Različne prizme se med seboj razlikujejo. Hkrati imata veliko skupnega. Če želite najti območje baze prizme, boste morali razumeti, kakšno vrsto ima.
Splošna teorija
Prizma je vsak polieder straneh ki imajo obliko paralelograma. Poleg tega je njegova osnova lahko kateri koli polieder - od trikotnika do n-kotnika. Poleg tega sta osnovici prizme med seboj vedno enaki. Kar ne velja za stranske ploskve, je, da se lahko zelo razlikujejo po velikosti.
Pri reševanju problemov se ne srečuje le območje baze prizme. Morda bo zahtevalo poznavanje stranske površine, torej vseh ploskev, ki niso baze. Celotna površina bo združitev vseh ploskev, ki sestavljajo prizmo.
Včasih so težave povezane z višino. Je pravokotna na osnove. Diagonala poliedra je odsek, ki v paru povezuje poljubni dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi.
Upoštevati je treba, da osnovno območje ravne ali nagnjene prizme ni odvisno od kota med njimi in stranskimi ploskvami. Če imata na zgornji in spodnji ploskvi enake figure, bosta njuni površini enaki.
Trikotna prizma
Na dnu ima lik s tremi oglišči, to je trikotnik. Kot veste, je lahko drugače. Če je tako, je dovolj, da se spomnite, da je njegova površina določena s polovico produkta nog.
Matematični zapis je videti takole: S = ½ av.
Če želite izvedeti območje baze v splošni pogled, bodo uporabne formule: Heron in tista, pri kateri je polovica stranice vzeta na narisano višino.
Prvo formulo je treba zapisati na naslednji način: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ta zapis vsebuje polobod (p), to je vsoto treh strani, deljeno z dva.
Drugič: S = ½ n a * a.
Če želite ugotoviti površino osnove trikotne prizme, ki je pravilna, potem se izkaže, da je trikotnik enakostranični. Za to obstaja formula: S = ¼ a 2 * √3.
Štirikotna prizma
Njegova osnova je kateri koli od znanih štirikotnikov. Lahko je pravokotnik ali kvadrat, paralelopiped ali romb. V vsakem primeru boste za izračun površine osnove prizme potrebovali svojo formulo.
Če je osnova pravokotnik, potem je njegova površina določena na naslednji način: S = ab, kjer sta a, b stranice pravokotnika.
Ko gre za štirikotno prizmo, se površina osnove pravilne prizme izračuna po formuli za kvadrat. Ker je on tisti, ki leži v temelju. S = a 2.
V primeru, da je osnova paralelepiped, bo potrebna naslednja enakost: S = a * n a. Zgodi se, da sta podana stranica paralelepipeda in eden od kotov. Nato boste za izračun višine morali uporabiti dodatno formulo: n a = b * sin A. Poleg tega kot A meji na stran "b", višina n pa nasproti tega kota.
Če je na dnu prizme romb, boste za določitev njegovega območja potrebovali isto formulo kot za paralelogram (ker je njegov poseben primer). Lahko pa uporabite tudi to: S = ½ d 1 d 2. Tukaj sta d 1 in d 2 dve diagonali romba.
Pravilna peterokotna prizma
V tem primeru gre za razdelitev mnogokotnika na trikotnike, katerih območja je lažje ugotoviti. Čeprav se zgodi, da imajo lahko figure različno število oglišč.
Ker je osnova prizme pravilen peterokotnik, jo lahko razdelimo na pet enakostraničnih trikotnikov. Potem je površina osnove prizme enaka površini enega takega trikotnika (formulo lahko vidite zgoraj), pomnoženo s pet.
Pravilna šesterokotna prizma
Z uporabo principa, opisanega za peterokotno prizmo, je možno šesterokotnik osnove razdeliti na 6 enakostraničnih trikotnikov. Formula za osnovno površino takšne prizme je podobna prejšnji. Le pomnožiti ga je treba s šest.
Formula bo videti takole: S = 3/2 a 2 * √3.
Naloge
Št. 1. Glede na pravilno ravno črto, njena diagonala je 22 cm, višina poliedra je 14 cm. Izračunajte površino osnove prizme in celotno površino.
rešitev. Osnova prizme je kvadrat, vendar njena stranica ni znana. Njegovo vrednost lahko ugotovite iz diagonale kvadrata (x), ki je povezana z diagonalo prizme (d) in njeno višino (h). x 2 = d 2 - n 2. Po drugi strani pa je ta segment "x" hipotenuza v trikotniku, katerega noge so enake strani kvadrata. To pomeni, da je x 2 = a 2 + a 2. Tako se izkaže, da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Zamenjajte številko 22 namesto d in zamenjajte "n" z njegovo vrednostjo - 14, izkaže se, da je stranica kvadrata 12 cm. Zdaj samo ugotovite površino osnove: 12 * 12 = 144 cm 2.
