>

Je 9 praštevilo ali ne?

Članek obravnava pojma praštevila in sestavljenih števil. Definicije takih števil so podane s primeri. Zagotavljamo dokaze, da je količina praštevila neomejeno in zapišite v tabelo praštevil po Eratostenovi metodi. Podani bodo dokazi za določitev, ali je število praprosto ali sestavljeno.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Praštevila in sestavljena števila – definicije in primeri

Praštevila in sestavljena števila so razvrščena kot pozitivna cela števila. Biti morajo večji od ena. Tudi delilnike delimo na preproste in sestavljene. Da bi razumeli koncept sestavljenih števil, morate najprej preučiti koncepte deliteljev in večkratnikov.

Definicija 1

Praštevila so cela števila, ki so večja od ena in imajo dva pozitivna delitelja, to je sebe in 1.

Definicija 2

Sestavljena števila so cela števila, ki so večja od ena in imajo vsaj tri pozitivne delitelje.

Ena ni niti praštevilo niti sestavljeno število. Ima samo en pozitivni delitelj, zato se razlikuje od vseh drugih pozitivnih števil. Vsa pozitivna cela števila imenujemo naravna števila, torej se uporabljajo pri štetju.

Definicija 3

Praštevila so naravna števila, ki imajo samo dva pozitivna delitelja.

Definicija 4

Sestavljeno število- To naravno število, ki ima več kot dva pozitivna delitelja.

Vsako število, ki je večje od 1, je praštevilo ali sestavljeno. Iz lastnosti deljivosti izhaja, da bosta 1 in število a vedno delitelja za vsako število a, to pomeni, da bo deljivo samo s seboj in z 1. Dajmo definicijo celih števil.

Definicija 5

Naravna števila, ki niso praštevila, imenujemo sestavljena števila.

Praštevila: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Deljivi so le sami s seboj in z 1. Sestavljena števila: 6, 63, 121, 6697. To pomeni, da je mogoče število 6 razstaviti na 2 in 3, 63 pa na 1, 3, 7, 9, 21, 63 in 121 na 11, 11, kar pomeni, da bodo njegovi delitelji 1, 11, 121. Število 6697 razgradimo na 37 in 181. Upoštevajte, da sta pojma praštevila in sopraštevila različna pojma.

Za lažjo uporabo praštevil morate uporabiti tabelo:

Tabela za vsa obstoječa naravna števila je nerealna, saj jih je neskončno veliko. Ko številke dosežejo velikost 10000 ali 1000000000, bi morali razmisliti o uporabi Eratostenovega sita.

Razmislimo o izreku, ki pojasnjuje zadnjo trditev.

1. izrek

Najmanjši pozitivni delitelj naravnega števila, ki je večje od ena, razen 1, je praštevilo.

Dokazi 1

Predpostavimo, da je a naravno število, ki je večje od 1, b je najmanjši neenačni delitelj a. Z metodo protislovja je treba dokazati, da je b praštevilo.

Predpostavimo, da je b sestavljeno število. Od tu imamo, da obstaja delitelj za b, ki je različen tako od 1 kot od b. Tak delitelj je označen z b 1. Nujno je izpolnjen pogoj 1< b 1 < b je bil dokončan.

Iz pogoja je razvidno, da je a deljeno z b, b deljeno z b 1, kar pomeni, da je koncept deljivosti izražen takole: a = b q in b = b 1 · q 1 , od koder je a = b 1 · (q 1 · q) , kjer je q in q 1 so cela števila. Po pravilu množenja celih števil velja, da je produkt celih števil celo število z enakostjo oblike a = b 1 · (q 1 · q) . Vidi se, da b 1 je delitelj števila a. Neenakost 1< b 1 < b ne ustreza, ker ugotovimo, da je b najmanjši pozitivni delitelj a, ki ni enak 1.

2. izrek

Praštevil je neskončno veliko.

