Kot med premicami v prostoru bomo imenovali katerikoli od sosednjih kotov, ki ga tvorita dve premici, narisani skozi poljubno točko vzporedno s podatkom.
Naj sta v prostoru podani dve črti:
Očitno lahko kot φ med ravnimi črtami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem z uporabo formule za kosinus kota med vektorji dobimo
Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt so enakovredni pogojem vzporednosti in pravokotnosti njunih smernih vektorjev in:
Dva naravnost vzporednoče in samo če so njihovi ustrezni koeficienti sorazmerni, tj. l 1 vzporednik l 2 če in samo če je vzporeden 
.
Dva naravnost pravokotnoče in samo če je vsota produktov ustreznih koeficientov enaka nič: .
U cilj med premico in ravnino
Naj bo naravnost d- ni pravokotna na ravnino θ;
d′− projekcija premice d na ravnino θ;
Najmanjši kot med ravnimi črtami d in d'poklicali bomo kot med premico in ravnino.
Označimo ga kot φ=( d,θ)
če d⊥θ, potem ( d,θ)=π/2
oi→j→k→− pravokotni koordinatni sistem.
Enačba ravnine:
θ: sekira+Avtor:+Cz+D=0
Predpostavimo, da je premica določena s točko in smernim vektorjem: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Nato je treba ugotoviti kot med vektorji n→ in str→, označimo kot γ=( n→,str→).
Če je kot γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Če je kot γ>π/2, potem je želeni kot φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
potem, kot med premico in ravnino se lahko izračuna po formuli:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23
vprašanje29. Koncept kvadratne oblike. Znakovna določenost kvadratnih oblik.
Kvadratna oblika j (x 1, x 2, …, x n) n realnih spremenljivk x 1, x 2, …, x n se imenuje vsota oblike 
, (1)
Kje a ij – nekatera števila, imenovana koeficienti. Brez izgube splošnosti lahko domnevamo, da a ij = a ji.
Kvadratna oblika se imenuje veljavno,če a ij
Î GR. Matrika kvadratne oblike se imenuje matrika, sestavljena iz svojih koeficientov. Kvadratna oblika (1) ustreza edini simetrični matriki 
To je A T = A. torej kvadratna oblika(1) lahko zapišemo v matrična oblika j ( X) = x T Ah, Kje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
In obratno, vsaka simetrična matrika (2) ustreza edinstveni kvadratni obliki do zapisa spremenljivk.
Rang kvadratne oblike se imenuje rang njene matrike. Kvadratna oblika se imenuje nedegeneriran,če je njegova matrika nesingularna A. (spomnite se, da je matrika A se imenuje nedegeneriran, če njegova determinanta ni enaka nič). V nasprotnem primeru je kvadratna oblika degenerirana.
pozitivno določeno(ali strogo pozitivno), če
j ( X) > 0 , za kogarkoli X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).
Matrix A pozitivno določena kvadratna oblika j ( X) imenujemo tudi pozitivno določeno. Zato pozitivno določena kvadratna oblika ustreza edinstveni pozitivno določeni matriki in obratno.
Kvadratna oblika (1) se imenuje negativno definiran(ali strogo negativno), če
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), razen X = (0, 0, …, 0).
Podobno kot zgoraj se matrika negativno določene kvadratne oblike imenuje tudi negativno določena.
Posledično pozitivno (negativno) določeno kvadratno obliko j ( X) doseže najmanjšo (največjo) vrednost j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Upoštevajte, da večina kvadratnih oblik ni predznačno določenih, kar pomeni, da niso niti pozitivne niti negativne. Takšne kvadratne oblike ne izginejo le v izhodišču koordinatnega sistema, ampak tudi na drugih točkah.
Kdaj n> 2 so za preverjanje predznaka kvadratne oblike potrebni posebni kriteriji. Poglejmo jih.
Večji mladoletniki kvadratne oblike imenujemo minori:
to so minori reda 1, 2, ..., n matrice A, ki se nahaja v zgornjem levem kotu, zadnji od njih sovpada z determinanto matrike A.