Če želite izvedeti površino celotne površine, morate dvakrat dodati osnovno površino in štirikrat povečati stransko površino. Slednje je mogoče zlahka najti s formulo za pravokotnik: pomnožite višino poliedra in stranico osnove. To je 14 in 12, to število bo enako 168 cm 2. Skupna površina prizme se izkaže za 960 cm 2.
Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Celotna površina je 960 cm 2.
Št. 2. Podano Na dnu je trikotnik s stranico 6 cm. V tem primeru je diagonala stranske ploskve 10 cm.
rešitev. Ker je prizma pravilna, je tudi njena osnova enakostranični trikotnik. Zato se izkaže, da je njegova ploščina 6 na kvadrat, pomnožena z ¼ in kvadratni koren iz 3. Preprost izračun vodi do rezultata: 9√3 cm 2. To je površina ene baze prizme.
Vse stranski obrazi sta enaka in sta pravokotnika s stranicama 6 in 10 cm. Za izračun njunih ploščin je dovolj, da ti številki pomnožimo. Nato jih pomnožite s tri, saj ima prizma točno toliko stranskih ploskev. Nato se površina stranske površine rane izkaže za 180 cm 2.
Odgovori. Območja: osnova - 9√3 cm 2, stranska površina prizme - 180 cm 2.
Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, potrebne za uspeh opravljanje enotnega državnega izpita pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!
Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.
Vsa potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.
Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.
Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. teorija, referenčno gradivo, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za rešitev kompleksne naloge 2 dela enotnega državnega izpita.
Opredelitev. Prizma je polieder, katerega vsa oglišča se nahajajo v dveh vzporednih ravninah in v teh dveh ravninah ležita dve ploskvi prizme, ki sta enaka poligona z oz. vzporedne stranice, in vsi robovi, ki ne ležijo v teh ravninah, so vzporedni.
Dva enaki obrazi se imenujejo baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Vse druge ploskve prizme imenujemo stranski obrazi(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Oblikujejo se vse stranske ploskve stransko površino prizme .
Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami .
Robovi, ki ne ležijo na osnovi, se imenujejo stranski robovi prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Diagonala prizme je segment, katerega konca sta dve oglišči prizme, ki ne ležita na isti ploskvi (AD 1).
Dolžina odseka, ki povezuje osnovici prizme in je pravokotna na obe osnovi hkrati, se imenuje višina prizme .
Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najprej so v vrstnem redu prečkanja označena oglišča ene baze, nato pa v istem vrstnem redu oglišča druge; konci vsakega stranskega roba so označeni z enakimi črkami, le oglišča, ki ležijo v eni bazi so označeni s črkami brez indeksa, v drugi pa z indeksom)
Ime prizme je povezano s številom kotov v sliki, ki leži na njenem dnu, na primer na sliki 1 je na dnu peterokotnik, zato se prizma imenuje peterokotna prizma. Ampak ker ima taka prizma 7 ploskev, potem jo heptaeder(2 ploskvi - osnove prizme, 5 ploskev - paralelogrami, - njene stranske ploskve)
Med ravnimi prizmami izstopa posebna vrsta: navadne prizme.
Ravna prizma se imenuje pravilno,če so njegove osnove pravilni mnogokotniki.
Paralelepiped
Paralelepiped je štirikotna prizma, na dnu katere leži paralelogram (nagnjen paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na ravnine osnove.Pravokotni paralelopiped- pravi paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik.
Lastnosti in izreki:
Nekatere lastnosti paralelopipeda so podobne znanim lastnostim paralelograma. Imenuje se pravokotni paralelopiped, ki ima enake dimenzije kocka
.Kocka ima vse enake kvadrate. Diagonalni kvadrat, enaka vsoti kvadratov svojih treh dimenzij 
,
kjer je d diagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.
Zamisel o prizmi je podana z:
- različne arhitekturne strukture;
- otroške igrače;
- škatle za pakiranje;
- dizajnerski predmeti itd.
