Opredelitev. Največji naravno število, s katerim sta števili a in b deljeni brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj (GCD) te številke.
Poiščimo največjega skupni delilnikštevilki 24 in 35.
Delitelji števila 24 so števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili se imenujeta medsebojno prime.
Opredelitev. Naravna števila imenujemo medsebojno prime, če je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.
Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje teh števil.
Razložimo števili 48 in 36 in dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Izmed dejavnikov, vključenih v razširitev prvega od teh števil, prečrtamo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Preostala faktorja sta 2 * 2 * 3. Njun produkt je enak 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.
Najti največji skupni delitelj
2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.
Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj števil 15, 45, 75 in 180 je število 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.
Najmanjši skupni večkratnik (LCM)
Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, razčlenimo 75 in 60 na glavni dejavniki: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišimo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (tj. faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.
Poiščejo tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.
Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razložite na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.
Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik števil 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljivo z vsemi temi števili.
Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. številka, enaka vsoti Vse njegove delitelje (brez samega števila) so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33.550.336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda znanstveniki še vedno ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila izhaja iz dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevila, torej praštevila so kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Elementi, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, tj. za vsakim praštevilom stoji še večje praštevilo. število.
Da bi našli praštevila, je drug grški matematik iz istega časa, Eratosten, prišel do te metode. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal eno, ki ni niti praštevilo niti sestavljeno število, nato pa skozi 1 prečrtal vsa števila, ki prihajajo za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka za 2 je bila 3. Nato so bile za dve prečrtane vse številke za 3 (števila, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala samo praštevila neprečrtana.
Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.
Na primer:
Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;
Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.
Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števil. Delitelj naravnega števila a- je naravno število, ki deli dano številko a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno .
Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Ta števila so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b- to je število, s katerim sta obe dani števili deljeni brez ostanka a in b.
Skupni večkratniki več števil je število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi mnogokratniki je vedno najmanjši, v v tem primeru to je 90. Ta številka se imenuje najmanjšiskupni večkratnik (CMM).
LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.
Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.
Komutativnost:
Asociativnost:
Zlasti, če sta in soprosti števili, potem:
Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov za LCM( m, n).
Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.
Torej, Čebiševljeva funkcija. in:
To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).
Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).
NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:
1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo povezavo z LCM:
2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:
Kje p 1 ,...,p k- različna praštevila in d 1 ,...,d k in e 1 ,...,e k— nenegativna cela števila (lahko so ničle, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).
Nato NOC ( a,b) se izračuna po formuli:
Z drugimi besedami, razčlenitev LCM vsebuje vse prafaktorje, vključene v vsaj eno od razčlenitev števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega množitelja.
Primer:
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:
Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:
- razstavljajo števila na prafaktorje;
- prenesti največjo ekspanzijo (zmnožek faktorjev želenega produkta) v faktorje želenega produkta veliko število od danih), nato pa dodamo faktorje iz razširitve drugih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali se v njem pojavljajo manjkrat;
— dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.
Vsaki dve ali več naravnih števil ima svoj LCM. Če števili nista večkratnika drug drugega ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njihov LCM enak produktu teh števil.
Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) dopolnimo s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.
Prafaktorje največjega števila 30 dopolnimo s faktorjem 5 števila 25, dobljeni produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. to najmanjši izdelek možnih (150, 250, 300 ...), ki so jim vsa podana števila večkratniki.
Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak produktu danih števil.
Pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.
Druga možnost:
Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:
1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) zapiši potence vseh prafaktorjev:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) zapišite vse glavne delitelje (množitelje) vsakega od teh števil;
4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;
5) pomnožite te moči.
Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.
rešitev. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Izpišemo največje stopnje vse pradelitelje in jih pomnožimo:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka z naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, povezava med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), In Posebna pozornost Osredotočimo se na reševanje primerov. Najprej bomo pokazali, kako se LCM dveh števil izračuna z uporabo GCD teh števil. Nato si bomo ogledali iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razlaganjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po strani.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD vam omogoča izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh pozitivnih celih števil z uporabo znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Oglejmo si primere iskanja LCM z dano formulo.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik dveh števil 126 in 70.
rešitev.
V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo povezavo med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). To pomeni, da moramo najprej poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil s pomočjo zapisane formule.
