Prizma. Paralelepiped
Prizma je polieder, katerega ploskvi sta enaka n-kotnika (baze) , ki ležijo v vzporednih ravninah, preostalih n ploskev pa so paralelogrami (stranski obrazi) . Bočno rebro Stranico prizme, ki ne pripada osnovici, imenujemo stranica prizme.
prizma, stranska rebra ki so pravokotne na ravnine osnovnih osnov se imenuje neposredno prizma (slika 1). Če stranski robovi niso pravokotni na ravnine baz, se imenuje prizma nagnjen . Pravilno Prizma je prava prizma, katere osnove so pravilni mnogokotniki.
Višina prizma je razdalja med ravninama baz. Diagonala Prizma je segment, ki povezuje dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi. Diagonalni odsek se imenuje presek prizme z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi. Pravokotni prerez imenujemo prerez prizme z ravnino, pravokotno na stranski rob prizme.
Bočna površina prizme je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Območje polna površina imenujemo vsota ploščin vseh ploskev prizme (tj. vsota ploščin stranskih ploskev in ploščin baz).
Za poljubno prizmo veljajo naslednje formule::
kje l– dolžina stranskega rebra;
H- višina;
p
Q
S stran
S poln
S osnova– površina baz;
V– prostornina prizme.
Za ravno prizmo so pravilne naslednje formule:
kje str– osnovni obod;
l– dolžina stranskega rebra;
H- višina.
paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnove, se imenuje neposredno (slika 2). Če stranski robovi niso pravokotni na osnove, se imenuje paralelepiped nagnjen . Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotne. Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka
Imenujemo ploskve paralelepipeda, ki nimajo skupnih oglišč nasprotje . Dolžine robov, ki izhajajo iz enega oglišča, se imenujejo meritve paralelopiped. Ker je paralelepiped prizma, so njegovi glavni elementi definirani na enak način, kot so definirani za prizme.
Izreki.
1. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in se z njo razpolovita.
2. V pravokotnem paralelopipedu je kvadrat dolžine diagonale enaka vsoti kvadrati njegovih treh dimenzij: 
3. 
Vse štiri diagonale pravokotnega paralelopipeda so med seboj enake.
Za poljuben paralelepiped veljajo naslednje formule:
kje l– dolžina stranskega rebra;
H- višina;
p– obod pravokotnega prereza;
Q– pravokotna površina prečnega prereza;
S stran– bočna površina;
S poln– skupna površina;
S osnova– površina baz;
V– prostornina prizme.
Za pravi paralelepiped so pravilne naslednje formule:
kje str– osnovni obod;
l– dolžina stranskega rebra;
H– višina pravilnega paralelepipeda.
Za pravokotni paralelepiped so pravilne naslednje formule:
(3)
kje str– osnovni obod;
H- višina;
d- diagonalno;
a,b,c– meritve paralelopipeda.
Za kocko so pravilne naslednje formule:
kje a- dolžina reber;
d- diagonala kocke.
Primer 1. Diagonala pravokotnega paralelepipeda je 33 dm, njegove mere pa so v razmerju 2 : 6 : 9. Poišči mere paralelepipeda.
rešitev. Za iskanje dimenzij paralelopipeda uporabimo formulo (3), tj. s tem, da je kvadrat hipotenuze kvadra enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij. Označimo z k faktor sorazmernosti. Potem bo dimenzija paralelepipeda enaka 2 k, 6k in 9 k. Zapišimo formulo (3) za podatke problema:
Rešitev te enačbe za k, dobimo:
To pomeni, da so mere paralelepipeda 6 dm, 18 dm in 27 dm.
odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Primer 2. Poiščite prostornino naklona trikotna prizma, katerega osnova je enakostranični trikotnik s stranico 8 cm, če je stranski rob enak stranici podnožja in nagnjen pod kotom 60º na podlago.
rešitev
.
Naredimo risbo (slika 3).
Da bi našli prostornino nagnjene prizme, morate poznati površino njene osnove in višino. Ploščina osnove te prizme je ploščina enakostraničnega trikotnika s stranico 8 cm. Izračunajmo jo:
Višina prizme je razdalja med njenima osnovama. Z vrha A 1 zgornje podlage, spustite pravokotno na ravnino spodnje podlage A 1 D. Njegova dolžina bo višina prizme. Razmislite o D A 1 AD: ker je to kot naklona stranskega roba A 1 A na osnovno ravnino, A 1 A= 8 cm Iz tega trikotnika najdemo A 1 D:
Zdaj izračunamo prostornino s formulo (1):
odgovor: 192 cm 3.