Kriterij pozitivne določnosti (Sylvestrovo merilo)
X) = x T Ah je bil pozitivno določen, je potrebno in zadostuje, da so vsi veliki minori matrike A so bile pozitivne, to je: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne gotovosti Da bi bila kvadratna oblika j ( X) = x T Ah je bil negativno določen, je potrebno in zadostno, da so njegovi glavni minori sodega reda pozitivni, lihega reda pa negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
S pomočjo tega spletni kalkulator lahko najdete kot med ravnimi črtami. dano podrobna rešitev s pojasnili. Za izračun kota med premicami nastavite dimenzijo (2, če upoštevamo premico na ravnini, 3, če upoštevamo premico v prostoru), vnesemo elemente enačbe v celice in kliknemo na “Reši” gumb. Glej teoretični del spodaj.
×
Opozorilo
Počistiti vse celice?
Zapri Počisti
Navodila za vnos podatkov.Števila se vnašajo kot cela števila (primeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalna mesta (npr. 67., 102,54 itd.) ali ulomki. Ulomek mora biti vpisan v obliki a/b, kjer sta a in b (b>0) cela ali decimalna števila. Primeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.
1. Kot med premicami na ravnini
Premice so definirane s kanoničnimi enačbami
1.1. Določanje kota med ravnimi črtami
Pustite črte v dvodimenzionalni prostor L 1 in L
Tako lahko iz formule (1.4) najdemo kot med ravnima črtama L 1 in L 2. Kot je razvidno iz slike 1, sekajoče se črte tvorijo sosednja kota φ in φ 1. Če je najdeni kot večji od 90°, potem lahko najdete najmanjši kot med ravnimi črtami L 1 in L 2: φ 1 =180-φ .
Iz formule (1.4) lahko izpeljemo pogoje vzporednosti in pravokotnosti dveh premic.
Primer 1. Določite kot med črtami
Poenostavimo in rešimo:
1.2. Pogoj za vzporedne premice
Pustiti φ =0. Potem cosφ=1. V tem primeru bo izraz (1.4) imel naslednjo obliko:
| , |
| , |
Primer 2: Ugotovite, ali sta premici vzporedni
Enakost (1.9) je izpolnjena, zato sta premici (1.10) in (1.11) vzporedni.
Odgovori.
Premici (1.10) in (1.11) sta vzporedni.
Pustiti φ 1.3. Pogoj za pravokotnost črt cosφ=90°. Potem
=0. V tem primeru bo izraz (1.4) imel naslednjo obliko:
Primer 3. Ugotovite, ali sta premici pravokotni
Pogoj (1.13) je izpolnjen, zato sta premici (1.14) in (1.15) pravokotni.
Odgovori.
Premici (1.14) in (1.15) sta pravokotni.
Črte so določene s splošnimi enačbami L 1 in L 1.4. Določanje kota med ravnimi črtami
Pustite dve ravni črti
2 so podane s splošnimi enačbami
Iz definicije skalarnega produkta dveh vektorjev imamo: A 1 , B 1 , A 2 , B Primer 4. Poiščite kot med črtami
Nadomeščanje vrednosti
2 v (1.23), dobimo: L 1 in L Ta kot je večji od 90°. Poiščimo najmanjši kot med ravnimi črtami. Če želite to narediti, odštejte ta kot od 180: n 1 in n Po drugi strani pa pogoj vzporednih premic
2 je enakovreden pogoju kolinearnosti vektorjev
2 in se lahko predstavi takole:
Enakost (1.24) je izpolnjena, zato sta premici (1.26) in (1.27) vzporedni.
Odgovori. L 1 in L Premici (1.26) in (1.27) sta vzporedni. 1.6. Pogoj za pravokotnost črt(φ Pogoj za pravokotnost črt n 1 ,n 2 lahko izvlečemo iz formule (1.20) s substitucijo
cos
)=0. Nato skalarni produkt (
2)=0. Kje
Enakost (1.28) je izpolnjena, zato sta premici (1.29) in (1.30) pravokotni.
Odgovori. L 1 in L Premici (1.29) in (1.30) sta pravokotni.
2. Kot med premicami v prostoru 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami V prostoru naj bodo ravne črte 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami 2 so podane s kanoničnimi enačbami 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami 1 in 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami kjer | φ q 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami 1 in 2.1. Določanje kota med ravnimi črtami 2 .
1 | in |
 .
|
Poenostavimo in rešimo:
 .
|
2 | moduli smernih vektorjev φ
2 oziroma, l- kot med vektorji Iz izraza (2.3) dobimo: Poiščimo kot l 1 V prostoru naj bodo dane ravne črte- kot med vektorji in 1 m. Skozi neko točko A prostora narišemo ravne črte
|| l l- kot med vektorji Iz izraza (2.3) dobimo: sekajo, potem A lahko vzamemo kot presečišče teh premic ( l 1 = l- kot med vektorji in 1 = m).
