>

Na dnu je pravilna štirikotna piramida. Piramida

  • apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha (poleg tega je apotem dolžina navpičnice, ki je spuščena iz sredine pravilnega mnogokotnika na eno od njegovih stranic);
  • stranski obrazi (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikotniki, ki se stikajo na vrhu;
  • stranska rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — skupne stranice stranskih ploskev;
  • vrh piramide (t. S) - točka, ki povezuje stranska rebra in ki ne leži v ravnini baze;
  • višina ( SO ) - pravokotni odsek, narisan skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca takega odseka bosta vrh piramide in osnova pravokotnice);
  • diagonalni prerez piramide- del piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
  • osnova (ABCD) - mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.

Lastnosti piramide.

1. Ko so vsi stranski robovi enake velikosti, potem:

  • enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
  • stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze;
  • Poleg tega velja tudi obratno, tj. ko stranska rebra tvorijo z ravnino baze enaki koti, ali ko je mogoče opisati krog blizu vznožja piramide in bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga, kar pomeni, da so vsi stranski robovi piramide enako veliki.

2. Ko imajo stranske ploskve kot naklona na ravnino osnove enake vrednosti, potem:

  • enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
  • višine stranskih ploskev so enake dolžine;
  • površina stranske površine je enaka ½ zmnožka oboda osnove in višine stranske ploskve.

3. Okoli piramide lahko opišemo kroglo, če je na dnu piramide mnogokotnik, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo točka presečišča ravnin, ki potekajo skozi sredine robov piramide pravokotno nanje. Iz tega izreka sklepamo, da tako okoli katerega koli trikotnika kot okoli katerega koli redna piramida zna opisati kroglo.

4. Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v 1. točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo postala središče krogle.

Najenostavnejša piramida.

Glede na število kotov delimo osnovo piramide na trikotne, štirikotne itd.

Tam bo piramida trikotne, štirikotne, in tako naprej, ko je osnova piramide trikotnik, štirikotnik itd. Trikotna piramida je tetraeder - tetraeder. Štirikotni - peterokotni in tako naprej.

Učenci se s konceptom piramide srečajo že dolgo pred študijem geometrije. Kriva so slavna velika egipčanska čudesa sveta. Zato si večina študentov ob začetku preučevanja tega čudovitega poliedra že jasno predstavlja. Vse zgoraj omenjene atrakcije so pravilne oblike. Kaj se je zgodilo redna piramida, in kakšne lastnosti ima, bomo še razpravljali.

Opredelitev

Definicij piramide je kar nekaj. Že od antičnih časov je bil zelo priljubljen.

Na primer, Evklid ga je definiral kot telesno figuro, sestavljeno iz ravnin, ki se, začenši od ene, zbližajo na določeni točki.

Heron je ponudil natančnejšo formulacijo. Je vztrajal, da je to številka, ki ima bazo in letala noter v obliki trikotnikov, zbliževanje v eni točki.

Na podlagi sodobna interpretacija, je piramida predstavljena kot prostorski polieder, sestavljen iz določenega k-kotnika in k ploščate figure trikotne oblike z eno skupno točko.

Oglejmo si ga podrobneje, iz katerih elementov je sestavljen:

  • K-gon velja za osnovo figure;
  • 3-kotne oblike štrlijo kot robovi stranskega dela;
  • zgornji del, iz katerega izvirajo stranski elementi, se imenuje vrh;
  • vsi segmenti, ki povezujejo vrh, se imenujejo robovi;
  • če je ravna črta spuščena od vrha do ravnine figure pod kotom 90 stopinj, potem je njen del v notranjem prostoru višina piramide;
  • v kateremkoli stranskem elementu lahko na stranico našega poliedra potegnemo pravokotnico, imenovano apotem.

Število robov se izračuna s formulo 2*k, kjer je k število strani k-kotnika. Koliko ploskev ima polieder, kot je piramida, lahko določimo z izrazom k+1.

Pomembno! Piramida pravilne oblike je stereometrični lik, katerega osnovna ravnina je k-kotnik z enakimi stranicami.

Osnovne lastnosti

Pravilna piramida ima veliko lastnosti, ki so edinstveni zanjo. Naj jih naštejemo:

  1. Osnova je figura pravilne oblike.
  2. Robovi piramide, ki omejujejo stranske elemente, imajo enake številčne vrednosti.
  3. Stranski elementi so enakokraki trikotniki.
  4. Osnovica višine lika pade v središče mnogokotnika, hkrati pa je središčna točka včrtanega in opisanega.
  5. Vsa stranska rebra so nagnjena na ravnino baze pod enakim kotom.
  6. Vse stranske površine imajo enak kot naklona glede na podlago.

Zaradi vseh naštetih lastnosti je izračun elementov veliko enostavnejši. Na podlagi zgornjih lastnosti smo pozorni na dva znaka:

  1. V primeru, da se mnogokotnik prilega krogu, bodo stranske ploskve imele enake kote z osnovo.
  2. Pri opisovanju kroga okoli mnogokotnika bodo imeli vsi robovi piramide, ki izhajajo iz vrha, enake dolžine in enake kote z osnovo.

Osnova je kvadrat

Pravilna štirikotna piramida - polieder, katerega osnova je kvadrat.

Ima štiri stranske ploskve, ki so po videzu enakokrake.

Kvadrat je upodobljen na ravnini, vendar temelji na vseh lastnostih pravilnega štirikotnika.

Na primer, če je treba povezati stran kvadrata z njegovo diagonalo, uporabite naslednjo formulo: diagonala je enaka zmnožku stranice kvadrata in kvadratnega korena iz dveh.

Temelji na pravilnem trikotniku

Pravilna trikotna piramida je polieder, katerega osnova je pravilen trikotnik.

Če je osnova pravokotni trikotnik, stranski robovi pa so enaki robom podnožja, potem je taka številka imenujemo tetraeder.