Poiščimo NOD(126, 70) z evklidskim algoritmom: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, torej NOD(126, 70)=14.
Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primer.
Čemu je enako LCM(68, 34)?
rešitev.
Ker 68 je deljivo s 34, potem je GCD(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.
Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če sestavite produkt iz vseh prafaktorjev danih števil in nato iz tega produkta izključite vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah danih števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku danih števil .
Navedeno pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi števil a in b. V zameno je GCD(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD z uporabo ekspanzije števil v prafaktorje).
Dajmo primer. Naj vemo, da je 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Sestavimo produkt iz vseh faktorjev teh razširitev: 2·3·3·5·5·5·7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (takšna faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2·3·5·5·7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primer.
Razčlenite števili 441 in 700 na prafaktorje in poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
rešitev.
Razložimo števili 441 in 700 na prafaktorje:
Dobimo 441=3·3·7·7 in 700=2·2·5·5·7.
Sedaj naredimo produkt vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi teh števil: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Iz tega zmnožka izločimo vse faktorje, ki so istočasno prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. torej LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo faktorizacije števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razčlembi na prafaktorje so naslednji: 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2·3·5·5·7, katerega vrednost je enako LCM(75, 210).
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.
rešitev.
Najprej dobimo razčlenitve števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2·2·3·7 in 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik 84 in 648 4.536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Iskanje LCM treh ali več števil
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.
Izrek.
Naj so dana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo z zaporednim izračunom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Oglejmo si uporabo tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Primer.
Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.
rešitev.
V tem primeru je a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Najprej najdemo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Da bi to naredili, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, torej GCD(140, 9)=1 , od koder je GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To je m 2 =1 260.
Zdaj najdemo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), ki ga prav tako določimo z evklidskim algoritmom: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potem je gcd(1,260, 54)=18, iz česar je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To je m 3 =3 780.
Vse kar ostane je najti m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bi to naredili, najdemo GCD(3,780, 250) z uporabo evklidskega algoritma: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Zato je GCM(3,780, 250)=10, od koder je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To je m 4 =94.500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
V mnogih primerih je priročno najti najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil z uporabo prafaktorjev danih števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila prištejemo vse faktorje iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila nastalim faktorjem dodamo tretje število in tako naprej.
Oglejmo si primer iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo prafaktorizacije.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.
rešitev.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11·13.
Če želite najti LCM teh števil, faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razgradnja števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 prisotna že v razgradnji prvega števila 84. Nato faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo množico faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ne bo treba dodajati množiteljev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, kar je enako 48.048.
Druga številka: b=
Ločilo tisočic Brez ločila presledkov "´
rezultat:
Največji skupni delitelj gcd( a,b)=6
Najmanjši skupni večkratnik LCM( a,b)=468
Največje naravno število, ki ga lahko brez ostanka delimo s številoma a in b, imenujemo največji skupni delitelj(GCD) teh številk. Označeno z gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ali hcf(a,b).
Najmanjši skupni večkratnik LCM dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. Označeno z LCM(a,b) ali lcm(a,b).
Celi števili a in b se imenujeta medsebojno prime, če nimata skupnih deliteljev, razen +1 in −1.
Največji skupni delitelj
Naj sta podani dve pozitivni števili a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. najti tako številko λ , ki deli števila a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.
1) V tem članku bomo besedo številka razumeli kot celo število.
Pustiti a 1 ≥ a 2 in pusti
Kje m 1 , a 3 je nekaj celih števil, a 3 <a 2 (ostanek delitve a 1 na osebo a 2 mora biti manj a 2).
Pretvarjajmo se, da λ deli a 1 in a 2 potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. trditev članka »Deljivost števil. Preizkus deljivosti«). Iz tega sledi, da vsak skupni delitelj a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delilnik a 2 in a 3 potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 je tudi deljivo s λ . Torej skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšana na preprostejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .
če a 3 ≠0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem
,
Kje m 1 in a 4 je nekaj celih števil, ( a 4 ostanek pri deljenju a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim razmišljanjem pridemo do zaključka, da skupni delitelji števil a 3 in a 4 sovpada s skupnimi delitelji števil a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi delilniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... so števila, ki nenehno padajo, in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato na nekem koraku n, ostanek delitve a n naprej a n+1 bo enako nič ( a n+2 =0).
