Na kratko o glavnem

Površina (2019)

Površina prizme

Ali obstaja splošna formula? Ne, na splošno ne. Samo poiskati morate območja stranskih ploskev in jih sešteti.

Formulo lahko napišemo za ravna prizma:

Kje je obod baze.

Še vedno pa je veliko lažje sešteti vsa področja v vsakem posameznem primeru kot pa si zapomniti dodatne formule. Na primer, izračunajmo skupno površino pravilne šesterokotne prizme.

Vse stranski obrazi- pravokotniki. Pomeni.

To se je pokazalo že pri izračunu volumna.

Torej dobimo:

Površina piramide

Splošno pravilo velja tudi za piramido:

Zdaj pa izračunajmo površino najbolj priljubljenih piramid.

Površina pravilne trikotne piramide

Naj bo stranica podstavka enaka in stranski rob enak. Moramo najti in.

Spomnimo se tega

To je območje pravilnega trikotnika.

In spomnimo se, kako iskati to območje. Uporabljamo formulo površine:

Za nas je “ ” to in “ ” je tudi to, eh.

Zdaj pa ga poiščimo.

Z uporabo osnovne formule ploščine in Pitagorovega izreka najdemo

Pozor:če imate navaden tetraeder (tj.), se formula izkaže takole:

Površina pravilne štirikotne piramide

Naj bo stranica podstavka enaka in stranski rob enak.

Osnova je kvadrat in zato.

Ostaja še najti območje stranske ploskve

Površina pravilne šesterokotne piramide.

Naj bo stran podlage enaka in stranski rob.

Kako najti? Šesterokotnik je sestavljen iz natanko šestih enakih pravilnih trikotnikov. Pri izračunu površine pravilnega trikotnika smo že iskali ploščino pravilnega trikotnika. trikotna piramida, tukaj uporabljamo najdeno formulo.

No, dvakrat smo že iskali območje stranske ploskve.

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

za kaj?

Za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, za proračunski vpis na fakulteto in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Potrebovali boste reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (izbirno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

1. Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
2. Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 999 rubljev.

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

V drugem primeru vam bomo dali simulator "6000 problemov z rešitvami in odgovori, za vsako temo, na vseh ravneh zahtevnosti." Zagotovo bo dovolj, da se lotite reševanja problemov na katero koli temo.

Pravzaprav je veliko več kot le simulator - celoten program priprava. Po potrebi ga lahko uporabljate tudi BREZPLAČNO.

Dostop do vseh besedil in programov je zagotovljen za CELOTNO obdobje obstoja strani.

In za zaključek...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Ploščina stranske ploskve poljubne piramide je enaka vsoti površin njenih stranskih ploskev. Smiselno je podati posebno formulo za izražanje tega območja v primeru pravilne piramide. Torej nam je podana pravilna piramida, na osnovi katere leži pravilen n-kotnik s stranico, enako a. Naj bo h višina stranske ploskve, imenovane tudi apotema piramide. Ploščina ene stranske ploskve je enaka 1/2ah, celotna stranska ploskev piramide pa ima ploščino n/2ha. Ker je na obod osnove piramide, lahko zapišemo najdeno formulo v obliki:

Bočna površina pravilne piramide je enak zmnožku njenega apotema in polovice obsega osnove.

Glede območje polna površina , potem preprosto dodamo površino osnove k stranski.

Včrtana in opisana krogla in krogla. Upoštevati je treba, da središče krogle, včrtane v piramido, leži na presečišču simetralnih ravnin notranjih diedrskih kotov piramide. Središče krogle, opisane v bližini piramide, leži na presečišču ravnin, ki potekajo skozi središča robov piramide in so pravokotne nanje.

Prisekana piramida.Če piramido prereže ravnina, ki je vzporedna z njeno osnovo, potem se del med sečno ravnino in osnovo imenuje prisekana piramida. Na sliki je prikazana piramida, če zavržemo njen del, ki leži nad rezalno ravnino, dobimo prisekano piramido. Jasno je, da je majhna zavržena piramida homotetična veliki piramidi s središčem homotetije na vrhu. Koeficient podobnosti enako razmerju višine: k=h 2 /h 1, ali stranski robovi, ali druge ustrezne linearne mere obeh piramid. Vemo, da so površine podobnih likov povezane kot kvadrati linearnih dimenzij; tako sta ploščini baz obeh piramid (tj. ploščina bak prisekane piramide) povezani kot

Tukaj je S 1 območje spodnje baze, S 2 pa območje zgornje baze prisekane piramide. Stranske površine piramid so v enakem razmerju. Podobno pravilo velja za količine.

