Krog je geometrijska figura, ki se pozna v predšolska starost. Kasneje boste spoznali njegove lastnosti in značilnosti. Če oglišča poljubnega mnogokotnika ležijo na krogu in se sama figura nahaja znotraj njega, potem imate v krogu vpisano geometrijsko figuro.
Koncept polmera označuje razdaljo od katere koli točke na krogu do njegovega središča. Slednji se nahaja na presečišču pravokotnic na vsako stran poligona. Ko smo se odločili za terminologijo, razmislimo o izrazih, ki bodo pomagali najti polmer za katero koli vrsto poligona.
Kako najti polmer opisanega kroga - pravilni mnogokotnik
Ta figura ima lahko poljubno število oglišč, vendar so vse njene stranice enake. Da bi našli polmer kroga, v katerem je postavljen pravilen mnogokotnik, je dovolj, da poznate število strani figure in njihovo dolžino.
R = b/2sin(180°/n),
b – stranska dolžina,
n je število oglišč (ali stranic) figure.
Podana relacija za primer šesterokotnika bo imela naslednjo obliko:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.
Kako najti polmer kroga pravokotnika
Če je štirikotnik v krogu, ki ima 2 para vzporednih stranic in notranje kote 90°, bo presečišče diagonal mnogokotnika njegovo središče. Z uporabo pitagorejske relacije in lastnosti pravokotnika dobimo izraze, potrebne za iskanje polmera:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – stranice pravokotnika,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer okroglega kroga - kvadrata
V krog postavite kvadrat. Slednji je pravilen mnogokotnik s 4 stranicami. Ker Ker je kvadrat poseben primer pravokotnika, so tudi njegove diagonale v presečišču razdeljene na pol.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – stranica kvadrata,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer opisanega kroga - enakokrakega trapeza
Če je trapez postavljen v krog, morate za določitev polmera poznati dolžine njegovih stranic in diagonalo.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – stranice trapeza,
d je njegova diagonala.
Kako najti polmer opisanega kroga - trikotnika
Prosti trikotnik
- Za določitev polmera kroga, ki opisuje trikotnik, je dovolj, da poznate velikost njegovih strani.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – stranice trikotnika. - Če je stranska dolžina znana in stopenjska mera kot nasproti njega, potem se polmer določi na naslednji način:
Za trikotnik MLK
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
M, L, K – njeni koti (oglišča). - Glede na površino figure lahko izračunate tudi polmer kroga, v katerem je postavljena:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – stranice trikotnika,
S je njegovo območje.
Enakokraki trikotnik
Če je trikotnik enakokrak, sta njegovi strani enaki. Pri opisovanju takšne figure je polmer mogoče najti z naslednjim razmerjem:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), vendar je m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – stranice trikotnika.
Pravokotni trikotnik
Če je eden od kotov trikotnika pravi in je okrog figure obkrožen krog, bo za določitev dolžine polmera slednjega potrebna prisotnost znanih strani trikotnika.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – noge,
k – hipotenuza.
Prva stopnja
Opisani krog. Vizualni vodnik (2019)
Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: kaj je opisano – okoli česa?
No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli, a mi bomo govorili o krogu, ki je opisan okoli (včasih rečejo tudi "približno") trikotnika. Kaj je to?
In samo predstavljajte si, zgodi se neverjetno dejstvo:
Zakaj je to dejstvo presenetljivo?
Toda trikotniki so različni!
In za vsakega obstaja krog, ki ga bo šel skozi skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.
Dokaz za to neverjetno dejstvo lahko najdete v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem ne bo za vsakogar krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Na primer, paralelogram je odličen štirikotnik, vendar noben krog ne poteka skozi vsa njegova štiri oglišča!
In obstaja samo za pravokotnik:
Izvoli, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.
Ali veš kaj je to pravokotna simetrala?
Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če na stranice trikotnika upoštevamo kar tri pravokotne simetrale.
Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da vse tri navpičnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri pravokotne simetrale se sekajo v eni točki.
Ali menite, da je središče opisane krožnice vedno znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!
Ampak če ostrokoten, nato - znotraj:
Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?
In z dodatnim bonusom:
Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: čemu je ta enak za poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.
namreč:
In seveda,
1. Eksistenca in središče kroga
Tu se pojavi vprašanje: ali tak krog obstaja za vsak trikotnik? Izkazalo se je, da da, za vse. In poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje se nahaja središče opisanega kroga.
Poglej, takole:
Bodimo pogumni in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "" in razumeli, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, potem vam bo lažje, če pa je niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo to ugotovili.
Dokaz bomo izvedli s konceptom geometrijskega mesta točk (GMT).