Primer 3. Stranski rob pravilne šesterokotne prizme je 14 cm, največja diagonala pa je 168 cm 2. Poiščite celotno površino prizme.
rešitev. Naredimo risbo (slika 4)
Največji diagonalni del je pravokotnik A.A. 1 DD 1 od diagonale AD pravilni šesterokotnik ABCDEF je največji. Za izračun bočne površine prizme je potrebno poznati stran podlage in dolžino stranskega roba.
Če poznamo površino diagonalnega odseka (pravokotnik), najdemo diagonalo osnove.
Od takrat 
Od takrat AB= 6 cm.
Potem je obseg baze:
Poiščimo površino stranske površine prizme:
Ploščina pravilnega šesterokotnika s stranico 6 cm je:
Poiščite celotno površino prizme:
odgovor: 
Primer 4. Osnova pravilnega paralelepipeda je romb. Ploščini diagonalnih prerezov sta 300 cm2 in 875 cm2. Poiščite površino stranske površine paralelopipeda.
rešitev. Naredimo risbo (slika 5).
Stranico romba označimo z A, diagonale romba d 1 in d 2, višina paralelepipeda h. Če želite najti površino stranske površine desnega paralelepipeda, je treba obseg osnove pomnožiti z višino: (formula (2)). Osnovni obod p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, ker ABCD- romb H = AA 1 = h. to. Treba najti A in h.
Razmislimo o diagonalnih odsekih. AA 1 SS 1 – pravokotnik, katerega ena stran je diagonala romba AC = d 1, drugi – stranski rob AA 1 = h, Potem
Podobno za razdelek BB 1 DD 1 dobimo:
Z uporabo lastnosti paralelograma, da je vsota kvadratov diagonal enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic, dobimo enakost. Dobimo naslednje.
Poliedri
Glavni predmet proučevanja stereometrije so prostorska telesa. Telo predstavlja del prostora, omejen z določeno površino.
Polieder je telo, katerega površina je sestavljena iz končnega števila ravnih mnogokotnikov. Polieder se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani ravnine vsakega ravninskega mnogokotnika na njegovi površini. Skupni del takšne ravnine in površine poliedra imenujemo rob. Strani konveksnega poliedra so ravni konveksni mnogokotniki. Strani obrazov se imenujejo robovi poliedra, in oglišča so oglišča poliedra.
Na primer, kocka je sestavljena iz šestih kvadratov, ki so njene ploskve. Vsebuje 12 robov (stranice kvadratov) in 8 oglišč (vrhovi kvadratov).
Najenostavnejši poliedri so prizme in piramide, ki jih bomo še preučevali.
Prizma
Definicija in lastnosti prizme
Prizma je polieder, sestavljen iz dveh ravnih mnogokotnikov, ki ležita v vzporednih ravninah, združenih z vzporednim premikom, in vseh segmentov, ki povezujejo ustrezne točke teh mnogokotnikov. Poligoni se imenujejo baze prizme, in segmenti, ki povezujejo ustrezne vertices mnogokotnikov so stranski robovi prizme.
Višina prizme se imenuje razdalja med ravninama njegovih baz (). Odsek, ki povezuje dve oglišči prizme, ki ne pripadata isti ploskvi, se imenuje diagonala prizme(). Prizma se imenuje n-ogljik, če njegova osnova vsebuje n-kotnik.
Vsaka prizma ima naslednje lastnosti, ki izhajajo iz dejstva, da so osnove prizme združene z vzporednim prevajanjem:
1. Osnovici prizme sta enaki.
2. Stranska robova prizme sta vzporedna in enaka.
Površina prizme je sestavljena iz osnov in stransko površino. Stranska površina prizme je sestavljena iz paralelogramov (to izhaja iz lastnosti prizme). Površina stranske ploskve prizme je vsota površin stranskih ploskev.
Ravna prizma
Prizma se imenuje neposredno, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove. Drugače se prizma imenuje nagnjen.
Strani pravilne prizme so pravokotniki. Višina ravne prizme je enaka njenim stranskim ploskvam.
Polna površina prizme se imenuje vsota stranske površine in ploščin baz.
S pravo prizmo imenovana prava prizma s pravilnim mnogokotnikom na dnu.
Izrek 13.1. Ploščina stranske ploskve ravne prizme je enaka zmnožku oboda in višine prizme (ali, kar je enako, s stranskim robom).
