Decimalni ulomek je sestavljen iz dveh delov, ločenih z vejicami. Prvi del je cela enota, drugi del so desetice (če je za decimalno vejico eno število), stotice (dve števili za decimalno vejico, kot dve ničli v stotici), tisočinke itd. Poglejmo si primere decimalno: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6,32; 0,5. Vse to so decimalni ulomki. Kako pretvoriti decimalni ulomek v navadni ulomek?
Primer ena
Imamo ulomek, na primer 0,5. Kot že omenjeno, je sestavljen iz dveh delov. Prva številka, 0, kaže, koliko celih enot ima ulomek. V našem primeru jih ni. Druga številka prikazuje desetice. Ulomek se glasi celo nič pika pet. Decimalno število pretvori v ulomek Zdaj ne bo težko, napisali bomo 5/10. Če vidite, da imajo številke skupni delilnik, lahko zmanjšate delež. Imamo to številko 5, če obe strani ulomka delimo s 5, dobimo - 1/2.
Primer dva
Vzemimo bolj zapleten ulomek - 2,25. Glasi se takole: dve pika dve in petindvajset stotink. Upoštevajte - stotinke, saj sta za decimalno vejico dve številki. Zdaj ga lahko pretvorite v navadni ulomek. Zapišemo - 2 25/100. Cel del je 2, ulomek je 25/100. Tako kot v prvem primeru lahko ta del skrajšamo. Skupni faktor za število 25 in 100 je število 25. Upoštevajte, da vedno izberemo največji skupni faktor. Če obe strani ulomka delimo z GCD, dobimo 1/4. Torej je 2,25 2 1/4.
Primer tri
In za utrjevanje gradiva vzemimo decimalni ulomek 4,112 - štiri pika ena in sto dvanajst tisočink. Zakaj tisočinke, mislim, da je jasno. Zdaj zapišemo 4 112/1000. Z algoritmom poiščemo gcd števil 112 in 1000. V našem primeru je to število 6. Dobimo 4 14/125.
Zaključek
- Ulomek razdelimo na cele in ulomke.
- Poglejmo, koliko števk je za decimalno vejico. Če so ena desetice, dve stotice, tri tisočinke itd.
- Ulomek zapišemo v navadni obliki.
- Zmanjšaj števec in imenovalec ulomka.
- Dobljeni ulomek zapišemo.
- Preverjamo in delimo zgornji del frakcije na dno. Če obstaja celo število, ga dodajte dobljenemu decimalnemu ulomku. Prvotna različica se je izkazala odlično, kar pomeni, da ste naredili vse prav.
Na primerih sem pokazal, kako lahko pretvorite decimalni ulomek v navadni ulomek. Kot lahko vidite, je to zelo enostavno in preprosto narediti.
Zdi se, da je pretvorba decimalnega ulomka v običajni ulomek osnovna tema, a mnogi učenci tega ne razumejo! Zato bomo danes podrobno preučili več algoritmov hkrati, s pomočjo katerih boste razumeli vse ulomke v samo sekundi.
Naj vas spomnim, da obstajata vsaj dve obliki zapisa istega ulomka: navadni in decimalni. Decimalni ulomki so vse vrste konstrukcij oblike 0,75; 1,33; in celo −7,41. Tu so primeri navadnih ulomkov, ki izražajo enaka števila:
Zdaj pa ugotovimo: kako preiti iz decimalnega zapisa v običajni zapis? In kar je najpomembnejše: kako to narediti čim hitreje?
Osnovni algoritem
Pravzaprav obstajata vsaj dva algoritma. In zdaj si bomo ogledali oboje. Začnimo s prvim - najpreprostejšim in najbolj razumljivim.
