Opredelitev. Prizma je polieder, katerega vsa oglišča se nahajajo v dveh vzporednih ravninah in v teh dveh ravninah ležita dve ploskvi prizme, ki sta enaka poligona z oz. vzporedne stranice, in vsi robovi, ki ne ležijo v teh ravninah, so vzporedni.

Dva enaki obrazi se imenujejo baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Vse druge ploskve prizme imenujemo stranski obrazi(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Oblikujejo se vse stranske ploskve stransko površino prizme .

Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami .

Robovi, ki ne ležijo na osnovi, se imenujejo stranski robovi prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prizme je segment, katerega konca sta dve oglišči prizme, ki ne ležita na isti ploskvi (AD 1).

Dolžina odseka, ki povezuje osnovici prizme in je pravokotna na obe osnovi hkrati, se imenuje višina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najprej so v vrstnem redu prečkanja označena oglišča ene baze, nato pa v istem vrstnem redu oglišča druge; konci vsakega stranskega roba so označeni z enakimi črkami, le oglišča, ki ležijo v eni bazi so označeni s črkami brez indeksa, v drugi pa z indeksom)

Ime prizme je povezano s številom kotov v sliki, ki leži na njenem dnu, na primer na sliki 1 je na dnu peterokotnik, zato se prizma imenuje peterokotna prizma. Ampak ker ima taka prizma 7 ploskev, potem jo heptaeder(2 ploskvi - osnove prizme, 5 ploskev - paralelogrami, - njene stranske ploskve)

Med ravnimi prizmami izstopa posebna vrsta: navadne prizme.

Ravna prizma se imenuje pravilno,če so njegove osnove pravilni mnogokotniki.

Paralelepiped

Pravokotni paralelopiped- pravi paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik.

Lastnosti in izreki:

,

kjer je d diagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.

Zamisel o prizmi je podana z:

• različne arhitekturne strukture;
• otroške igrače;
• škatle za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Območje celotne in stranske površine prizme

S polno = S stran + 2S glavno,

kje S poln- skupna površina, S stran- bočna površina, S osnova- osnovna površina

Stranska površina ravne prizme je enaka zmnožku obsega osnove in višine prizme.

S stran= P osnovni * h,

kje S stran- območje stranske površine ravne prizme,

P main - obod osnove ravne prizme,

h je višina ravne prizme, enaka stranskemu robu.

Prostornina prizme

Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.

IN šolski kurikulum Pri tečaju stereometrije se preučevanje tridimenzionalnih likov običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka poligona, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegovi osnovi sta 2 enaka pravilna štirikotnika, na katera sta pravokotni straneh v obliki paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).

Kako izgleda prizma?

Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, katerega osnovi sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Spodaj je prikazana risba, ki prikazuje štirikotno prizmo.

Vidite tudi na sliki najpomembnejši elementi, ki sestavljajo geometrijsko telo . Ti vključujejo:

Včasih lahko v geometrijskih problemih naletite na koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: odsek so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Odsek je lahko pravokoten (seka robove figure pod kotom 90 stopinj). Za pravokotno prizmo se upošteva tudi diagonalni prerez ( največja količina odseki, ki jih je mogoče zgraditi - 2), ki potekajo skozi 2 robova in diagonali baze.

Če je prerez narisan tako, da sekalna ravnina ni vzporedna ne z osnovami ne s stranskimi ploskvami, je rezultat prisekana prizma.

Za iskanje danih prizmatičnih elementov se uporabljajo različne relacije in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).

Površina in prostornina

Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:

V = Sbas h

Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko zapišete v podrobnejši obliki:

V = a²·h

Če govorimo o kocki - navadni prizmi z enake dolžine, širina in višina, se prostornina izračuna na naslednji način:

Da bi razumeli, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen razvoj.

Iz risbe je razvidno, da je stranska ploskev sestavljena iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek obsega osnove in višine figure:

Sstran = Posn h

Ob upoštevanju, da je obseg kvadrata enak P = 4a, formula ima obliko:

Sstran = 4a h

Za kocko:

S stran = 4a²

Če želite izračunati skupno površino prizme, morate stranski površini dodati 2 osnovni površini:

Polna = Sstran + 2Sglavna

Glede na štirikotno pravilno prizmo je formula videti takole:

Skupaj = 4a h + 2a²

Za površino kocke:

Polno = 6a²

Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijskega telesa.

