Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).
Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor kotov ima mnogokotnik.
Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.
Opredelitev. Apotema- to je pravokotna na stransko ploskev piramide, spuščena z vrha piramide na stran baze.
Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.
Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.
Prostornina in površina piramide
Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:
Lastnosti piramide
Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).
Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.
Stranska rebra so enaka, ko se tvorijo z ravnino baze enaki koti ali če je mogoče opisati krog okoli baze piramide.
če stranski obrazi so nagnjene na ravnino baze pod enim kotom, potem je mogoče v osnovo piramide vpisati krog, vrh piramide pa je projiciran v njeno središče.
Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.
Lastnosti pravilne piramide
1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.
2. Vsi stranski robovi so enaki.
3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.
4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.
5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.
6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.
7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.
8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.
9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.
Povezava med piramido in kroglo
Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.
Okoli poljubnega trikotnika oz redna piramida kroglo lahko vedno opišeš.
Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.
Povezava piramide s stožcem
Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca včrtana v osnovi piramide.
Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.
Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.
Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.
Razmerje med piramido in valjem
Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.
Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.
Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.
Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.
Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).
Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).
Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.
Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.
Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.
Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder, v katerem so vse štiri ploskve enakostranični trikotniki. Je eden izmed petih pravilnih mnogokotnikov. V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri oglišču) enaki.
Opredelitev. Pravokotni tetraeder je tetraeder s pravim kotom med tremi robovi na vrhu (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in robovi so pravokotne trikotnike, osnova pa je poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.
Opredelitev. Izoedrski tetraeder se imenuje tetraeder, katerega stranske ploskve so enake druga drugi, osnova pa je pravilen trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.
Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.
Opredelitev. Zvezdna piramida imenujemo polieder, katerega osnova je zvezda.
Uvod
Ko smo začeli preučevati stereometrične figure, smo se dotaknili teme "Piramida". Ta tema nam je bila všeč, ker se piramida zelo pogosto uporablja v arhitekturi. In od našega bodoči poklic arhitektka, navdihnjena s to številko, menimo, da nas lahko spodbudi k odličnim projektom.
Trdnost arhitekturnih objektov je njihova najpomembnejša kakovost. Če povežemo moč, prvič, z materiali, iz katerih so ustvarjeni, in drugič, z značilnostmi oblikovalskih rešitev, se izkaže, da je moč konstrukcije neposredno povezana z geometrijsko obliko, ki je zanjo osnovna.
Z drugimi besedami, govorimo o geometrijski figuri, ki jo lahko obravnavamo kot model ustrezne arhitekturne oblike. Izkazalo se je, da geometrijska oblika določa tudi trdnost arhitekturne strukture.
Egipčanske piramide že od antičnih časov veljajo za najbolj trpežne arhitekturne strukture. Kot veste, imajo obliko pravilnih štirikotnih piramid.
Prav ta geometrijska oblika zagotavlja največjo stabilnost zaradi velike osnovne površine. Po drugi strani pa oblika piramide zagotavlja, da se masa zmanjšuje z večanjem višine nad tlemi. Ti dve lastnosti naredita piramido stabilno in s tem močno v pogojih gravitacije.
Cilj projekta: naučite se nekaj novega o piramidah, poglobite svoje znanje in poiščite praktično uporabo.
Za dosego tega cilja je bilo potrebno rešiti naslednje naloge:
· Spoznajte zgodovinske podatke o piramidi
· Razmislite o piramidi kot geometrijski lik
· Najdi uporabo v življenju in arhitekturi
· Poiščite podobnosti in razlike med piramidami, ki se nahajajo v različne dele Sveta
Teoretični del
Zgodovinski podatki
Začetek geometrije piramide je bil postavljen v starem Egiptu in Babilonu, vendar se je aktivno razvijal v Antična grčija. Prvi, ki je ugotovil prostornino piramide, je bil Demokrit, Evdoks iz Knida pa je to dokazal. Starogrški matematik Evklid je sistematiziral znanje o piramidi v XII zvezku svojih "Elementov" in tudi izpeljal prvo definicijo piramide: trdna figura, omejena z ravninami, ki se stekajo iz ene ravnine v eno točko.