Območje celotne in stranske površine prizme
Skupna površina prizme je vsota ploščin vseh njegovih ploskev Bočna površina se imenuje vsota površin njegovih stranskih ploskev. Osnovi prizme sta enaka mnogokotnika, potem sta njuni ploščini enaki. zatoS polno = S stran + 2S glavno,
kje S poln- skupna površina, S stran- bočna površina, S osnova- osnovna površina
Stranska površina ravne prizme je enaka zmnožku obsega osnove in višine prizme.
S stran= P osnovni * h,
kje S stran- območje stranske površine ravne prizme,
P main - obod osnove ravne prizme,
h je višina ravne prizme, enaka stranskemu robu.
Prostornina prizme
Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
Mnogokotnika ABCDE in FHKMP, ki ležita v vzporednih ravninah, imenujemo osnove prizme, navpičnica OO 1, spuščena iz katere koli točke osnove na ravnino druge, se imenuje višina prizme. Paralelogrami ABHF, BCKH itd. se imenujejo stranske ploskve prizme, njihove stranice SC, DM itd., ki povezujejo ustrezna oglišča baz, pa se imenujejo stranski robovi. V prizmi so vsi stranski robovi med seboj enaki kot odseki vzporednih ravnin, zaprtih med vzporednima ravninama.
Prizma se imenuje ravna črta ( Slika 282, b) ali poševno ( Slika 282, c) glede na to, ali so njegova stranska rebra pravokotna ali nagnjena na podlage. Ravna prizma ima pravokotne stranske ploskve. Višino takšne prizme lahko vzamemo kot stransko rebro.
Pravilna prizma se imenuje pravilna, če sta njeni osnovi pravilni mnogokotnik. V taki prizmi so vse stranske ploskve enaki pravokotniki.
Če želite prikazati prizmo na kompleksni risbi, morate poznati in znati upodobiti elemente, iz katerih je sestavljena (točka, ravna črta, ravna figura).
in njihova podoba v kompleksni risbi (sl. 283, a - i)
a) Kompleksna risba prizme. Osnova prizme se nahaja na projekcijski ravnini P 1; ena od stranskih ploskev prizme je vzporedna s projekcijsko ravnino P 2.
b) Blizu dna prizme DEF - ravna figura - navaden trikotnik, ki se nahaja v ravnini P 1; stranica trikotnika DE je vzporedna z osjo x 12 - vodoravna projekcija se zlije z dano osnovo in je zato enaka njeni naravni velikosti; Čelna projekcija se zlije z osjo x 12 in je enaka stranici baze prizme.
c) Zgornja osnova prizme ABC je ravna figura - trikotnik, ki se nahaja v vodoravni ravnini. Vodoravna projekcija se zlije s projekcijo spodnje baze in jo prekriva, saj je prizma ravna; čelna projekcija - ravna, vzporedna z osjo x 12, na razdalji višine prizme.
d) Stranska ploskev prizme ABED je ploščat lik - pravokotnik, ki leži v čelni ravnini. Čelna projekcija - pravokotnik, ki je enak naravni velikosti obraza; vodoravna projekcija je ravna črta, ki je enaka stranici baze prizme.
e) in f) Stranske ploskve prizem ACFD in CBEF so ravne figure - pravokotniki, ki ležijo v vodoravnih projekcijskih ravninah, ki se nahajajo pod kotom 60 ° na projekcijsko ravnino P 2. Horizontalne projekcije so ravne črte, ki se nahajajo na osi x 12 pod kotom 60° in so enake naravni velikosti stranic baze prizme; čelne projekcije so pravokotniki, katerih slika je manjša od naravne velikosti: dve stranici vsakega pravokotnika sta enaki višini prizme.
g) Rob AD prizme je premica, pravokotna na projekcijsko ravnino P 1. Horizontalna projekcija - točka; čelno - ravno, pravokotno na os x 12, enako stranskemu robu prizme (višina prizme).
h) Stranica AB zgornje osnovke je ravna, vzporedna z ravninama P 1 in P 2. Horizontalna in čelna projekcija sta ravni, vzporedni z osjo x 12 in enaki stranici dane osnove prizme. Čelna projekcija je odmaknjena od osi x 12 na razdalji, ki je enaka višini prizme.
i) Oglišča prizme. Točka E - vrh spodnje baze se nahaja na ravnini P 1. Vodoravna projekcija sovpada s samo točko; frontalno - leži na osi x 12 Točka C - vrh zgornje baze - se nahaja v prostoru. Horizontalna projekcija ima globino; čelna - višina enaka višini te prizme.
