Trigonometrija kot veda izvira iz starega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so izpeljali astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in orientacijo po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolski tečaj preučevanje razmerij stranic in kotov ravninskega trikotnika.
Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometrične funkcije in razmerje med stranicami in koti trikotnikov.
V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo s starega vzhoda v Grčijo. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluga moških arabskega kalifata. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazwi je predstavil funkcije, kot sta tangens in kotangens, ter sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncepta sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Trigonometrija je bila deležna veliko pozornosti v delih tako velikih osebnosti antike, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.
Osnovne količine trigonometrije
Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejevem izreku. Šolarjem je bolj znano v formulaciji: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.
Sinus, kosinus in druga razmerja določajo razmerje med ostrimi koti in stranicami katerega koli pravokotnega trikotnika. Predstavimo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerjem med trigonometričnimi funkcijami:
Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzne funkcije. Če si krak a predstavljamo kot produkt sin A in hipotenuze c ter krak b kot cos A * c, dobimo naslednji formuli za tangens in kotangens:
Trigonometrični krog
Grafično lahko razmerje med omenjenima količinama predstavimo na naslednji način:
Obseg, v v tem primeru, predstavlja vse možne vrednosti kota α - od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo imel znak "+", če α pripada 1. in 2. četrtini kroga, to je, če je v območju od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III in IV četrtine) je lahko sin α le negativna vrednost.
Poskusimo graditi trigonometrične tabele za določene kote in ugotovite vrednost količin.
Vrednosti α enake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° in tako naprej se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.
Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena z namenom vzpostavitve univerzalne odvisnosti; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.
Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:
Torej ni težko uganiti, da je 2π popoln krog ali 360°.
Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus
Da bi upoštevali in primerjali osnovne lastnosti sinusa in kosinusa, tangensa in kotangensa, je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče storiti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.
Razmislite primerjalno tabelo lastnosti za sinus in kosinus:
| Sinusni val | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z | cos x = 1, pri x = 2πk, kjer je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, kar pomeni, da je funkcija liha | cos (-x) = cos x, kar pomeni, da je funkcija soda |
| funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π | |
| sin x › 0, pri čemer x pripada I in II četrtini ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemer x pripada četrtini I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemer x pripada tretji in četrti četrtini ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemer x pripada 2. in 3. četrtini ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| narašča v intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| pada na intervalih [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | zmanjšuje v intervalih |
| odvod (sin x)' = cos x | derivat (cos x)’ = - sin x |
Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj za predstavljanje trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "prepognemo" graf glede na os OX. Če predznaka sovpadata, je funkcija soda, sicer pa liha.
Uvedba radianov in navedba osnovnih lastnosti sinusnih in kosinusnih valov nam omogočata, da predstavimo naslednji vzorec:
Zelo enostavno je preveriti, ali je formula pravilna. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus od x = 0. Preverjanje je mogoče opraviti s pregledovanjem tabel ali s sledenjem krivuljam funkcij za dane vrednosti.
Lastnosti tangentsoidov in kotangensoidov
Grafa funkcije tangens in kotangens se bistveno razlikujeta od funkcije sinusa in kosinusa. Vrednosti tg in ctg sta med seboj recipročni.
- Y = tan x.
- Tangenta se nagiba k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
- Najmanjša pozitivna perioda tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povečuje.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 x.
Oglejte si grafično podobo kotangentoida spodaj v besedilu.
Glavne lastnosti kotangentoidov:
- Y = posteljica x.
- Za razliko od funkcij sinusa in kosinusa lahko Y v tangentoidu prevzame vrednosti množice vseh realnih števil.
- Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
- Najmanjša pozitivna perioda kotangentoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se zmanjšuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Izpeljava (ctg x)' = - 1/sin 2 x Pravilno
Trigonometrične identitete- to so enakosti, ki vzpostavljajo povezavo med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar vam omogoča, da najdete katero koli od teh funkcij, če je katera koli druga znana.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ta identiteta pravi, da je vsota kvadrata sinusa enega kota in kvadrata kosinusa enega kota enaka ena, kar v praksi omogoča izračun sinusa enega kota, ko je znan njegov kosinus in obratno .
Pri pretvorbi trigonometričnih izrazov se zelo pogosto uporablja ta identiteta, ki vam omogoča, da vsoto kvadratov kosinusa in sinusa enega kota zamenjate z enim in tudi izvedete operacijo zamenjave v obratnem vrstnem redu.