Dokaz. Stranice pravilne prizme so pravokotniki, katerih osnovice so stranice mnogokotnikov na osnovicah prizme, višine pa stranski robovi prizme. Potem je po definiciji bočna površina:
,
kjer je obseg osnove ravne prizme.
Paralelepiped
Če paralelogrami ležijo na osnovah prizme, se imenuje paralelopiped. Vse ploskve paralelepipeda so paralelogrami. V tem primeru sta nasprotni ploskvi paralelepipeda vzporedni in enaki.
Izrek 13.2. Diagonale paralelepipeda se sekajo v eni točki in jih presečišče deli na pol.
Dokaz. Razmislite o dveh poljubnih diagonalah, na primer in . Ker ploskve paralelepipeda so paralelogrami, potem in , kar pomeni, da po To obstajata dve ravni črti, vzporedni s tretjo. Poleg tega to pomeni, da ravne črte in ležijo v isti ravnini (ravnini). Ta ravnina seka vzporedne ravnine in vzdolž vzporednih premic in . Štirikotnik je torej paralelogram in po lastnosti paralelograma se njegovi diagonali sekata in delita na pol s presečiščem, kar je bilo treba tudi dokazati.
Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotni paralelopiped. Vse ploskve pravokotnega paralelopipeda so pravokotniki. Dolžine nevzporednih robov pravokotnega paralelopipeda imenujemo njegove linearne mere (mere). Obstajajo tri takšne velikosti (širina, višina, dolžina).
Izrek 13.3. V pravokotnem paralelepipedu je kvadrat katere koli diagonale enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij. 
(dokazano z dvakratno uporabo pitagorejskega T).
Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka.
Naloge
13.1 Koliko diagonal ima? n- karbonska prizma
13.2 V nagnjeni trikotni prizmi so razdalje med stranskimi robovi 37, 13 in 40. Poiščite razdaljo med večjim in nasprotnim stranskim robom.
13.3 Skozi stranico spodnje osnove pravilne trikotne prizme je narisana ravnina, ki seka stranske ploskve vzdolž segmentov s kotom med njimi. Poiščite naklonski kot te ravnine na osnovo prizme.
Različne prizme se med seboj razlikujejo. Hkrati imata veliko skupnega. Če želite najti območje baze prizme, boste morali razumeti, kakšno vrsto ima.
Splošna teorija
Prizma je vsak polieder straneh ki imajo obliko paralelograma. Poleg tega je njegova osnova lahko kateri koli polieder - od trikotnika do n-kotnika. Poleg tega sta osnovici prizme med seboj vedno enaki. Kar ne velja za stranske ploskve, je, da se lahko zelo razlikujejo po velikosti.
Pri reševanju problemov se ne srečuje le območje baze prizme. Morda bo zahtevalo poznavanje stranske površine, torej vseh ploskev, ki niso baze. Celotna površina bo združitev vseh ploskev, ki sestavljajo prizmo.
Včasih so težave povezane z višino. Je pravokotna na baze. Diagonala poliedra je odsek, ki v paru povezuje poljubni dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi.
Upoštevati je treba, da osnovno območje ravne ali nagnjene prizme ni odvisno od kota med njimi in stranskimi ploskvami. Če imata enake figure na zgornji in spodnji ploskvi, bosta njuni površini enaki.
Trikotna prizma
Na svojem dnu ima lik s tremi oglišči, to je trikotnik. Kot veste, je lahko drugače. Če je tako, je dovolj, da se spomnite, da je njegova površina določena s polovico produkta nog.
Matematični zapis je videti takole: S = ½ av.
Če želite izvedeti območje baze v splošni pogled, bodo uporabne formule: Heron in tista, pri kateri je polovica stranice vzeta na narisano višino.
Prvo formulo je treba zapisati na naslednji način: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ta zapis vsebuje polobod (p), to je vsoto treh strani, deljeno z dva.
Drugič: S = ½ n a * a.
Če želite ugotoviti površino osnove trikotne prizme, ki je pravilna, potem se izkaže, da je trikotnik enakostranični. Za to obstaja formula: S = ¼ a 2 * √3.
Štirikotna prizma
Njegova osnova je kateri koli od znanih štirikotnikov. Lahko je pravokotnik ali kvadrat, paralelopiped ali romb. V vsakem primeru boste za izračun površine osnove prizme potrebovali svojo formulo.
Če je osnova pravokotnik, potem je njegova površina določena na naslednji način: S = ab, kjer sta a, b stranice pravokotnika.
