Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).
Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor kotov ima mnogokotnik.
Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.
Opredelitev. Apotema- to je pravokotnik na stransko stran piramide, spuščen z vrha piramide na stran baze.
Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.
Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.
Prostornina in površina piramide
Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:
Lastnosti piramide
Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).
Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.
Stranska rebra so enaka, ko se tvorijo z ravnino baze enaki koti ali če je mogoče opisati krog okoli baze piramide.
če stranski obrazi nagnjena na ravnino baze pod enim kotom, potem je mogoče v osnovo piramide vpisati krog, vrh piramide pa je projiciran v njeno središče.
Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.
Lastnosti pravilne piramide
1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.
2. Vsi stranski robovi so enaki.
3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.
4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.
5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.
6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.
7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.
8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.
9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.
Povezava med piramido in kroglo
Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.
Okoli vsake trikotne ali pravilne piramide je vedno mogoče opisati kroglo.
Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.
Povezava piramide s stožcem
Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca včrtana v osnovi piramide.
Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.
Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.
Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.
Razmerje med piramido in valjem
Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.
Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.
Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.
Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.
Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).
Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).
Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.
Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.
Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.
Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder, v katerem so vse štiri ploskve enakostranični trikotniki. Je eden izmed petih pravilnih mnogokotnikov. V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri vrhu) enaki.
Opredelitev. Pravokotni tetraeder je tetraeder s pravim kotom med tremi robovi na vrhu (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in ploskve so pravokotni trikotnik, osnova pa poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.
Opredelitev. Izoedrski tetraeder se imenuje tetraeder, katerega stranske ploskve so enake druga drugi, osnova pa je pravilen trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.
Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.
Opredelitev. Zvezdna piramida imenujemo polieder, katerega osnova je zvezda.
Še naprej obravnavamo naloge, vključene v enotni državni izpit iz matematike. Študirali smo že naloge, kjer je podan pogoj in je treba najti razdaljo med dvema danima točkama ali kot.
Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve so trikotniki in imajo skupno oglišče.
Pravilna piramida je piramida, v osnovi katere leži pravilen mnogokotnik, njeno vrh pa je projiciran v središče baze.
Pravilna štirikotna piramida - osnova je kvadrat, ki je projiciran na presečišču diagonal baze.
ML - apotem
∠MLO - diedrski kot na dnu piramide
∠MCO - kot med stranskim robom in ravnino osnove piramide
V tem članku si bomo ogledali težave pri reševanju pravilne piramide. Najti morate nek element, stransko površino, prostornino, višino. Seveda morate poznati Pitagorov izrek, formulo za površino stranske površine piramide in formulo za iskanje volumna piramide.
V članku "" predstavlja formule, ki so potrebne za reševanje problemov v stereometriji. Torej, naloge:
SABCD pika O- središče baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Poišči stransko rebro S.C..
IN v tem primeru osnova je kvadrat. To pomeni, da sta diagonali AC in BD enaki, se sekata in ju razpolovi presečišče. Upoštevajte, da v pravilni piramidi višina, spuščena z njenega vrha, poteka skozi središče baze piramide. Torej je SO višina in trikotnikSOCpravokotne. Potem po pitagorejskem izreku:
Kako izvleči koren iz veliko število.
Odgovor: 85
Odločite se sami:
V desni štirikotna piramida SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Poiščite stranski rob S.C..
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Poiščite dolžino odseka SO.
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Poišči dolžino odseka A.C..
SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 7, a S.R.= 16. Poiščite stransko površino.
Ploščina stranske ploskve pravilne trikotne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme (apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha):
Lahko pa rečemo takole: površina stranske površine piramide je enaka vsoti tri kvadratke stranski robovi. Stranski robovi v pravilnem trikotna piramida sta trikotnika enake ploščine. V tem primeru:
Odgovor: 168
Odločite se sami:
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1, a S.R.= 2. Poiščite stransko površino.
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1 in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta S.R..
V pravilni trikotni piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da SL= 2, in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta AB.
V pravilni trikotni piramidi SABC M. Območje trikotnika ABC je 25, prostornina piramide je 100. Poiščite dolžino segmenta GOSPA.
Osnova piramide je enakostranični trikotnik. Zato Mje središče baze inGOSPA- višina pravilne piramideSABC. Prostornina piramide SABC je enako: ogled rešitve
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Območje trikotnika ABC enako 3, GOSPA= 1. Poišči prostornino piramide.