Iskanje tangensa in kotangensa z uporabo sinusa in kosinusa
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Te identitete so oblikovane iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Konec koncev, če pogledate, potem je po definiciji ordinata y sinus, abscisa x pa kosinus. Potem bo tangenta enaka razmerju \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), in razmerje \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bo kotangens.
Dodajmo, da bodo identitete veljale samo za take kote \alpha, pri katerih so trigonometrične funkcije, ki so v njih vključene, smiselne, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Na primer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) velja za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kot \alpha, ki ni \pi z, je z celo število.
Razmerje med tangensom in kotangensom
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ta istovetnost velja samo za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2) z. V nasprotnem primeru kotangens ali tangens ne bosta določena.
Na podlagi zgornjih točk dobimo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iz tega sledi tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tako sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna, medsebojno inverzna števila.
Razmerja med tangensom in kosinusom, kotangensom in sinusom
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- vsota kvadrata tangensa kota \alpha in 1 je enaka inverznemu kvadratu kosinusa tega kota. Ta identiteta velja za vse \alpha razen \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- vsota 1 in kvadrat kotangensa kota \alpha je enaka inverznemu kvadratu sinusa danega kota. Ta identiteta je veljavna za vse \alpha, ki se razlikujejo od \pi z.
Primeri z rešitvami problemov z uporabo trigonometričnih identitet
Primer 1
Poiščite \sin \alpha in tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Pokaži rešitev
rešitev
Funkciji \sin \alpha in \cos \alpha sta povezani s formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamenjava v tej formuli \cos \alpha = -\frac12, dobimo:
\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1
Ta enačba ima 2 rešitvi:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je sinus pozitiven, torej \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Da bi našli tan \alpha, uporabimo formulo tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Primer 2
Poiščite \cos \alpha in ctg \alpha, če in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Pokaži rešitev
rešitev
Zamenjava v formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dano številko \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobimo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ta enačba ima dve rešitvi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je kosinus negativen, torej \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Da bi našli ctg \alpha, uporabimo formulo ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Poznamo ustrezne vrednosti.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Učenje trigonometrije bomo začeli s pravokotnim trikotnikom. Določimo, kaj sta sinus in kosinus, pa tudi tangens in kotangens oster kot. To so osnove trigonometrije.
Naj vas spomnimo, da pravi kot je kot enak 90 stopinj. Z drugimi besedami, pol obrnjenega kota.
Ostri kot- manj kot 90 stopinj.
Topi kot- več kot 90 stopinj. Ko se uporablja za takšen kot, "top" ni žalitev, ampak matematični izraz :-)
Narišimo pravokotni trikotnik. Pravi kot je običajno označen z . Upoštevajte, da je stran nasproti vogala označena z isto črko, le majhna. Tako je stranski nasprotni kot A označen.
Kot je označen z ustrezno grško črko.
hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranica nasproti pravemu kotu.
Noge- strani ležita nasproti ostrih kotov.
Noga, ki leži nasproti kota, se imenuje nasprotje(glede na kot). Druga noga, ki leži na eni od stranic kota, se imenuje sosednji.
Sinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:
Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje sosednjega kraka s hipotenuzo:
Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
Druga (enakovredna) definicija: tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:
Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku - razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno (ali, kar je enako, razmerje med kosinusom in sinusom):
Upoštevajte osnovna razmerja za sinus, kosinus, tangens in kotangens spodaj. Koristili nam bodo pri reševanju problemov.
Dokažimo nekatere izmed njih.
V redu, podali smo definicije in zapisali formule. Toda zakaj še vedno potrebujemo sinus, kosinus, tangens in kotangens?
To vemo vsota kotov katerega koli trikotnika je enaka.
Poznamo razmerje med stranke pravokotni trikotnik. To je Pitagorov izrek: .
Izkazalo se je, da če poznate dva kota v trikotniku, lahko najdete tretjega. Če poznate dve strani pravokotnega trikotnika, lahko najdete tretjo. To pomeni, da imajo koti svoje razmerje, stranice pa svojega. Toda kaj storiti, če v pravokotnem trikotniku poznate en kot (razen pravega kota) in eno stran, vendar morate najti druge stranice?
S tem so se srečevali ljudje v preteklosti, ko so izdelovali zemljevide območja in zvezdnega neba. Navsezadnje ni vedno mogoče neposredno izmeriti vseh strani trikotnika.