Vse ploskve tetraedra so enakostranični trikotnik. IN v tem primeru Vedeti morate nekaj točk in ne izgubljati časa z njimi pri izračunu:

  • kot naklona reber na katero koli podlago je 60 stopinj;
  • velikost vseh notranjih ploskev je tudi 60 stopinj;
  • vsak obraz lahko deluje kot osnova;
  • , narisane znotraj figure, so to enaki elementi.

Odseki poliedra

V katerem koli poliedru obstajajo več vrst odsekov ravno. Pogosto v šolskem tečaju geometrije delajo z dvema:

  • aksialni;
  • vzporedno z osnovo.

Osni prerez dobimo tako, da polieder presekamo z ravnino, ki poteka skozi oglišče, stranske robove in os. V tem primeru je os višina, narisana iz vrha. Rezalna ravnina je omejena s črtami presečišča z vsemi ploskvami, kar povzroči trikotnik.

Pozor! V pravilni piramidi je osni prerez enakokraki trikotnik.

Če rezalna ravnina poteka vzporedno z osnovo, potem je rezultat druga možnost. V tem primeru imamo prerez, podoben osnovi.

Na primer, če je osnova kvadrat, bo tudi odsek, vzporeden z osnovo, kvadrat, le manjših dimenzij.

Pri reševanju problemov pod tem pogojem uporabljajo znake in lastnosti podobnosti figur, temelji na Thalesovem izreku. Najprej je treba določiti koeficient podobnosti.

Če ravnino narišemo vzporedno z osnovo in se odreže zgornji del polieder, potem dobimo v spodnjem delu pravilno prisekano piramido. Potem pravimo, da so osnove prisekanega poliedra podobni mnogokotniki. V tem primeru so stranske ploskve enakokraki trapezi. Tudi osni prerez je enakokrak.

Za določitev višine prisekanega poliedra je potrebno narisati višino v osnem prerezu, to je v trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi, ki jih je treba rešiti v šolskem tečaju geometrije, so iskanje površine in prostornine piramide.

Obstajata dve vrsti površinskih vrednosti:

  • območje stranskih elementov;
  • območje celotne površine.

Že iz samega imena je jasno o čem govorimo. Bočna površina vključuje samo stranske elemente. Iz tega sledi, da ga želite najti, preprosto seštejte območja stranskih ravnin, to je območja enakokrakih 3-kotnikov. Poskusimo izpeljati formulo za območje stranskih elementov:

  1. Ploščina enakokrakega 3-kotnika je enaka Str=1/2(aL), kjer je a stranica osnove, L je apotem.
  2. Število stranskih ravnin je odvisno od vrste k-kotnika na dnu. Na primer, pravilno štirikotna piramida ima štiri stranske ravnine. Zato je treba sešteti ploščine štirih likov Sstran=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je na ta način poenostavljen, ker je vrednost 4a = Rosn, kjer je Rosn obseg baze. In izraz 1/2*Rosn je njegov polobod.
  3. Torej sklepamo, da je površina stranskih elementov pravilne piramide enaka zmnožku pol oboda osnove in apoteme: Sside = Rosn * L.

kvadrat polna površina piramida je sestavljena iz vsote ploščin stranskih ravnin in osnove: Sp.p = Sstranica + Sbas.

Kar zadeva površino baze, se tukaj formula uporablja glede na vrsto poligona.

Prostornina pravilne piramide enak zmnožku ploščine osnovne ravnine in višine, deljene s tri: V=1/3*Sbas*H, kjer je H višina poliedra.

Kaj je pravilna piramida v geometriji

Lastnosti pravilne štirikotne piramide

Opredelitev

Piramida je polieder, sestavljen iz mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) in \(n\) trikotnikov s skupnim ogliščem \(P\) (ki ne leži v ravnini mnogokotnika) in stranicami nasproti njega, ki sovpadajo s strani mnogokotnika.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primer: peterokotna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trikotniki \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itd. se imenujejo stranski obrazi piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. – stranska rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnova, točka \(P\) – vrh.

Višina piramide so pravokotnica, spuščena z vrha piramide na ravnino osnove.

Imenuje se piramida s trikotnikom na dnu tetraeder.

Piramida se imenuje pravilno, če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

\((a)\) stranski robovi piramide so enaki;

\((b)\) višina piramide poteka skozi središče kroga, ki je opisan blizu baze;

\((c)\) stranska rebra so nagnjena na ravnino podnožja pod enakim kotom.

\((d)\) stranski ploskvi sta nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom.

Pravilni tetraeder je trikotna piramida, katere stranice so enake enakostranični trikotniki.

Izrek

Pogoji \((a), (b), (c), (d)\) so enakovredni.

Dokaz

Poiščimo višino piramide \(PH\) . Naj bo \(\alpha\) ravnina osnove piramide.


1) Dokažimo, da iz \((a)\) sledi \((b)\) . Naj \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Ker \(PH\perp \alpha\), potem je \(PH\) pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, kar pomeni, da so trikotniki pravokotni. To pomeni, da sta ti trikotniki enaki v skupnem kraku \(PH\) in hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To pomeni \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To pomeni, da so točke \(A_1, A_2, ..., A_n\) enako oddaljene od točke \(H\), torej ležijo na isti krožnici s polmerom \(A_1H\). Ta krog je po definiciji opisan okoli mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokoten in enak na dveh krakih. To pomeni, da sta tudi njuna kota enaka, torej \(\kot PA_1H=\kot PA_2H=...=\kot PA_nH\).

3) Dokažimo, da \((c)\) implicira \((a)\) .

Podobno kot pri prvi točki, trikotniki \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokotne in vzdolž kraka ter oster kot. To pomeni, da sta tudi njuni hipotenuzi enaki, to je \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((d)\) .