Iz tega sledi: Ko načrtujete polieder, ga morate miselno razdeliti na sestavne elemente in določiti vrstni red njihove predstavitve, ki je sestavljen iz zaporednih grafičnih operacij. Sliki 284 in 285 prikazujeta primere zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksna risba in vizualni prikaz (aksonometrija) prizem.
(Slika 284).
podano:
1. Osnova se nahaja na projekcijski ravnini P 1.
2. Nobena stran baze ni vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a.
Oblikujemo spodnjo osnovo - mnogokotnik, ki po pogoju leži v ravnini P1.
jaz, b.
Načrtujemo zgornjo osnovo - mnogokotnik, ki je enak spodnji osnovi s stranicami, ki so ustrezno vzporedne s spodnjo osnovo, oddaljeno od spodnje baze za višino H dane prizme.
jaz, c.
Oblikujemo stranske robove prizme - segmente, ki se nahajajo vzporedno; njihove vodoravne projekcije so točke, ki se spajajo s projekcijami oglišč baz; čelni - segmenti (vzporedni), dobljeni s povezovanjem z ravnimi črtami projekcij oglišč istoimenskih baz. Čelne projekcije reber, narisane iz projekcij oglišč B in C spodnje baze, so prikazane s črtkanimi črtami kot nevidne.
jaz, g. Podano: horizontalna projekcija F 1 točke F na zgornjo podlago in čelna projekcija K 2 točke K na stransko ploskev. Potrebno je določiti lokacije njihovih drugih projekcij. Za točko F. Druga (čelna) projekcija F 2 točke F bo sovpadala s projekcijo zgornje baze, kot točka, ki leži v ravnini te baze; njegovo mesto določa vertikalna komunikacijska linija.
Za točko K - Druga (vodoravna) projekcija K 1 točke K bo sovpadala z vodoravno projekcijo stranske ploskve, kot točka, ki leži v ravnini ploskve; njegovo mesto določa vertikalna komunikacijska linija. II. Razvoj površine prizme- ploščat lik, sestavljen iz stranskih ploskev - pravokotnikov, pri katerih sta dve strani enaki višini prizme, drugi dve pa enaki pripadajočima stranicama osnove, in iz dveh med seboj enakih osnov - nepravilnih mnogokotnikov. .
Na projekcijah so razkrite naravne dimenzije baz in stranic ploskev, ki so potrebne za gradnjo razvoja; gradimo na njih; Na ravni črti zaporedoma narišemo stranice AB, BC, CD, DE in EA mnogokotnika - osnove prizme, vzete iz
horizontalna projekcija
III. Vizualna predstavitev prizme v dimetriji.
III, a.
Spodnjo osnovo prizme upodabljamo glede na koordinate točk A, B, C, D in E (slika 284 I, a).
III, b.
Zgornjo osnovo upodabljamo vzporedno s spodnjo, oddaljeno od nje za višino H prizme.
III, c.
Stranske robove upodabljamo tako, da z ravnimi črtami povežemo ustrezna oglišča baz. Določimo vidne in nevidne elemente prizme in jih obrišemo z ustreznimi črtami,
podano:
III, d. določimo točki F in K na ploskvi prizme - točko F - na zgornji podlagi določimo z dimenzijama i in e; točka K - na stranski strani z i 1 in H" .
Za izometrično sliko prizme in določitev lokacij točk F in K je treba slediti istemu zaporedju.
Slika 285).
I. Kompleksna risba.
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Stranska rebra so vzporedna z ravnino P 2.
3. Nobena stranica baze ni vzporedna z osjo x 12
jaz, a.
Oblikujemo po tem pogoju: spodnja osnova je mnogokotnik, ki leži v ravnini P1, stranski rob pa je segment, ki je vzporeden z ravnino P2 in nagnjen na ravnino P1.
jaz, b.
Oblikujemo preostale stranske robove - segmente, ki so enaki in vzporedni s prvim robom SE.
jaz, c.
a) iz točk A 2, B 2, D 2. . . E 2 (čelne projekcije oglišč baz) narišemo pomožne ravne črte, pravokotne na projekcije reber;
b) polmer R ( enaka strani osnova CD) naredimo zarezo v točki D na pomožni črti, ki poteka iz točke D2; s povezavo premic C 2 in D ter risanjem ravnic, vzporednih z E 2 C 2 in C 2 D, dobimo stransko ploskev CEFD;
c) potem s podobno ureditvijo naslednjih stranskih ploskev dobimo razvitje stranskih ploskev prizme. Da dobimo popoln razvoj površine te prizme, jo pritrdimo na ustrezne ploskve baze.