Iskanje elementov prizme

Pogosto so problemi, pri katerih je podana prostornina ali je znana vrednost bočne ploskve, kjer je treba določiti dolžino stranice baze ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:

• dolžina osnovne stranice: a = S stran / 4h = √(V / h);
• višina ali dolžina stranskega rebra: h = S stran / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• stransko območje obraza: Stran gr = Sstran / 4.

Če želite ugotoviti, koliko površine ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. Iz tega sledi:

Sdiag = ah√2

Za izračun diagonale prizme uporabite formulo:

dnagrada = √(2a² + h²)

Če želite razumeti, kako uporabiti dane odnose, lahko vadite in rešite več preprostih nalog.

Primeri problemov z rešitvami

Tukaj je nekaj nalog, ki jih najdemo na državnem maturi iz matematike.

Naloga 1.

Pesek se nasuje v škatlo v obliki pravilne štirikotne prizme. Višina njegove gladine je 10 cm. Kakšna bo gladina peska, če jo premaknete v posodo enake oblike, vendar z dvakrat daljšim dnom?

To je treba obrazložiti na naslednji način. Količina peska v prvi in ​​drugi posodi se ni spremenila, to pomeni, da je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino osnove lahko označite z a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina gladine peska ni znana:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Ker V₁ = V₂, lahko enačimo izraze:

10a² = 4ha²

Po zmanjšanju obeh strani enačbe za a² dobimo:

Kot rezultat nova raven pesek bo h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Naloga 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.

Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.

Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je na dnu kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve je enake velikosti, zato ima tudi stranska ploskev obliko kvadrata, ki je enaka osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celotno površino dobimo s formulo za kocko:

Polno = 6a² = 6 6² = 216

Naloga 3.

Sobo prenavljajo. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšna je najnižja cena lepljenja sobe, če 1 m² stane 50 rubljev?

Ker sta tla in strop kvadrata, torej pravilni štirikotnik, stene pa pravokotne na vodoravne površine, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.

Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.

Območje bo prekrito s tapetami Sstran = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50·30 = 1500 rubljev

Tako je za reševanje problemov, ki vključujejo pravokotno prizmo, dovolj, da lahko izračunate površino in obseg kvadrata in pravokotnika ter poznate formule za iskanje prostornine in površine.

Kako najti območje kocke

Prizma. Paralelepiped

Prizma je polieder, katerega ploskvi sta enaka n-kotnika (baze) , ki ležijo v vzporednih ravninah, preostalih n ploskev pa so paralelogrami (stranski obrazi) . Bočno rebro Stranico prizme, ki ne pripada osnovici, imenujemo stranica prizme.

Imenuje se prizma, katere stranski robovi so pravokotni na ravnine baz neposredno prizma (slika 1). Če stranski robovi niso pravokotni na ravnine baz, se imenuje prizma nagnjen . Pravilno Prizma je prava prizma, katere osnove so pravilni mnogokotniki.

Višina prizma je razdalja med ravninama baz. Diagonala Prizma je segment, ki povezuje dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi. Diagonalni odsek se imenuje presek prizme z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi. Pravokotni prerez imenujemo prerez prizme z ravnino, pravokotno na stranski rob prizme.

Bočna površina prizme je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina imenujemo vsota ploščin vseh ploskev prizme (tj. vsota ploščin stranskih ploskev in ploščin baz).

Za poljubno prizmo veljajo naslednje formule::

kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p

Q

S stran

S poln

S osnova– površina baz;

V– prostornina prizme.

Za ravno prizmo so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H- višina.

paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnove, se imenuje neposredno (slika 2). Če stranski robovi niso pravokotni na osnove, se imenuje paralelepiped nagnjen . Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotne. Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka

Imenujemo ploskve paralelepipeda, ki nimajo skupnih oglišč nasprotje . Dolžine robov, ki izhajajo iz enega oglišča, se imenujejo meritve paralelopiped. Ker je paralelepiped prizma, so njegovi glavni elementi definirani na enak način, kot so definirani za prizme.

Izreki.

1. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in se z njo razpolovita.

2. V pravokotnem paralelopipedu je kvadrat dolžine diagonale enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij:

3. Vse štiri diagonale pravokotnega paralelopipeda so med seboj enake.

Za poljuben paralelepiped veljajo naslednje formule:

kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p– obod pravokotnega prereza;

Q– pravokotna površina prečnega prereza;

S stran– bočna površina;

S poln– skupna površina;

S osnova– površina baz;

V– prostornina prizme.