Ko gre za štirikotno prizmo, se površina osnove pravilne prizme izračuna po formuli za kvadrat. Ker je on tisti, ki leži v temelju. S = a 2.
V primeru, da je osnova paralelepiped, bo potrebna naslednja enakost: S = a * n a. Zgodi se, da sta podana stranica paralelepipeda in eden od kotov. Nato boste za izračun višine morali uporabiti dodatno formulo: n a = b * sin A. Poleg tega kot A meji na stran "b", višina n pa nasproti tega kota.
Če je na dnu prizme romb, boste za določitev njegovega območja potrebovali isto formulo kot za paralelogram (ker je njegov poseben primer). Lahko pa uporabite tudi to: S = ½ d 1 d 2. Tukaj sta d 1 in d 2 dve diagonali romba.
Pravilna peterokotna prizma
V tem primeru gre za razdelitev mnogokotnika na trikotnike, katerih območja je lažje ugotoviti. Čeprav se zgodi, da imajo lahko figure različno število oglišč.
Ker je osnova prizme pravilen peterokotnik, jo lahko razdelimo na pet enakostraničnih trikotnikov. Potem je površina osnove prizme enaka površini enega takega trikotnika (formulo lahko vidite zgoraj), pomnoženo s pet.
Pravilna šesterokotna prizma
Po principu, opisanem za peterokotno prizmo, je možno šesterokotnik osnove razdeliti na 6 enakostraničnih trikotnikov. Formula za osnovno površino takšne prizme je podobna prejšnji. Le pomnožiti ga je treba s šest.
Formula bo videti takole: S = 3/2 a 2 * √3.
Naloge
Št. 1. Glede na pravilno ravno črto, njena diagonala je 22 cm, višina poliedra je 14 cm. Izračunajte površino osnove prizme in celotno površino.
rešitev. Osnova prizme je kvadrat, vendar njena stranica ni znana. Njegovo vrednost lahko ugotovite iz diagonale kvadrata (x), ki je povezana z diagonalo prizme (d) in njeno višino (h). x 2 = d 2 - n 2. Po drugi strani pa je ta segment "x" hipotenuza v trikotniku, katerega noge so enake strani kvadrata. To pomeni, da je x 2 = a 2 + a 2. Tako se izkaže, da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Zamenjajte številko 22 namesto d in zamenjajte "n" z njegovo vrednostjo - 14, izkaže se, da je stranica kvadrata 12 cm. Zdaj samo ugotovite površino osnove: 12 * 12 = 144 cm 2.
Če želite izvedeti površino celotne površine, morate dvakrat dodati osnovno površino in štirikrat povečati stransko površino. Slednje je mogoče zlahka najti s formulo za pravokotnik: pomnožite višino poliedra in stranico osnove. To je 14 in 12, to število bo enako 168 cm 2. Skupna površina prizme se izkaže za 960 cm 2.
Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Celotna površina je 960 cm 2.
Št. 2. Podano Na dnu je trikotnik s stranico 6 cm. V tem primeru je diagonala stranske ploskve 10 cm.
rešitev. Ker je prizma pravilna, je njena osnova enakostranični trikotnik. Zato se izkaže, da je njegova ploščina 6 na kvadrat, pomnožena z ¼ in kvadratni koren iz 3. Preprost izračun vodi do rezultata: 9√3 cm 2. To je površina ene baze prizme.
Vse stranske ploskve so enake in so pravokotniki s stranicami 6 in 10 cm. Če želite izračunati njuni površini, pomnožite ta števila. Nato jih pomnožite s tri, saj ima prizma točno toliko stranskih ploskev. Nato se površina stranske površine rane izkaže za 180 cm 2.
Odgovori. Območja: osnova - 9√3 cm 2, stranska površina prizme - 180 cm 2.
IN šolski kurikulum Pri tečaju stereometrije se preučevanje tridimenzionalnih likov običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka poligona, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegove osnove so 2 enaka pravilna štirikotnika, na katere so stranice pravokotne in imajo obliko paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).
Kako izgleda prizma?
Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, katerega osnovi sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijski lik- ravni paralelopiped.
Spodaj je prikazana risba, ki prikazuje štirikotno prizmo.
Vidite tudi na sliki najpomembnejši elementi, ki sestavljajo geometrijsko telo . Ti vključujejo:
Včasih lahko v geometrijskih problemih naletite na koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: odsek so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Odsek je lahko pravokoten (seka robove figure pod kotom 90 stopinj). Za pravokotno prizmo se upošteva tudi diagonalni prerez ( največja količina odseki, ki jih je mogoče zgraditi - 2), ki potekajo skozi 2 robova in diagonali baze.
