Poučevanje planimetrije v šolskem tečaju. Koti z medsebojno vzporednimi stranicami, koti z medsebojno pravokotnimi stranicami

Običajno se koti obravnavajo z ustreznimi vzporednimi stranicami ali z ustreznimi pravokotnimi stranicami. Najprej razmislimo o prvem primeru.

Naj sta podana kota ABC in DEF. Njuni stranici sta vzporedni: AB || DE in BC || E.F. Taka dva kota bosta enaka ali pa bo njuna vsota enaka 180°. Na spodnji sliki je v prvem primeru ∠ABC = ∠DEF, v drugem pa ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Dokaz, da je temu res tako, je naslednji.

Razmislite o kotih z ustrezno vzporednimi stranicami, ki se nahajajo kot na prvi sliki. Hkrati podaljšujemo premici AB in EF, dokler se ne sekata. Označimo presečišče s črko G. Poleg tega je zaradi jasnosti nadaljnjega dokaza stranica BC na sliki podaljšana.

Ker sta premici BC in EF vzporedni, če premica AB seka eno od njiju, bo zagotovo sekala drugo. To pomeni, da je premica AB sekanta za dve vzporedni premici. Kot je znano, sta v tem primeru navzkrižna kota pri sekanti enaka, enostranski koti skupaj znašajo 180°, pripadajoči koti pa so enaki.

Se pravi, ne glede na to, kateri par kotov vzamemo na točki B in G (en kot iz enega, drugi iz drugega), bomo vedno dobili ali enake kote ali seštevek do 180°.

Vendar sta tudi premici AB in DE vzporedni. Zanje je premica EF sekanta. To pomeni, da bodo vsi pari kotov iz oglišč G in E v seštevku bodisi 180° bodisi enaki drug drugemu. Iz tega sledi, da bodo pari kotov iz oglišč B in E upoštevali to pravilo.

Na primer, razmislite o kotih ∠ABC in ∠DEF. Kot ABC je enak kotu BGE, saj ta kota ustrezata vzporednima premicama BC in EF. Po drugi strani je kot BGE enak kotu DEF, saj si ta kota ustrezata, ko sta AB in DE vzporedna. Tako je dokazano, ∠ABC in ∠DEF.

Zdaj razmislite o kotih ∠ABC in ∠DEG. Kot ABC je enak kotu BGE. Toda ∠BGE in ∠DEG sta enostranska kota z vzporednimi premicami (AB || DE), ki ju seka transverzala (EF). Kot veste, seštevek takšnih kotov znaša 180°. Če pogledamo drugi primer na prvi sliki, ugotovimo, da ustreza paru kotov ABC in DEG na drugi sliki.

Torej dva različne kote, katerih stranice so med seboj vzporedne ali enake ali skupaj znašajo 180°. Izrek je dokazan.

Opozoriti je treba na poseben primer - ko so vogali obrnjeni. V tem primeru bosta očitno med seboj enakovredna.

Zdaj razmislite o kotih z ustrezno pravokotnimi stranicami. Ta primer je videti bolj zapleten, ker relativni položaj koti so bolj raznoliki. Spodnja slika prikazuje tri primere, kako lahko vogale postavite z ustrezno pravokotnimi stranicami. Vendar je v obeh primerih ena stranica prvega kota (ali njegov podaljšek) pravokotna na eno stran drugega kota, druga stranica prvega kota pa je pravokotna na drugo stran drugega kota.

Razmislimo o enem od primerov. V tem primeru narišemo simetralo v enem kotu in skozi poljubno točko le-te potegnemo navpičnici na stranice njenega kota.

Tu sta kota ABC in DEF s pravokotnima stranicama: AB ⊥ DE in BC ⊥ EF. Na simetrali kota ABC je vzeta točka G, skozi katero sta na isti kot narisani navpičnici: GH ⊥ AB in GI ⊥ BC.