Grobnice egiptovskih faraonov. Največje med njimi - Keopsova, Kefrenova in Mikerinova piramida v El Gizi - so v starih časih veljale za eno od sedmih čudes sveta. Gradnja piramide, v kateri so že Grki in Rimljani videli spomenik neslutenemu kraljevemu ponosu in krutosti, ki je celotno egiptovsko ljudstvo obsodila na nesmiselno gradnjo, je bila najpomembnejše kultno dejanje in naj bi očitno izražala mistično identiteto države in njenega vladarja. Prebivalstvo države je delalo na gradnji grobnice v delu leta, ki je bil prost kmetijskih del. Številna besedila pričajo o pozornosti in skrbi, ki so jo kralji sami (čeprav iz poznejšega časa) posvečali gradnji svoje grobnice in njenim graditeljem. Znane so tudi posebne kultne časti, ki so bile deležne piramide same.
Osnovni pojmi
Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve pa so trikotniki, ki imajo skupno oglišče.
Apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha;
Stranski obrazi- trikotnika, ki se srečata na vrhu;
Stranska rebra- skupne stranice stranskih ploskev;
Vrh piramide- točka, ki povezuje stranska rebra in ne leži v ravnini baze;
Višina- pravokotni odsek, ki poteka skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca tega odseka sta vrh piramide in osnova navpičnice);
Diagonalni prerez piramide- odsek piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
Osnova- mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.
Osnovne lastnosti pravilne piramide
Stranski robovi, stranske ploskve in apoteme so enaki.
Diedrski koti pri dnu so enaki.
Diedrski koti na stranskih robovih so enaki.
Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh oglišč baze.
Vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih ploskev.
Osnovne piramidne formule
Stranski predel in polna površina piramide.
Ploščina stranske površine piramide (polne in prisekane) je vsota površin vseh njenih stranskih ploskev, skupna površina je vsota površin vseh njenih ploskev.
Izrek: Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme piramide.
str- osnovni obod;
h- apotem.
Območje stranske in polne površine prisekane piramide.
str 1, str 2 - osnovni obodi;
h- apotem.
R- skupna površina pravilne prisekane piramide;
S stran- območje stranske površine pravilne prisekane piramide;
S 1 + S 2- osnovna površina
Prostornina piramide
Oblika Volumen ula se uporablja za kakršne koli piramide.
H- višina piramide.
Piramidni vogali
Koti, ki jih tvorita stranska ploskev in osnova piramide, se imenujejo diedrski koti na dnu piramide.
Diedrski kot tvorita dve navpičnici.
Za določitev tega kota morate pogosto uporabiti izrek treh pravokotnic.
Imenujemo kote, ki jih tvorita stranski rob in njegova projekcija na osnovno ravnino kot med stranskim robom in ravnino podnožja.
Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova diedrski kot na stranskem robu piramide.
Imenuje se kot, ki ga tvorita stranska robova ene ploskve piramide kot na vrhu piramide.
Odseki piramide
Površina piramide je površina poliedra. Vsaka njena ploskev je ravnina, torej je odsek piramide, ki ga določa sečna ravnina prekinjena črta, sestavljen iz posameznih ravnih črt.
Diagonalni odsek
Odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne ležita na isti ploskvi, se imenuje diagonalni odsek piramide.
Vzporedni odseki
Izrek:
Če piramido seka ravnina, ki je vzporedna z osnovo, potem so stranski robovi in višine piramide razdeljeni s to ravnino na sorazmerne dele;
Odsek te ravnine je mnogokotnik, podoben osnovi;
Ploščini odseka in osnove sta med seboj povezani kot kvadrata njunih razdalj od vrha.
Vrste piramid
Pravilna piramida– piramida, katere osnova je pravilni mnogokotnik, vrh piramide pa je projiciran v središče baze.
Za navadno piramido:
1. stranska rebra so enaka
2. stranski ploskvi sta enaki
3. apoteme so enake
4. diedrski koti pri dnu so enaki
5. diedrski koti na stranskih robovih so enaki
6. vsaka točka višine je enako oddaljena od vseh oglišč osnove
7. vsaka višinska točka je enako oddaljena od vseh stranskih robov
Prisekana piramida- del piramide, zaprt med njeno osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo.
Osnova in ustrezen prerez prirezane piramide se imenujeta osnove prisekane piramide.