Če želite decimalno število pretvoriti v ulomek, morate slediti trem korakom:
Pomembna opomba o negativnih številih. Če je v izvirnem primeru pred decimalnim ulomkom znak minus, mora biti v izpisu tudi pred navadnim ulomkom znak minus. Tu je še nekaj primerov:
Primeri prehoda iz decimalnega zapisa ulomkov na navadne Na zadnji primer bi rad posebej pozoren. Kot lahko vidite, ulomek 0,0025 vsebuje veliko ničel za decimalno vejico. Zaradi tega morate števec in imenovalec pomnožiti z 10 kar štirikrat. Ali je v tem primeru mogoče nekako poenostaviti algoritem?
Seveda lahko. In zdaj si bomo ogledali alternativni algoritem - nekoliko težje ga je razumeti, vendar po malo vaje deluje veliko hitreje od standardnega.
Hitrejši način
Tudi ta algoritem ima 3 korake. Če želite dobiti ulomek iz decimalke, naredite naslednje:
- Preštejte, koliko števk je za decimalno vejico. Na primer, ulomek 1,75 ima dve takšni števki, 0,0025 pa štiri. Označimo to količino s črko $n$.
- Prepišite prvotno število kot ulomek v obliki $\frac(a)(((10)^(n)))$, kjer so $a$ vse števke prvotnega ulomka (brez »začetnih« ničel na levo, če obstaja), $n$ pa je enako število števk za decimalno vejico, kot smo ga izračunali v prvem koraku. Z drugimi besedami, števke prvotnega ulomka morate deliti z ena, ki ji sledi $n$ ničel.
- Če je mogoče, zmanjšajte nastalo frakcijo.
To je vse! Na prvi pogled je ta shema bolj zapletena od prejšnje. A v resnici je enostavnejša in hitrejša. Presodite sami:
Kot lahko vidite, sta v ulomku 0,64 dve števki za decimalno vejico - 6 in 4. Zato je $n=2$. Če odstranite vejico in ničle na levi (v v tem primeru— samo ena ničla), potem dobimo število 64. Pojdimo na drugi korak: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, torej je imenovalec natanko sto. No, potem ostane le še zmanjšati števec in imenovalec :).
Še en primer:
Tukaj je vse malo bolj zapleteno. Prvič, za decimalno vejico so že 3 številke, tj. $n=3$, torej morate deliti z $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Drugič, če odstranimo vejico iz decimalnega zapisa, dobimo tole: 0,004 → 0004. Ne pozabite, da je treba odstraniti ničle na levi, tako da imamo dejansko številko 4. Potem je vse preprosto: delimo, zmanjšamo in dobimo odgovor.
Za konec še zadnji primer:
Posebnost te frakcije je prisotnost celega dela. Zato je rezultat, ki ga dobimo, nepravilen ulomek 47/25. Lahko pa seveda poskusite 47 deliti s 25 z ostankom in tako spet izolirati cel del. Toda zakaj bi si komplicirali življenje, če je to mogoče storiti na stopnji preobrazbe? No, poglejmo.
Kaj narediti s celim delom
Pravzaprav je vse zelo preprosto: če želimo dobiti pravi ulomek, mu moramo med transformacijo odstraniti cel del, nato pa ga, ko dobimo rezultat, ponovno dodati desno pred ulomkovo črto. .
Na primer, upoštevajte isto številko: 1,88. Ocenimo z ena (cel del) in poglejmo ulomek 0,88. Lahko se enostavno pretvori:
Nato se spomnimo "izgubljene" enote in jo dodamo na sprednjo stran:
\[\frac(22)(25)\do 1\frac(22)(25)\]
To je vse! Izkazalo se je, da je odgovor enak kot po zadnji izbiri celega dela. Še par primerov:
\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\do 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\do 13\frac(4)(5). \\\konec(poravnaj)\]
To je lepota matematike: ne glede na to, v katero smer greš, če so vsi izračuni opravljeni pravilno, bo odgovor vedno enak :)
Na koncu bi rad razmislil o še eni tehniki, ki pomaga mnogim.
Transformacije "na uho"
Pomislimo, kaj je soda decimalka. Natančneje, kako ga beremo. Na primer število 0,64 - beremo ga kot "nič pika 64 stotink", kajne? No, ali samo "64 stotink". Ključna beseda pri tem je »stotinke«, tj. številka 100.