Dokazi 2

Predvidoma vzamemo končno število naravnih števil n in jih označimo kot p 1, p 2, …, p n. Razmislimo o možnosti iskanja praštevila, ki se razlikuje od navedenih.

Upoštevajmo število p, ki je enako p 1, p 2, ..., p n + 1. Ni enako nobenemu izmed števil, ki ustrezajo praštevilom oblike p 1, p 2, ..., p n. Število p je praštevilo. Potem velja, da je izrek dokazan. Če je sestavljen, potem morate vzeti zapis p n + 1 in pokažite, da delitelj ne sovpada z nobenim od p 1, p 2, ..., p n.

Če temu ne bi bilo tako, potem na podlagi lastnosti deljivosti produkta p 1, p 2, ..., p n , ugotovimo, da bi bil deljiv s pn + 1. Upoštevajte, da je izraz p n + 1 deljenje števila p je enako vsoti p 1, p 2, ..., p n + 1. Dobimo, da je izraz p n + 1 Drugi člen te vsote, ki je enak 1, je treba deliti, vendar je to nemogoče.

Vidimo lahko, da lahko poljubno praštevilo najdemo med poljubnim številom danih praštevil. Iz tega sledi, da je praštevil neskončno veliko.

Ker je praštevil veliko, so tabele omejene na števila 100, 1000, 10000 itd.

Pri sestavljanju tabele praštevil je treba upoštevati, da takšna naloga zahteva zaporedno preverjanje števil, začenši od 2 do 100. Če ni delitelja, se zapiše v tabelo, če je sestavljen, se ne vnese v tabelo.

Poglejmo si korak za korakom.

Če začnete s številko 2, potem ima samo 2 delitelja: 2 in 1, kar pomeni, da jo lahko vnesete v tabelo. Enako s številko 3. Število 4 je sestavljeno; treba ga je razstaviti na 2 in 2. Število 5 je pra, kar pomeni, da ga lahko zapišemo v tabelo. To počnite do številke 100.

Ta metoda neprijetno in dolgo. Lahko ustvarite tabelo, vendar boste morali porabiti veliko številočas. Uporabiti je treba kriterije deljivosti, ki bodo pospešili proces iskanja deliteljev.

Metoda z uporabo Eratostenovega sita velja za najprimernejšo. Oglejmo si spodnje primere tabel. Za začetek se zapišejo števila 2, 3, 4, ..., 50.

Zdaj morate prečrtati vsa števila, ki so večkratnika 2. Izvedite zaporedno prečrtanje. Dobimo tabelo, kot je:

Prehajamo na prečrtavanje števil, ki so večkratniki števila 5. Dobimo:

Prečrtajte števila, ki so večkratnika 7, 11. Na koncu je tabela videti takole

Preidimo na formulacijo izreka.

Izrek 3

Najmanjši pozitivni delitelj osnovnega števila a, ki ni 1, ne presega a, kjer je a aritmetični koren danega števila.

Dokazi 3

Mora biti označen b najmanjši delitelj sestavljeno število a. Obstaja celo število q, kjer je a = b · q, in velja, da je b ≤ q. Neenakosti oblike so nesprejemljive b > q, ker je pogoj kršen. Obe strani neenakosti b ≤ q je treba pomnožiti s poljubnim pozitivnim številom b, ki ni enako 1. Dobimo, da je b · b ≤ b · q, kjer je b 2 ≤ a in b ≤ a.

Iz dokazanega izreka je jasno, da prečrtanje števil v tabeli vodi do dejstva, da je treba začeti s številom, ki je enako b 2 in izpolnjuje neenakost b 2 ≤ a. To pomeni, da če prečrtate številke, ki so večkratniki 2, se postopek začne s 4, večkratniki 3 pa z 9 in tako naprej do 100.

Sestavljanje takšne tabele z uporabo Eratostenovega izreka nakazuje, da bodo ob prečrtanih vseh sestavljenih številih ostala praštevila, ki ne presegajo n. V primeru, kjer je n = 50, imamo, da je n = 50. Iz tega izhaja, da Eratostenovo sito preseje vsa sestavljena števila, ki niso pomembna večja vrednost koren iz 50. Iskanje številk poteka s prečrtanjem.