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Prostornina piramide je 1, GOSPA= 1. Poiščite površino trikotnika ABC.
Končajmo tukaj. Kot lahko vidite, se težave rešujejo v enem ali dveh korakih. V prihodnje bomo obravnavali še druge probleme iz tega dela, kjer so podana telesa revolucije, ne zamudite!
Želim ti uspeh!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Trikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu trikotnik. Višina te piramide je navpičnica, ki je spuščena od vrha piramide do njenega vznožja.
Iskanje višine piramide
Kako najti višino piramide? Zelo preprosto! Če želite najti višino katere koli trikotne piramide, lahko uporabite formulo prostornine: V = (1/3)Sh, kjer je S površina baze, V je prostornina piramide, h je njena višina. Iz te formule izpeljite formulo višine: če želite najti višino trikotne piramide, morate prostornino piramide pomnožiti s 3 in nato dobljeno vrednost razdeliti na površino baze, bo: h = (3V)/S. Ker je osnova trikotne piramide trikotnik, lahko uporabite formulo za izračun površine trikotnika. Če poznamo: ploščino trikotnika S in njegovo stranico z, potem glede na formulo ploščine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kjer je h višina piramide, γ je rob trikotnika; kot med stranicami trikotnika in obema stranicama samima, nato z uporabo naslednje formule: S = (1/2)γφsinQ, kjer sta γ, φ strani trikotnika, najdemo površino trikotnika. Vrednost sinusa kota Q je treba pogledati v tabeli sinusov, ki je dostopna na internetu. Nato nadomestimo vrednost površine v formulo za višino: h = (2S)/γ. Če naloga zahteva izračun višine trikotne piramide, potem je prostornina piramide že znana.
Pravilna trikotna piramida
Poiščite višino pravilne trikotne piramide, to je piramide, v kateri so vse ploskve enakostranični trikotniki, če poznate velikost roba γ. V tem primeru so robovi piramide stranice enakostraničnega trikotnika. Višina pravilne trikotne piramide bo: h = γ√(2/3), kjer je γ rob enakostranični trikotnik, h je višina piramide. Če površina osnove (S) ni znana in sta podani samo dolžina roba (γ) in prostornina (V) poliedra, je treba zamenjati potrebno spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka z njegovim ekvivalentom, ki je izražen z dolžino roba. Površina trikotnika (navadnega) je enaka 1/4 zmnožka dolžine stranice tega trikotnika na kvadrat s kvadratnim korenom iz 3. To formulo zamenjamo namesto površine osnove v prejšnjem formulo in dobimo naslednjo formulo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Prostornino tetraedra lahko izrazimo z dolžino njegovega roba, potem lahko iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo samo stran trikotni obraz figure. Prostornino takšne piramide lahko izračunate tako, da zmnožek kubne dolžine njene ploskve delite z 12 na kvadratni koren iz 2.
Če ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo, dobimo naslednjo formulo za izračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Tudi pravilno trikotna prizma lahko vpišemo v kroglo in če poznamo samo polmer krogle (R), lahko ugotovimo višino samega tetraedra. Dolžina roba tetraedra je: γ = 4R/√6. S tem izrazom v prejšnji formuli zamenjamo spremenljivko γ in dobimo formulo: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Isto formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (R) kroga, včrtanega v tetraeder. V tem primeru bo dolžina roba trikotnika enaka 12 razmerjem med kvadratni koren od 6 in polmer. Ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo in imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Kako najti višino pravilne štirikotne piramide
Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti dolžino višine piramide, morate vedeti, kaj je navadna piramida. Štirikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu štirikotnik. Če imamo v pogojih problema: prostornino (V) in površino baze (S) piramide, potem bo formula za izračun višine poliedra (h) naslednja - razdelite prostornino pomnoženo za 3 s površino S: h = (3V)/S. Za kvadratno osnovo piramide z dano prostornino (V) in stransko dolžino γ zamenjajte ploščino (S) v prejšnji formuli s kvadratom stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Višina pravilne piramide h = SO gre natančno skozi središče kroga, ki je opisan blizu vznožja. Ker je osnova te piramide kvadrat, je točka O presečišče diagonal AD in BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Naprej smo notri pravokotni trikotnik Poiščemo SOC (z uporabo Pitagorovega izreka): SO = √(SC 2 -OC 2). Zdaj veste, kako najti višino pravilne piramide.