Kaj pa 0,004? To je "nič pika 4 tisočinke" ali preprosto "štiri tisočinke". Kakorkoli, ključna beseda- "tisočinke", tj. 1000.
Torej, kaj je tako pomembno? In dejstvo je, da so te številke tiste, ki se na koncu "pojavijo" v imenovalcih na drugi stopnji algoritma. Tisti. 0,004 je "štiri tisočinke" ali "4 deljeno s 1000":
Poskusite vaditi sami - zelo preprosto je. Glavna stvar je pravilno prebrati izvirni ulomek. Na primer, 2,5 je "2 celi, 5 desetin", torej
In nekaj 1,125 je "1 celo, 125 tisočink", torej
V zadnjem primeru bo seveda nekdo ugovarjal, da ni vsakemu študentu očitno, da je 1000 deljivo s 125. Toda tukaj se morate spomniti, da je 1000 = 10 3 in 10 = 2 ∙ 5, torej
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Tako lahko vsako potenco desetice razgradimo le na faktorja 2 in 5 - te faktorje je treba iskati v števcu, da se na koncu vse zmanjša.
S tem se lekcija zaključi. Preidimo na bolj zapleteno obratno operacijo - glej "
Veliko ljudi postavlja vprašanja o tem, kako pretvoriti ulomek v decimalni ulomek. Obstaja več načinov. Izbira določene metode je odvisna od vrste ulomka, ki ga je treba pretvoriti v drugo obliko, oziroma natančneje od števila v njegovem imenovalcu. Vendar pa je za zanesljivost treba navesti, da je navaden ulomek ulomek, ki je zapisan s števcem in imenovalcem, na primer 1/2. Pogosteje je črta med števcem in imenovalcem narisana vodoravno in ne poševno. Decimalni ulomek je zapisan navadna številka z vejico: na primer 1,25; 0,35 itd.
Torej, če želite pretvoriti ulomek v decimalko brez kalkulatorja, morate:
Bodi pozoren na imenovalec navadnega ulomka. Če je imenovalec mogoče zlahka pomnožiti do 10 z enakim številom kot števec, potem uporabite to metodo kot najpreprostejšo. Navadni ulomek 1/2 na primer zlahka pomnožimo v števcu in imenovalcu s 5, tako da dobimo število 5/10, ki ga že lahko zapišemo kot decimalni ulomek: 0,5. To pravilo temelji na dejstvu, da ima decimalni ulomek v imenovalcu vedno okroglo število: 10, 100, 1000 in podobno. Če torej pomnožite števec in imenovalec ulomka, je treba kot rezultat množenja doseči popolnoma enako število v imenovalcu, ne glede na to, kaj dobite v števcu.
Obstajajo navadni ulomki, katerih izračun po množenju predstavlja določene težave. Na primer, precej težko je določiti, koliko je treba pomnožiti ulomek 5/16, da dobimo eno od zgornjih števil v imenovalcu. V tem primeru bi morali uporabiti običajno delitev, ki se izvaja v stolpcu. Odgovor naj bo decimalni ulomek, ki bo označil konec prenosa. V zgornjem primeru je dobljeno število 0,3125. Če so stolpčni izračuni težki, potem ne morete brez pomoči kalkulatorja.
Končno obstajajo navadni ulomki, ki jih ni mogoče pretvoriti v decimalke. Na primer, pri pretvorbi navadnega ulomka 4/3 je rezultat 1,33333, kjer se trojka ponavlja ad infinitum. Kalkulator se tudi ne bo znebil ponavljajočih se treh. Takšnih ulomkov je več, le poznati jih morate. Izhod iz zgornje situacije je lahko zaokroževanje, če pogoji primera ali problema, ki ga rešujemo, omogočajo zaokroževanje. Če pogoji tega ne dopuščajo in mora biti odgovor zapisan točno v obliki decimalnega ulomka, pomeni, da je bil primer ali naloga napačno rešen, zato se morate vrniti nekaj korakov nazaj, da poiščete napako.