Preden rešiš, moraš ugotoviti, ali je število pra ali sestavljeno. Pogosto se uporabljajo merila deljivosti. Poglejmo si to na spodnjem primeru.

Primer 1

Dokaži, da je število 898989898989898989 sestavljeno.

rešitev

Vsota števk danega števila je 9 8 + 9 9 = 9 17. To pomeni, da je število 9 · 17 na podlagi testa deljivosti z 9 deljivo z 9. Iz tega sledi, da je sestavljena.

Takšni znaki ne morejo dokazati praštevila. Če je potrebno preverjanje, je treba izvesti druge ukrepe. Najprimernejši način je naštevanje števil. Med postopkom je mogoče najti praštevila in sestavljena števila. To pomeni, da številke ne smejo presegati vrednosti a. To pomeni, da je treba število a razstaviti na glavni dejavniki. če je to izpolnjeno, potem lahko število a štejemo za praštevilo.

Primer 2

Določite sestavljeno ali praštevilo 11723.

rešitev

Sedaj morate poiskati vse delitelje za število 11723. Treba je oceniti 11723 .

Od tu vidimo, da je 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 in 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 manjše število 200 .

Za natančnejšo oceno števila 11723 morate zapisati izraz 108 2 = 11 664 in 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iz tega sledi, da je 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Pri razširjanju ugotovimo, da je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 so vsa praštevila. Celoten proces lahko prikažemo kot delitev s stolpcem. To pomeni, da 11723 delite z 19. Število 19 je eden od njegovih faktorjev, saj dobimo deljenje brez ostanka. Predstavimo delitev kot stolpec:

Iz tega sledi, da je 11723 sestavljeno število, ker ima poleg sebe in 1 še delitelj 19.

odgovor: 11723 je sestavljeno število.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Izberite kategorijo Knjige Matematika Fizika Nadzor in upravljanje dostopa Požarna varnost Uporabno Dobavitelji opreme Merilni instrumenti Merjenje vlažnosti - dobavitelji v Ruski federaciji. Merjenje tlaka. in kotni pospešek. Standardne napake meritev Plini so različni kot delovni mediji. Dušik N2 (hladilno sredstvo R728) Amoniak (hladilno sredstvo R717). Antifriz. Vodik H^2 (hladilno sredstvo R702) Vodna para. Zrak (atmosfera) Zemeljski plin - zemeljski plin. Bioplin je kanalizacijski plin. Utekočinjen plin. NGL. LNG. Propan-butan.. Fizikalne, mehanske in toplotne lastnosti. Beton. Konkretna rešitev. rešitev. Gradbena oprema. Jeklo in drugi. Tabele uporabnosti materialov. Kemična odpornost. Temperaturna uporabnost. Odpornost proti koroziji. Tesnilni materiali - tesnila za fuge. PTFE (fluoroplastika-4) in derivati. FUM trak. Anaerobna lepila Nesušeča (nestrjujoča) tesnila. Silikonske tesnilne mase (organosilicij). Grafit, azbest, paronit in derivati ​​paronit. Toplotno ekspandiran grafit (TEG, TMG), sestave. Lastnosti. Aplikacija. Proizvodnja. Gumijasta tesnila iz elastomera. (povezava do razdelka projekta) Inženirske tehnike in koncepti Eksplozijska zaščita. Zaščita pred udarci okolju . korozija. Klimatske izvedbe (tabele združljivosti materialov) Razredi tlaka, temperature, tesnosti Padec (izguba) tlaka. — Inženirski koncept. Taylor, Maclaurin (=McLaren) in periodične Fourierjeve vrste. Razširitev funkcij v serije. Tabele logaritmov in osnovnih formul Tabele numeričnih vrednosti Bradisove tabele. Teorija verjetnosti in statistika Trigonometrične funkcije, formule in grafi. sin, cos, tg, ctg….Vrednosti trigonometrične funkcije , oprema za dom. To nas je šokiralo. . Formule za redukcijo trigonometričnih funkcij. Trigonometrične identitete. Numerične metode Oprema - standardi, velikosti dodatne informacije glej: Adiabatni koeficienti (indikatorji). Konvekcija in popolna izmenjava toplote. Koeficienti toplotne linearne razteznosti, toplotna volumetrična razteznost. Temperature, vrenje, taljenje, drugo... Pretvarjanje temperaturnih enot. Vnetljivost. Temperatura mehčanja. Vrelišče Tališča Toplotna prevodnost. Koeficienti toplotne prevodnosti. Termodinamika. Specifična toplota uparjanja (kondenzacija). Entalpija uparjanja. Specifična zgorevalna toplota (kalorična vrednost). Potreba po kisiku. Električne in magnetne veličine Električni dipolni momenti. Prepustnost. Električna konstanta. Dolžine