Kot med nevzporednimi premicami l- kot med vektorji Iz izraza (2.3) dobimo: je vrednost najmanjšega od sosednjih kotov, ki jih tvorijo sekajoče se črte l 1 - kot med vektorji in 1 (l 1 V prostoru naj bodo dane ravne črte, in 1 m). Šteje se, da je kot med vzporednima črtama enak nič.
Kot med ravnimi črtami l- kot med vektorji Iz izraza (2.3) dobimo: označeno z \(\widehat((l;m))\). Iz definicije sledi, da če se meri v stopinjah, potem 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, in če je v radianih, potem 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Naloga. Dana je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (slika 139).
Poiščite kot med premicama AB in DC 1.
Premici AB in DC 1 se križata. Ker je premica DC vzporedna s premico AB, je kot med premicama AB in DC 1 po definiciji enak \(\widehat(C_(1)DC)\).
Zato je \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Neposredno l- kot med vektorji Iz izraza (2.3) dobimo: se imenujejo pravokotno, če \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na primer v kocki
Izračun kota med ravnimi črtami.
Problem računanja kota med dvema premicama v prostoru rešujemo enako kot v ravnini. Označimo s φ velikost kota med premicama l 1 - kot med vektorji l 2, in skozi ψ - velikost kota med smernimi vektorji A in b te ravne črte.
Potem, če
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (slika 206.6), potem je φ = 180° - ψ. Očitno je, da v obeh primerih velja enakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (kosinus kota med neničelnimi vektorji a in b je enak skalarni produkt teh vektorjev, deljenih s produktom njihovih dolžin), imamo
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
torej,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Naj bodo premice podane s svojimi kanoničnimi enačbami
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; In \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Nato se s formulo določi kot φ med črtami
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Če je ena od črt (ali obe) podana z nekanoničnimi enačbami, morate za izračun kota najti koordinate vektorjev smeri teh črt in nato uporabiti formulo (1).
Naloga 1. Izračunajte kot med premicami
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;in\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Smerni vektorji ravnih črt imajo koordinate:
a = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
S formulo (1) najdemo
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Zato je kot med tema premicama 60°.
Naloga 2. Izračunajte kot med premicami
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) in \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\konec(primeri) $$
Za vodilnim vektorjem A vzemite prvo ravno črto vektorski izdelek normalni vektorji n 1 = (3; 0; -12) in n 2 = (1; 1; -3) ravnine, ki določajo to premico. Z uporabo formule \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dobimo
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Podobno najdemo smerni vektor druge premice:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Toda s formulo (1) izračunamo kosinus želenega kota:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Zato je kot med tema premicama 90°.
Naloga 3. IN trikotna piramida MABC rebra MA, MB in MS so medsebojno pravokotna (slika 207);
njihove dolžine so 4, 3, 6. Točka D je sredina [MA]. Poiščite kot φ med premicama CA in DB.
Naj sta CA in DB smerna vektorja premic CA in DB.
Za izhodišče koordinat vzemimo točko M. Po pogoju enačbe imamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Zato je \(\desna puščica(CA)\) = (4; - 6;0), \(\desna puščica(DB)\)= (-2; 0; 3). Uporabimo formulo (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
S kosinusno tabelo ugotovimo, da je kot med premicama CA in DB približno 72°.
KOT MED RAVNINAMI
Razmislite o dveh ravninah α 1 in α 2, opredeljenih z enačbama:
Spodaj kota med dvema ravninama bomo razumeli enega od diedrskih kotov, ki ju tvorita ti ravnini. Očitno je, da je kot med normalnima vektorjema in ravninama α 1 in α 2 enak enemu od navedenih sosednjih diedrskih kotov oz. 
. Zato 
. Ker 
in 
, To
.
Primer. Določite kot med ravninama x+2l-3z+4=0 in 2 x+3l+z+8=0.
Pogoj za vzporednost dveh ravnin.
Dve ravnini α 1 in α 2 sta vzporedni, če in samo če sta njuna normalna vektorja vzporedna, torej 
.
Torej sta ravnini med seboj vzporedni, če in samo če sta koeficienta ustreznih koordinat sorazmerna:
oz
Pogoj pravokotnosti ravnin.