III. Vizualna predstavitev prizme v izometriji.
III, a.
Upodabljamo spodnjo osnovo prizme in rob CE z uporabo koordinat po (
Splošne informacije o ravni prizmi Stranska ploskev prizme (natančneje stranska ploskev) se imenuje vsota področja stranskih ploskev. Celotna površina
prizma je enaka vsoti stranske ploskve in ploščin osnov.
Izrek 19.1. Stranska ploskev ravne prizme je enaka produktu obsega osnove in višine prizme, to je dolžini stranskega roba. Dokaz. Stranske ploskve ravne prizme so pravokotniki. Osnove teh pravokotnikov so stranice mnogokotnika, ki ležijo na dnu prizme, višine pa so enake dolžinam stranskih robov. Iz tega sledi stransko površino
prizma je enaka
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kjer sta a 1 in n dolžini osnovnih robov, p je obseg baze prizme in I je dolžina stranskih robov. Izrek je dokazan.
Praktična naloga Težava (22) . V nagnjeni prizmi se izvaja razdelek
, pravokotno na stranska rebra in seka vsa stranska rebra. Poiščite stransko ploskev prizme, če je obseg preseka enak p in stranski robovi enaki l.
rešitev. Ravnina narisanega preseka deli prizmo na dva dela (slika 411). Eno od njih izpostavimo vzporednemu prevajanju, pri čemer združimo osnove prizme. V tem primeru dobimo ravno prizmo, katere osnova je presek prvotne prizme, stranski robovi pa so enaki l. Ta prizma ima enako stransko površino kot originalna. Tako je stranska površina prvotne prizme enaka pl.
Povzetek obravnavane teme
Zdaj pa poskusimo povzeti temo o prizmah, ki smo jo obravnavali, in se spomnimo, katere lastnosti ima prizma.
Lastnosti prizme
Prvič, prizma ima vse svoje osnove enake mnogokotnike;
Drugič, v prizmi so vse njene stranske ploskve paralelogrami;
Prav tako si je treba zapomniti, da so lahko poliedri, kot so prizme, ravni ali nagnjeni.
Kateri prizmi pravimo ravna prizma?
Če je stranski rob prizme pravokoten na ravnino njene osnove, se taka prizma imenuje ravna.
Ne bi bilo odveč spomniti, da so stranske ploskve ravne prizme pravokotniki.
Katero vrsto prizme imenujemo poševna?
Če pa stranski rob prizme ni pravokoten na ravnino njene baze, potem lahko varno rečemo, da je to nagnjena prizma.
Katera prizma se imenuje pravilna?
Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, potem je taka prizma pravilna.
Zdaj pa se spomnimo lastnosti, ki jih ima pravilna prizma.
Lastnosti pravilne prizme
Prvič, pravilni mnogokotniki vedno služijo kot osnove pravilne prizme;
Drugič, če upoštevamo stranske ploskve pravilne prizme, so vedno enaki pravokotniki;
Tretjič, če primerjate velikosti stranskih reber, so v običajni prizmi vedno enake.
Četrtič, pravilna prizma je vedno ravna;
Petič, če imajo stranske ploskve v pravilni prizmi obliko kvadratov, se taka figura običajno imenuje polpravilni poligon.
Prerez prizme
Zdaj pa poglejmo prečni prerez prizme:
domača naloga
Zdaj pa poskusimo z reševanjem nalog utrditi naučeno temo.
Narišimo poševnico trikotna prizma, pri kateri bo razdalja med njenimi robovi enaka: 3 cm, 4 cm in 5 cm, stranska površina te prizme pa bo enaka 60 cm2. S temi parametri poiščite stranski rob te prizme.
Ali veš, da geometrijske oblike nenehno nas obdajajo le pri pouku geometrije, ampak tudi pri vsakdanjem življenju Obstajajo predmeti, ki spominjajo na eno ali drugo geometrijsko figuro.
Vsak dom, šola ali služba ima računalnik, katerega sistemska enota je oblikovana kot ravna prizma.
Če vzamete v roke preprost svinčnik, boste videli, da je glavni del svinčnika prizma.
Hoja zraven glavna ulica mestu, vidimo, da pod našimi nogami leži ploščica, ki ima obliko šesterokotne prizme.
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Učbenik za izobraževalne ustanove