elektromagnetni valovi

Spodaj je tabela praštevil od 2 do 10000 (1229 kosov). Enota žal ni vključena. Nekateri menijo, da enota ni vključena, ker... ne more biti tam. " Praštevilo je število, ki ima dva delitelja: ena in samo število."Število 1 ima samo en delitelj; ne velja niti za praštevila niti za sestavljena števila. (razumna pripomba Olge 21. 9. 2012) Ne pozabimo pa, da so praštevila včasih vnesena takole: " Praštevilo je število, ki je deljivo z ena in samim seboj."V tem primeru je ena očitno praštevilo.

Tabela praštevil od 2 do 1000. Tabela praštevil od 2 do 1000 je označena s sivo.

Tabela praštevil od 2 do 1000.
Tabela praštevil od 2 do 1000 je označena s sivo.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Tabela praštevil od 1000 do 10.000.
1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163
1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249
1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321
1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439
1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601
1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693
1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783
1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877
1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987
1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069
2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143
2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267
2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347
2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543
2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657
2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713
2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801
2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903
2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011
3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119
3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221
3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323
3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527
3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607
3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697
3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797
3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907
3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003
4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093
4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211
4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283
4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409
4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513
4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621
4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721
4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813
4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937
4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011
5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113
5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233
5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351
5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443
5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531
5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653
5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743
5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849
5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939
5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073
6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173
6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271
6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337 6343 6353 6359
6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581
6599 6607 6619 6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701
6703 6709 6719 6733 6737 6761 6763 6779 6781 6791 6793 6803
6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871 6883 6899 6907
6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121
7127 7129 7151 7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229
7237 7243 7247 7253 7283 7297 7307 7309 7321 7331 7333 7349
7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459 7477 7481 7487
7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669
7673 7681 7687 7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757
7759 7789 7793 7817 7823 7829 7841 7853 7867 7873 7877 7879
7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951 7963 7993 8009
8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111
8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231
8233 8237 8243 8263 8269 8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317
8329 8353 8363 8369 8377 8387 8389 8419 8423 8429 8431 8443
8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539 8543 8563 8573
8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677
8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753
8761 8779 8783 8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861
8863 8867 8887 8893 8923 8929 8933 8941 8951 8963 8969 8971
8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091
9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199
9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311
9319 9323 9337 9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413
9419 9421 9431 9433 9437 9439 9461 9463 9467 9473 9479 9491
9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601 9613 9619 9623
9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733
9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829
9833 9839 9851 9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929
9931 9941 9949 9967 9973 konec znaka :)

Ocena članka:


V tem članku bomo raziskali praštevila in sestavljena števila. Najprej bomo podali definicije praštevil in sestavljenih števil ter podali primere. Nato bomo dokazali, da je praštevil neskončno veliko. Nato bomo zapisali tabelo praštevil in razmislili o metodah za sestavljanje tabele praštevil, pri čemer bomo posebno pozornost namenili metodi, imenovani Eratostenovo sito. Na koncu izpostavimo glavne točke, ki jih je treba upoštevati pri dokazovanju tega dano številko je enostavna ali sestavljena.