Jasno je, da sta dve ravnini pravokotni, če in samo če sta njuna normalna vektorja pravokotna in torej ali .
Tako,.
Primeri.
NARAVNOST V VESELJU.
VEKTORSKA ENAČBA ZA PREMICO.
PARAMETRIČNE DIREKTNE ENAČBE
Položaj črte v prostoru je popolnoma določen z določitvijo katere koli njene fiksne točke M 1 in vektor, ki je vzporeden s to premico.
Vektor, ki je vzporeden s premico, se imenuje vodniki vektor te premice.
Torej naj bo ravna črta l poteka skozi točko M 1 (x 1 , l 1 , z 1), ki leži na premici, vzporedni z vektorjem .
Razmislite o poljubni točki M(x,y,z) na ravni črti. Iz slike je razvidno, da 
.
Vektorja in sta kolinearna, zato obstaja takšno število t, kaj , kje je množitelj t lahko sprejme poljubno številčno vrednost, odvisno od položaja točke M na ravni črti. Faktor t imenovan parameter. Po določitvi radijskih vektorjev točk M 1 in M oziroma, skozi in , Dobimo . Ta enačba se imenuje vektor enačba premice. To kaže za vsako vrednost parametra t ustreza vektorju radija neke točke M, ki leži na ravni črti.
Zapišimo to enačbo v koordinatni obliki. Upoštevajte, da, 
in od tukaj
Nastale enačbe imenujemo parametrični enačbe premice.
Pri spreminjanju parametra t spremembe koordinat x, l in z in pika M premika v ravni črti.
KANONIČNE ENAČBE DIREKT
Pustiti M 1 (x 1 , l 1 , z 1) – točka, ki leži na premici l, In 
je njegov smerni vektor. Ponovno vzemimo poljubno točko na premici M(x,y,z) in razmislite o vektorju.
Jasno je, da so tudi vektorji kolinearni, zato morajo biti njihove ustrezne koordinate sorazmerne, torej
– kanoničen enačbe premice.
Opomba 1. Upoštevajte, da bi kanonične enačbe premice lahko dobili iz parametričnih z izločitvijo parametra t. Dejansko iz parametričnih enačb, ki jih dobimo 
oz .
Primer. Zapišite enačbo premice 
v parametrični obliki.
Označimo 
, od tod x = 2 + 3t, l = –1 + 2t, z = 1 –t.
Opomba 2. Naj bo premica pravokotna na eno od koordinatnih osi, na primer na os Ox. Potem je smerni vektor premice pravokoten Ox, torej, Iz izraza (2.3) dobimo:=0. Posledično bodo parametrične enačbe črte prevzele obliko
Izključitev parametra iz enačb t, dobimo enačbe premice v obliki
Vendar se tudi v tem primeru strinjamo, da kanonične enačbe premice formalno zapišemo v obliki 
. Če je torej imenovalec enega od ulomkov enak nič, to pomeni, da je premica pravokotna na ustrezno koordinatno os.
Podobno kot pri kanoničnih enačbah 
ustreza ravni črti, pravokotni na osi Ox in Oj ali vzporedno z osjo Oz.
Primeri.
SPLOŠNE ENAČBE RAVNE ČRTE KOT PREMICE PRESEČIŠČA DVEH RAVNIN
Skozi vsako premico v prostoru teče nešteto ravnin. Katera koli dva od njih, ki se sekata, ga določata v prostoru. Posledično enačbi katerih koli dveh takih ravnin, obravnavani skupaj, predstavljata enačbi te premice.
Na splošno poljubni dve nevzporedni ravnini, podani s splošnimi enačbami
določite ravno črto njihovega presečišča. Te enačbe se imenujejo splošne enačbe naravnost.
Primeri.
Konstruirajte premico, podano z enačbami 
Če želite zgraditi ravno črto, je dovolj, da poiščete kateri koli dve njeni točki. Najlažji način je, da izberete točke presečišča črte z koordinatne ravnine. Na primer, točka presečišča z ravnino xOy dobimo iz enačb premice ob predpostavki z= 0:
Ko rešimo ta sistem, najdemo bistvo M 1 (1;2;0).
Podobno, ob predpostavki l= 0, dobimo presečišče premice z ravnino xOz:
Od splošnih enačb premice lahko preidemo na njene kanonične ali parametrične enačbe. Če želite to narediti, morate najti neko točko M 1 na premico in smerni vektor premice.
