zdaj pa poiščimo delitelje števila 9. Če želite to narediti, preverite vse delitelje od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 je deljeno z 1 brez ostanka, kar pomeni, da je 1 delitelj števila 9)
9: 2 = 4 (1 ostanek)
(9 ni deljeno z 2 brez ostanka, kar pomeni, da 2 ni delitelj števila 9)
9: 3 = 3
(9 je deljeno s 3 brez ostanka, kar pomeni, da je 3 delitelj števila 9)
9: 4 = 2 (1 ostanek)
(9 ni deljeno s 4 brez ostanka, kar pomeni, da 4 ni delitelj števila 9)
9: 5 = 1 (4 ostanki)
(9 ni deljeno s 5 brez ostanka, kar pomeni, da 5 ni delitelj števila 9)
9: 6 = 1 (3 ostanek)
(9 ni deljeno s 6 brez ostanka, kar pomeni, da 6 ni delitelj števila 9)
9: 7 = 1 (2 ostanek)
(9 ni deljeno s 7 brez ostanka, kar pomeni, da 7 ni delitelj števila 9)
9: 8 = 1 (1 ostanek)
(9 ni deljeno z 8 brez ostanka, kar pomeni, da 8 ni delitelj števila 9)
9: 9 = 1
(9 delimo z 9 brez ostanka, kar pomeni, da je 9 delitelj števila 9)
Zdaj pa zapišimo delitelja obeh števil. Modro označena števila so delilniki. Zapišimo jih:
Če izpišete delilnike, lahko takoj ugotovite, kateri je največji in najpogostejši.
Po definiciji je največji skupni delitelj števil 12 in 9 tisto število, ki deli 12 in 9 brez ostanka. Največji in skupni delitelj števil 12 in 9 je število 3
Tako število 12 kot število 9 sta brez ostanka deljiva s 3:
Torej gcd (12 in 9) = 3
Drugi način za iskanje GCD
Zdaj pa poglejmo drugo metodo iskanja največjega skupnega delitelja. Bistvo ta metoda je razložiti obe števili na prafaktorje in pomnožiti skupne.
Primer 1. Poišči gcd števil 24 in 18
Najprej razložimo obe števili na prafaktorje:
Zdaj pa pomnožimo njihove skupne faktorje. Da bi se izognili zmedi, lahko poudarimo skupne dejavnike.
Ogledamo si raztezanje števila 24. Njegov prvi faktor je 2. Isti faktor poiščemo v raztegovanju števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo oboje:
Ponovno pogledamo razteg števila 24. Tudi njegov drugi faktor je 2. Isti faktor poiščemo v raztegu števila 18 in vidimo, da ga drugič ni več. Potem ne poudarjamo ničesar.
Naslednja dva v razširitvi števila 24 prav tako nista v razširitvi števila 18.
Pojdimo na zadnji faktor v razširitvi števila 24. To je faktor 3. Isti faktor poiščemo v razširitvi števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo obe trojici:
Torej sta skupna faktorja števil 24 in 18 faktorja 2 in 3. Da bi dobili GCD, je treba te faktorje pomnožiti:
Torej gcd (24 in 18) = 6
Tretji način za iskanje GCD
Zdaj pa poglejmo tretji način iskanja največjega skupnega delitelja. Bistvo te metode je, da se števila, ki jih je treba najti za največji skupni delitelj, razgradijo na prafaktorje. Nato se iz razširitve prvega števila prečrtajo dejavniki, ki niso vključeni v razširitev druge številke. Preostala števila v prvi razširitvi pomnožimo in dobimo GCD.
Na primer, poiščimo GCD za števili 28 in 16 s to metodo. Najprej te številke razgradimo na prafaktorje:
Dobili smo dve razširitvi: in
Sedaj bomo iz razčlenitve prvega števila izbrisali faktorje, ki niso vključeni v razčlenitev drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje sedmih. Prečrtajmo iz prve razširitve:
Zdaj pomnožimo preostale faktorje in dobimo GCD:
Število 4 je največji skupni delitelj števil 28 in 16. Obe števili sta deljivi s 4 brez ostanka:
Primer 2. Poišči gcd števil 100 in 40
Faktoriziranje števila 100
Faktoriziranje števila 40
Dobili smo dve razširitvi:
Sedaj bomo iz dekompozicije prvega števila izbrisali faktorje, ki niso vključeni v dekompozicijo drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje ene petice (obstaja le ena petica). Prečrtajmo to iz prve razširitve
Pomnožimo preostala števila:
Dobili smo odgovor 20. To pomeni, da je število 20 največji skupni delitelj števil 100 in 40. Ti dve števili sta deljivi z 20 brez ostanka:
GCD (100 in 40) = 20.