Navigacija po straneh.

Praštevila in sestavljena števila – definicije in primeri

Koncepti praštevil in sestavljenih števil se nanašajo na števila, ki so večja od ena. Takšna cela števila, glede na število njihovih pozitivnih deliteljev, delimo na praštevila in sestavljena števila. Torej razumeti definicije praštevil in sestavljenih števil, morate dobro razumeti, kaj so delitelji in večkratniki.

Opredelitev.

Praštevila so cela števila, velike enote, ki imajo samo dva pozitivna delitelja, in sicer sebe in 1.

Opredelitev.

Sestavljena števila so cela števila, velika, ki imajo vsaj tri pozitivne delitelje.

Ločeno ugotavljamo, da številka 1 ne velja niti za praštevila niti za sestavljena števila. Enota ima samo en pozitivni delitelj, ki je samo število 1. To razlikuje število 1 od vseh drugih pozitivnih celih števil, ki imajo vsaj dva pozitivna delitelja.

Glede na to, da so pozitivna cela števila , in da ima eno le en pozitivni delitelj, lahko podamo še druge formulacije navedenih definicij praštevil in sestavljenih števil.

Opredelitev.

Praštevila so naravna števila, ki imajo samo dva pozitivna delitelja.

Opredelitev.

Sestavljena števila so naravna števila, ki imajo več kot dva pozitivna delitelja.

Upoštevajte, da je vsako pozitivno celo število, večje od ena, praštevilo ali sestavljeno število. Z drugimi besedami, ni niti enega celega števila, ki ne bi bilo niti praštevilno niti sestavljeno. To izhaja iz lastnosti deljivosti, ki pravi, da sta števili 1 in a vedno delitelja katerega koli celega števila a.

Na podlagi informacij iz prejšnjega odstavka lahko podamo naslednjo definicijo sestavljenih števil.

Opredelitev.

Naravna števila, ki niso praštevila, imenujemo sestavljeno.

Dajmo primeri praštevil in sestavljenih števil.

Primeri sestavljenih števil so 6, 63, 121 in 6697. Tudi to izjavo je treba pojasniti. Število 6 ima poleg pozitivnih deliteljev 1 in 6 še delitelja 2 in 3, saj je 6 = 2 3, zato je 6 resnično sestavljeno število. Pozitivni dejavniki števila 63 so števila 1, 3, 7, 9, 21 in 63. Število 121 je enako zmnožku 11·11, zato so njegovi pozitivni delitelji 1, 11 in 121. In število 6.697 je sestavljeno, saj sta njegova pozitivna delitelja poleg 1 in 6.697 tudi števili 37 in 181.

Za zaključek te točke bi rad opozoril tudi na dejstvo, da praštevila in sopraštevila še zdaleč niso ista stvar.

Tabela praštevil

Praštevila so za lažjo nadaljnjo uporabo zapisana v tabeli, imenovani tabela praštevil. Spodaj je tabela praštevil do 1.000.

Nastane logično vprašanje: “Zakaj smo izpolnili tabelo praštevil samo do 1000, ali ni mogoče narediti tabele vseh praštevil, ki obstajajo”?

Najprej odgovorimo na prvi del tega vprašanja. Za večino problemov, ki zahtevajo uporabo praštevil, zadoščajo praštevila znotraj tisoč. V drugih primerih se boste najverjetneje morali zateči k posebnim rešitvam. Čeprav lahko vsekakor ustvarimo tabelo praštevil do poljubno velikega končnega pozitivnega celega števila, pa naj bo to 10.000 ali 1.000.000.000, bomo v naslednjem odstavku govorili o metodah za izdelavo tabel praštevil, še posebej pa si bomo ogledali metodo klical.