Ker v pravilnem mnogokotniku središča opisanega in včrtanega kroga sovpadata (na splošno se tej točki reče središče pravilnega mnogokotnika), potem je \(H\) središče včrtanega kroga. Narišimo navpičnici iz točke \(H\) na stranice osnove: \(HK_1, HK_2\) itd. To so polmeri včrtanega kroga (po definiciji). Potem je glede na TTP (\(PH\) pravokotna na ravnino, \(HK_1, HK_2\) itd. so projekcije, pravokotno na stranice) poševno \(PK_1, PK_2\) itd. pravokotno na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. oz. Torej, po definiciji \(\kot PK_1H, \kot PK_2H\) enaka kotom med stranskimi ploskvami in podstavkom. Ker trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) so enaki (kot pravokotnik na dveh stranicah), potem so koti \(\kot PK_1H, \kot PK_2H, ...\) so enaki.

5) Dokažimo, da \((d)\) implicira \((b)\) .

Podobno kot pri četrti točki so trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) enaki (kot pravokotniki vzdolž kraka in ostrega kota), kar pomeni, da so segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) enaka. To pomeni, da je po definiciji \(H\) središče kroga, včrtanega v osnovico. Ampak ker Pri pravilnih mnogokotnikih se središča včrtanega in opisanega kroga ujemajo, potem je \(H\) središče opisanega kroga. Chtd

Posledica

Stranske ploskve pravilne piramide so enaki enakokraki trikotniki.

Opredelitev

Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema.
Apoteme vseh stranskih ploskev pravilne piramide so med seboj enake in so hkrati mediane in simetrale.

Pomembne opombe

1. Višina pravilne trikotne piramide pade na presečišče višin (ali simetral ali median) osnove (osnova je pravilen trikotnik).

2. Višina pravilne štirikotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je kvadrat).

3. Višina pravilne šesterokotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je pravilni šestkotnik).

4. Višina piramide je pravokotna na poljubno premico, ki leži na dnu.

Opredelitev

Piramida se imenuje pravokotne, če je eden od njegovih stranskih robov pravokoten na ravnino baze.


Pomembne opombe

1. V pravokotni piramidi je rob, pravokoten na osnovo, višina piramide. To pomeni, \(SR\) je višina.

2. Ker \(SR\) je torej pravokoten na poljubno premico od osnove \(\trikotnik SRM, \trikotnik SRP\)– pravokotne trikotnike.

3. Trikotniki \(\trikotnik SRN, \trikotnik SRK\)- tudi pravokotne.
To pomeni, da bo vsak trikotnik, ki ga tvorita ta rob in diagonala, ki izhaja iz oglišča tega roba, ki leži na dnu, pravokoten.

\[(\Large(\text(Obseg in površina piramide)))\]

Izrek

Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine piramide: \

Posledice

Naj bo \(a\) stranica baze, \(h\) višina piramide.

1. Prostornina pravilne trikotne piramide je \(V_(\text(desni trikotnik.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Prostornina pravilne štirikotne piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Prostornina pravilne šesterokotne piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Prostornina pravilnega tetraedra je \(V_(\text(desno tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Izrek

Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovičnemu produktu oboda osnove in apoteme.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Opredelitev

Razmislite o poljubni piramidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narišimo skozi točko, ki leži na stransko rebro piramida, je ravnina vzporedna z vznožjem piramide. Ta ravnina bo razdelila piramido na dva poliedra, od katerih je eden piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), drugi pa se imenuje prisekana piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).


Prisekana piramida ima dve osnovi - poligona \(A_1A_2...A_n\) in \(B_1B_2...B_n\), ki sta si podobna.

Višina prisekane piramide je navpičnica, ki poteka iz neke točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove.

Pomembne opombe

1. Vse stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.

2. Segment, ki povezuje središča baz pravilne prisekane piramide (to je piramide, dobljene s prerezom pravilne piramide), je višina.

Hipoteza: verjamemo, da je popolnost oblike piramide posledica matematičnih zakonov, ki so del njene oblike.

Cilj: ob preučevanju piramide kot geometrijsko telo, da pojasni popolnost njegove oblike.

Naloge:

1. Podajte matematično definicijo piramide.

2. Preučite piramido kot geometrijsko telo.

3. Razumeti, kakšno matematično znanje so Egipčani vključili v svoje piramide.

Zasebna vprašanja:

1. Kaj je piramida kot geometrijsko telo?

2. Kako je mogoče edinstveno obliko piramide razložiti z matematičnega vidika?

3. Kaj pojasnjuje geometrijske čudeže piramide?

4. Kaj pojasnjuje popolnost oblike piramide?

Opredelitev piramide.

PIRAMIDA (iz grške pyramis, gen. pyramidos) - polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče (risba). Piramide glede na število vogalov baze delimo na trikotne, štirikotne itd.

PIRAMIDA - monumentalna zgradba, ki ima geometrijsko obliko piramide (včasih tudi stopničaste ali stolpaste). Piramide so ime za velikanske grobnice staroegipčanskih faraonov 3.-2. tisočletja pr. e., kot tudi starodavni ameriški tempeljski podstavki (v Mehiki, Gvatemali, Hondurasu, Peruju), povezani s kozmološkimi kulti.

Možno je, da grška beseda "piramida" izhaja iz egipčanskega izraza per-em-us, torej iz izraza, ki pomeni višino piramide. Izjemni ruski egiptolog V. Struve je menil, da grški "puram...j" izvira iz staroegipčanskega "p"-mr".

Iz zgodovine. Po preučevanju gradiva v učbeniku "Geometrija" avtorjev Atanasyan. Butuzova in drugih, smo izvedeli, da: Polieder, sestavljen iz n-kotnika A1A2A3 ... An in n trikotnikov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, se imenuje piramida. Mnogokotnik A1A2A3...An je osnova piramide, trikotniki PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 pa so stranske ploskve piramide, P je vrh piramide, segmenti PA1, PA2,..., PAn so stranski robovi.

