Tangenta je ravna črta , ki se dotika grafa funkcije v eni točki in katere vse točke so od grafa funkcije najmanj oddaljene. Zato gre tangenta tangentno na graf funkcije pod določenim kotom in več tangent pod določenim kotom ne more potekati skozi točko dotika. različne kote. Tangentne enačbe in normalne enačbe na graf funkcije so sestavljene z uporabo odvoda.
Tangentna enačba izhaja iz enačbe premice .
Izpeljimo enačbo tangente, nato pa še enačbo normale na graf funkcije.
l = kx + b .
V njej k - pobočje.
Od tu dobimo naslednji vnos:
l - l 0 = k(x - x 0 ) .
Izpeljana vrednost f "(x 0 ) funkcije l = f(x) na točki x0 enaka naklonu k= tg φ tangenta na graf funkcije, narisan skozi točko M0 (x 0 , l 0 ) , Kje l0 = f(x 0 ) . To je geometrijski pomen izpeljanka .
Tako lahko zamenjamo k na f "(x 0 ) in dobite naslednje enačba tangente na graf funkcije :
l - l 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Pri težavah, ki vključujejo sestavljanje enačbe tangente na graf funkcije (kmalu bomo prešli nanje), je treba enačbo, dobljeno iz zgornje formule, zmanjšati na enačba premice v splošni obliki. Če želite to narediti, morate premakniti vse črke in številke na levo stran enačbe in pustiti nič na desni strani.
Zdaj o normalni enačbi. normalno - to je ravna črta, ki poteka skozi točko tangente na graf funkcije, pravokotno na tangento. Normalna enačba :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(l - l 0 ) = 0
Za ogrevanje vas prosimo, da sami rešite prvi primer in nato pogledate rešitev. Z vsemi razlogi lahko upamo, da ta naloga za naše bralce ne bo "hladen tuš".
Primer 0. Sestavite tangentno enačbo in normalno enačbo za graf funkcije v točki M (1, 1) .
Primer 1. Napišite enačbo tangente in enačbo normale za graf funkcije 
, če je abscisa tangenta .
Poiščimo odvod funkcije:
Zdaj imamo vse, kar je treba nadomestiti z vnosom v teoretični pomoči, da dobimo enačbo tangente. Dobimo
V tem primeru smo imeli srečo: izkazalo se je, da je naklon enak nič, zato enačbo posebej zmanjšamo na splošni videz ni bilo potrebno. Zdaj lahko ustvarimo normalno enačbo:
Na spodnji sliki: graf funkcije bordo barva, tangenta zelena, oranžna normalna.
Naslednji primer prav tako ni zapleten: funkcija je, tako kot v prejšnjem, tudi polinom, vendar naklon ne bo enak nič, zato bo dodan še en korak - enačba se spravi v splošno obliko.
Primer 2.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Poiščimo odvod funkcije:
.
Poiščimo vrednost odvoda v tangentni točki, to je naklon tangente:
Vse dobljene podatke nadomestimo v "prazno formulo" in dobimo tangentno enačbo:
Enačbo spravimo v splošno obliko (na levi strani zberemo vse črke in številke, razen nič, na desni pa pustimo nič):
Sestavimo normalno enačbo:
Primer 3. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa točka dotika.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Poiščimo odvod funkcije:
.
Poiščimo vrednost odvoda v tangentni točki, to je naklon tangente:
.
Najdemo tangentno enačbo:
Preden enačbo spravite v splošno obliko, jo morate malo "prečesati": člen za členom pomnožite s 4. To naredimo in enačbo spravimo v splošno obliko:
Sestavimo normalno enačbo:
Primer 4. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa točka dotika.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
.
Poiščimo odvod funkcije:
Poiščimo vrednost odvoda v tangentni točki, to je naklon tangente:
.
Dobimo tangentno enačbo:
Enačbo pripeljemo v splošno obliko:
Sestavimo normalno enačbo:
Pogosta napaka pri pisanju tangentnih in normalnih enačb je, da ne opazimo, da je funkcija, podana v primeru, kompleksna, in izračunamo njen odvod kot odvod preproste funkcije. Naslednji primeri so že iz kompleksne funkcije(ustrezna lekcija se odpre v novem oknu).
Primer 5. Zapišite enačbo tangente in enačbo normale na graf funkcije, če je abscisa točka dotika.
rešitev. Poiščimo ordinato tangentne točke:
Pozor! Ta funkcija- zapleteno, saj argument tangente (2 x) je sama funkcija. Zato najdemo odvod funkcije kot odvod kompleksne funkcije.