Imenuje se navpičnica, ki poteka iz katere koli točke ene baze na ravnino druge višina prisekane piramide.
Naloge
št. 1. V desni štirikotna piramida točka O je središče osnove, SO=8 cm, BD=30 cm Poiščite stranski rob SA.
Reševanje problema
št. 1. V pravilni piramidi so vse ploskve in robovi enaki.
Razmislite o OSB: OSB je pravokoten pravokotnik, ker.
SB 2 = SO 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramida v arhitekturi
Piramida je monumentalna zgradba v obliki navadnega pravilnika geometrijska piramida, pri čemer straneh združiti v eno točko. Po svojem funkcionalnem namenu so bile piramide v starih časih kraji pokopavanja ali kultnega čaščenja. Osnova piramide je lahko trikotna, štirikotna ali v obliki mnogokotnika s poljubnim številom oglišč, najpogostejša različica pa je štirikotna osnova.
Zgrajenih je precejšnje število piramid različne kulture starodavni svet predvsem kot templje ali spomenike. Velike piramide vključujejo egipčanske piramide.
Povsod po Zemlji lahko vidite arhitekturne strukture v obliki piramid. Piramidne zgradbe spominjajo na starodavne čase in izgledajo zelo lepo.
Egipčanske piramide največji arhitekturni spomeniki Starodavni Egipt, med katerimi je eno od »sedmih čudes sveta« Keopsova piramida. Od vznožja do vrha doseže 137,3 m, preden pa je izgubil vrh, je bila njegova višina 146,7 m.
Stavba radijske postaje v glavnem mestu Slovaške, ki spominja na obrnjeno piramido, je bila zgrajena leta 1983. Poleg pisarn in servisnih prostorov je v volumnu dokaj prostoren koncertna dvorana, ki ima ene največjih orgel na Slovaškem.
Louvre, ki je »tih in veličasten kot piramida«, je skozi stoletja doživel številne spremembe, preden je postal največji muzej mir. Nastal je kot trdnjava, ki jo je leta 1190 postavil Filip Avgust in je kmalu postala kraljeva rezidenca. Leta 1793 je palača postala muzej. Zbirke bogatimo z zapuščinami ali odkupi.
Opredelitev
Piramida je polieder, sestavljen iz mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) in \(n\) trikotnikov s skupnim ogliščem \(P\) (ki ne leži v ravnini mnogokotnika) in stranicami nasproti njega, ki sovpadajo s strani mnogokotnika.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primer: peterokotna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trikotniki \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itd. se imenujejo stranski obrazi piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. – stranska rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnova, točka \(P\) – vrh.
Višina piramide so pravokotnica, spuščena z vrha piramide na ravnino osnove.
Imenuje se piramida s trikotnikom na dnu tetraeder.
Piramida se imenuje pravilno, če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:
\((a)\) stranski robovi piramide so enaki;
\((b)\) višina piramide poteka skozi središče kroga, ki je opisan blizu baze;
\((c)\) stranska rebra so nagnjena na ravnino podnožja pod enakim kotom.
\((d)\) stranski ploskvi sta nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom.
Pravilni tetraeder- To trikotna piramida, katerih vse ploskve so enaki enakostranični trikotniki.
Izrek
Pogoji \((a), (b), (c), (d)\) so enakovredni.
Dokaz
Poiščimo višino piramide \(PH\) . Naj bo \(\alpha\) ravnina osnove piramide.
1) Dokažimo, da iz \((a)\) sledi \((b)\) . Naj \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Ker \(PH\perp \alpha\), potem je \(PH\) pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, kar pomeni, da so trikotniki pravokotni. To pomeni, da sta ti trikotniki enaki v skupnem kraku \(PH\) in hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Torej, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To pomeni, da so točke \(A_1, A_2, ..., A_n\) enako oddaljene od točke \(H\), torej ležijo na isti krožnici s polmerom \(A_1H\). Ta krog je po definiciji opisan okoli mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokoten in enak na dveh krakih. To pomeni, da sta tudi njuna kota enaka, torej \(\kot PA_1H=\kot PA_2H=...=\kot PA_nH\).
3) Dokažimo, da \((c)\) implicira \((a)\) .