Sinus, kosinus in tangenta - imenujemo jih tudi funkcije trigonometričnega kota- podajte razmerja med stranke in vogali trikotnik. Če poznate kot, lahko najdete vse njegove trigonometrične funkcije s pomočjo posebnih tabel. In če poznate sinuse, kosinuse in tangente kotov trikotnika in ene od njegovih strani, lahko najdete ostalo.
Narisali bomo tudi tabelo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za "dobre" kote od do.
Upoštevajte dve rdeči pomišljaji v tabeli. Pri ustreznih vrednostih kotov tangens in kotangens ne obstajata.
Oglejmo si več trigonometričnih problemov iz banke nalog FIPI.
1. V trikotniku je kot , . Najdi .
Problem je rešen v štirih sekundah.
Od , .
2. V trikotniku je kot , , . Najdi .
Poiščimo ga s pomočjo Pitagorovega izreka.
Problem je rešen.
Pogosto so v težavah trikotniki s koti in ali s koti in. Zapomnite si osnovna razmerja zanje na pamet!
Za trikotnik s koti in krakom nasproti kota pri je enako polovica hipotenuze.
Trikotnik s koti in je enakokrak. V njej je hipotenuza krat večja od noge.
Ogledali smo si naloge reševanja pravokotnih trikotnikov – torej iskanja neznanih stranic ali kotov. A to še ni vse! IN Možnosti enotnega državnega izpita v matematiki obstaja veliko problemov, ki vključujejo sinus, kosinus, tangens ali kotangens zunanjega kota trikotnika. Več o tem v naslednjem članku.
Najprej razmislite o krogu s polmerom 1 in središčem v (0;0). Za kateri koli αЄR lahko polmer 0A narišemo tako, da je radianska mera kota med 0A in osjo 0x enaka α. Smer v nasprotni smeri urinega kazalca velja za pozitivno. Naj ima konec polmera A koordinate (a,b).
Opredelitev sinusa
Definicija: Število b, enako ordinati enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s sinα in imenujemo sinus kota α.
Primer: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Opredelitev kosinusa
Definicija: Število a, enako abscisi konca enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s cosα in imenujemo kosinus kota α.
Primer: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Ti primeri uporabljajo definicijo sinusa in kosinusa kota glede na koordinate konca enotskega polmera in enotskega kroga. Za bolj vizualno predstavitev morate risati enotski krog in nanj narišite ustrezne točke, nato pa preštejte njihove abscise za izračun kosinusa in ordinate za izračun sinusa.
Definicija tangente
Definicija: Funkcija tgx=sinx/cosx za x≠π/2+πk, kЄZ, se imenuje kotangens kota x. Domen definicije funkcije tgx so vsa realna števila, razen x=π/2+πn, nЄZ.
Primer: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Ta primer je podoben prejšnjemu. Če želite izračunati tangens kota, morate ordinato točke deliti z njeno absciso.
Opredelitev kotangensa
Definicija: Funkcija ctgx=cosx/sinx za x≠πk, kЄZ se imenuje kotangens kota x. Domen definicije funkcije ctgx = so vsa realna števila razen točk x=πk, kЄZ.
Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika
Da bo bolj jasno, kaj so kosinus, sinus, tangens in kotangens. Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika s kotom y in stranicami a,b,c. Hipotenuza c, kateta a oziroma b. Kot med hipotenuzo c in krakom b y.
definicija: Sinus kota y je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo: siny = a/c
definicija: Kosinus kota y je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo: cosy= in/c
definicija: Tangens kota y je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo: tgy = a/b
definicija: Kotangens kota y je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo: ctgy= in/a
Sinus, kosinus, tangens in kotangens imenujemo tudi trigonometrične funkcije. Vsak kot ima svoj sinus in kosinus. In skoraj vsak ima svoj tangens in kotangens.
Menijo, da če nam je dan kot, potem so nam znani sinus, kosinus, tangens in kotangens! In obratno. Glede na sinus ali katero koli drugo trigonometrično funkcijo poznamo kot. Ustvarjene so bile celo posebne tabele, kjer so za vsak kot zapisane trigonometrične funkcije.
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () so neločljivo povezani s pojmom kota. Da bi dobro razumeli te na prvi pogled zapletene pojme (ki pri marsikaterem šolarju povzročijo stanje groze) in se prepričali, da »hudič ni tako grozen, kot ga slikajo«, izhajajmo iz na samem začetku in razumeti koncept kota.