Razmislite o trikotnikih BGH in BGI. Pravokotni so, ker sta kota H in I prava kota. Pri njih sta kota pri oglišču B enaka, saj je BG simetrala kota ABC. Prav tako je za obravnavane trikotnike stran BG skupna in je hipotenuza za vsakega od njih. Kot veste, so pravokotni trikotniki skladni, če sta njihovi hipotenuzi in ena izmed njih enaki. ostri koti. Tako je ∆BGH = ∆BGI.

Ker je ∆BGH = ∆BGI, potem je ∠BGH = ∠BGI. Zato lahko kot HGI predstavimo ne kot vsoto teh dveh kotov, temveč kot enega od njiju, pomnoženega z 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

Kot ABC lahko predstavimo kot vsoto dveh kotov: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Ker sta komponentna kota med seboj enaka (ker ju tvori simetrala), lahko kot ABC predstavimo kot produkt enega od njiju in števila 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

Kota BGH in GBH sta ostra kota pravokotni trikotnik, kar pomeni, da seštejejo do 90°. Poglejmo nastale enakosti:

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Dodajmo zadnji dve:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Ker je vsota kotov v oklepajih 90°, se izkaže, da seštevek kotov HGI in ABC znaša 180°:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Dokazali smo torej, da je vsota kotov HGI in ABC 180°. Zdaj pa ponovno poglejmo risbo in vrnimo pozornost k kotu, s katerim ima kot ABC stranice ustrezno pravokotne. To je DEF kot.

Premici GI in EF sta med seboj vzporedni, ker sta obe pravokotni na isto premico BC. In kot veste, so črte, ki so pravokotne na isto črto, med seboj vzporedne. Iz istega razloga DE || GH.

Kot je bilo že dokazano, seštevek kotov z ustrezno vzporednimi stranicami znaša 180° ali pa sta med seboj enaka. To pomeni, da je ∠DEF = ∠HGI ali ∠DEF + ∠HGI = 180°.

Vendar pa je ∠ABC + ∠HGI = 180°. Iz tega sklepamo, da sta pri ustrezno pravokotnih stranicah kota ali enaka ali pa seštevek znaša 180°.

Čeprav v v tem primeru omejili smo se le na dokazovanje zneska. Če pa v mislih podaljšamo stranico EF v nasprotno smer, bomo videli kot, ki je enak kotu ABC, obenem pa sta tudi njegovi stranici pravokotni na kot ABC. Enakost takšnih kotov lahko dokažemo z upoštevanjem kotov z ustrezno vzporednima stranicama: ∠DEF in ∠HGI.