Podobno kot pri prvi točki, trikotniki \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokotne in vzdolž kraka ter oster kot. To pomeni, da sta tudi njuni hipotenuzi enaki, to je \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((d)\) .
Ker v pravilnem mnogokotniku središča opisanega in včrtanega kroga sovpadata (v splošnem se tej točki reče središče pravilnega mnogokotnika), potem je \(H\) središče včrtanega kroga. Narišimo navpičnici iz točke \(H\) na stranice osnove: \(HK_1, HK_2\) itd. To so polmeri včrtanega kroga (po definiciji). Potem, glede na TTP (\(PH\) je pravokotna na ravnino, \(HK_1, HK_2\) itd. so projekcije, pravokotno na stranice) poševno \(PK_1, PK_2\) itd. pravokotno na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. oz. Torej, po definiciji \(\kot PK_1H, \kot PK_2H\) enaka kotom med stranskimi ploskvami in podstavkom. Ker trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) so enaki (kot pravokotnik na dveh stranicah), potem so koti \(\kot PK_1H, \kot PK_2H, ...\) so enaki.
5) Dokažimo, da \((d)\) implicira \((b)\) .
Podobno kot pri četrti točki so trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) enaki (kot pravokotniki vzdolž kraka in ostrega kota), kar pomeni, da so segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) enaka. To pomeni, da je po definiciji \(H\) središče kroga, včrtanega v osnovico. Ampak ker Pri pravilnih mnogokotnikih se središča včrtanega in opisanega kroga ujemajo, potem je \(H\) središče opisanega kroga. Chtd
Posledica
Stranske ploskve pravilne piramide so enaki enakokraki trikotniki.
Opredelitev
Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema.
Apoteme vseh stranskih ploskev pravilne piramide so med seboj enake in so hkrati mediane in simetrale.
Pomembne opombe
1. Višina pravilne trikotne piramide pade na presečišče višin (ali simetral ali median) osnove (osnova je pravilen trikotnik).
2. Višina pravilne štirikotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je kvadrat).
3. Višina pravilne šesterokotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je pravilni šestkotnik).
4. Višina piramide je pravokotna na poljubno premico, ki leži na dnu.
Opredelitev
Piramida se imenuje pravokotne, če je eden od njegovih stranskih robov pravokoten na ravnino baze.
Pomembne opombe
1. V pravokotni piramidi je rob, pravokoten na osnovo, višina piramide. To pomeni, \(SR\) je višina.
2. Ker \(SR\) je torej pravokotna na poljubno premico od osnove \(\trikotnik SRM, \trikotnik SRP\)– pravokotne trikotnike.
3. Trikotniki \(\trikotnik SRN, \trikotnik SRK\)- tudi pravokotne.
To pomeni, da bo vsak trikotnik, ki ga tvorita ta rob in diagonala, ki izhaja iz oglišča tega roba, ki leži na dnu, pravokoten.
\[(\Large(\text(Obseg in površina piramide)))\]
Izrek
Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine piramide: \
Posledice
Naj bo \(a\) stranica baze, \(h\) višina piramide.
1. Prostornina pravilne trikotne piramide je \(V_(\text(desni trikotnik.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Prostornina pravilne štirikotne piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Prostornina pravilne šesterokotne piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Prostornina pravilnega tetraedra je \(V_(\text(desno tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Izrek
Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovičnemu produktu oboda osnove in apoteme.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Opredelitev
Razmislite o poljubni piramidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Skozi določeno točko, ki leži na stranskem robu piramide, narišimo ravnino, ki je vzporedna z vznožjem piramide. Ta ravnina bo razdelila piramido na dva poliedra, od katerih je eden piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), drugi pa se imenuje prisekana piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Prisekana piramida ima dve osnovi - poligona \(A_1A_2...A_n\) in \(B_1B_2...B_n\), ki sta si podobna.
Višina prisekane piramide je navpičnica, ki poteka iz neke točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove.
Pomembne opombe
1. Vse stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.
2. Segment, ki povezuje središča baz pravilne prisekane piramide (to je piramide, dobljene s prerezom pravilne piramide), je višina.
Še naprej obravnavamo naloge, vključene v enotni državni izpit iz matematike. Preučevali smo že naloge, kjer je podan pogoj in je treba najti razdaljo med dvema danima točkama ali kot.
Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve so trikotniki in imajo skupno oglišče.
Pravilna piramida je piramida, v osnovi katere leži pravilen mnogokotnik, njeno vrh pa je projiciran v središče baze.
Pravilna štirikotna piramida - osnova je kvadrat, ki je projiciran na presečišču diagonal baze.
ML - apotem
∠MLO - diedrski kot na dnu piramide
∠MCO - kot med stranskim robom in ravnino osnove piramide
V tem članku si bomo ogledali težave pri reševanju pravilne piramide. Najti morate nek element, stransko površino, prostornino, višino. Seveda morate poznati Pitagorov izrek, formulo za površino stranske površine piramide in formulo za iskanje volumna piramide.
V članku "" predstavlja formule, ki so potrebne za reševanje problemov v stereometriji. Torej, naloge:
SABCD pika O- središče baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Poišči stranski robS.C..
IN v tem primeru osnova je kvadrat. To pomeni, da sta diagonali AC in BD enaki, se sekata in ju razpolovi presečišče. Upoštevajte, da v pravilni piramidi višina, spuščena z njenega vrha, poteka skozi središče baze piramide. Torej je SO višina in trikotnikSOCpravokotne. Potem po pitagorejskem izreku:
Kako izvleči koren iz veliko število.
Odgovor: 85
Odločite se sami:
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Poiščite stranski rob S.C..
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Poiščite dolžino odseka SO.
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Poiščite dolžino odseka A.C..
SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 7, a S.R.= 16. Poiščite stransko površino.
Ploščina stranske ploskve pravilne trikotne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme (apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha):
Lahko pa rečemo takole: površina stranske površine piramide je enaka vsoti tri kvadrate stranski robovi. Stranske ploskve v pravilni trikotni piramidi so trikotniki enake ploščine. V tem primeru:
Odgovor: 168
Odločite se sami:
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1, a S.R.= 2. Poiščite stransko površino.
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1 in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta S.R..
V pravilni trikotni piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da SL= 2, in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta AB.
V pravilni trikotni piramidi SABC M. Območje trikotnika ABC je 25, prostornina piramide je 100. Poiščite dolžino segmenta GOSPA.
Osnova piramide je enakostranični trikotnik. Zato Mje središče baze inGOSPA- višina pravilne piramideSABC. Prostornina piramide SABC je enako: ogled rešitve
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Območje trikotnika ABC enako 3, GOSPA= 1. Poišči prostornino piramide.
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Prostornina piramide je 1, GOSPA= 1. Poiščite površino trikotnika ABC.
Končajmo tukaj. Kot lahko vidite, se težave rešujejo v enem ali dveh korakih. V prihodnje bomo obravnavali še druge probleme iz tega dela, kjer so podana telesa revolucije, ne spreglejte!
Želim ti uspeh!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Tridimenzionalni lik, ki se pogosto pojavlja v geometrijskih problemih, je piramida. Najenostavnejša od vseh figur v tem razredu je trikotna. V tem članku bomo podrobno analizirali osnovne formule in lastnosti pravilne
Geometrijske ideje o figuri
Preden nadaljujemo z obravnavo lastnosti pravilne trikotne piramide, si poglejmo podrobneje, o kakšni figuri govorimo.
Predpostavimo, da v tridimenzionalnem prostoru obstaja poljuben trikotnik. Izberimo poljubno točko v tem prostoru, ki ne leži v ravnini trikotnika in jo povežimo s tremi oglišči trikotnika. Dobili smo trikotno piramido.
Sestavljen je iz 4 strani, ki so vse trikotniki. Točki, kjer se tri ploskve srečajo, imenujemo oglišča. Številka jih ima tudi štiri. Črte presečišča dveh ploskev so robovi. Zadevna piramida ima 6 robov na spodnji sliki.
Ker lik tvorijo štiri stranice, ga imenujemo tudi tetraeder.
Pravilna piramida
O tem smo razpravljali zgoraj poljubna figura s trikotno osnovo. Zdaj pa predpostavimo, da narišemo pravokoten segment od vrha piramide do njenega dna. Ta segment se imenuje višina. Očitno lahko narišete 4 različne višine figure. Če višina seka trikotno osnovo v geometrijskem središču, se taka piramida imenuje ravna.