Zdaj pa poglejmo možnost (ali bolje rečeno nezmožnost) sestavljanja tabele vseh obstoječih praštevil. Ne moremo narediti tabele vseh praštevil, ker je praštevil neskončno veliko. Zadnja trditev je izrek, ki ga bomo dokazali po naslednjem pomožnem izreku.

Izrek.

Najmanjši pozitivni delitelj naravnega števila, ki je večje od ena, razen 1, je praštevilo.

Dokaz.

Naj a je naravno število, večje od ena, in b je najmanjši pozitivni delitelj a, ki ni ena. Dokažimo, da je b praštevilo s protislovjem.

Predpostavimo, da je b sestavljeno število. Nato obstaja delitelj števila b (označimo ga z b 1), ki je različen tako od 1 kot od b. Če upoštevamo še, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende (to vemo iz lastnosti deljivosti), mora biti pogoj 1 izpolnjen.

Ker je število a po pogoju deljivo z b in smo rekli, da je b deljivo z b 1, nam koncept deljivosti omogoča, da govorimo o obstoju celih števil q in q 1, takih, da je a=b q in b=b 1 q 1 , od koder je a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz tega sledi, da je zmnožek dveh celih števil celo število, potem pa enakost a=b 1 ·(q 1 ·q) pomeni, da je b 1 delitelj števila a. Ob upoštevanju zgornjih neenakosti 1

Zdaj lahko dokažemo, da je praštevil neskončno veliko.

Izrek.

Praštevil je neskončno veliko.

Dokaz.

Predpostavimo, da temu ni tako. To pomeni, da je samo n praštevil in ta praštevila so p 1, p 2, ..., p n. Pokažimo, da lahko vedno najdemo praštevilo, ki se razlikuje od navedenih.

Število p naj bo enako p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jasno je, da se to število razlikuje od praštevil p 1, p 2, ..., p n. Če je število p pra, potem je izrek dokazan. Če je to število sestavljeno, potem na podlagi prejšnjega izreka obstaja pradelilnik tega števila (označujemo ga p n+1). Pokažimo, da ta delitelj ne sovpada z nobenim od števil p 1, p 2, ..., p n.

Če temu ne bi bilo tako, potem bi glede na lastnosti deljivosti produkt p 1 ·p 2 ·…·p n delili s p n+1. Toda število p je tudi deljivo s p n+1, kar je enako vsoti p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Iz tega sledi, da mora p n+1 deliti drugi člen te vsote, ki je enak ena, vendar je to nemogoče.

Tako je bilo dokazano, da je vedno mogoče najti novo praštevilo, ki ni vključeno med nobeno število vnaprej določenih praštevil. Zato je praštevil neskončno veliko.

Torej, zaradi dejstva, da je praštevil neskončno, se pri sestavljanju tabel praštevil vedno omejite od zgoraj na neko število, običajno 100, 1000, 10.000 itd.

Eratostenovo sito

Zdaj bomo razpravljali o načinih za ustvarjanje tabel praštevil. Recimo, da moramo narediti tabelo praštevil do 100.

Najočitnejša metoda za rešitev tega problema je zaporedno preverjanje pozitivnih celih števil, ki se začnejo od 2 do 100, za prisotnost pozitivnega delitelja, ki je večji od 1 in manjši od števila, ki ga testiramo (iz lastnosti deljivosti, ki jih poznamo da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende, ki ni nič). Če takega delitelja ne najdemo, je preizkušeno število praštevilo in se vnese v tabelo praštevil. Če je tak delitelj najden, potem je testirano število sestavljeno; NI vpisano v tabelo praštevil. Po tem pride do prehoda na naslednjo številko, ki se podobno preveri glede prisotnosti delitelja.

Opišimo prvih nekaj korakov.