Vendar ta definicija piramide ni vedno obstajala. Na primer, starogrški matematik, avtor teoretičnih razprav o matematiki, ki so prišli do nas, Evklid, definira piramido kot trdno figuro, omejeno z ravninami, ki konvergirajo iz ene ravnine v eno točko.

Toda ta definicija je bila kritizirana že v starih časih. Zato je Heron predlagal naslednjo definicijo piramide: "To je figura, omejena s trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in katere osnova je mnogokotnik."

Naša skupina je po primerjavi teh definicij prišla do zaključka, da nimajo jasne formulacije pojma "temelj".

Preučili smo te definicije in našli definicijo Adriena Marie Legendra, ki je leta 1794 v svojem delu "Elementi geometrije" definiral piramido takole: "Piramida je trdna figura, ki jo tvorijo trikotniki, ki se zbirajo v eni točki in se končajo na različnih straneh ravno podlago."

Zdi se nam, da zadnja definicija daje jasno predstavo o piramidi, saj govori o tem, da je osnova ravna. Druga definicija piramide se je pojavila v učbeniku iz 19. stoletja: "piramida je telesni kot, ki ga seka ravnina."

Piramida kot geometrijsko telo.

to. Piramida je polieder, katerega ena ploskev (osnova) je mnogokotnik, ostale ploskve (stranice) pa so trikotniki, ki imajo eno skupno oglišče (oglišče piramide).

Navpičnica, ki je potegnjena z vrha piramide na ravnino osnove, se imenuje višinah piramide.

Poleg poljubne piramide obstajajo pravilna piramida na osnovi katerega je pravilen mnogokotnik in prisekana piramida.

Na sliki je piramida PABCD, ABCD je njena osnova, PO je njena višina.

Skupna površina piramida je vsota ploščin vseh njenih ploskev.

Polna = Sstran + Smain, kje Stran– vsota površin stranskih ploskev.

Prostornina piramide se najde po formuli:

V=1/3Sbas. h, kjer Sbas. - osnovna površina, h- višina.
Os pravilne piramide je premica, ki vsebuje njeno višino.
Apotem ST je višina stranske ploskve pravilne piramide.

Območje stranske ploskve pravilne piramide je izraženo na naslednji način: Sstran. =1/2P h, kjer je P obseg baze, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne piramide). Če piramido seka ravnina A’B’C’D’, vzporedna z osnovo, potem:

1) stranska rebra in višina so s to ravnino razdeljeni na sorazmerne dele;

2) v prerezu dobimo mnogokotnik A’B’C’D’, podoben osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove prisekane piramide– podobna mnogokotnika ABCD in A`B`C`D`, stranske ploskve so trapezi.

Višina prisekana piramida - razdalja med bazami.

Okrnjena glasnost piramido najdemo po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne prisekane piramide je izražena kot sledi: Sside = ½(P+P'). h, kjer sta P in P’ obsega baz, h- višina stranske ploskve (apotem pravilne prisekane pirame

Odseki piramide.

Odseki piramide z ravninami, ki potekajo skozi njen vrh, so trikotniki.

Odsek, ki poteka skozi dva nesosednja stranska robova piramide, se imenuje diagonalni odsek.

Če prerez poteka skozi točko na stranskem robu in strani podnožja, bo njegova sled do ravnine podnožja piramide ta stran.

Odsek, ki poteka skozi točko, ki leži na obrazu piramide, in dano sled odseka na osnovni ravnini, potem je treba konstrukcijo izvesti na naslednji način:

· poiščejo presečišče ravnine dane ploskve in sled prereza piramide ter jo označijo;

zgradite premico, ki poteka skozi dano točko in nastalo presečišče;

· ponovite te korake za naslednje obraze.

, kar ustreza razmerju krakov pravokotnega trikotnika 4:3. To razmerje nog ustreza dobro znanemu pravokotnemu trikotniku s stranicami 3:4:5, ki se imenuje "popolni", "sveti" ali "egipčanski" trikotnik. Po mnenju zgodovinarjev je "egipčanskemu" trikotniku pripisan magični pomen. Plutarh je zapisal, da so Egipčani primerjali naravo vesolja s »svetim« trikotnikom; navpični krak so simbolično primerjali z možem, osnovo z ženo in hipotenuzo s tistim, kar je rojeno iz obeh.

Za trikotnik 3:4:5 velja enakost: 32 + 42 = 52, kar izraža Pitagorov izrek. Ali niso tega izreka želeli ohraniti egiptovski svečeniki, ko so zgradili piramido, ki temelji na trikotniku 3:4:5? Težko je najti uspešnejši primer za ponazoritev Pitagorovega izreka, ki so ga Egipčani poznali že dolgo preden ga je odkril Pitagora.

Torej, briljantni ustvarjalci Egipčanske piramide skušali presenetiti daljne potomce z globino svojega znanja in to so dosegli z izbiro "zlatega" kot "glavne geometrijske ideje" za Keopsovo piramido pravokotni trikotnik, in za Khafrenovo piramido - "sveti" ali "egipčanski" trikotnik.

Znanstveniki v svojih raziskavah zelo pogosto uporabljajo lastnosti piramid s proporci zlatega reza.

Pri matematiki enciklopedični slovar Podana je naslednja definicija zlatega reza - to je harmonična delitev, delitev v skrajnem in povprečnem razmerju - delitev odseka AB na dva dela tako, da je njegov večji del AC povprečno sorazmerje med celotnim odsekom AB in njegovim manjši del SV.

Algebraična določitev zlatega reza segmenta AB = a zmanjša na reševanje enačbe a: x = x: (a – x), pri čemer je x približno enak 0,62a. Razmerje x lahko izrazimo kot ulomke 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kjer so 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonaccijeva števila.

Geometrijska konstrukcija zlatega reza segmenta AB je izvedena na naslednji način: v točki B je obnovljena pravokotnica na AB, na njej je položen segment BE = 1/2 AB, A in E sta povezana, DE = BE je odpuščen in končno je AC = AD, potem je izpolnjena enakost AB: CB = 2:3.