Če je prerez narisan tako, da sekalna ravnina ni vzporedna ne z osnovami ne s stranskimi ploskvami, je rezultat prisekana prizma.
Za iskanje danih prizmatičnih elementov se uporabljajo različne relacije in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).
Površina in prostornina
Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:
V = Sbas h
Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko zapišete v podrobnejši obliki:
V = a²·h
Če govorimo o kocki - navadni prizmi z enake dolžine, širina in višina, se prostornina izračuna na naslednji način:
Da bi razumeli, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen razvoj.
Iz risbe je razvidno, da stransko površino sestavljen iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek obsega osnove in višine figure:
Sstran = Posn h
Ob upoštevanju, da je obseg kvadrata enak P = 4a, formula ima obliko:
Sstran = 4a h
Za kocko:
S stran = 4a²
Če želite izračunati skupno površino prizme, morate stranski površini dodati 2 osnovni površini:
Polna = Sstran + 2Sglavna
Glede na štirikotno pravilno prizmo je formula videti takole:
Skupaj = 4a h + 2a²
Za površino kocke:
Polno = 6a²
Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijskega telesa.
Iskanje elementov prizme
Pogosto so problemi, pri katerih je podana prostornina ali je znana vrednost bočne ploskve, kjer je treba določiti dolžino stranice baze ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:
- dolžina osnovne stranice: a = S stran / 4h = √(V / h);
- višina ali dolžina stranskega rebra: h = S stran / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sbas = V / h;
- stransko območje obraza: Stran gr = Sstran / 4.
Če želite ugotoviti, koliko površine ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. Iz tega sledi:
Sdiag = ah√2
Za izračun diagonale prizme uporabite formulo:
dnagrada = √(2a² + h²)
Če želite razumeti, kako uporabiti dane odnose, lahko vadite in rešite več preprostih nalog.
Primeri problemov z rešitvami
Tukaj je nekaj nalog, ki jih najdemo na državnem maturi iz matematike.
Naloga 1.
Pesek se nasuje v škatlo v obliki pravilne štirikotne prizme. Višina njegove gladine je 10 cm. Kakšna bo gladina peska, če jo premaknete v posodo enake oblike, vendar z dvakrat daljšim dnom?
To je treba obrazložiti na naslednji način. Količina peska v prvi in drugi posodi se ni spremenila, to pomeni, da je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino osnove lahko označite z a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina gladine peska ni znana:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Ker V₁ = V₂, lahko enačimo izraze:
10a² = 4ha²
Po zmanjšanju obeh strani enačbe za a² dobimo:
Kot rezultat nova raven pesek bo h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Naloga 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.
Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.
Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je na dnu kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve je enake velikosti, zato ima tudi stranska ploskev obliko kvadrata, ki je enaka osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Celotno površino dobimo s formulo za kocko:
Polno = 6a² = 6 6² = 216
Naloga 3.
Sobo prenavljajo. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšna je najnižja cena lepljenja sobe, če 1 m² stane 50 rubljev?
Ker sta tla in strop kvadrata, torej pravilni štirikotnik, stene pa pravokotne na vodoravne površine, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.
Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.
Območje bo prekrito s tapetami Sstran = 4 3 2,5 = 30 m².
Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50·30 = 1500 rubljev
Tako je za reševanje problemov, ki vključujejo pravokotno prizmo, dovolj, da lahko izračunate površino in obseg kvadrata in pravokotnika ter poznate formule za iskanje prostornine in površine.
Kako najti območje kocke
Definicija 1. Prizmatična površina
Izrek 1. O vzporednih odsekih prizmatične ploskve
Definicija 2. Pravokotni prerez prizmatične ploskve
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Višina prizme
Definicija 5. Prava prizma
Izrek 2. Območje stranske površine prizme
Paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Izrek 3. O presečišču diagonal paralelepipeda
Definicija 7. Pravi paralelepiped
Definicija 8. Pravokotni paralelepiped
Definicija 9. Meritve paralelopipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboeder
Izrek 4. O diagonalah pravokotnega paralelopipeda
Izrek 5. Prostornina prizme
Izrek 6. Prostornina ravne prizme
Izrek 7. Prostornina pravokotnega paralelepipeda
Prizma je polieder, katerega ploskvi (osnovi) ležita v vzporednih ravninah, robovi, ki ne ležijo v teh ploskvah, pa so med seboj vzporedni.
Obrazi, ki niso baze, se imenujejo stranski.
Imenujejo se stranice stranskih ploskev in podstavkov prizmatična rebra, se imenujejo konci robov oglišča prizme. Bočna rebra imenujemo robove, ki ne pripadajo bazam. Zveza stranskih ploskev se imenuje stransko površino prizme, zveza vseh obrazov pa se imenuje celotno površino prizme. Višina prizme imenujemo navpičnica, spuščena iz točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove ali dolžina te navpičnice. 
Neposredna prizma imenovana prizma, katere stranski robovi so pravokotni na ravnine baz. 
Pravilno imenovana ravna prizma (slika 3), na podlagi katere leži pravilen mnogokotnik.
Oznake:
l - stransko rebro;
P - osnovni obod;
S o - osnovna površina;
H - višina;
P ^ - obod pravokotnega odseka;
S b - bočna površina;
V - prostornina;
S p je površina celotne površine prizme.
|
V=SH |
*Predpostavlja se, da se vsaki dve zaporedni ravnini sekata in da zadnja ravnina seka prvo
1. izrek . Odseki prizmatične površine z ravninami, ki so med seboj vzporedne (vendar ne vzporedne z njenimi robovi), so enaki poligoni.
Naj sta ABCDE in A"B"C"D"E" odseka prizmatične ploskve z dvema vzporednima ravninama. Da bi se prepričali, da sta ta dva mnogokotnika enaka, je dovolj pokazati, da sta trikotnika ABC in A"B"C" enaki in imajo enako smer vrtenja in da enako velja za trikotnike ABD in A"B"D", ABE in A"B"E". Toda ustrezne stranice teh trikotnikov so vzporedne (na primer AC je vzporeden z AC) kot presečišče določene ravnine z dvema vzporednima ravninama; iz tega sledi, da sta ti stranici enaki (na primer AC je enak A"C"), kot nasprotni strani paralelograma, in da so koti, ki jih tvorijo te stranice, enaki in imajo isto smer.
Definicija 2 . Pravokotni prerez prizmatične ploskve je prerez te ploskve z ravnino, pravokotno na njene robove. Na podlagi prejšnjega izreka bodo vsi pravokotni odseki iste prizmatične površine enaki mnogokotniki.
Definicija 3
. Prizma je polieder, ki ga omejujejo prizmatična površina in dve ravnini, ki sta med seboj vzporedni (vendar ne vzporedni z robovi prizmatične ploskve).
Obrazi, ki ležijo v teh zadnjih ravninah, se imenujejo baze prizme; ploskve, ki pripadajo prizmatični površini - stranski obrazi; robovi prizmatične površine - stranska rebra prizme. Na podlagi prejšnjega izreka je osnova prizme enaki poligoni. Vse stranske ploskve prizme - paralelogrami; vsa stranska rebra so med seboj enaka.
Očitno je, da če sta podana osnova prizme ABCDE in eden od robov AA" v velikosti in smeri, potem je mogoče sestaviti prizmo tako, da narišemo robove BB", CC", ... enake in vzporedne z robom AA" .
Definicija 4 . Višina prizme je razdalja med ravninama njenih baz (HH").
Definicija 5
. Prizma se imenuje ravna, če sta njeni osnovi pravokotni odseki prizmatične površine. V tem primeru je višina prizme seveda njena stransko rebro; stranski robovi bodo pravokotniki.
Prizme lahko razvrstimo glede na število stranskih ploskev, enako število strani mnogokotnika, ki mu služi kot osnova. Tako so lahko prizme trikotne, štirikotne, peterokotne itd.
2. izrek
. Ploščina stranske površine prizme je enaka zmnožku stranskega roba in oboda pravokotnega odseka.
Naj bo ABCDEA"B"C"D"E" dana prizma in abcde njen pravokotni presek, tako da so odseki ab, bc, .. pravokotni na njene stranske robove. Ploščina ABA"B" je paralelogram; njegova ploščina je enak produktu osnove AA " na višino, ki sovpada z ab; površina ploskve ВСВ "С" je enaka zmnožku osnove VV" z višino bc itd. Posledično je stranska površina (t.j. vsota površin stranskih ploskev) enaka zmnožku stranskega roba, z drugimi besedami, skupna dolžina segmentov AA", ВВ", .., za količino ab+bc+cd+de+ea.