Za pravi paralelepiped so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H– višina pravilnega paralelepipeda.

Za pravokotni paralelepiped so pravilne naslednje formule:

(3)

kje str– osnovni obod;

H- višina;

d- diagonalno;

a,b,c– meritve paralelopipeda.

Za kocko so pravilne naslednje formule:

kje a- dolžina reber;

d- diagonala kocke.

Primer 1. Diagonala pravokotnega paralelepipeda je 33 dm, njegove mere pa so v razmerju 2 : 6 : 9. Poišči mere paralelepipeda.

rešitev. Za iskanje dimenzij paralelopipeda uporabimo formulo (3), tj. s tem, da je kvadrat hipotenuze kvadra enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij. Označimo z k faktor sorazmernosti. Potem bo dimenzija paralelepipeda enaka 2 k, 6k in 9 k. Zapišimo formulo (3) za podatke problema:

Rešitev te enačbe za k, dobimo:

To pomeni, da so mere paralelepipeda 6 dm, 18 dm in 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primer 2. Poiščite prostornino nagnjene trikotne prizme, katere osnova je enakostranični trikotnik s stranico 8 cm, če je stranski rob enak stranici osnove in je nagnjen pod kotom 60º na osnovo.

rešitev . Naredimo risbo (slika 3).

Da bi našli prostornino nagnjene prizme, morate poznati površino njene osnove in višino. Območje osnove dane prizme je območje enakostranični trikotnik s stranico 8 cm. Izračunajmo jo:

Višina prizme je razdalja med njenima osnovama. Z vrha A 1 zgornje podlage, spustite pravokotno na ravnino spodnje podlage A 1 D. Njegova dolžina bo višina prizme. Razmislite o D A 1 AD: ker je to kot naklona stranskega roba A 1 A na osnovno ravnino, A 1 A= 8 cm Iz tega trikotnika najdemo A 1 D:

Zdaj izračunamo prostornino s formulo (1):

odgovor: 192 cm 3.

Primer 3. Stransko rebro pravilno heksagonalna prizma enaka 14 cm, površina največjega diagonalnega odseka je enaka 168 cm 2. Poiščite celotno površino prizme.

rešitev. Naredimo risbo (slika 4)

Največji diagonalni del je pravokotnik A.A. 1 DD 1 od diagonale AD pravilni šesterokotnik ABCDEF je največji. Za izračun bočne površine prizme je potrebno poznati stran podlage in dolžino stranskega roba.

Če poznamo površino diagonalnega odseka (pravokotnik), najdemo diagonalo osnove.

Od takrat

Od takrat AB= 6 cm.

Potem je obseg baze:

Poiščimo površino stranske površine prizme:

Ploščina pravilnega šesterokotnika s stranico 6 cm je:

Poiščite celotno površino prizme:

odgovor:

Primer 4. Osnova pravilnega paralelepipeda je romb. Ploščini diagonalnih prerezov sta 300 cm2 in 875 cm2. Poiščite površino stranske površine paralelopipeda.

rešitev. Naredimo risbo (slika 5).

Stranico romba označimo z A, diagonale romba d 1 in d 2, višina paralelepipeda h. Če želite najti površino stranske površine desnega paralelepipeda, je treba obseg osnove pomnožiti z višino: (formula (2)). Osnovni obod p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, ker ABCD- romb H = AA 1 = h. to. Treba najti A in h.

Razmislimo o diagonalnih odsekih. AA 1 SS 1 – pravokotnik, katerega ena stran je diagonala romba AC = d 1, drugi – stranski rob AA 1 = h, Potem

Podobno za razdelek BB 1 DD 1 dobimo:

Z uporabo lastnosti paralelograma, da je vsota kvadratov diagonal enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic, dobimo enakost. Dobimo naslednje.

Bočna površina prizme. pozdravljena V tej publikaciji bomo analizirali skupino problemov v stereometriji. Razmislimo o kombinaciji teles – prizme in valja. Vklopljeno v tem trenutku Ta članek zaključuje celotno serijo člankov, povezanih z obravnavo tipov nalog v stereometriji.

Če se v banki opravil pojavijo novi, bodo blog v prihodnosti seveda dopolnjeni. Kar pa je že tam, je povsem dovolj, da se naučiš reševati vse naloge s kratkim odgovorom v okviru izpita. Snovi bo dovolj še leta (program matematike je statičen).

