Imenovalec aritmetičnega ulomka a / b je število b, ki kaže velikost ulomkov enote, iz katere je ulomek sestavljen. Imenovalec algebraičnega ulomka A/B se imenuje algebrski izraz B. Za izvajanje aritmetike z ulomki jih je treba zreducirati na najmanjši skupni imenovalec.
Potrebovali boste
- Če želite delati z algebrskimi ulomki in najti najmanjši skupni imenovalec, morate vedeti, kako faktorizirati polinome.
Navodila
Razmislimo o zmanjšanju dveh aritmetičnih ulomkov n/m in s/t na najmanjši skupni imenovalec, kjer so n, m, s, t cela števila. Jasno je, da lahko ta dva ulomka skrčimo na poljuben imenovalec, deljiv z m in t. A jo poskušajo spraviti na najmanjši skupni imenovalec. Enak je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev m in t danih ulomkov. Najmanjši večkratnik (LMK) števila je najmanjše deljivo z vsemi danimi števili hkrati. Tisti. v našem primeru moramo najti najmanjši skupni večkratnik števil m in t. Označeno kot LCM (m, t). Nato se ulomki pomnožijo z ustreznimi: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Poiščimo najmanjši skupni imenovalec treh ulomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprej razširimo imenovalce 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Nato izračunajte LCM (5, 8, 14) tako, da pomnožite vse številke, vključene v vsaj eno od razširitev. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Upoštevajte, da če se faktor pojavi v razširitvi več števil (faktor 2 v razširitvi imenovalcev 8 in 14), potem vzemite faktor v v večji meri(2^3 v našem primeru).
Torej, splošni je prejet. Enako je 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tu dobimo števila, s katerimi moramo pomnožiti ulomke z ustreznimi imenovalci, da jih pripeljemo na najmanjši skupni imenovalec. Dobimo 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Reduciranje na najmanjši skupni imenovalec algebrski ulomki izvedeno po analogiji z aritmetiko. Zaradi jasnosti si poglejmo težavo na primeru. Naj sta podana dva ulomka (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) in (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Razložimo oba imenovalca na faktorje. Upoštevajte, da je imenovalec prvega ulomka popoln kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Za
Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.
Recimo, da imamo dva ulomka z različne imenovalce. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:
Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.
Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje zmanjšanje na skupni imenovalec. In zahtevana števila, ki "izravnavajo" imenovalce, se imenujejo dodatni faktorji.
Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:
- Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
- Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
- Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so pravzaprav navadni izrazi, ki vsebujejo ulomke.
Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri od njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.
Navzkrižno množenje
Najenostavnejši in zanesljiv način, ki garantirano izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Oglejte si:
Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:
Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.
Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »znova in čez«, rezultat pa je lahko zelo velike številke. To je cena za zanesljivost.
Metoda skupnega delitelja
Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:
- Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
- Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
- V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:
Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!
Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.
To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če enega od imenovalcev delimo z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.
Najmanj pogosta večkratna metoda
Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.
Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".
Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta številka je veliko manj izdelka 8 12 = 96.
Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov najmanjši skupni večkratnik (LCM).
Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a ; b) . Na primer, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorja 2 in 3 sta sopraprama (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta soprama, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Zdaj pa ulomke skrčimo na skupne imenovalce:
Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:
- Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
- Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.
Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.
Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!
Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.
Ta članek pojasnjuje kako najti najmanjšega skupni imenovalec in kako zreducirati ulomke na skupni imenovalec. Najprej sta podani definiciji skupnega imenovalca ulomkov in najmanjšega skupnega imenovalca ter prikazano, kako najdemo skupni imenovalec ulomkov. Spodaj je pravilo zmanjševanja ulomkov na skupni imenovalec in obravnavani so primeri uporabe tega pravila. V zaključku so obravnavani primeri spravljanja treh ali več ulomkov na skupni imenovalec.
Navigacija po straneh.
Kaj imenujemo reduciranje ulomkov na skupni imenovalec?