Koncept kota: radian, stopinja
Poglejmo sliko. Vektor se je glede na točko "obrnil" za določeno količino. Torej bo mera tega vrtenja glede na začetni položaj kotiček.
Kaj še morate vedeti o pojmu kot? No, seveda, kotne enote!
Kot v geometriji in trigonometriji se lahko meri v stopinjah in radianih.
Imenuje se kot (ena stopinja). središčni kot v krogu, ki temelji na krožnem loku, ki je enak delu kroga. Tako je celoten krog sestavljen iz »koščkov« krožnih lokov oziroma je kot, ki ga opisuje krog, enak.
To pomeni, da zgornja slika prikazuje kot, ki je enak, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku velikosti obsega.
Kot v radianih je središčni kot v krogu, ki ga povezuje krožni lok, katerega dolžina je enaka polmeru kroga. No, si ugotovil? Če ne, potem to ugotovimo iz risbe.
Torej, slika prikazuje kot, ki je enak radianu, to pomeni, da ta kot leži na krožnem loku, katerega dolžina je enaka polmeru kroga (dolžina je enaka dolžini ali polmeru enaka dolžini loki). Tako se dolžina loka izračuna po formuli:
Kje je središčni kot v radianih.
No, če to veste, ali lahko odgovorite, koliko radianov vsebuje kot, ki ga opisuje krog? Da, za to se morate spomniti formule za obseg. Tukaj je:
No, zdaj pa povežimo ti dve formuli in ugotovimo, da je kot, ki ga opisuje krog, enak. To pomeni, da s korelacijo vrednosti v stopinjah in radianih to dobimo. Oziroma,. Kot lahko vidite, je za razliko od "stopinj" beseda "radian" izpuščena, saj je merska enota običajno razvidna iz konteksta.
Koliko radianov je tam? Tako je!
razumeš Potem nadaljujte in popravite:
Imate težave? Potem poglej odgovori:
Pravokotni trikotnik: sinus, kosinus, tangens, kotangens kota
Tako smo razumeli koncept kota. Toda kaj je sinus, kosinus, tangens in kotangens kota? Ugotovimo. Pri tem nam bo pomagal pravokotni trikotnik.
Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica); noge sta dve preostali strani in (tisti, ki mejijo na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot, potem je krak sosednji krak, krak pa nasprotni. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?
Sinus kota- to je razmerje med nasprotno (oddaljeno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Kosinus kota- to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.
V našem trikotniku.
Tangens kota- to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).
V našem trikotniku.
Kotangens kota- to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).
V našem trikotniku.
Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:
Kosinus→dotik→dotik→sosednji;
Kotangens→dotik→dotik→sosednji.
Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). ne verjameš? Nato se prepričajte z ogledom slike:
Upoštevajte na primer kosinus kota. Po definiciji iz trikotnika: , lahko pa izračunamo kosinus kota iz trikotnika: . Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.
Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!
Za trikotnik, prikazan na spodnji sliki, najdemo.
No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot.
Enotni (trigonometrični) krog
Ob razumevanju pojmov stopinj in radianov smo obravnavali krog s polmerom, ki je enak. Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.
Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi (v našem primeru je to polmer).
Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati osi in koordinati osi. Kaj so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku. Pravokotna je, ker je pravokotna na os.
Čemu je enak trikotnik? Tako je prav. Poleg tega vemo, da je polmer enotskega kroga, kar pomeni . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:
Čemu je enak trikotnik? No seveda! Nadomestite vrednost polmera v to formulo in dobite:
Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka, ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če se tega zavedate in ste le številke? Kateri koordinati ustreza? No, seveda, koordinate! In kateri koordinati ustreza? Tako je, koordinate! Torej pika.
Čemu sta torej enaka in ? Tako je, uporabimo ustrezni definiciji tangensa in kotangensa in dobimo to, a.
Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:
Kaj se je spremenilo v v tem primeru? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku: kot (kot sosednji kotu). Kakšne so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:
No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati; vrednost kosinusa kota - koordinata; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijskega vektorja.
Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi. Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca - negativno.
Torej, vemo, da je cel obrat vektorja radija okoli kroga oz. Ali je mogoče zasukati radijski vektor na ali na? No, seveda lahko! V prvem primeru bo torej radius vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju oz.
V drugem primeru, torej bo radius vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju oz.
Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za ali (kjer je poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju radijnega vektorja.