Koordinate točk M 1 dobimo iz tega sistema enačb, pri čemer eni od koordinat damo poljubno vrednost. Če želite najti smerni vektor, upoštevajte, da mora biti ta vektor pravokoten na oba normalna vektorja 
in 
. Zato zunaj smernega vektorja premice l lahko vzamete vektorski produkt normalnih vektorjev:
.
Primer. Svinec splošne enačbe naravnost 
do kanonične oblike.
Poiščimo točko, ki leži na premici. Za to poljubno izberemo eno od koordinat, npr. l= 0 in reši sistem enačb:
Normalni vektorji ravnin, ki določajo premico, imajo koordinate 
Zato bo vektor smeri raven
. torej l: 
.
KOT MED RIVICAMI
Kot med premicami v prostoru bomo imenovali katerikoli od sosednjih kotov, ki ga tvorita dve premici, narisani skozi poljubno točko vzporedno s podatkom.
Naj sta v prostoru podani dve črti:
Očitno lahko kot φ med ravnimi črtami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem z uporabo formule za kosinus kota med vektorji dobimo
To gradivo je posvečeno konceptu kota med dvema sekajočima se črtama. V prvem odstavku bomo razložili, kaj to je, in to prikazali v ilustracijah. Nato bomo pogledali, kako lahko najdete sinus, kosinus tega kota in sam kot (ločeno bomo obravnavali primere z ravnino in tridimenzionalnim prostorom), podali bomo potrebne formule in s primeri pokazali, kako natančno so uporabljajo v praksi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Da bi razumeli, kaj je kot, ki nastane pri sekanju dveh premic, se moramo spomniti same definicije kota, pravokotnosti in presečišča.
Definicija 1
Dve premici pravimo sekajoči se, če imata eno skupno točko. To točko imenujemo točka presečišča dveh premic.
Vsaka premica je s presečiščem razdeljena na žarke. Obe ravni črti tvorita 4 kote, od katerih sta dva navpična, dva pa sosednja. Če poznamo mero enega od njih, potem lahko določimo preostale.
Recimo, da vemo, da je eden od kotov enak α. V tem primeru bo tudi kot, ki je navpičen glede na to, enak α. Da bi našli preostale kote, moramo izračunati razliko 180 ° - α. Če je α enako 90 stopinj, bodo vsi koti pravi koti. Črte, ki se sekajo pod pravim kotom, imenujemo pravokotne (konceptu pravokotnosti je posvečen ločen članek).
Oglejte si sliko:
Pojdimo k oblikovanju glavne definicije.
Definicija 2
Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, je mera manjšega od 4 kotov, ki tvorita ti dve premici.
Iz definicije je treba potegniti pomemben zaključek: velikost kota bo v tem primeru izražena s poljubnim realnim številom v intervalu (0, 90]. Če sta črti pravokotni, bo kot med njima v vsakem primeru enak enako 90 stopinj.
Sposobnost iskanja mere kota med dvema sekajočima se premicama je uporabna za reševanje številnih praktičnih problemov. Način rešitve je mogoče izbrati med več možnostmi.
Za začetek lahko uporabimo geometrijske metode. Če vemo nekaj o dodatnih kotih, jih lahko povežemo s kotom, ki ga potrebujemo, z uporabo lastnosti enakih ali podobnih likov. Na primer, če poznamo stranice trikotnika in moramo izračunati kot med premicami, na katerih se nahajajo te stranice, potem je kosinusni izrek primeren za našo rešitev. Če imamo pogoj pravokotni trikotnik, potem bomo za izračune potrebovali tudi znanje sinusa, kosinusa in tangensa kota.
Tudi koordinatna metoda je zelo priročna za reševanje tovrstnih problemov. Naj pojasnimo, kako ga pravilno uporabljati.
Imamo pravokotni (kartezični) koordinatni sistem O x y, v katerem sta podani dve premici. Označimo jih s črkama a in b. Ravne črte je mogoče opisati z nekaterimi enačbami. Prvotne črte imajo presečišče M. Kako določiti zahtevani kot (označimo ga z α) med temi premicami?
Začnimo z oblikovanjem osnovnega principa iskanja kota pod danimi pogoji.
Vemo, da je koncept ravne črte tesno povezan s konceptoma, kot sta smerni vektor in normalni vektor. Če imamo enačbo določene premice, lahko iz nje vzamemo koordinate teh vektorjev. To lahko naredimo za dve sekajoči se premici hkrati.