Prostornine podobnih teles so povezani kot kocke svojih linearnih dimenzij; na primer, prostornine piramid so povezane kot zmnožek njihovih višin in površine baz, iz česar takoj dobimo naše pravilo. Absolutno ima splošni značaj in neposredno izhaja iz dejstva, da ima prostornina vedno razsežnost tretje dolžinske potence. S tem pravilom izpeljemo formulo, ki izraža prostornino prisekane piramide skozi višino in površino baz.

Naj bo podana prisekana piramida z višino h in osnovnima ploščinama S 1 in S 2 . Če si predstavljamo, da se nadaljuje polna piramida, potem je koeficient podobnosti med polno piramido in majhno piramido enostavno najti kot koren razmerja S 2 /S 1 . Višina prisekane piramide je izražena kot h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Zdaj imamo za prostornino prisekane piramide (V 1 in V 2 označujeta prostornino polne in male piramide)

formula za prostornino prisekane piramide

Izpeljimo formulo za ploščino S stranske ploskve pravilne prisekane piramide skozi oboda P 1 in P 2 baz in dolžino apoteme a. Razmišljamo popolnoma enako kot pri izpeljavi formule za prostornino. Dopolnitev piramide zgornji del, imamo P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, kjer je k koeficient podobnosti, P 1 in P 2 sta oboda baz, S 1 in S 2 pa sta ploščini stranskih ploskev celotno nastalo piramido oziroma njen zgornji del. Za stransko ploskev najdemo (a 1 in a 2 sta apotemi piramid, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za stransko površino pravilne prisekane piramide

V tej lekciji:

• Problem 1. Poiščite celotno površino piramide
• Problem 2. Poiščite stransko površino pravilne trikotne piramide

Oglejte si tudi povezana gradiva:
.

Opomba . Če morate rešiti geometrijski problem, ki ga ni tukaj, pišite o tem na forumu. V nalogah se namesto simbola "kvadratni koren" uporablja funkcija sqrt(), v kateri je simbol sqrt kvadratni koren, radikalni izraz pa je naveden v oklepajih. Za preproste radikalne izraze se lahko uporabi znak "√"..

Problem 1. Poiščite skupno površino pravilne piramide

Višina osnove pravilne trikotne piramide je 3 cm, kot med stransko ploskvijo in osnovo piramide pa je 45 stopinj.
Poiščite celotno površino piramide

rešitev.

Na dnu pravilne trikotne piramide leži enakostranični trikotnik.
Zato bomo za rešitev problema uporabili lastnosti pravilnega trikotnika:

Poznamo višino trikotnika, od koder lahko poiščemo njegovo ploščino.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Od koder bo površina baze enaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bi našli površino stranske ploskve, izračunamo višino KM. Glede na nalogo je kot OKM 45 stopinj.
Torej:
OK / MK = cos 45
Uporabimo tabelo vrednosti trigonometričnih funkcij in zamenjamo znane vrednosti.

OK / MK = √2/2

Upoštevajmo, da je OK enak polmeru včrtanega kroga. Potem
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Potem
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina stranske ploskve je nato enaka polovici produkta višine in osnove trikotnika.
Sstran = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Tako bo skupna površina piramide enaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovori: 3√3 + 18/√6

Problem 2. Poiščite stransko površino pravilne piramide

V pravilni trikotni piramidi je višina 10 cm, stranica podnožja pa 16 cm. . Poiščite stransko površino .

rešitev.

Ker je osnova pravilne trikotne piramide enakostranični trikotnik, je AO polmer krožnice, ki je opisana okoli baze.
(To izhaja iz)

Polmer kroga, opisanega okrog enakostraničnega trikotnika, je mogoče najti iz njegovih lastnosti

Od tod bo dolžina robov pravilne trikotne piramide enaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
višina piramide je znana po pogoju (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Vsaka stranica piramide je enakokraki trikotnik. Poiščite površino enakokrakega trikotnika iz prve formule, predstavljene spodaj

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Ker so vse tri ploskve pravilne piramide enake, bo stranska površina enaka
3S = 48 √(91/3)

odgovor: 48 √(91/3)

Problem 3. Poiščite skupno površino pravilne piramide

Stranica pravilne trikotne piramide je 3 cm, kot med stransko ploskvijo in osnovo piramide pa je 45 stopinj. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev.
Ker je piramida pravilna, je na njenem dnu enakostranični trikotnik. Zato je površina baze


Torej = 9 * √3/4

Da bi našli površino stranske ploskve, izračunamo višino KM. Glede na nalogo je kot OKM 45 stopinj.
Torej:
OK / MK = cos 45
Izkoristimo

Pri pripravi na enotni državni izpit iz matematike morajo učenci sistematizirati svoje znanje algebre in geometrije. Rad bi združil vse znane informacije, na primer o tem, kako izračunati površino piramide. Še več, začenši od podlage in stranskih robov do celotne površine. Če je situacija s stranskimi ploskvami jasna, ker so trikotniki, potem je osnova vedno drugačna.