Tako je pretvorba ulomka v decimalko precej preprosta in tej nalogi ni težko kos brez pomoči kalkulatorja. Še lažje je pretvoriti decimalne ulomke v navadne ulomke z izvedbo obratnih korakov, opisanih v 1. metodi.
Video: 6. razred. Pretvarjanje ulomka v decimalko.
Ulomek je število, ki je sestavljeno iz ene ali več enot. V matematiki poznamo tri vrste ulomkov: navadne, mešane in decimalne.
Navadni ulomki
Navadni ulomek je zapisan kot razmerje, v katerem števec odraža, koliko delov je vzetih iz števila, imenovalec pa kaže, na koliko delov je enota razdeljena. Če števnik manjša od imenovalca, potem imamo pravilen ulomek. Na primer: ½, 3/5, 8/9.
Če je števec enak ali večji od imenovalca, potem imamo opravka z nepravilnim ulomkom. Na primer: 5/5, 9/4, 5/2 Če števec delimo, lahko dobimo končno število. Na primer, 40/8 = 5. Zato lahko vsako celo število zapišemo kot navaden nepravilni ulomek ali niz takih ulomkov. Oglejmo si vnose iste številke v obliki več različnih.
- Mešane frakcije
IN splošni pogled mešani ulomek lahko predstavimo s formulo: 
Tako mešani ulomek zapišemo kot celo število in navadni pravi ulomek, tak zapis pa razumemo kot vsoto celote in njenega ulomka.
- Decimale
Decimalka je posebna vrsta ulomka, v katerem je imenovalec mogoče predstaviti kot potenco števila 10. Obstajajo neskončne in končne decimalke. Pri pisanju te vrste ulomka se najprej navede cel del, nato pa se ulomek zapiše z ločilom (pika ali vejica).
Zapis ulomka je vedno določen z njegovo dimenzijo. Decimalni zapis izgleda takole: 
Pravila za pretvorbo med različnimi vrstami ulomkov
- Prevajanje mešana frakcija na navadne
Mešani ulomek je mogoče pretvoriti le v nepravi ulomek. Za prevajanje je potrebno cel del pripeljati na isti imenovalec kot ulomek. Na splošno bo videti takole: 
Oglejmo si uporabo tega pravila na konkretnih primerih:
- Pretvarjanje navadnega ulomka v mešani ulomek
Nepravi ulomek lahko s preprostim deljenjem pretvorimo v mešani ulomek, pri čemer dobimo cel del in ostanek (ulomek).
Na primer, pretvorimo ulomek 439/31 v mešanega: 
- Pretvarjanje ulomkov
V nekaterih primerih je pretvorba ulomka v decimalko precej preprosta. V tem primeru se uporabi osnovna lastnost ulomka: števec in imenovalec se pomnožita z istim številom, da se delitelj postavi na potenco 10.
Na primer:
V nekaterih primerih boste morda morali najti količnik z deljenjem z vogali ali uporabo kalkulatorja. In nekaterih ulomkov ni mogoče zmanjšati na končno decimalko. Na primer, ulomek 1/3 pri deljenju nikoli ne bo dal končnega rezultata.