Ravna piramida, katere osnova je enakostranični trikotnik, se imenuje pravilna. Zanjo se oblikujejo vsi trije trikotniki stransko površino figure so enakokrake in med seboj enake. Poseben primer pravilne piramide je situacija, ko so vse štiri stranice enakostranični enaki trikotniki.
Razmislimo o lastnostih pravilne trikotne piramide in podamo ustrezne formule za izračun njenih parametrov.
Osnovna stranica, višina, stranski rob in apotem
Katera koli dva od naštetih parametrov enolično določata preostali dve lastnosti. Predstavimo formule, ki te količine povezujejo.
Predpostavimo, da je stranica osnove pravilne trikotne piramide a. Njegova dolžina stransko rebro enako b. Kolikšna bosta višina pravilne trikotne piramide in njenega apotema?
Za višino h dobimo izraz:
Ta formula izhaja iz Pitagorovega izreka, za katerega so stranski rob, višina in 2/3 višine osnove.
Apotem piramide je višina katerega koli stranskega trikotnika. Dolžina apoteme a b je enaka:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
Iz teh formul je jasno razvidno, da bo apotem vedno večji od višine piramide, ne glede na stran osnove trikotne pravilne piramide in dolžino njenega stranskega roba.
Predstavljeni formuli vsebujeta vse štiri linearne karakteristike zadevne figure. Torej, glede na znani dve izmed njih, lahko ostale najdete z reševanjem sistema zapisanih enačb.
Volumen figure
Za absolutno vsako piramido (vključno z nagnjeno) je mogoče določiti vrednost prostornine prostora, ki jo omejuje, če poznamo višino figure in površino njene osnove. Ustrezna formula je:
Če ta izraz uporabimo za zadevno sliko, dobimo naslednjo formulo:
Kjer je višina pravilne trikotne piramide h in njena osnovna stranica a.
Ni težko dobiti formule za prostornino tetraedra, v katerem so vse stranice med seboj enake in predstavljajo enakostranične trikotnike. V tem primeru je prostornina figure določena s formulo:
To pomeni, da je enolično določena z dolžino stranice a.
Površina
Nadaljujmo z obravnavanjem lastnosti pravilne trikotne piramide. Skupna površina vseh ploskev figure se imenuje njena površina. Slednje je mogoče priročno preučiti z upoštevanjem ustreznega razvoja. Spodnja slika prikazuje, kako izgleda razvoj pravilne trikotne piramide.
Predpostavimo, da poznamo višino h in stranico osnove a figure. Potem bo površina njegove osnove enaka:
Vsak šolar lahko dobi ta izraz, če se spomni, kako najti območje trikotnika, in upošteva tudi, da je višina enakostraničnega trikotnika tudi simetrala in mediana.
Stranska površina, ki jo tvorijo trije enaki enakokraki trikotniki, je:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Ta enakost izhaja iz izraza apoteme piramide glede na višino in dolžino baze.
Skupna površina figure je:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Upoštevajte, da je za tetraeder, v katerem so vse štiri stranice enake enakostranični trikotniki, bo površina S enaka:
Lastnosti pravilne prisekane trikotne piramide
Če je vrh obravnavane trikotne piramide odrezan z ravnino, ki je vzporedna z osnovo, se bo preostali spodnji del imenoval prisekana piramida.
V primeru trikotne osnove je rezultat opisanega načina rezanja nov trikotnik, ki je prav tako enakostranični, vendar ima krajšo stranico kot stranica osnove. Spodaj je prikazana prisekana trikotna piramida.
Vidimo, da je ta številka že omejena na dva trikotne baze in trije enakokraki trapezi.
Predpostavimo, da je višina nastale figure enaka h, dolžini stranic spodnje in zgornje baze sta a 1 oziroma a 2, apotem (višina trapeza) pa je enak a b. Nato lahko površino prisekane piramide izračunamo po formuli:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Tukaj je prvi izraz območje stranske površine, drugi člen je območje trikotnih baz.
Prostornina figure se izračuna na naslednji način:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
Če želite nedvoumno določiti značilnosti prisekane piramide, morate poznati njene tri parametre, kar dokazujejo podane formule.