Kako najti območje baze piramide?

Lahko je popolnoma katera koli figura: od poljubnega trikotnika do n-kotnika. In ta osnova je poleg razlike v številu kotov lahko pravilna ali nepravilna figura. V nalogah enotnega državnega izpita, ki zanimajo šolarje, so v osnovi samo naloge s pravilnimi številkami. Zato bomo govorili samo o njih.

Pravilni trikotnik

Se pravi enakostranični. Tisti, v katerem so vse strani enake in označene s črko "a". V tem primeru se površina osnove piramide izračuna po formuli:

S = (a 2 * √3) / 4.

kvadrat

Formula za izračun njegove površine je najpreprostejša, tukaj je "a" spet stran:

Poljubni pravilni n-kotnik

Stranica mnogokotnika ima enak zapis. Za število kotov se uporablja latinska črka n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kaj storiti pri izračunu bočne in skupne površine?

Ker v osnovi leži pravilna figura, potem se izkaže, da so vse ploskve piramide enake. Poleg tega je vsak od njih enakokrak trikotnik, saj stranska rebra so enaki. Potem, da bi izračunali stransko območje piramido, boste potrebovali formulo, sestavljeno iz vsote enakih monomov. Število členov je določeno s številom stranic baze.

Območje enakokrakega trikotnika se izračuna po formuli, v kateri se polovica produkta osnove pomnoži z višino. Ta višina v piramidi se imenuje apotem. Njegova oznaka je "A". Splošna formula za bočno površino je:

S = ½ P*A, kjer je P obseg baze piramide.

Obstajajo situacije, ko stranice baze niso znane, podani pa so stranski robovi (c) in ravni kot pri njenem vrhu (α). Nato morate za izračun stranske površine piramide uporabiti naslednjo formulo:

S = n/2 * v 2 sin α .

Naloga št. 1

Pogoj. Poiščite skupno ploščino piramide, če ima njena osnova stranico 4 cm in apotem vrednost √3 cm.

rešitev. Začeti morate z izračunom oboda baze. Ker to navaden trikotnik, potem je P = 3*4 = 12 cm. Ker je apotem znan, lahko takoj izračunamo površino celotne stranske površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Za trikotnik na dnu dobite naslednjo vrednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Če želite določiti celotno površino, boste morali sešteti dve dobljeni vrednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovori. 10√3 cm 2.

Problem št. 2

Pogoj. Obstaja pravilna štirikotna piramida. Dolžina osnovne stranice je 7 mm, stranskega roba 16 mm. Treba je ugotoviti njegovo površino.

rešitev. Ker je polieder štirikoten in pravilen, je njegova osnova kvadrat. Ko poznate površino osnove in stranskih ploskev, boste lahko izračunali površino piramide. Formula za kvadrat je navedena zgoraj. In za stranske ploskve so znane vse strani trikotnika. Zato lahko za izračun njihovih površin uporabite Heronovo formulo.

Prvi izračuni so preprosti in vodijo do naslednje številke: 49 mm 2. Za drugo vrednost boste morali izračunati polobod: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Zdaj lahko izračunate površino enakokrakega trikotnika: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Obstajajo samo štirje takšni trikotniki, zato ga boste morali pri izračunu končnega števila pomnožiti s 4.

Izkazalo se je: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odgovori. Želena vrednost je 267,576 mm 2.

Problem št. 3

Pogoj. Pravega štirikotna piramida morate izračunati površino. Znano je, da je stranica kvadrata 6 cm, višina pa 4 cm.

rešitev. Najlažje je uporabiti formulo s produktom obsega in apoteme. Prvo vrednost je enostavno najti. Drugi je malo bolj zapleten.

Morali se bomo spomniti Pitagorovega izreka in razmisliti Sestavljata ga višina piramide in apotem, ki je hipotenuza. Drugi krak je enak polovici stranice kvadrata, saj višina poliedra pade na njegovo sredino.

Zahtevani apotem (hipotenuza pravokotnega trikotnika) je enak √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Zdaj lahko izračunate zahtevano vrednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odgovori. 96 cm 2.