No, na primer, ali je množica kroglic "geometrično mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, ki lahko govori? Tudi ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer resnične "geometrijske lokacije točk". Pri geometriji je lažje. Tukaj je na primer točno to, kar potrebujemo:
Tu je množica pravokotna simetrala, lastnost " " pa je "biti enako oddaljen (točka) od koncev segmenta."
Naj preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:
- Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, se nahaja na simetrali, ki je pravokotna nanj.
Povežimo c in c. Potem je premica srednjica in višina b. To pomeni - enakokraki - pazili smo, da je vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, enako oddaljena od točk in.
Vzemimo sredino in povežimo in. Rezultat je mediana. Toda glede na pogoj ni enakokraka samo mediana, ampak tudi višina, to je pravokotna simetrala. To pomeni, da točka natančno leži na simetrali pravokotnice.
Vse! Dejstvo smo v celoti preverili Simetrala odseka je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.
Vse lepo in prav, a smo pozabili na opisani krog? Nikakor, samo pripravili smo si »odskočno desko za napad«.
Razmislite o trikotniku. Narišimo dve bisektoralni navpičnici in, recimo, na segmente in. Sekala se bosta na neki točki, ki jo bomo poimenovali.
Zdaj pa bodite pozorni!
Točka leži na simetrali pravokotnice;
točka leži na simetrali pravokotnice.
In to pomeni, in.
Iz tega sledi več stvari:
Prvič, točka mora ležati na tretji simetrali, pravokotni na segment.
To pomeni, da mora skozi točko potekati tudi simetrala pravokotnice in vse tri simetrale se sekajo v eni točki.
Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, potem bo tudi ta krog potekal skozi točko in točko, torej bo opisani krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za vsak trikotnik.
In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno (skoraj) je, da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" bomo pustili za vaš razmislek. Torej smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!"
Kaj pa, če je v nalogi "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, radij je podan, vendar morate najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?
Prosimo, upoštevajte: sinusni izrek pravi, da da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (poljubno!) in njej nasprotni kot. To je vse!
3. Središče kroga - znotraj ali zunaj
Zdaj se postavlja vprašanje: ali lahko leži središče opisanega kroga zunaj trikotnika?
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega se to vedno zgodi v tupokotnem trikotniku.
In na splošno:
KROŽNI KROG. NA KRATKO O GLAVNEM
1. Okoli trikotnika opisan krog
To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.
2. Eksistenca in središče kroga
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 999 rubljev.
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
V drugem primeru vam bomo dali simulator "6000 problemov z rešitvami in odgovori, za vsako temo, na vseh ravneh zahtevnosti." Zagotovo bo dovolj, da se lotite reševanja problemov na katero koli temo.
Pravzaprav je veliko več kot le simulator - celoten program priprava. Po potrebi ga lahko uporabljate tudi BREZPLAČNO.
Dostop do vseh besedil in programov je zagotovljen za CELOTNO obdobje obstoja strani.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Kako najti polmer kroga? To vprašanje je vedno pomembno za šolarje, ki študirajo planimetrijo. Spodaj si bomo ogledali nekaj primerov, kako se lahko spopadete s to nalogo.
Glede na pogoje problema lahko polmer kroga najdete takole.
Formula 1: R = L / 2π, kjer je L in π konstanta, enaka 3,141...
Formula 2: R = √(S / π), kjer je S območje kroga.
Formula 1: R = B/2, kjer je B hipotenuza.
Formula 2: R = M*B, kjer je B hipotenuza, M pa ji narisana mediana.
Kako najti polmer kroga, če je opisan okoli pravilnega mnogokotnika
Formula: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), kjer je A dolžina ene od stranic figure, n pa število stranic te geometrijske figure.
Kako najti polmer včrtanega kroga
Včrtana krožnica se imenuje, ko se dotika vseh strani mnogokotnika. Poglejmo si nekaj primerov.
Formula 1: R = S / (P/2), kjer sta - S in P površina oziroma obseg figure.
Formula 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), kjer je P obseg, A dolžina ene od stranic in kot na tej strani.
Kako najti polmer kroga, če je vpisan v pravokotni trikotnik
Formula 1:
Polmer kroga, ki je vpisan v romb
Krog lahko vpišemo v vsak romb, tako enakostranični kot neenakostranični.
Formula 1: R = 2 * H, kjer je H višina geometrijski lik.
Formula 2: R = S / (A*2), kjer je S in A dolžina njegove stranice.
Formula 3: R = √((S * sin A)/4), kjer je S ploščina romba, sin A pa sinus ostri kot tega geometrijskega lika.
Formula 4: R = B*G/(√(B² + G²), kjer sta B in G dolžini diagonal geometrijskega lika.
Formula 5: R = B*sin (A/2), kjer je B diagonala romba, A pa kot pri ogliščih, ki povezujeta diagonalo.