Primer 3. Poišči gcd števil 72 in 128
Faktoriziranje števila 72
Razlaganje števila 128 na faktorje
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Sedaj bomo iz dekompozicije prvega števila izbrisali faktorje, ki niso vključeni v dekompozicijo drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje dveh trojčkov (sploh jih ni). Prečrtajmo jih iz prve razširitve:
Dobili smo odgovor 8. To pomeni, da je število 8 največji skupni delitelj števil 72 in 128. Ti dve števili sta brez ostanka deljivi z 8:
GCD (72 in 128) = 8
Iskanje GCD za več števil
Največji skupni delitelj je mogoče najti za več števil, ne le za dve. Da bi to naredili, se števila, ki jih je treba najti za največji skupni delitelj, razgradijo na prafaktorje, nato se najde produkt skupnih prafaktorjev teh števil.
Na primer, poiščimo GCD za številke 18, 24 in 36
Razložimo število 18 na faktorje
Razložimo število 24 na faktorje
Razložimo število 36 na faktorje
Dobili smo tri razširitve:
Zdaj pa poudarimo in podčrtajmo skupne faktorje v teh številkah. Skupni faktorji se morajo pojaviti v vseh treh številkah:
Vidimo, da sta skupna faktorja za števila 18, 24 in 36 faktorja 2 in 3. Z množenjem teh faktorjev dobimo gcd, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. To pomeni, da je število 6 največji skupni delitelj števil 18, 24 in 36. Ta tri števila so deljiva s 6 brez ostanka:
GCD (18, 24 in 36) = 6
Primer 2. Poišči GCD za številke 12, 24, 36 in 42
Razložimo vsako število na prafaktorje. Nato poiščemo produkt skupnih faktorjev teh števil.
Razložimo število 12 na faktorje
Razložimo število 42 na faktorje
Dobili smo štiri razširitve:
Zdaj pa poudarimo in podčrtajmo skupne faktorje v teh številkah. Skupni faktorji se morajo pojaviti v vseh štirih številkah:
Vidimo, da so skupni faktorji za števila 12, 24, 36 in 42 faktorji 2 in 3. Če te faktorje pomnožimo skupaj, dobimo gcd, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. To pomeni, da je število 6 največji skupni delitelj števil 12, 24, 36 in 42. Ta števila so deljiva s 6 brez ostanka:
GCD (12, 24, 36 in 42) = 6
Iz prejšnje lekcije vemo, da če je število deljeno z drugim brez ostanka, se imenuje večkratnik tega števila.
Izkazalo se je, da ima več števil lahko skupni večkratnik. In zdaj nas bo zanimal večkratnik dveh števil in mora biti čim manjši.
Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil a in b- a in b a in število b.
Definicija vsebuje dve spremenljivki a in b. Namesto teh spremenljivk zamenjajmo poljubni dve števili. Na primer, namesto spremenljivke a Zamenjajmo številko 9 in namesto spremenljivke b Zamenjajmo številko 12. Zdaj pa poskusimo prebrati definicijo:
Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 9 in 12 - to najmanjše število, ki je večkratnik 9 in 12 . Z drugimi besedami, to je tako majhno število, ki je brez ostanka deljivo s številom 9 in po številu 12 .
Iz definicije je jasno, da je LCM najmanjše število, ki je deljivo z 9 in 12 brez ostanka. To LCM je treba najti.
Za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) lahko uporabite dve metodi. Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med temi večkratniki izberete število, ki bo skupno številom in majhno. Uporabimo to metodo.
Najprej poiščimo prve večkratnike števila 9. Če želite najti večkratnike števila 9, morate teh devet pomnožiti enega za drugim s števili od 1 do 9. Dobljeni odgovori bodo večkratniki števila 9. Torej, Začnimo. Večkratnike bomo označili z rdečo:
Zdaj poiščemo večkratnike števila 12. Da bi to naredili, pomnožimo 12 enega za drugim z vsemi števili od 1 do 12.
Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.
Na primer:
Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;
Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.
Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števil. Delitelj naravnega števila a- je naravno število, ki deli dano število a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno. Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Ta števila so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12.
Skupni delitelj dveh danih števil a in b- to je število, s katerim sta obe dani števili deljeni brez ostanka a in b. Skupni delitelj več števil (NOD) je število, ki služi kot delitelj za vsakega od njih.
Na kratko največji skupni delitelj števil a in b zapiši takole:
Primer: GCD (12; 36) = 12.
Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko črko »D«.
primer:
GCD (7; 9) = 1
Števili 7 in 9 imata samo en skupni delitelj - število 1. Takšni števili se imenujeta medsebojno primechi slami.
Kopraštevila- to so naravna števila, ki imajo le en skupni delitelj - število 1. Njihova gcd je 1.
Največji skupni delitelj (GCD), lastnosti.
- Osnovna lastnost: največji skupni delitelj m in n je deljivo s poljubnim skupnim deliteljem teh števil. Primer: Pri številih 12 in 18 je največji skupni delitelj 6; delijo ga vsi skupni delitelji teh števil: 1, 2, 3, 6.
- Posledica 1: množica skupnih deliteljev m in n sovpada z množico deliteljev GCD( m, n).
- Posledica 2: množica skupnih mnogokratnikov m in n sovpada z množico več LCM ( m, n).
To zlasti pomeni, da morate za redukcijo ulomka v nezmanjšano obliko deliti njegov števec in imenovalec z njunim gcd.
- Največji skupni delitelj števil m in n lahko definiramo kot najmanjši pozitivni element množice vseh njihovih linearnih kombinacij:
in jo zato predstavljajo kot linearno kombinacijo števil m in n:
To razmerje se imenuje Bezoutovo razmerje, in koeficientov u in v — Brezoutovi koeficienti. Bezoutovi koeficienti so učinkovito izračunani z razširjenim evklidskim algoritmom. Ta trditev posplošuje na množice naravnih števil - njen pomen je, da je podskupina skupine, ki jo generira množica, ciklična in jo generira en element: GCD ( a 1 , a 2 , … , a n).
Izračunajte največji skupni delitelj (GCD).
Učinkoviti načini za izračun gcd dveh števil so Evklidski algoritem in dvojiškoalgoritem. Poleg tega je vrednost gcd ( m,n) lahko enostavno izračunamo, če poznamo kanonično razširitev števil m in n na prafaktorje:
kjer sta različna praštevila in in sta nenegativni celi števili (lahko sta ničli, če ustreznega praštevila ni v razširitvi). Nato GCD ( m,n) in NOC ( m,n) so izražene s formulami:
Če obstaja več kot dve številki: , se njihov gcd najde z naslednjim algoritmom:
- to je želeni GCD.
Tudi zato, da bi našli največji skupni delitelj, lahko vsako od danih števil razložite na prafaktorje. Nato posebej zapiši samo tiste dejavnike, ki so vključeni v vsa navedena števila. Nato zapisana števila pomnožimo skupaj – rezultat množenja je največji skupni delitelj .
Oglejmo si korak za korakom izračun največjega skupnega delitelja:
1. Razstavite delitelje števil na prafaktorje:
Izračune je priročno pisati z navpično vrstico. Na levi strani črte najprej zapišemo dividendo, na desno - delitelj. Nato v levi stolpec zapišemo vrednosti količnikov. Takoj razložimo s primerom. Razložimo števili 28 in 64 na prafaktorje.
2. Pri obeh številih poudarimo iste prafaktorje:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Poišči produkt enakih prafaktorjev in zapiši odgovor:
gcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Odgovor: GCD (28; 64) = 4
Lokacijo GCD lahko formalizirate na dva načina: v stolpcu (kot je storjeno zgoraj) ali "v vrstici".
Prvi način za pisanje GCD:
Poiščite gcd 48 in 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
Drugi način pisanja GCD:
Sedaj pa v vrstico zapišimo rešitev iskanja GCD. Poiščite gcd 10 in 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)