.
Vsak skupni delitelj λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n+1 . Velja tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n+1 so tudi delitelji števil a n−1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n+1 je število a n+1, ker a n in a n+1 so deljivi s a n+1 (zapomni si to a n+2 =0). Zato a n+1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .
Upoštevajte, da je številka a n+1 je največji delitelj števil a n in a n+1 , saj je največji delitelj a n+1 je sam a n+1 . če a n+1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi običajni delitelji števil a 1 in a 2. številka a n+1 se imenuje največji skupni deliteljštevilke a 1 in a 2 .
Številke a 1 in a 2 so lahko pozitivna ali negativna števila. Če je eno od števil enako nič, potem bo največji skupni delitelj teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj števil nič je nedefiniran.
Pokliče se zgornji algoritem Evklidski algoritem najti največji skupni delitelj dveh celih števil.
Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil
Poiščite največji skupni delitelj dveh števil 630 in 434.
- Korak 1. Število 630 delite s 434. Ostanek je 196.
- Korak 2. Število 434 delite s 196. Ostanek je 42.
- Korak 3. Število 196 razdelite na 42. Ostanek je 28.
- Korak 4. Število 42 delite z 28. Ostanek je 14.
- 5. korak. Število 28 delite s 14. Ostanek je 0.
V 5. koraku je ostanek deljenja 0. Zato je največji skupni delitelj števil 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta števili 2 in 7 tudi delitelja števil 630 in 434.
Kopraštevila
Opredelitev 1. Naj bo največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Nato se pokličejo te številke soprosta števila, ki nima skupnega delitelja.
Izrek 1. če a 1 in a 2 soprosti števili in λ neko število, nato poljuben skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .
Dokaz. Razmislite o evklidskem algoritmu za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).
.
Iz pogojev izreka sledi, da je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 in zato a n in a n+1 je 1. To je a n+1 =1.
Pomnožimo vse te enakosti z λ , Potem
.
Naj skupni delilec a 1 λ in a 2 da δ . Potem δ je vključen kot množitelj v a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Deljivost števil", trditev 2). Nadalje δ je vključen kot množitelj v a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato vključen kot dejavnik v a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Če tako razmišljamo, smo prepričani, da δ je vključen kot množitelj v a n−1 λ in m n−1 a n λ , in torej v a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Ker a n+1 =1, torej δ je vključen kot množitelj v λ . Zato število δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .
Oglejmo si posebne primere izreka 1.
Posledica 1. Pustiti a in c Praštevila so relativna b. Nato njihov izdelek ac je praštevilo glede na b.
res. Iz izreka 1 ac in b imajo enake skupne delitelje kot c in b. Ampak številke c in b razmeroma preprosto, tj. imajo en sam skupni delitelj 1. Potem ac in b imajo tudi en sam skupni delitelj 1. Zato ac in b medsebojno preprosta.
Posledica 2. Pustiti a in b soprosta števila in pustimo b deli ak. Potem b deli in k.
res. Iz pogoja odobritve ak in b imajo skupni delitelj b. Na podlagi izreka 1, b mora biti skupni delilnik b in k. Zato b deli k.
Posledico 1 lahko posplošimo.
Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m so praštevila glede na število b. Potem a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, je produkt teh števil praštevil glede na število b.
2. Naj imamo dve vrstici številk
tako, da je vsako število v prvem nizu praštevilo v razmerju vsakega števila v drugem nizu. Nato izdelek
Poiskati morate števila, ki so deljiva z vsakim od teh števil.
Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1 kje s neko število. če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, torej
Kje s 1 je neko celo število. Potem
je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2 .
a 1 in a 2 so relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:
Najti moramo najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Iz zgoraj navedenega sledi, da vsak večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik številk ε in a 3 in nazaj. Najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 da ε 1. Nato večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik številk ε 1 in a 4. Najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 da ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.
V posebnem primeru, ko so številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Naprej, saj a 3 praštevila glede na števila a 1 , a 2 potem a 3 praštevilo a 1 · a 2 (posledica 1). Pomeni najmanjši skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a 1 · a 2 · a 3. Če sklepamo na podoben način, pridemo do naslednjih trditev.