Polmer kroga, včrtanega v trikotnik
Če so vam v nalogi naloge podane dolžine vseh strani figure, najprej izračunajte (P), nato pa še polobod (p):
P = A+B+C, kjer so A, B, C dolžine stranic geometrijskega lika.
Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).
In če vam je ob poznavanju istih treh strani dana tudi ena, potem lahko zahtevani polmer izračunate na naslednji način.
Formula 2: R = S * 2 (A + B + C)
Formula 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), kjer je - n polobod geometrijskega lika.
Formula 4: R = (n - A) * tan (A/2), kjer je n polobseg trikotnika, A ena od njegovih stranic in tg (A/2) tangens polovice kota nasproti te strani.
In spodnja formula vam bo pomagala najti polmer kroga, ki je vpisan vanj
Formula 5: R = A * √3/6.
Polmer kroga, ki je vpisan v pravokotni trikotnik
Če problem poda dolžine nog, pa tudi hipotenuzo, se polmer včrtanega kroga določi na naslednji način.
Formula 1: R = (A+B-C)/2, kjer sta A, B kateta, C je hipotenuza.
V primeru, da imate samo dve nogi, je čas, da se spomnite Pitagorejskega izreka, da bi našli hipotenuzo in uporabili zgornjo formulo.
C = √(A²+B²).
Polmer kroga, ki je vpisan v kvadrat
Krožnica, ki je včrtana v kvadrat, deli vse 4 njegove stranice na stičnih točkah točno na pol.
Formula 1: R = A/2, kjer je A dolžina stranice kvadrata.
Formula 2: R = S / (P/2), kjer sta S in P površina oziroma obseg kvadrata.
Tema "Včrtani in opisani krogi v trikotnike" je ena najtežjih v tečaju geometrije. Pri pouku preživi zelo malo časa.
Geometrijski problemi te teme so vključeni v drugi del izpitna naloga Enotni državni izpit na tečaj Srednja šola. Za uspešno dokončanje teh nalog potrebujete trdno znanje osnovna geometrijska dejstva in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijskih problemov.
Za vsak trikotnik je samo en opisan krog. To je krog, na katerem ležijo vsa tri oglišča trikotnika z danimi parametri. Iskanje njegovega polmera bo morda potrebno ne le pri lekciji geometrije. S tem se morajo nenehno ukvarjati oblikovalci, rezkarji, mehaniki in predstavniki številnih drugih poklicev. Da bi našli njegov polmer, morate poznati parametre trikotnika in njegove lastnosti. Središče opisanega kroga je v presečišču simetral pravokotnic trikotnika.
Predstavljam vam vse formule za iskanje polmera opisanega kroga in ne samo trikotnika. Formule za včrtani krog si lahko ogledate.
a, b. z - stranice trikotnika
α -
nasprotni kota,
S-območje trikotnika,
p- polobod
Nato najdemo polmer ( R) opisanega kroga z uporabo formul:
Po drugi strani pa se lahko površina trikotnika izračuna z eno od naslednjih formul:
Tukaj je še nekaj formul.
1. Polmer opisanega kroga je približno navaden trikotnik. če a stran trikotnika torej
2. Polmer okoli enakokrakega trikotnika opisane krožnice. Pustiti a, b- stranice trikotnika, torej
Polmer je odsek, ki povezuje katero koli točko na krogu z njegovim središčem. To je ena najpomembnejših značilnosti te figure, saj je na njeni podlagi mogoče izračunati vse druge parametre. Če veste, kako najti polmer kroga, lahko izračunate njegov premer, dolžino in ploščino. V primeru, ko je določena figura včrtana ali opisana okoli druge, lahko tudi rešite cela linija naloge. Danes si bomo ogledali osnovne formule in značilnosti njihove uporabe.
Znane količine
Če veste, kako najti polmer kroga, ki je običajno označen s črko R, potem ga je mogoče izračunati z eno karakteristiko. Te vrednosti vključujejo:
- obseg (C);
- premer (D) - segment (ali bolje rečeno tetiva), ki poteka skozi središče;
- površina (S) - prostor, ki ga omejuje določena figura.
Obseg
Če je v problemu znana vrednost C, potem je R = C / (2 * P). Ta formula je izpeljanka. Če vemo, kolikšen je obseg, se nam tega ni treba več spominjati. Predpostavimo, da je v nalogi C = 20 m. Kako najti polmer kroga v tem primeru? Preprosto nadomestimo znano vrednost v zgornjo formulo. Upoštevajte, da je pri takšnih nalogah vedno implicirano poznavanje števila P. Za udobje izračunov vzamemo njegovo vrednost kot 3,14. Rešitev v tem primeru izgleda takole: zapišemo, katere količine so podane, izpeljemo formulo in izvedemo izračune. V odgovoru zapišemo, da je polmer 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Pomembno je, da ne pozabimo, kaj smo izračunali, in omenimo imena merskih enot.