Navodila
Določimo kotni koeficient tangente na krivuljo v točki M.
Krivulja, ki predstavlja graf funkcije y = f(x), je zvezna v določeni okolici točke M (vključno s samo točko M).
Če vrednost f‘(x0) ne obstaja, potem bodisi ni tangente ali pa poteka navpično. Glede na to je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 posledica obstoja nenavpične tangente, ki se dotika grafa funkcije v točki (x0, f(x0)). V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak f "(x0). Tako postane geometrijski pomen izpeljanke jasen - izračun kotnega koeficienta tangente.
Poiščite vrednost abscise tangentne točke, ki je označena s črko "a". Če sovpada z dano tangentno točko, bo "a" njena x-koordinata. Določite vrednost funkcije f(a) s substitucijo v enačbo funkcije abscisna vrednost.
Določite prvi odvod enačbe funkcije f’(x) in vanjo nadomestite vrednost točke “a”.
Vzemi splošna enačba tangenta, ki je definirana kot y = f (a) = f (a) (x – a), in vanj nadomestite najdene vrednosti a, f (a), f "(a). Kot rezultat, rešitev grafa in tangenta bosta najdena.
Nalogo reši drugače, če podana tangentna točka ne sovpada s tangentno točko. V tem primeru je treba namesto števil v enačbi tangente nadomestiti "a". Po tem namesto črk "x" in "y" nadomestite vrednost koordinat dane točke. Rešite nastalo enačbo, v kateri je "a" neznanka. Dobljeno vrednost vstavite v enačbo tangente.
Napišite enačbo za tangento s črko »a«, če stavek problema določa enačbo funkcije in enačbo vzporedne premice glede na želeno tangento. Po tem potrebujemo izpeljanko funkcije, na koordinato v točki "a". Nadomestite ustrezno vrednost v enačbo tangente in rešite funkcijo.
Primer 1. Glede na funkcijo f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x) na grafični točki z absciso x 0 = 1.
rešitev. Odvod funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo jo:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Potem f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna enačba ima obliko:
l = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
l = 10(x – 1) + 2,
l = 10x – 8.
Odgovori. l = 10x – 8.
Primer 2. Glede na funkcijo f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x), vzporedno s premico l = 2x – 11.
rešitev. Odvod funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo jo:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Ker je tangenta na graf funkcije f(x) na abscisi x 0 je vzporedna s premico l = 2x– 11, potem je njegov naklon enak 2, tj. x 0) = 2. Poiščimo to absciso iz pogoja, da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ta enakost velja le, če x 0 = 0 in pri x 0 = 2. Ker v obeh primerih f(x 0) = 5, nato naravnost l = 2x + b dotakne grafa funkcije v točki (0; 5) ali v točki (2; 5).
V prvem primeru velja numerična enakost 5 = 2×0 + b, kje b= 5, v drugem primeru pa velja numerična enakost 5 = 2×2 + b, kje b = 1.
Torej obstajata dve tangenti l = 2x+ 5 in l = 2x+ 1 na graf funkcije f(x), vzporedno s premico l = 2x – 11.
Odgovori. l = 2x + 5, l = 2x + 1.
Primer 3. Glede na funkcijo f(x) = x 2 – 6x+ 7. Zapišimo enačbo tangente na graf funkcije f(x), ki poteka skozi točko A (2; –5).
rešitev. Ker f(2) –5, nato točka A ne sodi v graf funkcije f(x). Naj x 0 - abscisa tangentne točke.
Odvod funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo jo:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Potem f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Tangentna enačba ima obliko:
l = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
l = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Od točke A pripada tangenti, potem velja numerična enakost
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
kjer x 0 = 0 oz x 0 = 4. To pomeni, da skozi točko A na graf funkcije lahko narišete dve tangenti f(x).
če x 0 = 0, potem ima tangentna enačba obliko l = –6x+ 7. Če x 0 = 4, potem ima tangentna enačba obliko l = 2x – 9.
Odgovori. l = –6x + 7, l = 2x – 9.
Primer 4. Podane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 in g(x) = –x 2 – 3. Zapišimo enačbo skupne tangente na grafe teh funkcij.
rešitev. Naj x 1 - abscisa točke dotika želene črte z grafom funkcije f(x), A x 2 - abscisa točke dotika iste črte z grafom funkcije g(x).