Izjava 1. Najmanjši skupni večkratnik soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enak njihovemu produktu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Izjava 2. Vsako število, ki je deljivo z vsakim od soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je tudi deljiv z njihovim produktom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik sta ključna pojma aritmetike, zaradi katerih je delo z ulomki preprosto. LCM in se najpogosteje uporabljata za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.
Osnovni pojmi
Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, s katerim se X deli brez ostanka. Na primer, delitelj 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Večkratnik celega števila X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15 in 6 je večkratnik 12.
Za vsak par števil lahko najdemo njihove skupne delitelje in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni večkratnik 18, skupni delitelj pa 3. Očitno imajo pari lahko več deliteljev in večkratnikov, zato se pri izračunih uporablja največji delitelj GCD in najmanjši večkratnik LCM.
Najmanjši delitelj je brez pomena, saj je za vsako število vedno ena. Tudi največji mnogokratnik je nesmiseln, saj gre zaporedje večkratnikov v neskončnost.
Iskanje gcd
Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:
- zaporedno iskanje deliteljev, izbiranje skupnih za par in iskanje največjega med njimi;
- razstavljanje števil na nedeljive faktorje;
- Evklidski algoritem;
- binarni algoritem.
Danes sta v izobraževalnih ustanovah najbolj priljubljeni metodi dekompozicija na prafaktorje in evklidski algoritem. Slednje pa se uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti razrešitve v celih številih.
Iskanje NOC
Najmanjši skupni večkratnik se določi tudi z zaporednim štetjem ali faktorizacijo na nedeljive faktorje. Poleg tega je enostavno najti LCM, če je največji delitelj že določen. Za števili X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Na primer, če je GCM(15,18) = 3, potem je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbolj očiten primer uporabe LCM je iskanje skupnega imenovalca, ki je najmanjši skupni večkratnik dani ulomki.
Kopraštevila
Če par števil nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje soprost. Gcd za take pare je vedno enaka ena, na podlagi povezave med delitelji in večkratniki pa je gcd za pare sopraprostih enak njihovemu produktu. Na primer, števili 25 in 28 sta relativno praštevili, ker nimata skupnih deliteljev, LCM(25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi števili bosta vedno relativno praštevili.
Skupni delitelj in večkratni kalkulator
Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število števil, med katerimi lahko izbirate. Naloge za izračun skupnih deliteljev in večkratnikov najdemo v aritmetiki 5. in 6. razreda, vendar sta GCD in LCM ključna pojma v matematiki in se uporabljata v teoriji števil, planimetriji in komunikativni algebri.
Primeri iz resničnega življenja
Skupni imenovalec ulomkov
Najmanjši skupni večkratnik se uporablja pri iskanju skupnega imenovalca več ulomkov. Recimo, da morate v aritmetičnem problemu sešteti 5 ulomkov:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Če želite dodati ulomke, je treba izraz reducirati na skupni imenovalec, kar se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, izberite 5 številk v kalkulatorju in vnesite vrednosti imenovalcev v ustrezne celice. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate za vsak ulomek izračunati dodatne faktorje, ki so definirani kot razmerje med LCM in imenovalcem. Torej bi dodatni množitelji izgledali takole:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Po tem pomnožimo vse ulomke z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takšne ulomke zlahka seštejemo in dobimo rezultat 159/360. Ulomek zmanjšamo za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.
Reševanje linearnih Diofantovih enačb
Linearne Diofantove enačbe so izrazi oblike ax + by = d. Če je razmerje d / gcd(a, b) celo število, potem je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb, da vidimo, ali imajo celoštevilsko rešitev. Najprej preverimo enačbo 150x + 8y = 37. S pomočjo kalkulatorja najdemo GCD (150,8) = 2. Razdelimo 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenov.
Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščite GCD(1320, 1760) = 440. Delite 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantova enačba rešljiva v celih koeficientih .
Zaključek
GCD in LCM igrata veliko vlogo v teoriji števil, koncepta sama pa se široko uporabljata na najrazličnejših področjih matematike. Uporabite naš kalkulator za izračun največjih deliteljev in najmanjših večkratnikov poljubnega števila števil.