Začnemo s številko 2. Število 2 nima drugih pozitivnih deliteljev razen 1 in 2. Zato je preprosto, zato ga vnesemo v tabelo praštevil. Tukaj je treba povedati, da je 2 najmanjše praštevilo. Preidimo na številko 3. Njegov možni pozitivni delitelj, ki ni 1 in 3, je število 2. Toda 3 ni deljivo z 2, zato je 3 praštevilo in ga je treba vključiti tudi v tabelo praštevil. Preidimo na številko 4. Njegovi pozitivni delitelji, razen 1 in 4, so lahko števili 2 in 3, preverimo ju. Število 4 je deljivo z 2, zato je 4 sestavljeno število in ga ni treba vključiti v tabelo praštevil. Upoštevajte, da je 4 najmanjše sestavljeno število. Preidimo na številko 5. Preverimo, ali je vsaj eno od števil 2, 3, 4 njen delitelj. Ker 5 ni deljivo z 2, 3 ali 4, je praštevilo in ga moramo zapisati v tabelo praštevil. Nato sledi prehod na številke 6, 7 in tako naprej do 100.

Ta pristop k sestavljanju tabele praštevil je daleč od idealnega. Tako ali drugače ima pravico do obstoja. Upoštevajte, da lahko s to metodo izdelave tabele celih števil uporabite merila deljivosti, kar bo nekoliko pospešilo postopek iskanja deliteljev.

Obstaja bolj priročen način za ustvarjanje tabele praštevil, ki se imenuje. Beseda "sito", ki je prisotna v imenu, ni naključna, saj dejanja te metode pomagajo, tako rekoč, "presejati" cela števila in velike enote skozi Eratostenovo sito, da bi ločili preproste od sestavljenih.

Pokažimo Eratostenovo sito v akciji pri sestavljanju tabele praštevil do 50.

Najprej zapišite številke 2, 3, 4, ..., 50 po vrsti.


Prvo zapisano število, 2, je praštevilo. Zdaj se od številke 2 zaporedno premaknemo v desno za dve številki in te številke prečrtamo, dokler ne pridemo do konca sestavljene tabele številk. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika dveh.

Prva številka za 2, ki ni prečrtana, je 3. To število je praštevilo. Zdaj se od številke 3 dosledno premaknemo v desno za tri številke (upoštevajoč že prečrtane številke) in jih prečrtamo. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika treh.

Prva številka za 3, ki ni prečrtana, je 5. To število je praštevilo. Zdaj se od številke 5 dosledno premaknemo v desno za 5 številk (upoštevamo tudi prej prečrtane številke) in jih prečrtamo. S tem boste prečrtali vsa števila, ki so večkratnika števila pet.

Nato prečrtamo števila, ki so večkratnika števila 7, nato večkratnika števila 11 in tako naprej. Postopek se konča, ko ni več številk za prečrtanje. Spodaj je izpolnjena tabela praštevil do 50, pridobljena z uporabo Eratostenovega sita. Vsa neprečrtana števila so praštevila, vsa prečrtana števila pa so sestavljena.

Oblikujmo in dokažimo tudi izrek, ki bo pospešil postopek sestavljanja tabele praštevil z uporabo Eratostenovega sita.

Izrek.

Najmanjši pozitivni delitelj sestavljenega števila a, ki je različen od ena, ne presega , kjer je od a .

Dokaz.

S črko b označimo najmanjši delitelj sestavljenega števila a, ki je različen od ena (število b je pra, kot izhaja iz izreka, dokazanega na samem začetku prejšnjega odstavka). Potem obstaja celo število q tako, da je a=b·q (tukaj je q pozitivno celo število, kar izhaja iz pravil množenja celih števil) in (za b>q je kršen pogoj, da je b najmanjši delitelj a , saj je q tudi delitelj števila a zaradi enakosti a=q·b ). Z množenjem obeh strani neenakosti s pozitivnim in celim številom, večjim od ena (to nam je dovoljeno), dobimo , iz katerega in .

Kaj nam dokazani izrek pove o Eratostenovem situ?

Prvič, prečrtavanje sestavljenih števil, ki so večkratniki praštevila b, se mora začeti s številom, ki je enako (to izhaja iz neenakosti). Na primer, prečrtavanje števil, ki so večkratniki dveh, naj se začne s številko 4, večkratniki treh s številko 9, večkratniki pet s številko 25 itd.