Uvod
Ko smo začeli preučevati stereometrične figure, smo se dotaknili teme "Piramida". Ta tema nam je bila všeč, ker se piramida zelo pogosto uporablja v arhitekturi. In od našega bodoči poklic arhitektka, navdihnjena s to številko, menimo, da nas lahko spodbudi k odličnim projektom.
Trdnost arhitekturnih objektov je njihova najpomembnejša kakovost. Če povežemo moč, prvič, z materiali, iz katerih so ustvarjeni, in drugič, z značilnostmi oblikovalskih rešitev, se izkaže, da je moč konstrukcije neposredno povezana z geometrijsko obliko, ki je zanjo osnovna.
Z drugimi besedami, govorimo o geometrijski figuri, ki jo lahko obravnavamo kot model ustrezne arhitekturne oblike. Izkazalo se je, da geometrijska oblika določa tudi trdnost arhitekturne strukture.
Egipčanske piramide že od antičnih časov veljajo za najbolj trpežne arhitekturne strukture. Kot veste, imajo obliko pravilnih štirikotnih piramid.
Prav ta geometrijska oblika zagotavlja največjo stabilnost zaradi velike osnovne površine. Po drugi strani pa oblika piramide zagotavlja, da se masa zmanjšuje z večanjem višine nad tlemi. Ti dve lastnosti naredita piramido stabilno in s tem močno v pogojih gravitacije.
Cilj projekta: naučite se nekaj novega o piramidah, poglobite svoje znanje in poiščite praktično uporabo.
Za dosego tega cilja je bilo potrebno rešiti naslednje naloge:
· Spoznajte zgodovinske podatke o piramidi
· Razmislite o piramidi kot geometrijski lik
· Najdi uporabo v življenju in arhitekturi
· Poiščite podobnosti in razlike med piramidami, ki se nahajajo v različne dele Sveta
Teoretični del
Zgodovinski podatki
Začetek geometrije piramide je bil postavljen v starem Egiptu in Babilonu, vendar se je aktivno razvijal v Antična grčija. Prvi, ki je ugotovil prostornino piramide, je bil Demokrit, Evdoks iz Knida pa je to dokazal. Starogrški matematik Evklid je sistematiziral znanje o piramidi v XII zvezku svojih "Elementov" in tudi izpeljal prvo definicijo piramide: trdna figura, omejena z ravninami, ki se stekajo iz ene ravnine v eno točko.
Grobnice egiptovskih faraonov. Največje med njimi - Keopsova, Kefrenova in Mikerinova piramida v El Gizi - so v starih časih veljale za eno od sedmih čudes sveta. Gradnja piramide, v kateri so že Grki in Rimljani videli spomenik neslutenemu kraljevemu ponosu in krutosti, ki je celotno egiptovsko ljudstvo obsodila na nesmiselno gradnjo, je bila najpomembnejše kultno dejanje in naj bi očitno izražala mistično identiteto države in njenega vladarja. Prebivalstvo države je delalo na gradnji grobnice v delu leta, ki je bil prost kmetijskih del. Številna besedila pričajo o pozornosti in skrbi, ki so jo kralji sami (čeprav iz poznejšega časa) posvečali gradnji svoje grobnice in njenim graditeljem. Znane so tudi posebne kultne časti, ki so bile deležne piramide same.
Osnovni pojmi
Piramida imenujemo polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče.
Apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha;
Stranski obrazi- trikotnika, ki se srečata na vrhu;
Stranska rebra- skupne stranice stranskih ploskev;
Vrh piramide- točka, ki povezuje stranska rebra in ne leži v ravnini baze;
Višina- pravokotni odsek, ki poteka skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca tega odseka sta vrh piramide in osnova navpičnice);
Diagonalni prerez piramide- odsek piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
Osnova- mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.
Osnovne lastnosti pravilne piramide
Stranski robovi, stranske ploskve in apoteme so enaki.
Diedrski koti pri dnu so enaki.
Diedrski koti na stranskih robovih so enaki.
Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh oglišč baze.
Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih ploskev.
Osnovne piramidne formule
Stranski prostor in polna površina piramide.
Ploščina stranske površine piramide (polne in prisekane) je vsota površin vseh njenih stranskih ploskev, skupna površina je vsota površin vseh njenih ploskev.
Izrek: Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme piramide.
str- osnovni obod;
h- apotem.
Območje stranske in polne površine prisekane piramide.
str 1, str 2 - osnovni obodi;
h- apotem.
R- skupna površina pravilne prisekane piramide;
S stran- območje stranske površine pravilne prisekane piramide;
S 1 + S 2- osnovna površina
Prostornina piramide
Oblika volume ula se uporablja za piramide katere koli vrste.
H- višina piramide.
Piramidni vogali
Koti, ki jih tvorita stranska ploskev in osnova piramide, se imenujejo diedrski koti na dnu piramide.
Diedrski kot tvorita dve navpičnici.
Za določitev tega kota morate pogosto uporabiti izrek treh pravokotnic.
Imenujejo se koti, ki jih tvorita stranski rob in njegova projekcija na ravnino osnove kot med stranskim robom in ravnino podnožja.
Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova diedrski kot na stranskem robu piramide.
Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova ene ploskve piramide kot na vrhu piramide.
Odseki piramide
Površina piramide je površina poliedra. Vsaka njena ploskev je ravnina, torej je odsek piramide, ki ga določa sečna ravnina lomljena črta, sestavljen iz posameznih ravnih črt.
Diagonalni odsek
Odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne ležita na isti ploskvi, se imenuje diagonalni odsek piramide.
Vzporedni odseki
Izrek:
Če piramido seka ravnina, ki je vzporedna z osnovo, potem so stranski robovi in višine piramide razdeljeni s to ravnino na sorazmerne dele;
Odsek te ravnine je mnogokotnik, podoben osnovi;
Ploščini odseka in osnove sta med seboj povezani kot kvadrata njunih razdalj od vrha.
Vrste piramid
Pravilna piramida– piramida, katere osnova je pravilni mnogokotnik, vrh piramide pa je projiciran v središče baze.
Za navadno piramido:
1. stranska rebra so enaka
2. stranski ploskvi sta enaki
3. apoteme so enake
4. diedrski koti pri dnu so enaki
5. diedrski koti na stranskih robovih so enaki
6. vsaka točka višine je enako oddaljena od vseh oglišč osnove
7. vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih robov
Prisekana piramida- del piramide, zaprt med njeno osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo.
Osnova in ustrezen prerez prisekane piramide se imenujeta osnove prisekane piramide.
Imenuje se navpičnica, ki poteka iz katere koli točke ene baze na ravnino druge višina prisekane piramide.
Naloge
št. 1. V pravilni štirioglati piramidi je točka O središče osnove, SO=8 cm, BD=30 cm Poiščite stranski rob SA.
Reševanje problema
št. 1. V pravilni piramidi so vse ploskve in robovi enaki.
Razmislite o OSB: OSB je pravokoten pravokotnik, ker.
SB 2 = SO 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramida v arhitekturi
Piramida je monumentalna zgradba v obliki navadnega pravilnika geometrijska piramida, pri čemer straneh združiti v eno točko. Po svojem funkcionalnem namenu so bile piramide v starih časih kraji pokopavanja ali kultnega čaščenja. Osnova piramide je lahko trikotne, štirikotne ali mnogokotne oblike s poljubnim številom oglišč, vendar je najpogostejša različica štirikotna osnova.
Zgrajenih je precejšnje število piramid različne kulture Starodavni svet predvsem kot templje ali spomenike. Velike piramide vključujejo egipčanske piramide.
Po vsej Zemlji lahko vidite arhitekturne strukture v obliki piramid. Piramidne zgradbe spominjajo na starodavne čase in izgledajo zelo lepo.
Egipčanske piramide največji arhitekturni spomeniki Starodavni Egipt, med katerimi je eno od »sedmih čudes sveta« Keopsova piramida. Od vznožja do vrha doseže 137,3 m, preden je izgubil vrh, je bila njegova višina 146,7 m.
Stavba radijske postaje v glavnem mestu Slovaške, ki spominja na obrnjeno piramido, je bila zgrajena leta 1983. Poleg pisarn in servisnih prostorov je v volumnu dokaj prostoren koncertna dvorana, ki ima ene največjih orgel na Slovaškem.
Louvre, ki je »tih in veličasten kot piramida«, je v stoletjih doživel številne spremembe, preden je postal največji muzej mir. Nastal je kot trdnjava, ki jo je leta 1190 postavil Filip Avgust in je kmalu postala kraljeva rezidenca. Leta 1793 je palača postala muzej. Zbirke bogatimo z zapuščinami ali odkupi.