Predstavljene naloge vključujejo izračun ploščine prizme. Ugotavljam, da spodaj obravnavamo ravno prizmo (in s tem ravni valj).

Brez poznavanja formul razumemo, da so stranske ploskve prizme vse njene stranske ploskve. Ravna prizma ima pravokotne stranske ploskve.

Površina stranske površine takšne prizme je enaka vsoti površin vseh njenih stranskih ploskev (to je pravokotnikov). Če govorimo o pravilni prizmi, v katero je vpisan valj, potem je jasno, da so vse ploskve te prizme ENAKOPRAVNE pravokotnice.

Formalno se stranska površina pravilne prizme lahko odraža na naslednji način:

27064. Pravilna štirikotna prizma je opisana okoli valja, katerega osnovni polmer in višina sta enaka 1. Poiščite stransko površino prizme.

Stranska ploskev te prizme je sestavljena iz štirih enako velikih pravokotnikov. Višina ploskve je 1, rob osnove prizme je 2 (to sta dva polmera valja), zato je površina stranske ploskve enaka:

Stranska površina:

73023. Poiščite stransko površino pravilne trikotne prizme, ki je obrobljena okrog valja, katerega osnovni radij je √0,12 in višina 3.

Bočna površina te prizme je enaka vsoti tri kvadratke stranske ploskve (pravokotniki). Če želite najti območje stranske ploskve, morate poznati njegovo višino in dolžino osnovnega roba. Višina je tri. Poiščimo dolžino osnovnega roba. Razmislite o projekciji (pogled od zgoraj):

Imamo navaden trikotnik v katerega je vpisan krog s polmerom √0,12. Iz pravokotnega trikotnika AOC najdemo AC. In nato AD (AD=2AC). Po definiciji tangente:

To pomeni AD = 2AC = 1,2. Tako je stranska površina enaka:

27066. Poiščite stransko ploskev pravilne šesterokotne prizme, ki je obrobljena okrog valja, katerega osnovni radij je √75 in višina 1.

Zahtevana površina je enaka vsoti ploščin vseh stranskih ploskev. Pravilna šestkotna prizma ima stranske ploskve, ki so enaki pravokotniki.

Če želite najti površino obraza, morate poznati njegovo višino in dolžino osnovnega roba. Višina je znana, enaka je 1.

Poiščimo dolžino osnovnega roba. Razmislite o projekciji (pogled od zgoraj):

Imamo pravilni šestkotnik, v katerega je vpisan krog s polmerom √75.

Razmislimo pravokotni trikotnik ABO. Poznamo krak OB (to je polmer valja). Določimo lahko tudi kot AOB, ta je enak 300 (trikotnik AOC je enakostranični, OB je simetrala).

Uporabimo definicijo tangente v pravokotnem trikotniku:

AC = 2AB, saj je OB mediana, to pomeni, da AC deli na pol, kar pomeni AC = 10.

Tako je površina stranske površine 1∙10=10 in površina stranske površine je:

76485. Poiščite stransko površino pravilne trikotne prizme, včrtane v valj, katerega osnovni polmer je 8√3 in višina 6.

Območje stranske površine določene prizme treh enako velikih ploskev (pravokotnikov). Da bi našli ploščino, morate poznati dolžino roba baze prizme (mi poznamo višino). Če upoštevamo projekcijo (pogled od zgoraj), imamo pravilen trikotnik, včrtan v krog. Stranica tega trikotnika je izražena s polmerom kot:

Podrobnosti o tem razmerju. Torej bo enakovredno

Potem je površina stranske ploskve: 24∙6=144. In zahtevano območje:

245354. Pravilna štirikotna prizma je opisana okrog valja, katerega osnovni polmer je 2. Stranska površina prizme je 48. Poiščite višino valja.

Enostavno je. Imamo štiri enako velike stranske ploskve, torej je ploščina ene ploskve 48:4=12. Ker je polmer osnove valja enak 2, bo rob osnove prizme zgodnji 4 - enak je premeru valja (to sta dva polmera). Poznamo površino obraza in enega roba, pri čemer bo višina drugega enaka 12:4=3.

27065. Poiščite stransko površino pravilne trikotne prizme, ki je obkrožena z valjem, katerega osnovni radij je √3 in višina 2.

Lep pozdrav, Alexander.