Drugič, sestavljanje tabele praštevil do števila n z uporabo Eratostenovega sita se lahko šteje za dokončano, ko vsa sestavljena števila, ki so večkratniki praštevil, ne presegajo . V našem primeru je n=50 (ker izdelujemo tabelo praštevil do 50) in zato mora Eratostenovo sito izločiti vsa sestavljena števila, ki so večkratnika praštevil 2, 3, 5 in 7, ki ne ne presega aritmetičnega kvadratnega korena iz 50. To pomeni, da nam ni treba več iskati in prečrtati števil, ki so večkratniki praštevil 11, 13, 17, 19, 23 in tako naprej do 47, saj bodo že prečrtana kot večkratniki manjših praštevil 2. , 3, 5 in 7 .

Je to število praštevilo ali sestavljeno?

Pri nekaterih nalogah je treba ugotoviti, ali je dano število praštevilo ali sestavljeno. Na splošno ta naloga še zdaleč ni enostavna, zlasti za številke, katerih pisanje je sestavljeno iz velikega števila znakov. V večini primerov morate poiskati določen način za rešitev. Vendar pa bomo poskušali usmeriti tok misli za preproste primere.

Seveda lahko poskusite uporabiti teste deljivosti, da dokažete, da je dano število sestavljeno. Če na primer nek preizkus deljivosti pokaže, da je dano število deljivo z nekim pozitivnim celim številom, večjim od ena, potem je prvotno število sestavljeno.

Primer.

Dokaži, da je 898.989.898.989.898.989 sestavljeno število.

rešitev.

Vsota števk tega števila je 9·8+9·9=9·17. Ker je število, ki je enako 9·17, deljivo z 9, lahko po kriteriju deljivosti z 9 trdimo, da je tudi prvotno število deljivo z 9. Zato je sestavljen.

Bistvena pomanjkljivost tega pristopa je, da kriteriji deljivosti ne omogočajo dokazovanja praštevila. Zato morate pri preizkušanju števila, ali je praštevilo ali sestavljeno, postopati drugače.

Najbolj logičen pristop je poskusiti vse možne delitelje danega števila. Če nobeden od možnih deliteljev ni pravi delitelj danega števila, bo to število praštevilo, sicer bo sestavljeno. Iz izrekov, dokazanih v prejšnjem odstavku, sledi, da je treba delitelje danega števila a iskati med praštevili, ki ne presegajo . Tako lahko dano število a zaporedno delimo s praštevili (ki jih prikladno vzamemo iz tabele praštevil), pri čemer poskušamo najti delitelj števila a. Če najdemo delitelj, potem je število a sestavljeno. Če med praštevili, ki ne presegajo , ni delitelja števila a, potem je število a praštevilo.

Primer.

številka 11 723 enostavne ali sestavljene?

rešitev.

Ugotovimo, do katerega praštevila so lahko delitelji števila 11.723. Če želite to narediti, ocenimo.

To je precej očitno , od leta 200 2 =40.000 in 11.723<40 000 (при необходимости смотрите статью primerjava številk). Tako so možni prafaktorji 11.723 manjši od 200. Že to nam močno olajša nalogo. Če tega ne bi vedeli, potem bi morali iti skozi vsa praštevila ne do 200, ampak do števila 11.723.

Če želite, lahko ocenite natančneje. Ker je 108 2 =11.664 in 109 2 =11.881, potem je 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Tako je katero koli praštevilo, manjše od 109, potencialno praštevilo danega števila 11.723.

Sedaj bomo število 11.723 zaporedno razdelili na praštevila 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Če število 11.723 delimo z enim od zapisanih praštevil, potem bo sestavljeno. Če ni deljivo z nobenim od zapisanih praštevil, je prvotno število praštevilo.

Vsega tega monotonega in monotonega procesa delitve ne bomo opisovali. Takoj povejmo, da 11.723