TEOREM 1.Enakost kotov z medsebojno pravokotnimi stranicami:Če in
oba ostra ali oba topa in
,
, To
. IZREK 2. Lastnosti srednje črte trapeza:A) srednja črta trapez je vzporeden z osnovami trapeza;B) srednjica je enaka polovici vsote osnov trapeza;C) sredinska črta (in samo ona) razpolovi poljuben segment, ki je zaprt med osnovama trapeza. Te lastnosti veljajo tudi za srednjo črto trikotnika, če smatramo, da je trikotnik "izrojen" trapez, katerega ena od osnov ima dolžino enako nič. IZREK 3. Na presečiščih median, simetral, višin trikotnika:A) tri mediane trikotnika se sekajo v eni točki (imenuje se težišče trikotnika) in se na tej točki delijo v razmerju 2 : 1, šteto od vrha;B) tri simetrale trikotnika se sekajo v eni točki;C) tri višine se sekajo v eni točki (imenuje se ortocenter trikotnika).IZREK 4. Lastnost mediane v pravokotnem trikotniku:v pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka njeni polovici. Velja tudi obratni izrek: če je v trikotniku ena od median enaka polovici stranice, na katero je narisana, potem je ta trikotnik pravokotenIZREK 5. lastnost simetrale notranjega kota trikotnika:Simetrala notranjega kota trikotnika deli stranico, na katero je narisan, na dele, sorazmerne z nasprotnimi stranicami:
IZREK 6. Metrične relacije v pravokotnem trikotniku:čeainb– noge,c– hipotenuza,h- višina, in - projekcije nog na hipotenuzo, potem: a)
; b)
; V)
; G)
; d)
IZREK 7. Določitev vrste trikotnika glede na njegove stranice:Naja, b, c– stranice trikotnika, pri čemer je c največja stranica; Nato:A) če
, potem je trikotnik oster;B) če
, potem je trikotnik pravokoten;B) če
, potem je trikotnik topokotnik.IZREK 8. Metrične relacije v paralelogramu:Vsota kvadratov diagonal paralelograma je enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic:
. Pri reševanju geometrijskih problemov morate pogosto ugotoviti enakost dveh segmentov (ali kotov). Naj navedemo trije glavni načini za geometrijsko dokazovanje enakosti dveh segmentov: 1) obravnavajte segmente kot strani dveh trikotnikov in dokažite, da sta ti trikotnika enaka; 2) predstavi segmente kot stranice trikotnika in dokaži, da je ta trikotnik enakokrak; 3 ) zamenjajte segment A enak segment , in segment b – enako ji in dokažite enakost segmentov in . Naloga 1.Dve medsebojno pravokotni črti sekata straniceAB, B.C., CD, ADkvadratABCDna točkahE, F, K, Loz. Dokaži toE.K. = FL(glej sliko za nalogo št. 1).R

riž. k nalogi št.1

rešitev: 1. S prvo od zgornjih poti za enakost dveh odsekov narišemo odseke
in
- nato segmente, ki nas zanimajo E.K. in FL postanejo stranice dveh pravokotnih trikotnikov EPK in FML(glej sliko za nalogo št. 1). 2

riž. k nalogi št.1

Imamo: PK = FM(več podrobnosti: PK = AD, AD = AB, AB = FM, pomeni,PK = FM), (kot koti z medsebojno pravokotnimi stranicami, 1. izrek). To pomeni (vzdolž noge in ostrega kota). Iz enakosti pravokotnih trikotnikov sledi, da sta njuni hipotenuzi enaki, tj. segmenti E.K. in FL. ■ Upoštevajte, da morate pri reševanju geometrijskih nalog pogosto narediti dodatne konstrukcije, na primer naslednje: narisati premico, vzporedno ali pravokotno na eno od tistih na sliki (kot smo naredili pri nalogi 1); podvojitev mediane trikotnika, da trikotnik dopolnimo v paralelogram (to bomo storili v 2. nalogi), risanje pomožne simetrale. Obstajajo uporabne dodatne konstrukcije, povezane s krogom. Naloga 2.Stranke
enakaa, b, c. Izračunajte mediano , narisano na stran c (glej sliko za problem 2).R

riž. k problemu št. 2

Rešitev: podvojite mediano z dopolnitvijo
na paralelogram ACVR in uporabimo izrek 8 za ta paralelogram. Dobimo: , tj.
, kjer najdemo:
Naloga 3.Dokažite, da je v katerem koli trikotniku vsota median večja od ¾ obsega, vendar manjša od obsega.R
rešitev: 1. Razmislimo
(glej sliko za problem 3) Imamo:
;
. Ker AM + MS > AC, to
(1) str

riž. k problemu št. 3

Če izvedemo podobno sklepanje za trikotnika AMB in BMC, dobimo:
(2)
(3) Če seštejemo neenačbe (1), (2), (3), dobimo:
, T
.e. dokazali smo, da je vsota median večja od ¾ oboda. 2. Podvojimo mediano BD in trikotnik dopolnimo v paralelogram (glej sliko za nalogo 3). Potem od
dobimo: B.K. < B.C. + CK, tiste.
(4) Enako:
(5)