Po premeru
Naj takoj poudarimo, da je to najenostavnejša vrsta problema, ki sprašuje, kako najti polmer kroga. Če ste na testu naleteli na tak primer, ste lahko mirni. Tukaj sploh ne potrebujete kalkulatorja! Kot smo že povedali, je premer segment ali, pravilneje, tetiva, ki poteka skozi središče. V tem primeru so vse točke kroga enako oddaljene. Zato je ta akord sestavljen iz dveh polovic. Vsak od njih je polmer, kar izhaja iz njegove definicije kot segmenta, ki povezuje točko na krogu in njegovo središče. Če je premer v problemu znan, morate za iskanje polmera to vrednost preprosto razdeliti na dva. Formula je naslednja: R = D / 2. Na primer, če je premer v problemu 10 m, potem je polmer 5 metrov.
Po površini kroga
Ta vrsta težav se običajno imenuje najtežja. To je predvsem posledica nepoznavanja formule. Če v tem primeru veste, kako najti polmer kroga, potem je ostalo stvar tehnike. V kalkulatorju morate samo vnaprej poiskati ikono izračuna kvadratnega korena. Površina kroga je produkt števila P in polmera, pomnoženega s samim seboj. Formula je naslednja: S = P * R 2. Z izolacijo polmera na eni strani enačbe lahko preprosto rešite problem. Enako bo kvadratnemu korenu kvocienta površine, deljeno s številom P. Če je S = 10 m, potem je R = 1,78 metra. Kot pri prejšnjih nalogah si je pomembno zapomniti uporabljene merske enote.
Kako najti polmer kroga
Predpostavimo, da so a, b, c stranice trikotnika. Če poznate njihove vrednosti, lahko najdete polmer kroga, ki je opisan okoli njega. Če želite to narediti, morate najprej najti polobod trikotnika. Za lažje razumevanje ga označimo z malo črko p. Enak bo polovici vsote stranic. Njegova formula: p = (a + b + c) / 2.
Izračunamo tudi zmnožek dolžin stranic. Zaradi udobja ga označimo s črko S. Formula za polmer obkroženega kroga bo videti takole: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
Poglejmo primer naloge. Okoli trikotnika imamo obkrožen krog. Dolžine njegovih stranic so 5, 6 in 7 cm. Najprej izračunamo polobod. V našem problemu bo enako 9 centimetrov. Zdaj pa izračunajmo produkt dolžin stranic - 210. Rezultate vmesnih izračunov nadomestimo v formulo in ugotovimo rezultat. Polmer opisanega kroga je 3,57 centimetra. Odgovor zapišemo, ne da bi pozabili na merske enote.
Kako najti polmer včrtanega kroga
Predpostavimo, da so a, b, c dolžine stranic trikotnika. Če poznate njihove vrednosti, lahko najdete polmer kroga, ki je vanj vpisan. Najprej morate najti njegov polobod. Za lažje razumevanje ga označimo z malo črko p. Formula za izračun je naslednja: p = (a + b + c) / 2. Ta vrsta problema je nekoliko enostavnejša od prejšnje, zato niso potrebni več vmesni izračuni.
Polmer včrtanega kroga se izračuna po naslednji formuli: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Poglejmo si to konkreten primer. Recimo, da je v nalogi opisan trikotnik s stranicami 5, 7 in 10 cm, vanj je vpisan krog, katerega polmer je treba najti. Najprej najdemo polobod. V našem problemu bo enako 11 cm. Zdaj ga nadomestimo z glavno formulo. Polmer bo enak 1,65 centimetra. Odgovor si zapišemo in ne pozabimo na pravilne merske enote.
Krog in njegove lastnosti
Vsaka geometrijska figura ima svoje značilnosti. Od njihovega razumevanja je odvisna pravilnost reševanja problemov. Tudi krog jih ima. Pogosto se uporabljajo pri reševanju primerov z opisanimi ali včrtanimi figurami, saj dajejo jasno sliko takšne situacije. Med njimi:
- Ravna črta ima lahko nič, eno ali dve presečni točki s krogom. V prvem primeru se z njim ne seka, v drugem je tangenta, v tretjem je sekans.
- Če vzamete tri točke, ki ne ležijo na isti premici, potem lahko skozi njih narišete samo en krog.
- Ravna črta se lahko dotika dveh figur hkrati. V tem primeru bo šel skozi točko, ki leži na segmentu, ki povezuje središča krogov. Njegova dolžina je enaka vsoti polmerov teh številk.
- Skozi eno ali dve točki lahko narišemo neskončno število krogov.