Kot, ki ga povezujeta dve sekajoči se črti, lahko najdete z:
- kot med smernimi vektorji;
- kot med normalnimi vektorji;
- kot med normalnim vektorjem ene premice in smernim vektorjem druge.
Zdaj pa si poglejmo vsako metodo posebej.
1. Predpostavimo, da imamo premico a s smernim vektorjem a → = (a x, a y) in premico b s smernim vektorjem b → (b x, b y). Zdaj narišimo dva vektorja a → in b → iz presečišča. Po tem bomo videli, da se bodo nahajali vsak na svoji ravni liniji. Potem imamo štiri možnosti za njih relativni položaj. Glej sliko:
Če kot med dvema vektorjema ni top, bo to kot, ki ga potrebujemo med sečiščema a in b. Če je top, bo želeni kot enak kotu, ki meji na kot a →, b → ^. Tako je α = a → , b → ^, če je a → , b → ^ ≤ 90 ° , in α = 180 ° - a → , b → ^, če je a → , b → ^ > 90 ° .
Na podlagi dejstva, da so kosinusi enaki koti enaki, lahko nastale enakosti prepišemo takole: cos α = cos a → , b → ^ , če je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, če je a →, b → ^ > 90 °.
V drugem primeru so bile uporabljene redukcijske formule. torej
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Zapišimo zadnjo formulo z besedami:
Definicija 3
Kosinus kota, ki ga tvorita dve sekajoči se ravni črti, bo enak modulu kosinusa kota med njunima smernima vektorjema.
Splošna oblika formule za kosinus kota med dvema vektorjema a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) je videti takole:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iz nje lahko izpeljemo formulo za kosinus kota med dvema danima premicama:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Nato lahko sam kot najdete z naslednjo formulo:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tu sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja danih premic.
Navedimo primer rešitve problema.
Primer 1
V pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini sta podani sekajoči se premici a in b. Lahko jih opišemo s parametričnimi enačbami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R in x 5 = y - 6 - 3. Izračunajte kot med tema premicama.
rešitev
V našem pogoju imamo parametrično enačbo, kar pomeni, da lahko za to premico takoj zapišemo koordinate njenega smernega vektorja. Da bi to naredili, moramo vzeti vrednosti koeficientov za parameter, tj. premica x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bo imela smerni vektor a → = (4, 1).
Druga premica je opisana z uporabo kanonična enačba x 5 = y - 6 - 3 . Tukaj lahko vzamemo koordinate iz imenovalcev. Tako ima ta premica smerni vektor b → = (5 , - 3) .
Nato preidemo neposredno na iskanje kota. Če želite to narediti, preprosto nadomestite obstoječe koordinate obeh vektorjev v zgornjo formulo α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Dobimo naslednje:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Odgovori: Te ravne črte tvorijo kot 45 stopinj.
Podoben problem lahko rešimo tako, da poiščemo kot med normalnimi vektorji. Če imamo premico a z normalnim vektorjem n a → = (n a x , n a y) in premico b z normalnim vektorjem n b → = (n b x , n b y), potem bo kot med njima enak kotu med n a → in n b → ali kot, ki meji na n a →, n b → ^. Ta metoda je prikazana na sliki:
Formule za izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami in samim kotom z uporabo koordinat normalnih vektorjev izgledajo takole:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tukaj n a → in n b → označujeta normalna vektorja dveh danih premic.
Primer 2
V pravokotnem koordinatnem sistemu sta dve ravni črti podani z enačbama 3 x + 5 y - 30 = 0 in x + 4 y - 17 = 0. Poiščite sinus in kosinus kota med njima in velikost tega kota.
rešitev
Izvirne črte so določene z enačbami normalnih črt v obliki A x + B y + C = 0. Vektor normale označimo kot n → = (A, B). Poiščimo koordinate prvega normalnega vektorja za eno premico in jih zapišimo: n a → = (3, 5) . Za drugo vrstico x + 4 y - 17 = 0 bo normalni vektor imel koordinate n b → = (1, 4). Zdaj dobljene vrednosti dodamo formuli in izračunamo skupno:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Če poznamo kosinus kota, potem lahko izračunamo njegov sinus z uporabo osnovne trigonometrične identitete. Ker kot α, ki ga sestavljajo ravne črte, ni top, potem je sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
V tem primeru je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Odgovor: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Uredimo to zadnji primer– iskanje kota med premicami, če poznamo koordinate smernega vektorja ene premice in normale druge premice.