Odvod funkcije f(x) obstaja za vsak x R . Poiščimo jo:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Potem f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Tangentna enačba ima obliko:
l = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
l = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Poiščimo odvod funkcije g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Naj bo podana funkcija f, ki ima v neki točki x 0 končni odvod f (x 0). Potem se ravna črta, ki poteka skozi točko (x 0 ; f (x 0)) in ima kotni koeficient f ’(x 0), imenuje tangenta.
Kaj se zgodi, če odvod v točki x 0 ne obstaja? Obstajata dve možnosti:
- Tudi tangente na graf ni. Klasičen primer je funkcija y = |x | v točki (0; 0).
- Tangenta postane navpična. To velja na primer za funkcijo y = arcsin x v točki (1; π /2).
Tangentna enačba
Vsaka nenavpična ravna črta je podana z enačbo v obliki y = kx + b, kjer je k naklon. Tangenta ni nobena izjema in da bi ustvarili njeno enačbo v neki točki x 0, je dovolj poznati vrednost funkcije in odvod na tej točki.
Torej, naj bo dana funkcija y = f (x), ki ima odvod y = f ’(x) na segmentu. Potem lahko v kateri koli točki x 0 ∈ (a ; b) na graf te funkcije potegnemo tangento, ki je podana z enačbo:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Tu je f ’(x 0) vrednost odvoda v točki x 0, f (x 0) pa vrednost same funkcije.
Naloga. Dana je funkcija y = x 3 . Zapišite enačbo za tangento na graf te funkcije v točki x 0 = 2.
Tangentna enačba: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Točka x 0 = 2 nam je dana, vendar bo treba izračunati vrednosti f (x 0) in f ’(x 0).
Najprej poiščimo vrednost funkcije. Tukaj je vse enostavno: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Zdaj pa poiščimo odvod: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
V odvod nadomestimo x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Skupaj dobimo: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
To je tangentna enačba.
Naloga. Zapišite enačbo za tangento na graf funkcije f (x) = 2sin x + 5 v točki x 0 = π /2.
Tokrat ne bomo podrobno opisovali vsakega dejanja - le navedli bomo ključni koraki. Imamo:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Tangentna enačba:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
IN zadnji primer ravna črta se je izkazala za vodoravno, ker njegov kotni koeficient k = 0. S tem ni nič narobe - le naleteli smo na ekstremno točko.
Razmislite o naslednji sliki:
Upodablja neko funkcijo y = f(x), ki je diferenciabilna v točki a. Označena je točka M s koordinatami (a; f(a)). Skozi poljubno točko P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa narišemo sekanto MR.
Če zdaj točko P premaknemo vzdolž grafa do točke M, se bo premica MR vrtela okoli točke M. V tem primeru bo ∆x težil k ničli. Od tu lahko formuliramo definicijo tangente na graf funkcije.
Tangenta na graf funkcije
Tangenta na graf funkcije je mejni položaj sekansa, ko se prirastek argumenta nagiba k nič. Treba je razumeti, da obstoj odvoda funkcije f v točki x0 pomeni, da na tej točki grafa obstaja tangenta njemu.
V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak odvodu te funkcije v tej točki f’(x0). To je geometrijski pomen izpeljanke. Tangenta na graf funkcije f, ki jo je mogoče diferencirati v točki x0, je določena premica, ki poteka skozi točko (x0;f(x0)) in ima kotni koeficient f’(x0).
Tangentna enačba
Poskusimo dobiti enačbo tangente na graf neke funkcije f v točki A(x0; f(x0)). Enačba premice z naklonom k ima naslednjo obliko:
Ker je naš koeficient naklona enak odvodu f'(x0), potem bo enačba imela naslednjo obliko: y = f'(x0)*x + b.
Zdaj pa izračunajmo vrednost b. Za to uporabimo dejstvo, da funkcija prehaja skozi točko A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, od tu izrazimo b in dobimo b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Dobljeno vrednost nadomestimo v tangentno enačbo:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Razmislimo naslednji primer: poiščite enačbo tangente na graf funkcije f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 v točki x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo tangente, dobimo: y = 1 + 4*(x - 2). Če odpremo oklepaje in dodamo podobne izraze, dobimo: y = 4*x - 7.
Odgovor: y = 4*x - 7.
Splošna shema za sestavo tangentne enačbe na graf funkcije y = f(x):
1. Določite x0.
2. Izračunajte f(x0).
3. Izračunajte f’(x)