Problem št. 4

Pogoj. Dana pravilna stran njegove baze so 22 mm, stranska rebra 61 mm. Kakšna je stranska površina tega poliedra?

rešitev. Utemeljitev v njej je enaka tisti, ki je opisana v nalogi št. 2. Samo tam je bila dana piramida s kvadratom na dnu, zdaj pa je šesterokotnik.

Najprej se osnovna površina izračuna z uporabo zgornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Zdaj morate ugotoviti polobod enakokrakega trikotnika, ki je stranska stran. (22+61*2):2 = 72 cm. Vse kar ostane je, da s Heronovo formulo izračunamo površino vsakega takega trikotnika in jo nato pomnožimo s šest in dodamo tisti, ki jo dobimo za osnovo.

Izračuni z uporabo Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni, ki bodo dali stransko površino: 660 * 6 = 3960 cm 2. Še vedno jih je treba sešteti, da ugotovimo celotno površino: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovori. Osnovica meri 726√3 cm2, stranska ploskev 3960 cm2, celotna ploščina 5217 cm2.

Površina piramide. V tem članku si bomo ogledali težave z običajnimi piramidami. Naj vas spomnim, da je pravilna piramida piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, vrh piramide je projiciran v središče tega mnogokotnika.

Stranska stran takšne piramide je enakokraki trikotnik.Nadmorska višina tega trikotnika, izvlečena iz vrha pravilne piramide, se imenuje apotem, SF - apotem:

V vrsti problema, ki je predstavljen spodaj, morate najti površino celotne piramide ali površino njene stranske površine. Na blogu je bilo že obravnavanih več težav s pravilnimi piramidami, kjer se je pojavilo vprašanje iskanja elementov (višina, osnovni rob, stranski rob).

IN Naloge za enotni državni izpit Praviloma se upoštevajo pravilne trikotne, štirikotne in šesterokotne piramide. Pri navadnih peterokotnih in sedemkotnih piramidah nisem opazil nobenih težav.

Formula za površino celotne površine je preprosta - najti morate vsoto površine osnove piramide in površine njene stranske površine:

Razmislimo o nalogah:

Strani osnove pravilne štirikotne piramide so 72, stranski robovi pa 164. Poiščite površino te piramide.

Površina piramide je enaka vsoti površin stranske površine in osnove:

* Stranska ploskev je sestavljena iz štirih enako velikih trikotnikov. Osnova piramide je kvadrat.

Ploščino stranice piramide lahko izračunamo z:

Tako je površina piramide:

Odgovor: 28224

Strani osnove pravilne šesterokotne piramide so enake 22, stranski robovi so enaki 61. Poiščite stransko površino te piramide.

Osnova pravilne šesterokotne piramide je pravilni šesterokotnik.

Stranska površina te piramide je sestavljena iz šestih območij enakih trikotnikov s stranicami 61,61 in 22:

Poiščimo površino trikotnika s Heronovo formulo:

Tako je bočna površina:

Odgovor: 3240

*V zgoraj predstavljenih težavah je mogoče površino stranske ploskve najti z drugo formulo trikotnika, vendar morate za to izračunati apotem.

27155. Poiščite površino pravilne štirikotne piramide, katere osnovne stranice so 6 in višina 4.

Da bi našli površino piramide, moramo poznati površino osnove in površino stranske površine:

Površina osnove je 36, saj je kvadrat s stranico 6.

Stranska površina je sestavljena iz štirih ploskev, ki so enaki trikotniki. Če želite najti območje takšnega trikotnika, morate poznati njegovo osnovo in višino (apotem):

* Ploščina trikotnika je enaka polovici zmnožka osnove in na to osnovo narisane višine.

Osnova je znana, enaka je šest. Poiščimo višino. Razmislimo pravokotni trikotnik(označeno je rumeno):

En krak je enak 4, ker je to višina piramide, drugi je enak 3, ker je enak polovici roba osnove. Hipotenuzo lahko najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka:

To pomeni, da je površina stranske površine piramide:

Tako je površina celotne piramide:

Odgovor: 96

27069. Strani osnove pravilne štirikotne piramide so enake 10, stranski robovi so enaki 13. Poiščite površino te piramide.

27070. Strani osnove pravilne šesterokotne piramide so enake 10, stranski robovi so enaki 13. Poiščite stransko površino te piramide.

Obstajajo tudi formule za stransko površino pravilne piramide. V pravilni piramidi je osnova pravokotna projekcija stranske ploskve, torej:

p- osnovni obod, l- apotem piramide

*Ta formula temelji na formuli za ploščino trikotnika.

Če želite izvedeti več o tem, kako so te formule izpeljane, ne zamudite, spremljajte objavo člankov.To je vse. Vso srečo!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.