Spodnja slika prikazuje kot. Ista slika ustreza kotu itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo ali (kjer je poljubno celo število)
Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:
Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:
Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:
Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kot pri ustreza točki s koordinatami, torej:
Ne obstaja;
Nadalje, z upoštevanjem iste logike, ugotovimo, da vogali ustrezajo točkam s koordinatami. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.
odgovori:
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Ne obstaja
Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:
Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:
Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in, podane v spodnji tabeli, je treba zapomniti:
Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer zelo enostavno zapomniti ustrezne vrednosti:
Za uporabo te metode je ključnega pomena, da si zapomnite vrednosti sinusa za vse tri mere kota (), kot tudi vrednost tangensa kota. Če poznate te vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:
Če veste to, lahko obnovite vrednosti za. Števec " " se bo ujemal in imenovalec " " se bo ujemal. Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite vse vrednosti iz tabele.
Koordinate točke na krožnici
Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, poznavanje koordinat središča kroga, njegovega polmera in rotacijskega kota?
No, seveda lahko! Spravimo ga ven splošna formula za iskanje koordinat točke.
Na primer, tukaj je krog pred nami:
Podano nam je, da je točka središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jih dobimo z vrtenjem točke za stopinje.
Kot je razvidno iz slike, koordinata točke ustreza dolžini segmenta. Dolžina segmenta ustreza koordinati središča kroga, torej je enaka. Dolžino segmenta lahko izrazimo z definicijo kosinusa:
Potem imamo to za koordinato točke.
Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko. torej
Torej, v splošni pogled koordinate točk so določene s formulami:
Koordinate središča kroga,
polmer kroga,
Kot vrtenja vektorskega radija.
Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:
No, poskusimo te formule z vadbo iskanja točk na krogu?
1. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
2. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
3. Poiščite koordinate točke na enotskem krogu, ki ga dobite z vrtenjem točke naprej.
4. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jo dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
5. Točka je središče kroga. Polmer kroga je enak. Treba je najti koordinate točke, ki jo dobimo z vrtenjem začetnega vektorja polmera za.
Imate težave z iskanjem koordinat točke na krogu?
Rešite teh pet primerov (ali pa jih rešite dobro) in naučili se jih boste najti!
1.
To lahko opazite. Vemo pa, kaj ustreza polnemu obratu začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če vemo to, najdemo zahtevane koordinate točke:
2. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Vemo, kaj ustreza dvema polnima obratoma začetne točke. Tako bo želena točka v istem položaju kot pri obračanju. Če vemo to, najdemo zahtevane koordinate točke:
Sinus in kosinus sta tabelarni vrednosti. Spomnimo se njihovih pomenov in dobimo:
Tako ima želena točka koordinate.
3. Enotski krog ima središče v točki, kar pomeni, da lahko uporabimo poenostavljene formule:
To lahko opazite. Upodabljajmo zadevni primer na sliki:
Polmer tvori kote, ki so enaki osi in z osjo. Ker vemo, da sta vrednosti kosinusa in sinusa v tabeli enaki, in ugotovimo, da kosinus tukaj traja negativna vrednost in je sinus pozitiven, imamo:
Takšni primeri so podrobneje obravnavani pri preučevanju formul za zmanjšanje trigonometričnih funkcij v temi.
Tako ima želena točka koordinate.
4.
Kot vrtenja polmera vektorja (po pogoju)
Za določitev ustreznih predznakov sinusa in kosinusa sestavimo enotski krog in kot:
Kot lahko vidite, je vrednost, tj., pozitivna, vrednost, tj., pa negativna. Če poznamo tabelarične vrednosti ustreznih trigonometričnih funkcij, dobimo, da:
Nadomestimo dobljene vrednosti v našo formulo in poiščemo koordinate:
Tako ima želena točka koordinate.
5. Za rešitev tega problema uporabljamo formule v splošni obliki, kjer
Koordinate središča kroga (v našem primeru
Polmer kroga (glede na pogoje)
Kot zasuka polmera vektorja (po pogoju).
Zamenjajmo vse vrednosti v formulo in dobimo:
in - tabele vrednosti. Spomnimo se in jih nadomestimo v formulo:
Tako ima želena točka koordinate.
POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE
Sinus kota je razmerje med nasprotnim (skrajnim) krakom in hipotenuzo.
Kosinus kota je razmerje med sosednjim (bližnjim) krakom in hipotenuzo.
Tangens kota je razmerje med nasprotno (daljno) stranjo in sosednjo (bližnjo) stranjo.
Kotangens kota je razmerje med sosednjo (bližnjo) in nasprotno (skrajno) stranjo.