Zlati rez pogosto uporabljen v umetniških delih, arhitekturi in v naravi. Živahni primeri sta skulptura Apolona Belvederskega, Partenon. Pri gradnji Partenona je bilo uporabljeno razmerje med višino stavbe in njeno dolžino in to razmerje je 0,618. Predmeti okoli nas so tudi primeri zlatega reza, na primer, vezave mnogih knjig imajo razmerje med širino in dolžino blizu 0,618. Če upoštevamo razporeditev listov na skupnem steblu rastlin, lahko opazimo, da se med vsakima dvema paroma listov tretji nahaja na zlatem rezu (diapozitivi). Vsak od nas »nosi« zlati rez s seboj »v rokah« - to je razmerje med falangami prstov.

Zahvaljujoč odkritju več matematičnih papirusov so se egiptologi naučili nekaj o staroegipčanskih sistemih računanja in merjenja. Naloge, ki jih vsebujejo, so reševali pisarji. Eden najbolj znanih je Rhindov matematični papirus. S proučevanjem teh problemov so egiptologi izvedeli, kako so stari Egipčani obravnavali različne količine, ki so se pojavile pri računanju mer teže, dolžine in prostornine, ki so pogosto vključevale ulomke, pa tudi, kako so ravnali s koti.

Stari Egipčani so uporabljali metodo izračunavanja kotov na podlagi razmerja med višino in osnovo pravokotnega trikotnika. Vsak kot so izrazili v jeziku gradienta. Gradient naklona je bil izražen kot razmerje celih števil, imenovano "seced". Richard Pillins v knjigi Mathematics in the Time of the Pharaohs pojasnjuje: »Sekunda pravilne piramide je naklon katere koli od štirih trikotni obrazi na ravnino baze, merjeno z n-tim številom vodoravnih enot na eno navpično enoto višine. Tako je ta merska enota enakovredna našemu sodobnemu kotangensu kota naklona. Zato je egipčanska beseda "odcepljena" sorodna naši sodobna beseda"gradient"".

Numerični ključ do piramid je v razmerju med njihovo višino in osnovo. Praktično gledano je to najlažji način, da naredimo šablone, ki so potrebne za stalno preverjanje pravilnega kota naklona skozi celotno konstrukcijo piramide.

Egiptologi bi nas z veseljem prepričali, da je vsak faraon hrepenel po izražanju svoje individualnosti, od tod tudi razlike v naklonskih kotih vsake piramide. Lahko pa obstaja še en razlog. Morda so vsi želeli utelešati različne simbolne asociacije, skrite v različnih razmerjih. Vendar pa se kot Khafrejeve piramide (ki temelji na trikotniku (3:4:5) pojavlja v treh problemih, ki jih predstavljajo piramide v Rhindovem matematičnem papirusu). Tako so ta odnos dobro poznali stari Egipčani.

Če smo pošteni do egiptologov, ki trdijo, da stari Egipčani niso poznali trikotnika 3:4:5, dolžina hipotenuze 5 ni bila nikoli omenjena. Ampak matematične težave vprašanja v zvezi s piramidami se vedno odločajo na podlagi drugega kota - razmerja med višino in osnovo. Ker dolžina hipotenuze ni bila nikoli omenjena, je bilo ugotovljeno, da Egipčani nikoli niso izračunali dolžine tretje stranice.

Razmerja med višino in osnovo, uporabljena v piramidah v Gizi, so nedvomno poznali stari Egipčani. Možno je, da so bila ta razmerja za vsako piramido izbrana poljubno. Vendar je to v nasprotju s pomenom, ki se pripisuje simboliki številk v vseh vrstah egiptovščine likovna umetnost. Zelo verjetno je, da so bili takšni odnosi pomembni, ker so izražali posebne verske ideje. Z drugimi besedami, celoten kompleks Gize je bil podrejen skladni zasnovi, zasnovani tako, da odraža določeno božansko temo. To bi pojasnilo, zakaj so se oblikovalci odločili različne kote naklon treh piramid.

V Skrivnosti Oriona sta Bauval in Gilbert predstavila prepričljive dokaze, ki povezujejo piramide v Gizi z ozvezdjem Orion, zlasti z zvezdami Orionovega pasu. Isto ozvezdje je prisotno v mitu o Izidi in Ozirisu in obstaja razlog, da vsako piramido obravnavamo kot. upodobitev enega od treh glavnih božanstev – Ozirisa, Izide in Horusa.

»GEOMETRIJSKI« ČUDEŽI.

Med veličastnimi piramidami Egipta zavzema posebno mesto Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Preden začnemo analizirati obliko in velikost Keopsove piramide, se spomnimo, kakšen sistem ukrepov so uporabljali Egipčani. Egipčani so imeli tri enote za dolžino: "komolec" (466 mm), ki je bil enak sedmim "dlani" (66,5 mm), kar je bilo enako štirim "prstom" (16,6 mm).

Analizirajmo dimenzije Keopsove piramide (slika 2) po argumentih, navedenih v čudoviti knjigi ukrajinskega znanstvenika Nikolaja Vasjutinskega " Zlati rez« (1990).

Večina raziskovalcev se strinja, da je dolžina stranice baze piramide npr. GF enako L= 233,16 m Ta vrednost skoraj natančno ustreza 500 "komolcem". Popolna skladnost s 500 "komolci" bo dosežena, če se šteje, da je dolžina "komolca" enaka 0,4663 m.

Višina piramide ( H) raziskovalci ocenjujejo različno od 146,6 do 148,2 m in glede na sprejeto višino piramide se spreminjajo vsa njena razmerja geometrijski elementi. Kaj je razlog za razlike v ocenah višine piramide? Dejstvo je, da je Cheopsova piramida, strogo gledano, okrnjena. Njena zgornja ploščad danes meri približno 10 ´ 10 m, pred stoletjem pa je bila 6 ´ 6 m. Očitno je bil vrh piramide razstavljen in ne ustreza prvotnemu.

Pri ocenjevanju višine piramide je treba upoštevati tak fizični dejavnik, kot je "osnutek" strukture. Za dolgo časa pod vplivom kolosalnega pritiska (ki je dosegel 500 ton na 1 m2 spodnje površine) se je višina piramide zmanjšala glede na prvotno višino.

Kakšna je bila prvotna višina piramide? To višino je mogoče ponovno ustvariti z iskanjem osnovne "geometrijske ideje" piramide.


Slika 2.

Leta 1837 je angleški polkovnik G. Wise izmeril kot naklona ploskev piramide: izkazalo se je, da je enak a= 51°51". To vrednost še danes priznava večina raziskovalcev. Navedena vrednost kota ustreza tangenti (tg a), enako 1,27306. Ta vrednost ustreza razmerju višine piramide AC do polovice svoje osnove C.B.(slika 2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

In tukaj je raziskovalce čakalo veliko presenečenje!.png" width="25" height="24">= 1,272. Primerjava te vrednosti z vrednostjo tg a= 1,27306, vidimo, da so te vrednosti zelo blizu druga drugi. Če vzamemo kot a= 51°50", to pomeni, da ga zmanjšate za samo eno kotno minuto, nato vrednost a bo postalo enako 1,272, kar pomeni, da bo sovpadalo z vrednostjo. Opozoriti je treba, da je leta 1840 G. Wise ponovil svoje meritve in pojasnil, da je vrednost kota a=51°50".

Te meritve so raziskovalce pripeljale do naslednje zelo zanimive hipoteze: trikotnik ACB Keopsove piramide je temeljil na relaciji AC / C.B. = = 1,272!

Razmislite zdaj o pravokotnem trikotniku ABC, pri katerem je razmerje nog A.C. / C.B.= (slika 2). Če zdaj dolžine stranic pravokotnika ABC določi z x, l, z, pri čemer upoštevajte tudi, da razmerje l/x= , potem je v skladu s Pitagorovim izrekom dolžina z se lahko izračuna po formuli:

Če sprejmemo x = 1, l= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">


Slika 3."Zlati" pravokotni trikotnik.

Pravokotni trikotnik, katerega stranice so povezane kot t:zlati" pravokotni trikotnik.

Potem, če za osnovo vzamemo hipotezo, da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlati" pravokotni trikotnik, potem lahko od tu zlahka izračunamo "načrtno" višino Keopsove piramide. Je enako:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Izpeljimo zdaj nekaj drugih razmerij za Keopsovo piramido, ki izhajajo iz »zlate« hipoteze. Zlasti bomo našli razmerje med zunanjo površino piramide in površino njene baze. Da bi to naredili, vzamemo dolžino noge C.B. na enoto, to je: C.B.= 1. Potem pa dolžina stranice baze piramide GF= 2, in površina baze EFGH bo enakovreden SEFGH = 4.

Zdaj izračunajmo površino stranske ploskve Keopsove piramide SD. Ker višina AB trikotnik AEF enako t, potem bo površina stranske ploskve enaka SD = t. Potem bo skupna površina vseh štirih stranskih ploskev piramide enaka 4 t, in razmerje med celotno zunanjo površino piramide in površino baze bo enako zlatemu rezu! to je to - glavna geometrijska skrivnost Keopsove piramide!

V skupino " geometrijska čudesa»Keopsovi piramidi lahko pripišemo resnične in fiktivne lastnosti odnosov med različnimi dimenzijami v piramidi.

Praviloma se pridobijo pri iskanju določenih "konstant", zlasti števila "pi" (Ludolfovo število), ki je enako 3,14159 ...; razlogov naravni logaritmi"e" (Neperjevo število), enako 2,71828 ...; številka "F", številka "zlatega reza", enaka na primer 0,618 ... itd.

Poimenujete lahko na primer: 1) Herodotova lastnina: (Višina)2 = 0,5 art. osnovni x Apotem; 2) Lastnina V. Cena: Višina: 0,5 čl. osnova = kvadratni koren iz "F"; 3) Lastnost M. Eista: Obseg baze: 2 Višina = "Pi"; v drugačni interpretaciji - 2 žlici. osnovni : Višina = "Pi"; 4) Lastnost G. Edge: Polmer včrtanega kroga: 0,5 art. osnovni = "F"; 5) Lastnina K. Kleppischa: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. .glavni X Apotem) + (v. glavni)2). In tako dalje. Takšnih lastnosti lahko najdete veliko, še posebej, če povežete dve sosednji piramidi. Na primer, kot »Lastnosti A. Arefjeva« je mogoče omeniti, da je razlika v prostornini Keopsove in Kefrenove piramide enaka dvakratni prostornini Mikerinove piramide ...

Številne zanimive določbe, zlasti o gradnji piramid v skladu z "zlatim rezom", so navedene v knjigah D. Hambidgea "Dinamična simetrija v arhitekturi" in M. Gicka "Estetika razmerja v naravi in ​​umetnosti". Spomnimo se, da je »zlati rez« delitev segmenta v takšnem razmerju, da je del A tolikokrat večji od dela B, kolikokrat je A manjši od celotnega segmenta A + B. Razmerje A/B v tem primeru je enako številu "F" == 1,618. Uporaba "zlatega reza" ni navedena samo v posameznih piramidah, ampak tudi v celotnem kompleksu piramid v Gizi.

Najbolj zanimivo pa je, da ena in ista Keopsova piramida preprosto »ne more« vsebovati toliko čudovitih lastnosti. Če vzamemo določeno lastnost eno za drugo, jo je mogoče "vgraditi", vendar se vse ne prilegajo hkrati - ne sovpadajo, nasprotujejo si. Če torej na primer pri preverjanju vseh lastnosti na začetku vzamemo isto stran baze piramide (233 m), potem bodo tudi višine piramid z različnimi lastnostmi različne. Z drugimi besedami, obstaja določena "družina" piramid, ki so navzven podobne Cheopsovim, vendar imajo drugačne lastnosti. Upoštevajte, da v "geometrijskih" lastnostih ni nič posebej čudežnega - veliko se pojavi čisto samodejno, iz lastnosti same figure. Za "čudež" je treba šteti le nekaj, kar je bilo za stare Egipčane očitno nemogoče. Sem sodijo zlasti »kozmični« čudeži, pri katerih meritve Keopsove piramide ali piramidnega kompleksa v Gizi primerjajo z nekaterimi astronomskimi meritvami in navajajo »sode« številke: milijonkrat manj, milijardokrat manj in tako naprej Poglejmo nekaj "kozmičnih" odnosov.

Ena od izjav je: "če delite stran baze piramide s točno dolžino leta, dobite natanko 10 milijonink zemeljske osi." Izračunaj: 233 delimo s 365, dobimo 0,638. Polmer Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je pravzaprav nasprotna prejšnji. F. Noetling je poudaril, da če uporabimo "egipčanski komolec", ki ga je sam izumil, bo stran piramide ustrezala "najbolj natančnemu trajanju sončnega leta, izraženemu na najbližjo milijardo dneva" - 365.540. 903.777.

Izjava P. Smitha: "Višina piramide je natanko milijarda razdalje od Zemlje do Sonca." Čeprav je običajna višina 146,6 m, jo ​​je Smith vzel za 148,2 m. Po sodobnih radarskih meritvah je velika pol os zemeljske orbite 149.597.870 + 1,6 km. To je povprečna razdalja od Zemlje do Sonca, vendar je v periheliju 5.000.000 kilometrov manj kot v afelu.

Še zadnja zanimiva izjava:

"Kako lahko razložimo, da so mase Keopsove, Kefrenove in Mikerinove piramide povezane med seboj, kot so mase planetov Zemlje, Venere, Marsa?" Izračunajmo. Mase treh piramid so: Khafre - 0,835; Keops - 1000; Mikerin - 0,0915. Razmerja mas treh planetov: Venera - 0,815; Zemlja - 1.000; Mars - 0,108.

Torej kljub skepticizmu opazimo dobro znano harmonijo konstrukcije izjav: 1) višina piramide, kot črta, ki "gre v vesolje", ustreza razdalji od Zemlje do Sonca; 2) stran baze piramide, ki je najbližja "substratu", to je Zemlji, je odgovorna za zemeljski polmer in zemeljsko kroženje; 3) prostornine piramide (beri - mase) ustrezajo razmerju mas planetov, ki so najbližje Zemlji. Podobno »šifro« lahko zasledimo na primer v čebeljem jeziku, ki ga je analiziral Karl von Frisch. Vendar se bomo zaenkrat vzdržali komentarjev na to temo.

PIRAMIDNA OBLIKA

Slavna tetraedrska oblika piramid ni nastala takoj. Skiti so izdelovali pokope v obliki zemeljskih gričev - gomil. Egipčani so gradili "hribe" iz kamna - piramide. Prvič se je to zgodilo po združitvi Zgornjega in Spodnjega Egipta, v 28. stoletju pred našim štetjem, ko je bil ustanovitelj tretje dinastije faraon Džoser (Zoser) postavljen pred nalogo krepitve enotnosti države.

In tukaj, po mnenju zgodovinarjev, pomembno vlogo pri krepitvi centralna vlada igral »novi koncept pobožanstvenosti« kralja. Čeprav so se kraljevi pokopi odlikovali z večjim sijajem, se načeloma niso razlikovali od grobnic dvornih plemičev; bile so enake strukture - mastabe. Nad komoro s sarkofagom, v katerem je bila mumija, je bil nasut pravokoten hrib majhnih kamnov, kjer je bila nato postavljena majhna zgradba iz velikih kamnitih blokov - "mastaba" (v arabščini - "klop"). Faraon Džoser je postavil prvo piramido na mestu mastabe svojega predhodnika Sanakhta. Bila je stopničasta in je bila vidna prehodna stopnja od ene arhitekturne oblike do druge, od mastabe do piramide.

Na ta način je modrec in arhitekt Imhotep, ki so ga kasneje imeli za čarovnika in so ga Grki istovetili z bogom Asklepijem, »vzgojil« faraona. Bilo je, kot da bi postavili šest mastab v vrsto. Poleg tega je prva piramida zasedla površino 1125 x 115 metrov, z ocenjeno višino 66 metrov (po egipčanskih standardih - 1000 "dlani"). Sprva je arhitekt načrtoval gradnjo mastabe, vendar ne podolgovate, ampak kvadratne oblike. Kasneje so ga razširili, a ker je bil prizidek nižji, se je zdelo, da sta stopnici dve.

Takšna situacija arhitekta ni zadovoljila in na zgornjo ploščad ogromne ravne mastabe je Imhotep postavil še tri, ki so se postopoma zmanjševale proti vrhu. Grobnica se je nahajala pod piramido.

Znanih je še več stopničastih piramid, pozneje pa so graditelji prešli na gradnjo nam bolj znanih tetraedrskih piramid. Zakaj pa ne trikotne ali recimo osmerokotne? Posredni odgovor daje dejstvo, da so skoraj vse piramide popolnoma usmerjene vzdolž štirih kardinalnih smeri in imajo torej štiri stranice. Poleg tega je bila piramida "hiša", lupina štirikotne pogrebne komore.

Toda kaj je določilo kot naklona obrazov? V knjigi "Načelo proporcij" je temu posvečeno celotno poglavje: "Kaj bi lahko določilo kote naklona piramid." Zlasti je navedeno, da je »podoba, h kateri gravitirajo velike piramide Starodavno kraljestvo- trikotnik s pravim kotom na vrhu.

V vesolju je to pol-oktaeder: piramida, v kateri so robovi in ​​stranice baze enaki, robovi so enakostranični trikotniki.« Nekatera razmišljanja o tej temi so podana v knjigah Hambidgea, Gicka in drugih.

Kakšna je prednost pol-oktaedrskega kota? Po opisih arheologov in zgodovinarjev so se nekatere piramide zrušile pod lastno težo. Potreben je bil »kot dolgoživosti«, kot, ki je energijsko najbolj zanesljiv. Povsem empirično lahko ta kot vzamemo iz vrhnega kota v kupu razpadajočega suhega peska. Če pa želite dobiti natančne podatke, morate uporabiti model. Če vzamete štiri trdno pritrjene krogle, morate nanje postaviti peto in izmeriti kote naklona. Tu pa lahko naredite napako, zato pomaga teoretični izračun: središča kroglic morate povezati s črtami (miselno). Osnova bo kvadrat s stranico, ki je enaka dvakratnemu polmeru. Kvadrat bo samo osnova piramide, katere dolžina robov bo prav tako enaka dvakratnemu polmeru.

Tako nam bo tesno pakiranje kroglic, kot je 1:4, dalo navaden pol-oktaeder.

Vendar, zakaj mnoge piramide, ki gravitirajo k podobni obliki, kljub temu ne ohranijo? Verjetno se piramide starajo. V nasprotju s slavnim izrekom:

»Vse na svetu se boji časa in čas se boji piramid,« zgradbe piramid se morajo starati, v njih se lahko in morajo pojavljati ne le procesi zunanjega preperevanja, temveč tudi procesi notranjega »krčenja«, ki lahko povzroči, da se piramide znižajo. Krčenje je možno tudi zato, ker so, kot je razkrilo delo D. Davidovitsa, stari Egipčani uporabljali tehnologijo izdelave blokov iz apnenih drobcev, z drugimi besedami, iz "betona". Prav podobni procesi bi lahko pojasnili razlog za uničenje piramide Medum, ki leži 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 let, dimenzije baze so 146 x 146 m, višina 118 m. »Zakaj je tako iznakažena?« se sprašuje V. Zamarovsky.

Navsezadnje je večina njenih blokov in obloženih plošč ostala na svojem mestu do danes, v ruševinah ob njenem vznožju." Kot bomo videli, nas številne določbe celo navajajo na razmišljanje, da je tudi znamenita Keopsova piramida "skrčena". v vsakem primeru so na vseh starodavnih slikah piramide koničaste ...

Oblika piramid bi lahko nastala tudi s posnemanjem: kakšni naravni vzorci, »čudežna popolnost«, recimo kakšni kristali v obliki oktaedra.

Podobni kristali so lahko diamantni in zlati kristali. Značilno veliko število"prekrivajoči" znaki za koncepte, kot so faraon, sonce, zlato, diamant. Povsod - plemenito, briljantno (briljantno), odlično, brezhibno in tako naprej. Podobnosti niso naključne.

Solarni kult je bil, kot je znano, pomemben del religije Stari Egipt. »Ne glede na to, kako prevajamo ime največje piramide,« ugotavlja eden od sodobnih pripomočkov- "Khufujev svod" ali "Khufujev svod", je pomenilo, da je kralj sonce. Če si je Khufu v sijaju svoje moči predstavljal, da je drugo sonce, potem je postal njegov sin Djedef-Ra. prvi od egiptovskih kraljev, ki se je imenoval "sin Ra", to je sin Sonca. Sonce skoraj vseh ljudstev je simbolizirala "sončna kovina", zlato. "Velik disk svetlega zlata" - tako so Egipčani rekli našemu dnevna svetloba. Egipčani so odlično poznali zlato, poznali so njegove izvorne oblike, kjer se zlati kristali lahko pojavijo v obliki oktaedrov.

»Sončni kamen« – diamant – je tu zanimiv tudi kot »vzorec oblik«. Ime diamanta je prišlo ravno iz arabskega sveta, "almas" - najtrši, najtrši, neuničljiv. Stari Egipčani so dobro poznali diamant in njegove lastnosti. Po mnenju nekaterih avtorjev so za vrtanje uporabljali celo bronaste cevi z diamantnimi rezalniki.

Trenutno je glavni dobavitelj diamantov Južna Afrika, vendar je zahodna Afrika bogata tudi z diamanti. Ozemlje Republike Mali se celo imenuje "diamantna dežela". Medtem pa na ozemlju Malija živijo Dogoni, s katerimi zagovorniki hipoteze o paleo-obisku polagajo veliko upov (glej spodaj). Diamanti niso mogli biti razlog za stike starih Egipčanov s to regijo. Kakorkoli že, možno je, da so stari Egipčani ravno s kopiranjem oktaedrov diamantnih in zlatih kristalov pobožali faraone, »neuničljive« kot diamant in »briljantne« kot zlato, Sončeve sinove, primerljive samo z njimi. do najčudovitejših stvaritev narave.

Zaključek:

Ko smo preučevali piramido kot geometrijsko telo, se seznanili z njenimi elementi in lastnostmi, smo se prepričali o utemeljenosti mnenja o lepoti oblike piramide.

Kot rezultat naše raziskave smo prišli do zaključka, da so Egipčani, ko so zbrali najdragocenejše matematično znanje, to utelešili v piramidi. Zato je piramida resnično najpopolnejša stvaritev narave in človeka.

SEZNAM UPORABLJENIH REFERENC

"Geometrija: učbenik. za 7-9 razred. splošno izobraževanje ustanove\ itd. - 9. izd.: Izobraževanje, 1999

Zgodovina matematike v šoli, M: "Prosveshchenie", 1982.

Geometrija 10-11 razreda, M: "Razsvetljenje", 2000

Peter Tompkins "Skrivnosti Velike Keopsove piramide", M: "Tsentropoligraf", 2005.

Internetni viri

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html