riž. k problemu št. 3

(6) Če seštejemo neenačbe (4), (5), (6), dobimo: , tj. vsota median je manjša od oboda. ■ Naloga 4.Dokaži, da je v neenakokrakem pravokotnem trikotniku simetrala pravi kot razpolovi kot med mediano in nadmorsko višino, narisano iz istega oglišča.R
rešitev: Naj bo ACB pravokotni trikotnik,
, CH – višina, CD – simetrala, SM – mediana. Vstavimo naslednji zapis: (glej sliko za problem 4) . 1.
kot koti z medsebojno pravokotnimi stranicami (). 2

riž. k problemu št. 4

Ker
(glej izrek 4), potem SM = MV in nato iz
sklepamo, da
Torej, 3. Ker je in (navsezadnje je CD simetrala), je bilo to potrebno dokazati. ■ Naloga 5.V paralelogramu s stranicamia inbnarisane so simetrale notranjih kotov (glej sliko k nalogi 5). Poiščite dolžine diagonal štirikotnika, ki nastanejo v presečišču simetral.rešitev: 1 . AE – simetrala
, BP – simetrala
(glej sliko). saj v paralelogramu
tiste. potem To pomeni, da je v trikotniku ABC vsota kotov A in B enaka 90 0, potem je kot K enak 90 0, to pomeni, da sta simetrali AE in BP medsebojno pravokotni. A
Medsebojna pravokotnost simetral AE in DQ, BP in CF, CF in DQ je logično dokazana. IZHOD: KLMN je štirikotnik s pravimi koti, tj. pravokotnik. Pravokotnik ima enake diagonale, zato je dovolj, da poiščemo dolžino ene od njih, na primer KM. 2

riž. k problemu št. 5

Razmislimo
Ima AK - simetralo in višino. To pomeni, prvič, da je trikotnik ABP enakokrak, tj. AB = AP = b, in drugič, da je odsek AK hkrati mediana trikotnika ABP, tj. K – sredina simetrale BP. Na podoben način dokažemo, da je M razpolovišče simetrale DQ. 3. Oglejmo si segment KM. Razpolovi segmenta BP in DQ. Toda srednja črta paralelograma (upoštevajte, da je paralelogram poseben primer trapeza; če lahko govorimo o srednji črti trapeza, potem lahko prav tako govorimo o srednji črti paralelograma, ki ima enako lastnosti) poteka skozi točki K in M ​​(glej izrek 2). To pomeni, da je KM odsek na srednji črti in zato
.4. Ker
in
, potem je KMDP paralelogram in zato. odgovor:
■ Pravzaprav smo v procesu reševanja problema (na 1. in 2. stopnji) dokazali precej pomembno lastnost: simetrale kotov, ki mejijo na stranico trapeza, se sekajo pod pravim kotom v točki, ki leži na srednji črti trapeza. trapez. Treba je opozoriti, da je glavna metoda sestavljanja enačb v geometrijskih problemih metodanosilni element, ki je naslednji: isti element (stranica, kot, ploščina, polmer itd.) je izražen preko znanih in neznanih količin z dvema na različne načine in nastale izraze enačimo. Pogosto je območje izbrano kot referenčni elementfigure. Nato to rečemo za sestavo enačbe, ki jo uporabimo območna metoda.Šolarje je treba naučiti reševanja osnovnih problemov, tj. tiste. Ki so kot sestavni deli vključeni v številne druge naloge. To so na primer problemi iskanja osnovnih elementov trikotnika: mediana, višina, simetrala, polmera včrtanega in opisanega kroga, ploščina. Z problem 6.V trikotniku ABC sta stranici AB in BC enaki, BH pa je višina. Na strani BC je vzeta točkaDtorej
(glej sliko za problem 6). V kakšnem razmerju je segmentADdeli višino VN?rešitev: 1. Naj bo BD = a, nato CD = 4 a, AB = 5a.2