Predpostavimo, da ima premica a smerni vektor a → = (a x , a y) , premica b pa normalni vektor n b → = (n b x , n b y) . Te vektorje moramo postaviti stran od presečišča in upoštevati vse možnosti za njihove relativne položaje. Glej na sliki:
Če je kot med dani vektorji ne več kot 90 stopinj, se izkaže, da bo dopolnil kot med a in b do pravega kota.
a →, n b → ^ = 90° - α, če je a →, n b → ^ ≤ 90°.
Če je manj kot 90 stopinj, dobimo naslednje:
a → , n b → ^ > 90 ° , potem a → , n b → ^ = 90 ° + α
Z uporabo pravila enakosti kosinusov enakih kotov zapišemo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α za a → , n b → ^ > 90 ° .
torej
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Oblikujmo zaključek.
Definicija 4
Če želite najti sinus kota med dvema premicama, ki se sekata na ravnini, morate izračunati modul kosinusa kota med smernim vektorjem prve črte in normalnim vektorjem druge.
Zapišimo potrebne formule. Iskanje sinusa kota:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Iskanje samega kota:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Tu je a → smerni vektor prve črte, n b → normalni vektor druge.
Primer 3
Dve sekajoči se premici sta podani z enačbama x - 5 = y - 6 3 in x + 4 y - 17 = 0. Poiščite kot presečišča.
rešitev
Iz podanih enačb vzamemo koordinate vodilnega in normalnega vektorja. Izkazalo se je a → = (- 5, 3) in n → b = (1, 4). Vzamemo formulo α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 in izračunamo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Upoštevajte, da smo vzeli enačbe iz prejšnjega problema in dobili popolnoma enak rezultat, vendar na drugačen način.
odgovor:α = a r c sin 7 2 34
Predstavimo še en način iskanja želenega kota z uporabo kotnih koeficientov danih ravnih črt.
Imamo premico a, ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbo y = k 1 x + b 1, in premico b, definirano kot y = k 2 x + b 2. To so enačbe črt z nakloni. Za iskanje kota presečišča uporabimo formulo:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kjer sta k 1 in k 2 kotni koeficienti dane ravne črte. Za pridobitev tega zapisa so bile uporabljene formule za določanje kota skozi koordinate normalnih vektorjev.
Primer 4
V ravnini se sekata dve ravni črti, podane z enačbami y = - 3 5 x + 6 in y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte vrednost presečnega kota.
rešitev
Kotni koeficienti naših črt so enaki k 1 = - 3 5 in k 2 = - 1 4. Prištejmo jih formuli α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 in izračunajmo:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
odgovor:α = a r c cos 23 2 34
V sklepih tega odstavka je treba opozoriti, da se tukaj podanih formul za iskanje kota ni treba naučiti na pamet. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate koordinate vodil in/ali normalnih vektorjev danih črt in jih znate določiti z različni tipi enačbe. Bolje pa si je zapomniti ali zapisati formule za izračun kosinusa kota.
Kako izračunati kot med sekajočimi se črtami v prostoru
Izračun takšnega kota se lahko zmanjša na izračun koordinat vektorjev smeri in določitev velikosti kota, ki ga tvorijo ti vektorji. Za takšne primere se uporablja ista utemeljitev, kot smo jo podali prej.
Predpostavimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem, ki se nahaja v tridimenzionalnem prostoru. Vsebuje dve premici a in b s presečiščem M. Za izračun koordinat smernih vektorjev moramo poznati enačbe teh premic. Označimo smerne vektorje a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kota med njima uporabimo formulo:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Za iskanje samega kota potrebujemo to formulo:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Primer 5
Imamo črto, definirano v tridimenzionalnem prostoru z enačbo x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Znano je, da seka z osjo O z. Izračunajte presečni kot in kosinus tega kota.
rešitev
Kot, ki ga je treba izračunati, označimo s črko α. Zapišimo koordinate smernega vektorja za prvo premico – a → = (1, - 3, - 2) . Za aplikacijo osi lahko vzamemo koordinatni vektor k → = (0, 0, 1) kot vodilo. Prejeli smo potrebne podatke in jih lahko dodamo želeni formuli:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Posledično smo ugotovili, da bo kot, ki ga potrebujemo, enak a r c cos 1 2 = 45 °.
odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter