Praksa lanskega enotnega državnega izpita in državnega izpita kaže, da težave z geometrijo mnogim šolarjem povzročajo težave. Z njimi se zlahka spopadete, če si zapomnite vse potrebne formule in vadite reševanje problemov.
V tem članku boste videli formule za iskanje območja trapeza, pa tudi primere težav z rešitvami. Na iste lahko naletite v KIM-ih med certifikacijskimi izpiti ali na olimpijadah. Zato z njimi ravnajte previdno.
Kaj morate vedeti o trapezu?
Za začetek si zapomnimo to trapez imenujemo štirikotnik, pri katerem sta dve nasprotni stranici, imenovani tudi osnovici, vzporedni, drugi dve pa nista.
V trapezu lahko višino (pravokotno na osnovo) tudi znižamo. Dirigirano srednja črta- to je ravna črta, ki je vzporedna z bazami in je enaka polovici njihove vsote. Kot tudi diagonale, ki se lahko sekajo in tvorijo ostre in tupe kote. Ali v nekaterih primerih pod pravim kotom. Poleg tega, če je trapez enakokrak, lahko vanj vpišemo krog. In okoli njega opišite krog.
Formule ploščine trapeza
Najprej si oglejmo standardne formule za iskanje območja trapeza. Spodaj bomo obravnavali načine za izračun površine enakokrakih in krivuljnih trapezov.
Predstavljajte si torej, da imate trapez z osnovama a in b, v katerem je višina h spuščena na večjo osnovo. Izračun površine figure je v tem primeru tako enostaven kot luščenje hrušk. Samo vsoto dolžin baz delite z dvema in rezultat pomnožite z višino: S = 1/2(a + b)*h.
Vzemimo drug primer: predpostavimo, da je v trapezu poleg višine še srednja črta m. Poznamo formulo za iskanje dolžine srednjice: m = 1/2(a + b). Zato lahko formulo za območje trapeza upravičeno poenostavimo na naslednjo obliko: S = m* h. Z drugimi besedami, da bi našli območje trapeza, morate središčnico pomnožiti z višino.
Razmislimo o drugi možnosti: trapez vsebuje diagonali d 1 in d 2, ki se ne sekata pod pravim kotom α. Če želite izračunati površino takšnega trapeza, morate produkt diagonal razdeliti na dva in rezultat pomnožiti s grehom kota med njimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Zdaj razmislite o formuli za iskanje območja trapeza, če o njem ni znano nič, razen dolžin vseh njegovih strani: a, b, c in d. Je zajeten in kompleksna formula, vendar vam bo koristno, da si ga zapomnite, za vsak slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Mimogrede, zgornji primeri veljajo tudi za primer, ko potrebujete formulo za območje pravokotnega trapeza. To je trapez, katerega stranica meji na osnove pod pravim kotom.
Enakokraki trapez
trapez, straneh ki sta enaka, imenujemo enakokraki. Razmislili bomo o več možnostih formule za območje enakokrakega trapeza.
Prva možnost: za primer, ko je v enakokraki trapez vpisan krog s polmerom r, stranica in večja osnova pa tvorita oster kotα. V trapez lahko vpišemo krog, če je vsota dolžin njegovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.
Ploščino enakokrakega trapeza izračunamo na naslednji način: pomnožimo kvadrat polmera včrtanega kroga s štiri in vse delimo s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseben primer za možnost, ko je kot med veliko osnovo in stranico 30 0: S = 8r2.
Druga možnost: tokrat vzamemo enakokraki trapez, v katerem sta poleg tega narisani diagonali d 1 in d 2 ter višina h. Če sta diagonali trapeza medsebojno pravokotni, je višina polovica vsote osnov: h = 1/2(a + b). Če veste to, je formulo za območje trapeza, ki vam je že znano, enostavno preoblikovati v to obliko: S = h 2.
Formula za območje ukrivljenega trapeza
Začnimo z ugotavljanjem, kaj je ukrivljeni trapez. Predstavljajte si koordinatno os in graf zvezne in nenegativne funkcije f, ki znotraj danega segmenta na osi x ne spremeni predznaka. Krivočrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu je os x spodaj (segment), na straneh pa ravne črte, narisane med točkama a in b ter grafom funkcijo.
Z zgornjimi metodami je nemogoče izračunati površino takšne nestandardne figure. Tukaj morate uporabiti matematično analizo in uporabiti integral. Namreč: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tej formuli je F antiodvod naše funkcije na izbranem segmentu. In območje ukrivljen trapez ustreza prirastku antiizpeljave na danem segmentu.
Vzorčne težave
Da bi vse te formule lažje razumeli v vaši glavi, je tukaj nekaj primerov težav za iskanje površine trapeza. Najbolje bo, če težave najprej poskusite rešiti sami, šele nato primerjate prejeti odgovor z že pripravljeno rešitvijo.
Naloga #1: Podan trapez. Njegova večja osnova je 11 cm, manjša pa 4 cm. Trapez ima diagonali, ena dolga 12 cm, druga 9 cm.
Rešitev: Konstruirajte trapez AMRS. Skozi oglišče P nariši premico РХ tako, da je vzporedna z diagonalo MC in seka premico AC v točki X. Dobil boš trikotnik APХ.
Upoštevali bomo dve sliki, dobljeni kot rezultat teh manipulacij: trikotnik APX in paralelogram CMRX.
Zahvaljujoč paralelogramu izvemo, da je PX = MC = 12 cm in CX = MR = 4 cm. Od koder lahko izračunamo stranico AX trikotnika ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Prav tako lahko dokažemo, da je trikotnik APX pravokoten (za to uporabimo Pitagorov izrek - AX 2 = AP 2 + PX 2). In izračunajte njegovo ploščino: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Nato boste morali dokazati, da sta trikotnika AMP in PCX enako velika. Osnova bo enakopravnost strank MR in CX (že dokazano zgoraj). In tudi višine, ki jih spustiš na te stranice - enake so višini trapeza AMRS.
Vse to vam bo omogočilo, da rečete, da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Naloga št. 2: Podan je trapez KRMS. Na njegovih stranskih stranicah sta točki O in E, OE in KS pa sta vzporedni. Znano je tudi, da sta ploščini trapeza ORME in OKSE v razmerju 1:5. RM = a in KS = b. Najti morate OE.
Rešitev: Skozi točko M nariši premico, ki je vzporedna z RK, in točko njenega presečišča z OE označi kot T. A je presečišče premice, narisane skozi točko E vzporedno z RK, z osnovo KS.
Uvedimo še en zapis - OE = x. In tudi višina h 1 za trikotnik TME in višina h 2 za trikotnik AEC (podobnost teh trikotnikov lahko neodvisno dokažeš).
Predpostavili bomo, da je b > a. Ploščini trapeza ORME in OKSE sta v razmerju 1:5, kar nam daje pravico sestaviti naslednjo enačbo: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo in dobimo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Ker sta si trikotnika TME in AEC podobna, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Združimo oba vnosa in dobimo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Tako je OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Zaključek
Geometrija ni najlažja veda, a zagotovo ste kos izpitnim vprašanjem. Dovolj je pokazati malo vztrajnosti pri pripravi. In seveda si zapomnite vse potrebne formule.
Poskušali smo zbrati vse formule za izračun ploščine trapeza na enem mestu, da jih lahko uporabite, ko se pripravljate na izpite in obnavljate gradivo.
Ne pozabite povedati svojim sošolcem in prijateljem o tem članku. socialna omrežja. Naj bo več dobrih ocen za enotni državni izpit in državne izpite!
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
Območje trapeza. Lep pozdrav! V tej publikaciji si bomo ogledali to formulo. Zakaj je točno takšna in kako jo razumeti. Če obstaja razumevanje, potem vam ga ni treba učiti. Če želite samo pogledati to formulo in nujno, potem se lahko takoj pomaknete navzdol po strani))
Zdaj podrobno in po vrsti.
Trapez je štirikotnik, dve stranici tega štirikotnika sta vzporedni, drugi dve pa ne. Tiste, ki niso vzporedne, so osnove trapeza. Drugi dve se imenujeta strani.
Če sta stranici enaki, se trapez imenuje enakokrak. Če je ena od stranic pravokotna na osnove, potem se tak trapez imenuje pravokoten.
V svoji klasični obliki je trapez upodobljen na naslednji način - večja osnova je na dnu oziroma manjša je na vrhu. Toda nihče ne prepoveduje upodabljanja nje in obratno. Tukaj so skice:
Naslednji pomemben koncept.
Srednja črta trapeza je odsek, ki povezuje središča stranic. Srednja črta je vzporedna z osnovami trapeza in je enaka njihovi polvsoti.
Zdaj pa se poglobimo. Zakaj je temu tako?
Razmislite o trapezu z osnovami a in b in s srednjo črto l, in izvedite nekaj dodatnih konstrukcij: narišite ravne črte skozi osnove in pravokotnice skozi konce srednje črte, dokler se ne sekajo z bazami:
*Črkovne oznake za oglišča in druge točke niso vključene namerno, da bi se izognili nepotrebnim oznakam.
Poglejte, trikotnika 1 in 2 sta enaka glede na drugi znak enakosti trikotnikov, trikotnika 3 in 4 sta enaka. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost elementov, in sicer krakov (označeni so modro oziroma rdeče).
Zdaj pa pozor! Če mentalno "odrezamo" modre in rdeče segmente od spodnje baze, nam bo ostal segment (to je stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti. Nato, če izrezane modre in rdeče segmente "prilepimo" na zgornjo osnovo trapeza, potem bomo dobili tudi segment (to je tudi stranica pravokotnika), ki je enak srednji črti trapeza.
razumeš Izkazalo se je, da bo vsota baz enaka dvema srednjima črtama trapeza:
Oglejte si drugo razlago
Naredimo naslednje - zgradimo ravno črto, ki poteka skozi spodnjo osnovo trapeza, in ravno črto, ki bo potekala skozi točki A in B:
Dobimo trikotnika 1 in 2, enaka sta vzdolž stranic in sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov). To pomeni, da je dobljeni segment (na skici označen z modro) enak zgornji podlagi trapeza.
Zdaj razmislite o trikotniku:
*Srednja črta tega trapeza in sredinska črta trikotnika sovpadata.
Znano je, da je trikotnik enak polovici vzporedne osnove, to je:
V redu, smo ugotovili. Zdaj o območju trapeza.
Formula površine trapeza:
Pravijo: površina trapeza je enaka produktu polovice vsote njegovih baz in višine.
Se pravi, izkaže se, da je enak produktu središčne črte in višine:
Verjetno ste že opazili, da je to očitno. Geometrično lahko to izrazimo takole: če v mislih odrežemo trikotnika 2 in 4 od trapeza in ju postavimo na trikotnika 1 oziroma 3:
Nato dobimo pravokotnik v območju enako površini naš trapez. Površina tega pravokotnika bo enaka zmnožku središčne črte in višine, kar pomeni, da lahko zapišemo:
Ampak tukaj seveda ni bistvo v pisavi, ampak v razumevanju.
Prenesite (oglejte si) material članka v *pdf formatu
To je vse. Vso srečo!
Lep pozdrav Aleksander.
Navodila
Da bosta obe metodi bolj razumljivi, lahko navedemo nekaj primerov.
Primer 1: dolžina srednje črte trapeza je 10 cm, njegova ploščina je 100 cm². Če želite najti višino tega trapeza, morate narediti:
h = 100/10 = 10 cm
Odgovor: višina tega trapeza je 10 cm
Primer 2: površina trapeza je 100 cm², dolžini osnove sta 8 cm in 12 cm. Da bi našli višino tega trapeza, morate izvesti naslednje dejanje:
h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm
Odgovor: višina tega trapeza je 20 cm
Prosimo, upoštevajte
Obstaja več vrst trapeza:
Enakokraki trapez je trapez, pri katerem sta stranici enaki.
Pravokotni trapez je trapez, pri katerem eden od njegovih notranjih kotov meri 90 stopinj.
Omeniti velja, da v pravokotnem trapezu višina sovpada z dolžino stranice, ko pravi kot.
Okoli trapeza lahko narišete krog ali ga vstavite znotraj dane figure. Krog lahko vpišete le, če je vsota njegovih osnov enaka vsoti njegovih nasprotnih stranic. Krožnico lahko opišemo le okoli enakokrakega trapeza.
Paralelogram je poseben primer trapeza, ker definicija trapeza ni v nasprotju z definicijo paralelograma. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta med seboj vzporedni. Za trapez definicija obravnava samo par njegovih stranic. Zato je vsak paralelogram tudi trapez. Obratna trditev ne drži.
Viri:
- kako najti območje formule trapeza
Nasvet 2: Kako najti višino trapeza, če je območje znano
Trapez je štirikotnik, v katerem sta dve od štirih stranic med seboj vzporedni. Vzporedne stranice sta osnova tega, druga dva sta strani tega trapezi. Najdi višina trapezi, če je znano kvadrat, bo zelo enostavno.
Navodila
Ugotoviti morate, kako izračunati kvadrat original trapezi. Za to obstaja več formul, odvisno od začetnih podatkov: S = ((a+b)*h)/2, kjer sta a in b bazi trapezi, in h je njegova višina (Višina trapezi- pravokotno, spuščeno z ene podlage trapezi drugemu);
S = m*h, kjer je m črta trapezi(Srednja črta je segment z bazami trapezi in povezuje središča njegovih stranic).
Da bi bilo bolj jasno, lahko obravnavamo podobne probleme: Primer 1: Podan je trapez z kvadrat 68 cm², katere srednja črta je 8 cm, morate najti višina dano trapezi. Če želite rešiti to težavo, morate uporabiti predhodno izpeljano formulo:
h = 68/8 = 8,5 cm Odgovor: višina tega trapezi je 8,5 cmPrimer 2: Naj bo y trapezi kvadrat je enaka 120 cm², dolžina osnov tega trapezi 8 cm oziroma 12 cm, morate najti višina to trapezi. Če želite to narediti, morate uporabiti eno od izpeljanih formul:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmOdgovor: dana višina trapezi enako 12 cm
Video na temo
Prosimo, upoštevajte
Vsak trapez ima številne lastnosti:
Vzdolžina trapeza je enaka polovici vsote njegovih osnov;
Odsek, ki povezuje diagonali trapeza, je enak polovici razlike njegovih baz;
Če je ravna črta narisana skozi središča baz, potem bo sekala presečišče diagonal trapeza;
Trapezu lahko včrtamo krog, če je vsota osnov trapeza enaka vsoti njegovih stranic.
Uporabite te lastnosti pri reševanju problemov.
Nasvet 3: Kako najti območje trapeza, če so osnove znane
Avtor: geometrijska definicija Trapez je štirikotnik s samo enim parom stranic, ki sta vzporedna. Te strani so njene razlogov. Razdalja med razlogov imenovana višina trapezi. Najdi kvadrat trapezi možna uporaba geometrijske formule.
Navodila
Izmerite baze in trapezi ABCD. Ponavadi so podani v nalogah. Spusti noter v tem primeru fundacija nalog AD (a) trapezi bo enaka 10 cm, osnova BC (b) - 6 cm, viš trapezi BK (h) - 8 cm Uporabite geometrijo za iskanje površine trapezi, če so znane dolžine njenih osnov in višine - S= 1/2 (a+b)*h, kjer je: - a - velikost osnovice AD trapezi ABCD, - b - vrednost osnove BC, - h - vrednost višine BK.
Praksa lanskega enotnega državnega izpita in državnega izpita kaže, da težave z geometrijo mnogim šolarjem povzročajo težave. Z njimi se zlahka spopadete, če si zapomnite vse potrebne formule in vadite reševanje problemov.
V tem članku boste videli formule za iskanje območja trapeza, pa tudi primere težav z rešitvami. Na iste lahko naletite v KIM-ih med certifikacijskimi izpiti ali na olimpijadah. Zato z njimi ravnajte previdno.
Kaj morate vedeti o trapezu?
Za začetek si zapomnimo to trapez imenujemo štirikotnik, pri katerem sta dve nasprotni stranici, imenovani tudi osnovici, vzporedni, drugi dve pa nista.
V trapezu lahko višino (pravokotno na osnovo) tudi znižamo. Narisana je srednja črta - to je ravna črta, ki je vzporedna z bazami in je enaka polovici njihove vsote. Kot tudi diagonale, ki se lahko sekajo in tvorijo ostre in tupe kote. Ali v nekaterih primerih pod pravim kotom. Poleg tega, če je trapez enakokrak, lahko vanj vpišemo krog. In okoli njega opišite krog.
Formule ploščine trapeza
Najprej si oglejmo standardne formule za iskanje območja trapeza. Spodaj bomo obravnavali načine za izračun površine enakokrakih in krivuljnih trapezov.
Predstavljajte si torej, da imate trapez z osnovama a in b, v katerem je višina h spuščena na večjo osnovo. Izračun površine figure je v tem primeru tako enostaven kot luščenje hrušk. Samo vsoto dolžin baz delite z dvema in rezultat pomnožite z višino: S = 1/2(a + b)*h.
Vzemimo drug primer: predpostavimo, da je v trapezu poleg višine še srednja črta m. Poznamo formulo za iskanje dolžine srednjice: m = 1/2(a + b). Zato lahko formulo za območje trapeza upravičeno poenostavimo na naslednjo obliko: S = m* h. Z drugimi besedami, da bi našli območje trapeza, morate središčnico pomnožiti z višino.
Razmislimo o drugi možnosti: trapez vsebuje diagonali d 1 in d 2, ki se ne sekata pod pravim kotom α. Če želite izračunati površino takšnega trapeza, morate produkt diagonal razdeliti na dva in rezultat pomnožiti s grehom kota med njimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Zdaj razmislite o formuli za iskanje območja trapeza, če o njem ni znano nič, razen dolžin vseh njegovih strani: a, b, c in d. To je okorna in zapletena formula, vendar vam bo koristno, da si jo zapomnite za vsak slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Mimogrede, zgornji primeri veljajo tudi za primer, ko potrebujete formulo za območje pravokotnega trapeza. To je trapez, katerega stranica meji na osnove pod pravim kotom.
Enakokraki trapez
Trapez, katerega stranice so enake, se imenuje enakokrak. Razmislili bomo o več možnostih formule za območje enakokrakega trapeza.
Prva možnost: za primer, ko je v enakokraki trapez vpisan krog s polmerom r, stranica in večja osnova pa tvorita ostri kot α. V trapez lahko vpišemo krog, če je vsota dolžin njegovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.
Ploščino enakokrakega trapeza izračunamo na naslednji način: pomnožimo kvadrat polmera včrtanega kroga s štiri in vse delimo s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseben primer za možnost, ko je kot med veliko osnovo in stranico 30 0: S = 8r2.
Druga možnost: tokrat vzamemo enakokraki trapez, v katerem sta poleg tega narisani diagonali d 1 in d 2 ter višina h. Če sta diagonali trapeza medsebojno pravokotni, je višina polovica vsote osnov: h = 1/2(a + b). Če veste to, je formulo za območje trapeza, ki vam je že znano, enostavno preoblikovati v to obliko: S = h 2.
Formula za območje ukrivljenega trapeza
Začnimo z ugotavljanjem, kaj je ukrivljeni trapez. Predstavljajte si koordinatno os in graf zvezne in nenegativne funkcije f, ki znotraj danega segmenta na osi x ne spremeni predznaka. Krivočrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu je os x spodaj (segment), na straneh pa ravne črte, narisane med točkama a in b ter grafom funkcijo.
Z zgornjimi metodami je nemogoče izračunati površino takšne nestandardne figure. Tukaj morate uporabiti matematično analizo in uporabiti integral. Namreč: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tej formuli je F antiodvod naše funkcije na izbranem segmentu. In območje krivuljnega trapeza ustreza prirastku antiderivacije na danem segmentu.
Vzorčne težave
Da bi vse te formule lažje razumeli v vaši glavi, je tukaj nekaj primerov težav za iskanje površine trapeza. Najbolje bo, če težave najprej poskusite rešiti sami, šele nato primerjate prejeti odgovor z že pripravljeno rešitvijo.
Naloga #1: Podan trapez. Njegova večja osnova je 11 cm, manjša pa 4 cm. Trapez ima diagonali, ena dolga 12 cm, druga 9 cm.
Rešitev: Konstruirajte trapez AMRS. Skozi oglišče P nariši premico РХ tako, da je vzporedna z diagonalo MC in seka premico AC v točki X. Dobil boš trikotnik APХ.
Upoštevali bomo dve sliki, dobljeni kot rezultat teh manipulacij: trikotnik APX in paralelogram CMRX.
Zahvaljujoč paralelogramu izvemo, da je PX = MC = 12 cm in CX = MR = 4 cm. Od koder lahko izračunamo stranico AX trikotnika ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Prav tako lahko dokažemo, da je trikotnik APX pravokoten (za to uporabimo Pitagorov izrek - AX 2 = AP 2 + PX 2). In izračunajte njegovo ploščino: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Nato boste morali dokazati, da sta trikotnika AMP in PCX enako velika. Osnova bo enakopravnost strank MR in CX (že dokazano zgoraj). In tudi višine, ki jih spustiš na te stranice - enake so višini trapeza AMRS.
Vse to vam bo omogočilo, da rečete, da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Naloga št. 2: Podan je trapez KRMS. Na njegovih stranskih stranicah sta točki O in E, OE in KS pa sta vzporedni. Znano je tudi, da sta ploščini trapeza ORME in OKSE v razmerju 1:5. RM = a in KS = b. Najti morate OE.
Rešitev: Skozi točko M nariši premico, ki je vzporedna z RK, in točko njenega presečišča z OE označi kot T. A je presečišče premice, narisane skozi točko E vzporedno z RK, z osnovo KS.
Uvedimo še en zapis - OE = x. In tudi višina h 1 za trikotnik TME in višina h 2 za trikotnik AEC (podobnost teh trikotnikov lahko neodvisno dokažeš).
Predpostavili bomo, da je b > a. Ploščini trapeza ORME in OKSE sta v razmerju 1:5, kar nam daje pravico sestaviti naslednjo enačbo: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo in dobimo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Ker sta si trikotnika TME in AEC podobna, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Združimo oba vnosa in dobimo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Tako je OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Zaključek
Geometrija ni najlažja veda, a zagotovo ste kos izpitnim vprašanjem. Dovolj je pokazati malo vztrajnosti pri pripravi. In seveda si zapomnite vse potrebne formule.
Poskušali smo zbrati vse formule za izračun ploščine trapeza na enem mestu, da jih lahko uporabite, ko se pripravljate na izpite in obnavljate gradivo.
Ne pozabite povedati svojim sošolcem in prijateljem na družbenih omrežjih o tem članku. Naj bo več dobrih ocen za enotni državni izpit in državne izpite!
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Večstrani trapez ... Lahko je poljuben, enakokrak ali pravokoten. In v vsakem primeru morate vedeti, kako najti območje trapeza. Seveda si je najlažje zapomniti osnovne formule. Toda včasih je lažje uporabiti tisto, ki je izpeljana ob upoštevanju vseh značilnosti določene geometrijske figure.
Nekaj besed o trapezu in njegovih elementih
Vsak štirikotnik, katerega strani sta vzporedni, lahko imenujemo trapez. Na splošno nista enaki in se imenujeta baze. Večja je spodnja, druga pa zgornja.
Drugi dve strani se izkažeta za stranske. V poljubnem trapezu imajo različne dolžine. Če sta enaka, postane lik enakokrak.
Če se nenadoma izkaže, da je kot med katero koli stranjo in osnovo enak 90 stopinj, potem je trapez pravokoten.
Vse te funkcije lahko pomagajo pri reševanju problema, kako najti območje trapeza.
Med elementi figure, ki so lahko nepogrešljivi pri reševanju problemov, lahko izpostavimo naslednje:
- višina, to je segment, pravokoten na obe osnovi;
- srednja črta, ki ima na koncih središča stranskih stranic.
S katero formulo je mogoče izračunati ploščino, če sta znani osnova in višina?
Ta izraz je podan kot osnovni, ker te količine najpogosteje prepoznamo, tudi če niso eksplicitno podane. Če želite razumeti, kako najti območje trapeza, boste morali sešteti obe osnovi in ju razdeliti na dva. Nato dobljeno vrednost pomnožite z vrednostjo višine.
Če osnove označimo s črkama a 1 in a 2, višino z n, potem bo formula za območje videti takole:
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Formula za izračun ploščine, če sta podani njena višina in srednjica
Če natančno pogledate prejšnjo formulo, zlahka opazite, da jasno vsebuje vrednost srednje črte. In sicer vsota osnov, deljena z dva. Naj bo srednja črta označena s črko l, potem formula za območje postane:
S = l * n.
Sposobnost iskanja območja z uporabo diagonal
Ta metoda bo pomagala, če je znan kot, ki ga tvorijo. Recimo, da sta diagonali označeni s črkama d 1 in d 2, kota med njima pa sta α in β. Potem bo formula za iskanje območja trapeza zapisana na naslednji način:
S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.
V tem izrazu lahko enostavno zamenjate α z β. Rezultat se ne bo spremenil.
Kako najti območje, če so znane vse strani figure?
Obstajajo tudi situacije, ko so točno znane strani te figure. Ta formula je okorna in si jo je težko zapomniti. Ampak možno je. Stranici naj imata oznako: a 1 in a 2, osnova a 1 je večja od a 2. Potem bo formula površine dobila naslednjo obliko:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + v 1 2 - v 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).
Metode za izračun površine enakokrakega trapeza
Prvi je posledica dejstva, da je vanj mogoče vpisati krog. In če poznate njegov polmer (označen je s črko r), kot tudi kot na dnu - γ, lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Zadnja splošna formula, ki temelji na poznavanju vseh strani figure, bo bistveno poenostavljena zaradi dejstva, da imajo stranice enak pomen:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Metode za izračun površine pravokotnega trapeza
Jasno je, da bo kar koli od naštetega primerno za katera koli figura. Toda včasih je koristno vedeti za eno značilnost takšnega trapeza. Leži v tem, da je razlika med kvadrati dolžin diagonal enaka razliki, ki jo sestavljajo kvadrati baz.
Pogosto pozabimo formule za trapez, medtem ko se spomnimo izrazov za ploščine pravokotnika in trikotnika. Potem lahko uporabite preprosto metodo. Trapez razdelite na dve obliki, če je pravokoten, ali na tri. Eden bo zagotovo pravokotnik, drugi ali preostala dva pa trikotnika. Ko izračunamo ploščine teh likov, ostane le še, da jih seštejemo.
To je precej preprost način za iskanje površine pravokotnega trapeza.
Kaj pa, če so znane koordinate oglišč trapeza?
V tem primeru boste morali uporabiti izraz, ki vam omogoča določitev razdalje med točkami. Uporablja se lahko trikrat: da bi ugotovili obe osnovi in eno višino. In nato samo uporabite prvo formulo, ki je opisana malo višje.
Za ponazoritev te metode lahko navedemo naslednji primer. Dana so oglišča s koordinatami A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Ugotoviti morate območje figure.
Preden najdete območje trapeza, morate iz koordinat izračunati dolžine baz. Potrebovali boste naslednjo formulo:
dolžina odseka = √((razlika prvih koordinat točk) 2 + (razlika drugih koordinat točk) 2 ).
Zgornja osnova je označena z AB, kar pomeni, da bo njena dolžina enaka √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Spodnja je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Zdaj morate narisati višino od vrha do podnožja. Naj bo njen začetek v točki A. Konec odseka bo na spodnji osnovi v točki s koordinatami (5; 1), naj bo to točka H. Dolžina odseka AN bo enaka √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Vse, kar ostane, je nadomestiti dobljene vrednosti v formulo za območje trapeza:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problem smo rešili brez merskih enot, ker ni bilo podano merilo koordinatne mreže. Lahko je milimeter ali meter.
Vzorčne težave
Št. 1. Pogoj. Znan je kot med diagonalama poljubnega trapeza, ki je enak 30 stopinj. Manjša diagonala ima vrednost 3 dm, druga pa 2-krat večja. Potrebno je izračunati površino trapeza.
rešitev. Najprej morate ugotoviti dolžino druge diagonale, ker brez tega ne bo mogoče izračunati odgovora. Ni težko izračunati, 3 * 2 = 6 (dm).
Zdaj morate uporabiti ustrezno formulo za območje:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem je rešen.
odgovor: Ploščina trapeza je 4,5 dm2.
Št. 2. Pogoj. V trapezu ABCD sta osnovici odseki AD in BC. Točka E je sredina stranice SD. Iz nje je narisana pravokotna črta AB, konec tega segmenta je označen s črko H. Znano je, da sta dolžini AB in EH enaki 5 oziroma 4 cm. Izračunati je treba površino trapez.
rešitev. Najprej morate narediti risbo. Ker je vrednost navpičnice manjša od strani, na katero je narisana, bo trapez nekoliko podolgovat navzgor. EH bo torej znotraj figure.
Če želite jasno videti napredek pri reševanju težave, boste morali izvesti dodatno gradnjo. Nariši namreč premico, ki bo vzporedna s stranico AB. Presečišča te premice z AD so P, z nadaljevanjem BC pa X. Dobljeni lik VHRA je paralelogram. Poleg tega je njegova površina enaka zahtevani. To je posledica dejstva, da so trikotniki, dobljeni med dodatno gradnjo, enaki. To izhaja iz enakosti stranice in dveh kotov, ki mejijo nanjo, enega navpičnega, drugega pa navzkrižno.
Območje paralelograma lahko najdete s formulo, ki vsebuje produkt stranice in višine, spuščene nanjo.
Tako je površina trapeza 5 * 4 = 20 cm 2.
odgovor: S = 20 cm 2.
Št. 3. Pogoj. Elementi enakokrakega trapeza imajo naslednje vrednosti: spodnja osnova - 14 cm, zgornja - 4 cm, ostri kot - 45º. Izračunati morate njegovo površino.
rešitev. Naj bo manjša osnova označena z BC. Višino, narisano iz točke B, bomo imenovali VH. Ker je kot 45º, bo trikotnik ABH pravokoten in enakokrak. Torej AN=VN. Poleg tega je AN zelo enostavno najti. Enak je polovici razlike v bazah. To je (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Osnove so znane, višine izračunane. Prvo formulo, o kateri smo tukaj razpravljali, lahko uporabite za poljuben trapez.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
odgovor: Zahtevana površina je 45 cm 2.
Št. 4. Pogoj. Obstaja poljuben trapez ABCD. Na njegovih stranskih stranicah sta vzeti točki O in E, tako da je OE vzporedna z vznožico AD. Površina trapeza AOED je petkrat večja od površine OVSE. Izračunajte vrednost OE, če so znane dolžine osnov.
rešitev. Narisati boste morali dve vzporedni črti AB: prvo skozi točko C, njeno presečišče z OE - točko T; drugi skozi E in točka presečišča z AD bo M.
Naj bo neznanka OE=x. Višina manjšega trapeza OVSE je n 1, večjega AOED pa n 2.
Ker sta ploščini teh dveh trapezov povezani kot 1 proti 5, lahko zapišemo naslednjo enakost:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Višine in stranice trikotnikov so konstrukcijsko sorazmerne. Zato lahko zapišemo še eno enakost:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
V zadnjih dveh vnosih na levi strani sta enaki vrednosti, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je (x + a 1) / (5(x + a 2)) enako (x - a 2) / (a 1 - x).
Tu so potrebne številne transformacije. Najprej pomnožite navzkrižno. Pojavili se bodo oklepaji, ki označujejo razliko kvadratov, po uporabi te formule boste dobili kratko enačbo.
V njem morate odpreti oklepaje in premakniti vse izraze z neznanim "x" na leva stran, nato pa izvlecite kvadratni koren.
Odgovori: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).