riž. k problemu št. 6

Narišimo segment
(glej sliko za problem 6) Ker je NK srednjica trikotnika ACD, je DK = KC = 2 a .3. Razmislite o trikotniku VNK. Imamo: BD = a,DK = 2 a in
. Po Thalesovem izreku
Ampak
To pomeni
■ Če problem zahteva iskanje razmerja poljubnega števila količin, potem je problem praviloma rešen z uporabo metode pomožnih parametrov. To pomeni, da na začetku reševanja problema neko linearno količino razglasimo za znano in jo označimo na primer s črko A, nato pa to izrazite skozi A tiste količine, katerih razmerje je treba najti. Ko je zahtevana relacija sestavljena, pomožni parameter A se krči. Točno tako smo ravnali v problemu . Naš nasvet: pri reševanju problemov, v katerih je treba najti razmerje količin (zlasti pri problemih določanja kota - navsezadnje pri izračunu kota praviloma govorimo o iskanju njegovega trigonometrična funkcija, tj. o razmerju stranic pravokotnega trikotnika), je treba učence naučiti, da kot prvo stopnjo reševanja izpostavijo uvedbo pomožnega parametra. Metoda pomožnih parametrov se uporablja tudi pri problemih, kjer geometrijski lik določena do podobnosti. Naloga 7.V trikotnik s stranicami 10, 17 in 21 cm je vpisan pravokotnik tako, da sta njegovi oglišči na eni strani trikotnika, drugi dve oglišči pa na drugih dveh stranicah trikotnika. Poišči stranice pravokotnika, če je znano, da je njegov obseg 22,5 cm.R
odločitev . 1. Najprej določimo vrsto trikotnika. Imamo: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Ker je 21 2 > 10 2 + 17 2, je trikotnik topokoten (glej izrek 7), kar pomeni, da lahko pravokotnik vanj vpišemo le na en način: tako, da njegovi oglišči postavimo na večji stranica trikotnika ABC (glej sliko k nalogi 7), kjer je AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm

Za kote z ustrezno vzporednimi stranicami veljajo naslednji predlogi:

1. Če sta stranici a in b enega kota vzporedni s stranicama a in b drugega kota in imata enaki smeri kot ti, potem sta kota enaka.

2. Če sta pod enakim pogojem vzporednosti stranici a in b naravnani nasproti stranicama a in b, sta tudi kota enaka.

3. Če sta nazadnje strani a in vzporedni in istosmerni, stranice pa vzporedne in nasprotne smeri, tedaj se kota dopolnjujeta, dokler se ne obrneta.

Dokaz. Dokažimo prvo od teh trditev. Stranice kotov naj bodo vzporedne in enako usmerjene (slika 191). Povežimo oglišča vogalov z ravno črto.

V tem primeru sta možna dva primera: ravna črta poteka znotraj vogalov ali zunaj teh vogalov (slika 191, b). V obeh primerih je dokaz očiten: torej v prvem primeru

ampak od kje ga dobimo? V drugem primeru imamo

in rezultat spet sledi iz enakosti

Dokaz trditev 2 in 3 prepuščamo bralcu. Lahko rečemo, da če sta stranici kotov vzporedni, sta kota bodisi enaka bodisi se seštejeta v nasprotni kot.

Očitno sta enaka, če sta oba istočasno ostrookotna ali sta oba topa, njuna vsota pa je enaka, če je eden od njiju ostrokotnik, drugi pa topokos.

Koti z ustrezno pravokotnimi stranicami so med seboj enaki ali komplementarni do ravnega kota.

Dokaz. Naj bo a nek kot (sl. 192) in O je vrh kota, ki ga sestavljajo premice; Zavrtimo kot (tj. obe njegovi stranici) okrog njegovega oglišča O pod pravim kotom; dobimo kot, ki mu je enak, vendar tistega, katerega stranice so pravokotne na stranice zasukanega kota, prikazanega na sl. 192 skozi So vzporedne s premicami, ki tvorijo dani kot a. Zato koti pomenijo, da so koti bodisi enaki bodisi skupaj tvorijo obratni kot.