Zdaj lahko rečemo, kaj pomeni reducirati ulomke na skupni imenovalec. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec- To je množenje števcev in imenovalcev danih ulomkov s takimi dodatnimi faktorji, da so rezultat ulomki z enakimi imenovalci.
Skupni imenovalec, definicija, primeri
Zdaj je čas, da določimo skupni imenovalec ulomkov.
Z drugimi besedami, skupni imenovalec neke množice navadni ulomki je katera koli naravno število, ki je deljiva z vsemi imenovalci teh ulomkov.
Iz navedene definicije sledi, da ima dana množica ulomkov neskončno veliko skupnih imenovalcev, saj obstaja neskončno število skupnih večkratnikov vseh imenovalcev prvotne množice ulomkov.
Določanje skupnega imenovalca ulomkov vam omogoča, da poiščete skupne imenovalce danih ulomkov. Recimo, da sta ulomka 1/4 in 5/6 njuna imenovalca 4 oziroma 6. Pozitivni skupni večkratniki števil 4 in 6 so števila 12, 24, 36, 48, ... Vsako od teh števil je skupni imenovalec ulomkov 1/4 in 5/6.
Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi naslednjega primera.
Primer.
Ali je mogoče ulomke 2/3, 23/6 in 7/12 skrčiti na skupni imenovalec 150?
rešitev.
Za odgovor na vprašanje moramo ugotoviti, ali je število 150 skupni večkratnik imenovalcev 3, 6 in 12. Za to preverimo, ali je 150 deljivo z vsakim od teh števil (če je treba, glej pravila in primere deljenja naravnih števil ter pravila in primere deljenja naravnih števil z ostankom): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (preostalih 6) .
Torej, 150 ni enakomerno deljivo z 12, zato 150 ni skupni večkratnik 3, 6 in 12. Zato število 150 ne more biti skupni imenovalec prvotnih ulomkov.
odgovor:
Prepovedano je.
Najmanjši skupni imenovalec, kako ga najti?
V množici števil, ki so skupni imenovalec danih ulomkov, je najmanjše naravno število, ki ga imenujemo najmanjši skupni imenovalec. Oblikujmo definicijo najmanjšega skupnega imenovalca teh ulomkov.
Opredelitev.
Najmanjši skupni imenovalec- To najmanjše število, iz vseh skupnih imenovalcev teh ulomkov.
Ostaja nam še vprašanje, kako najti najmanjši skupni delitelj.
Ker je najmanjši pozitiven skupni delilnik dane množice števil, potem je LCM imenovalcev danih ulomkov najmanjši skupni imenovalec danih ulomkov.
Tako se iskanje najmanjšega skupnega imenovalca ulomkov zmanjša na imenovalce teh ulomkov. Poglejmo rešitev primera.
Primer.
Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov 3/10 in 277/28.
rešitev.
Imenovalca teh ulomkov sta 10 in 28. Želeni najmanjši skupni imenovalec najdemo kot LCM števil 10 in 28. V našem primeru je enostavno: ker je 10=2·5 in 28=2·2·7, potem je LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
odgovor:
140 .
Kako zreducirati ulomke na skupni imenovalec? Pravilo, primeri, rešitve
Navadni ulomki običajno povzročijo najmanjši skupni imenovalec. Sedaj bomo zapisali pravilo, ki pojasnjuje, kako zreducirati ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec.
Pravilo zmanjševanja ulomkov na najmanjši skupni imenovalec je sestavljen iz treh korakov:
- Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov.
- Drugič, za vsak ulomek se izračuna dodatni faktor tako, da se najmanjši skupni imenovalec deli z imenovalcem vsakega ulomka.
- Tretjič, števec in imenovalec vsakega ulomka se pomnoži z njegovim dodatnim faktorjem.
Uporabimo navedeno pravilo za rešitev naslednjega primera.
Primer.
Zmanjšajte ulomka 5/14 in 7/18 na njun najmanjši skupni imenovalec.
rešitev.
Opravimo vse korake algoritma za zmanjševanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec.