Pretvarjanje ulomka v decimalno število
Recimo, da želimo ulomek 11/4 pretvoriti v decimalko. Najlažji način za to je ta:
|
2∙2∙5∙5 |
Uspelo nam je, ker je v tem primeru razgradnja imenovalca na glavni dejavniki je sestavljen samo iz dveh. To razširitev smo dopolnili še z dvema peticama, izkoristili dejstvo, da je 10 = 2∙5, in dobili decimalni ulomek. Takšen postopek je očitno mogoč, če in samo če razgradnja imenovalca na prafaktorje ne vsebuje nič drugega kot dvojke in petice. Če je v razširitvi imenovalca prisotno katero koli drugo praštevilo, potem takega ulomka ni mogoče pretvoriti v decimalko. Kljub temu bomo to poskušali storiti, vendar le na drugačen način, s katerim se bomo seznanili na primeru istega ulomka 11/4. Razdelimo 11 s 4 z uporabo "kota":
V vrstici za odgovor smo prejeli cel del (2), imamo pa tudi ostanek (3). Prej smo tukaj končali deljenje, zdaj pa vemo, da lahko dodamo vejico in več ničel desno od dividende (11), kar bomo zdaj miselno storili. Za decimalno vejico sledi desetina. Dobljenemu ostanku (3) dodamo ničlo, ki se pojavi pri dividendi v tej števki:
Zdaj se delitev lahko nadaljuje, kot da se ni nič zgodilo. Samo ne pozabite postaviti vejice za celim delom v vrstici za odgovor:
Ostanku (2), ki je na mestu stotink dividende, dodamo ničlo in zaključimo deljenje:
Posledično dobimo, kot prej,
Poskusimo zdaj na povsem enak način izračunati, čemu je enak ulomek 27/11:
V vrstico za odgovor smo prejeli številko 2,45, v vrstico za preostanek pa številko 5. Toda s takim ostankom smo se že srečali. Zato lahko takoj rečemo, da če nadaljujemo delitev z "votilom", bo naslednja številka v odgovorni vrstici 4, nato bo prišla številka 5, nato spet 4 in spet 5 in tako naprej do neskončnosti. :
27 / 11 = 2,454545454545...
Dobili smo t.i periodično decimalni ulomek s periodo 45. Za take ulomke se uporablja strnjenejši zapis, v katerem piko zapišemo samo enkrat, vendar v oklepaju:
2,454545454545... = 2,(45).
Na splošno, če eno stvar razdelite v "kotiček" naravno število po drugi strani pa, če odgovor zapišemo v obliki decimalnega ulomka, sta možna samo dva izida: (1) prej ali slej bomo v vrstici ostanka dobili nič, (2) ali bo ostanek, ki ga že srečali (nabor možnih ostankov je omejen, ker vsi očitno manj kot delitelj). V prvem primeru je rezultat deljenja končni decimalni ulomek, v drugem primeru pa periodični.
Pretvori periodično decimalko v ulomek
Naj nam bo dan pozitivni periodični decimalni ulomek z nič celim delom, na primer:
a = 0,2(45).
Kako lahko pretvorim ta ulomek nazaj v navadni ulomek?
Pomnožimo z 10 k, Kje k je število števk med decimalno vejico in začetnim oklepajem, ki označuje začetek pike. V tem primeru k= 1 in 10 k = 10:
a∙ 10 k = 2,(45).
Rezultat pomnožite z 10 n, Kje n- "dolžina" obdobja, to je število števk med oklepaji. V tem primeru n= 2 in 10 n = 100:
a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
Zdaj pa izračunajmo razliko
a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Ker sta ulomka manjšega in odštevanca enaka, je ulomek razlike enak nič in pridemo do preprosta enačba relativno a:
a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
Ta enačba se reši z naslednjimi transformacijami:
a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Izračunov namenoma še ne dokončamo, da je jasno razvidno, kako lahko ta rezultat takoj zapišemo, pri čemer izpustimo vmesne argumente. Minuend v števcu (245) je ulomek števila
a = 0,2(45)
če zbrišete oklepaje v njenem vnosu. Odštevanec v števcu (2) je neperiodični del števila A, ki se nahaja med vejico in začetnim oklepajem. Prvi faktor v imenovalcu (10) je enota, ki ji je pripisanih toliko ničel, kolikor je števk v neperiodičnem delu ( k). Drugi faktor v imenovalcu (99) je toliko devetk, kolikor je števk v obdobju ( n).
Zdaj lahko zaključimo naše izračune:
Tukaj je v števcu pika, v imenovalcu pa toliko devetk, kolikor je števk v obdobju. Po zmanjšanju za 9 je dobljeni ulomek enak
Na enak način,