Kot je del ravnine, ki ga omejujeta dva žarka, ki izhajata iz ene točke. Žarke, ki omejujejo kot, imenujemo stranice kota.

Točko, iz katere izhajajo žarki, imenujemo vrh kota. Shema označevanja vogalov

Oglejmo si primer kota, prikazanega na sliki 1.

Kot, prikazan na sliki 1, je mogoče označiti na tri načine:

Koti se imenujejo enaki koti, če jih je mogoče združiti. Če presečišče dveh črt povzroči štiri enake kote , potem se takšni koti imenujejo pravi koti (slika 2). Sekajoče se ravne črte, ki tvorijo prave kote, imenujemo.

pravokotne črte Če skozi točko A, ki ne leži na premici l, potegnemo premico pravokotno na premico l in sekajočo premico l na točko B, potem pravijo, da iz točke B navpičnico AB spustimo na premico l (slika 3). Točka B se imenuje.

osnova navpičnice AB Opomba. Dolžina segmenta AB se imenuje.

razdalja od točke A do premice l Kot 1° (ena stopinja) imenujemo kot, ki sestavlja en devetdeseti del

pravi kot. Kot k-krat večji od kota 1° imenujemo kot.

k° (k stopinj)

Koti se merijo tudi v radianih. O radianih si lahko preberete v razdelku naše referenčne knjige »Merjenje kotov. Stopinje in radiani".

Tabela 1 - Vrste kotov glede na vrednost v stopinjah	risanje	Vrste kotov
	Lastnosti vogalov	Pravi kot
	Pravi kot je 90°	Ostri kot
	Ostri kot manjši od 90°	Topi kot
	Tupi kot večji od 90°, vendar manjši od 180°	Ravni kot
		Zasukani kot je 180°
	Ta kot je večji od 180°, vendar manjši od 360°	Polni kot
	Polni kot je 360°	Kot enak nič

Lastnosti vogalov

Ta kot je 0° Nepremičnina:

Pravi kot je 90°

Ta kot je 0° Pravi kot je 90°

Ostri kot manjši od 90°

Ta kot je 0° Ostri kot manjši od 90°

Tupi kot večji od 90°, vendar manjši od 180°

Ta kot je 0° Tupi kot večji od 90°, vendar manjši od 180°

Zasukani kot je 180°

Ta kot je 0° Kot večji od ravnega

Ta kot je večji od 180°, vendar manjši od 360°

Ta kot je 0° Ta kot je večji od 180°, vendar manjši od 360°

Polni kot je 360°

Ta kot je 0° Polni kot je 360°

Ta kot je 0°

Tabela 1 - Vrste kotov glede na vrednost v stopinjah	risanje	Vrste kotov
	Tabela 2 - Vrste kotov glede na lokacijo stranic	Navpični koti
	Navpični koti so enaki	Sosednji koti
		Vsota sosednjih kotov je 180°
		Kota z vsakokrat vzporednimi stranicami sta enaka, če sta oba ostra ali oba topa
		Vsota kotov z ustrezno vzporednimi stranicami je enaka 180°, če je eden od njih oster, drugi pa top.
		Kota z vsakokrat pravokotnimi stranicami sta enaka, če sta oba ostra ali oba topa

Tabela 2 - Vrste kotov glede na lokacijo stranic

Vsota kotov z ustrezno pravokotnimi stranicami je enaka 180°, če je eden od njih oster, drugi pa top. Lastnost navpičnih kotov:

Navpični koti so enaki

Navpični koti so enaki Lastnost sosednjih kotov:

Koti z ustrezno vzporednimi stranicami

Kota z vsakokrat vzporednimi stranicami sta enaka, če sta oba ostra ali oba topa

Lastnost kotov z ustrezno vzporednimi stranicami: Vsota kotov z ustrezno vzporednimi stranicami je enaka 180°, če je eden od njih oster, drugi pa top.