Najprej poiščemo najmanjši skupni imenovalec, ki je enak najmanjšemu skupnemu večkratniku števil 14 in 18. Ker je 14=2·7 in 18=2·3·3, potem je LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Sedaj izračunamo dodatne faktorje, s pomočjo katerih bosta ulomka 5/14 in 7/18 zmanjšana na imenovalec 126. Za ulomek 5/14 je dodatni faktor 126:14=9, za ulomek 7/18 pa je dodatni faktor 126:18=7.
Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov 5/14 in 7/18 z dodatnimi faktorji 9 oziroma 7. Imamo in 
.
Torej je redukcija ulomkov 5/14 in 7/18 na najmanjši skupni imenovalec končana. Nastala ulomka sta bila 45/126 in 49/126.
Če želite skrčiti ulomke na najmanjši skupni imenovalec, morate: 1) poiskati najmanjši skupni večkratnik imenovalcev danih ulomkov, to bo najmanjši skupni imenovalec. 2) poiščite dodatni faktor za vsak ulomek tako, da novi imenovalec delite z imenovalcem vsakega ulomka. 3) pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z njegovim dodatnim faktorjem.
Primeri. Zmanjšajte naslednje ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec.
Poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev: LCM(5; 4) = 20, saj je 20 najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 4. Za 1. ulomek poiščite dodatni faktor 4 (20 : 5=4). Za 2. ulomek je dodatni faktor 5 (20 : 4=5). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 4, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 5. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 20 ).
Najmanjši skupni imenovalec teh ulomkov je število 8, saj je 8 deljivo s 4 in samim seboj. Za 1. ulomek ne bo dodatnega faktorja (lahko rečemo, da je enak ena), za 2. ulomek je dodatni faktor 2 (8 : 4=2). Števec in imenovalec 2. ulomka pomnožimo z 2. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 8 ).
Ti ulomki niso nezmanjšljivi.
Zmanjšajmo 1. ulomek za 4, 2. ulomek pa za 2. ( glej primere zmanjševanja navadnih ulomkov: Zemljevid strani → 5.4.2. Primeri zmanjševanja navadnih ulomkov). Poiščite LOC (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Dodatni množitelj za 1. ulomek je 5 (80 : 16=5). Dodatni faktor za 2. ulomek je 4 (80 : 20=4). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 5, števec in imenovalec 2. ulomka pa s 4. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 80 ).
Najdemo najmanjši skupni imenovalec NCD (5 ; 6 in 15)=NOK(5 ; 6 in 15)=30. Dodatni faktor k prvemu ulomku je 6 (30 : 5=6), je dodatni faktor k 2. ulomku 5 (30 : 6=5), je dodatni faktor k 3. ulomku 2 (30 : 15=2). Števec in imenovalec 1. ulomka pomnožimo s 6, števec in imenovalec 2. ulomka s 5, števec in imenovalec 3. ulomka z 2. Te ulomke smo skrčili na najmanjši skupni imenovalec ( 30 ).
Stran 1 od 1 1
V tej lekciji si bomo ogledali reduciranje ulomkov na skupni imenovalec in reševali naloge na to temo. Določimo koncept skupnega imenovalca in dodatnega faktorja, spomnimo se na medsebojno praštevila. Opredelimo koncept najmanjšega skupnega imenovalca (LCD) in rešimo številne probleme, da ga najdemo.
Tema: Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Lekcija: Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec
Ponavljanje. Glavna lastnost ulomka.
Če števec in imenovalec ulomka pomnožimo ali delimo z istim naravnim številom, dobimo enak ulomek.
Na primer, števec in imenovalec ulomka lahko delimo z 2. Dobimo ulomek. Ta operacija se imenuje zmanjševanje ulomkov. Lahko izvedete tudi obratno transformacijo tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožite z 2. V tem primeru pravimo, da smo ulomek zmanjšali na nov imenovalec. Število 2 imenujemo dodatni faktor.
Zaključek. Ulomek je mogoče zmanjšati na kateri koli imenovalec, ki je večkratnik imenovalca danega ulomka. Da bi ulomek dobil nov imenovalec, se njegov števec in imenovalec pomnoži z dodatnim faktorjem.
1. Zmanjšaj ulomek na imenovalec 35.
Število 35 je večkratnik števila 7, kar pomeni, da je 35 deljivo s 7 brez ostanka. To pomeni, da je ta preobrazba mogoča. Poiščimo dodatni dejavnik. Če želite to narediti, 35 delite s 7. Dobimo 5. Števec in imenovalec prvotnega ulomka pomnožimo s 5.
2. Zmanjšaj ulomek na imenovalec 18.
Poiščimo dodatni dejavnik. To naredite tako, da novi imenovalec delite s prvotnim. Dobimo 3. Števec in imenovalec tega ulomka pomnožimo s 3.
3. Zmanjšaj ulomek na imenovalec 60.
Če 60 delimo s 15, dobimo dodaten faktor. Enako je 4. Števec in imenovalec pomnožite s 4.
4. Zmanjšaj ulomek na imenovalec 24
V preprostih primerih se zmanjšanje na nov imenovalec izvede miselno. Običajno je le, da dodaten faktor označite za oklepajem nekoliko desno in nad prvotnim ulomkom.
Ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15 in ulomek lahko zmanjšamo na imenovalec 15. Ulomki imajo tudi skupni imenovalec 15.
Skupni imenovalec ulomkov je lahko vsak skupni večkratnik njihovih imenovalcev. Zaradi poenostavitve so ulomki reducirani na najmanjši skupni imenovalec. Je enak najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev danih ulomkov.
Primer. Zmanjšaj ulomke in na najmanjši skupni imenovalec.
Najprej poiščimo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov. To število je 12. Poiščimo dodatni faktor za prvi in drugi ulomek. Če želite to narediti, 12 delite s 4 in 6. Tri je dodaten faktor za prvi ulomek, dva pa za drugega. Spravimo ulomke na imenovalec 12.
Ulomke smo spravili na skupni imenovalec, to pomeni, da smo našli enake ulomke, ki imajo enak imenovalec.
Pravilo.Če želite ulomke zmanjšati na njihov najmanjši skupni imenovalec, morate
Najprej poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev teh ulomkov, to bo njihov najmanjši skupni imenovalec;
Drugič, delite najmanjši skupni imenovalec z imenovalci teh ulomkov, torej poiščite dodaten faktor za vsak ulomek.
Tretjič, pomnožite števec in imenovalec vsakega ulomka z njegovim dodatnim faktorjem.
a) Zreduciraj ulomke in na skupni imenovalec.
Najmanjši skupni imenovalec je 12. Dodatni faktor za prvi ulomek je 4, za drugi - 3. Ulomke zmanjšamo na imenovalec 24.
b) Ulomka in skrajšaj na skupni imenovalec.
Najmanjši skupni imenovalec je 45. Če 45 delimo z 9 na 15, dobimo ulomke 5 oziroma 3.
c) Ulomka in skrajšaj na skupni imenovalec.
Skupni imenovalec je 24. Dodatni faktorji so 2 oziroma 3.
Včasih je težko ustno najti najmanjši skupni večkratnik imenovalcev danih ulomkov. Nato skupni imenovalec in dodatne faktorje najdemo z razgradnjo na glavni dejavniki.
Zmanjšaj ulomke in na skupni imenovalec.
Razložimo števili 60 in 168 na prafaktorje. Izpišimo razširitev števila 60 in prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz druge razširitve. Pomnožimo 60 s 14 in dobimo skupni imenovalec 840. Dodatni faktor za prvi ulomek je 14. Dodatni faktor za drugi ulomek je 5. Spravimo ulomke na skupni imenovalec 840.
Reference
1. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in drugi Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za tečaj matematike za 5.-6. - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. itd. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5.-6 srednja šola. Knjižnica za učitelje matematike. - Razsvetljenje, 1989.
Prenesete lahko knjige, navedene v členu 1.2. te lekcije.
domača naloga
Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. in drugi Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (povezava glej 1.2)
Domača naloga: št. 297, št. 298, št. 300.
Druge naloge: št. 270, št. 290