Koti z ustrezno pravokotnimi stranicami

Kota z vsakokrat pravokotnimi stranicami sta enaka, če sta oba ostra ali oba topa

Lastnost kotov z ustrezno pravokotnimi stranicami: Vsota kotov z ustrezno pravokotnimi stranicami je enaka 180°, če je eden od njih oster, drugi pa top.

Opredelitev . Simetrala kota je žarek, ki razpolovi kot.

Naloga . Dokaži, da so simetrale sosednjih kotov pravokotne.

rešitev Razmislite o sliki 4.

Na tej sliki sta kota AOB in BOC sosednja, žarka OE in OD pa sta simetrali teh kotov. Ker

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

Na naši spletni strani se lahko seznanite tudi z izobraževalnimi gradivi, ki so jih razvili učitelji izobraževalnega centra Resolventa za pripravo na enotni državni izpit in enotni državni izpit iz matematike.

Za šolarje, ki se želijo dobro pripraviti in opraviti Enotni državni izpit oz OGE iz matematike ali ruskega jezika za visoko oceno, izobraževalni center"Resolventa" vodi

Organiziramo tudi za šolarje

53.Koti (notranji koti) trikotnika se imenujejo trije koti, od katerih vsak tvorijo trije žarki, ki izhajajo iz oglišč trikotnika in gredo skozi drugi dve oglišči.

54. Izrek o vsoti kotov trikotnika. Vsota kotov trikotnika je 180°.

55. Zunanji kot trikotnika je kot, ki meji na neki kot tega trikotnika.

56. Zunanji kot trikotnik enaka vsoti dva kota trikotnika, ki mu ne mejita.

57. Če vse tri vogale trikotnik začinjeno, potem se imenuje trikotnik ostrokoten.

58. Če enega od vogalov trikotnik topi, potem se imenuje trikotnik topokoten.

59. Če enega od vogalov trikotnik neposredno, potem se imenuje trikotnik pravokotne.

60. Stran pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravega kota, se imenuje hipotenuza(grška beseda gyipotenusa - "krčenje") in dve strani, ki tvorita pravi kot - noge(latinska beseda katetos - "vodnik") .

61. Izrek o razmerjih med stranicami in koti trikotnika. V trikotniku večji kot je nasproti večji stranici, in nazaj, Večja stranica leži nasproti večjega kota.

62. V pravokotnem trikotniku Hipotenuza je daljša od noge.

ker Večja stranica vedno leži nasproti večjega kota.

Znaki enakokrakega trikotnika.

Če je v trikotniku dva kota sta enaka, potem je enakokrak;

Če je v trikotniku simetrala je mediana ali višina,
potem je ta trikotnik enakokrak;

Če je v trikotniku mediana je simetrala ali višina, To

ta trikotnik je enakokrak;

Če je v trikotniku višina je mediana ali simetrala,

potem je ta trikotnik enakokrak.

64. Izrek. Neenakost trikotnika. Dolžina vsake stranice trikotnika je večja od razlike in manjša od vsote dolžin drugih dveh strani:

Lastnosti kotov pravokotnega trikotnika.

Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.

A + B = 90°

66. Lastnost pravokotnega trikotnika.

Krak pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti kota 30°, je enak polovici hipotenuze.

če/ A = 30° torej BC = ½ AB

67. Lastnosti pravokotnega trikotnika.

a) Če je krak pravokotnega trikotnika enak polovici hipotenuze, je kot nasproti tega kraka 30°.

Če je BC = ½ AB, potem / B = 30°

B) Mediana, potegnjena hipotenuzi, je enaka polovici hipotenuze.

mediana CF = ½ AB

Znak enakosti pravokotnih trikotnikov na dveh stranicah.

Če so kraki enega pravokotnega trikotnika enaki krakom drugega, so taki trikotniki skladni.