Piramida. Prisekana piramida
Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .
Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina piramida je razdalja od njenega vrha do ravnine baze. Vsa stranska rebra redna piramida med seboj enaki, so vse stranske ploskve enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek imenujemo odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.
Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Območje polna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.
Izreki
1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.
2. Če imajo v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, potem se vrh piramide projicira v središče kroga, ki je opisan blizu baze.
3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.
Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:
kje V- volumen;
S osnova– osnovna površina;
H– višina piramide.
Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:
kje str– osnovni obod;
h a– apotem;
H- višina;
S poln
S stran
S osnova– osnovna površina;
V– prostornina pravilne piramide.
Prisekana piramida imenovan del piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, vzporedno z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida je del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.
Razlogi prisekana piramida - podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.
Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:
(4)
kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;
S poln– skupna površina;
S stran– bočna površina;
H- višina;
V– prostornina prisekane piramide.
Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:
kje str 1 , str 2 – obodi baz;
h a– apotem pravilne prisekane piramide.
Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je diedrski kot pri dnu 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.
rešitev. Naredimo risbo (slika 18).
 |
Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O segment BD je razdeljen na dele: in Iz najdemo SO: 
Od najdemo: 
odgovor:
Primer 2. Poiščite prostornino pravilnega prisekanega štirikotna piramida, če sta diagonali njegovih osnov enaki cm in cm, njegova višina pa 4 cm.
rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice osnov so enake 2 cm oziroma 8 cm. To pomeni, da so površine osnov in Če vse podatke nadomestimo v formulo, izračunamo prostornino prirezane piramide:
odgovor: 112 cm 3.
Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.
rešitev. Naredimo risbo (slika 19).
Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. saj (glej sliko 20) in Po drugi strani OK– krogu včrtan polmer in 
OM– polmer vpisan v krog:
MK = DE.
Po Pitagorovem izreku iz
Območje stranskega obraza: 
odgovor:
Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.
rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti površin in ploščine trapeza ABCD.
Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Po izreku o območju pravokotne projekcije ravna figura dobimo:
Enako pomeni 
Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.
Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo
Opredelitev. Stranski rob- to je trikotnik, v katerem en kot leži na vrhu piramide, nasprotna stran pa sovpada s stranjo baze (poligona).
Opredelitev. Stranska rebra- to so skupne stranice stranskih ploskev. Piramida ima toliko robov, kolikor kotov ima mnogokotnik.
Opredelitev. Višina piramide- to je pravokotnik, spuščen od vrha do dna piramide.
Opredelitev. Apotema- to je pravokotna na stransko ploskev piramide, spuščena z vrha piramide na stran baze.
Opredelitev. Diagonalni odsek- to je odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in diagonalo baze.
Opredelitev. Pravilna piramida je piramida, katere osnova je pravilen mnogokotnik, višina pa se spušča v središče baze.
Prostornina in površina piramide
Formula. Prostornina piramide skozi osnovno površino in višino:
Lastnosti piramide
Če so vsi stranski robovi enaki, potem lahko okoli baze piramide narišemo krog, središče baze pa sovpada s središčem kroga. Tudi navpičnica, spuščena z vrha, poteka skozi središče osnove (kroga).
Če so vsi stranski robovi enaki, potem so nagnjeni na ravnino podnožja pod enakimi koti.
Stranska rebra so enaka, ko se tvorijo z ravnino baze enaki koti ali če je mogoče opisati krog okoli baze piramide.
Če so stranske ploskve nagnjene na ravnino podnožja pod enakim kotom, se lahko v osnovo piramide vpiše krog, vrh piramide pa se projicira v njeno središče.
Če sta stranski ploskvi nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom, sta apotemi stranskih ploskvi enaki.
Lastnosti pravilne piramide
1. Vrh piramide je enako oddaljen od vseh vogalov osnove.
2. Vsi stranski robovi so enaki.
3. Vsa stranska rebra so nagnjena pod enakim kotom na podlago.
4. Apoteme vseh stranskih ploskev so enake.
5. Ploščine vseh stranskih ploskev so enake.
6. Vse ploskve imajo enake diedrske (ploske) kote.
7. Okoli piramide lahko opišemo kroglo. Središče obrobljene krogle bo presečišče navpičnic, ki gredo skozi sredino robov.
8. Kroglo lahko vgradite v piramido. Središče včrtane krogle bo točka presečišča simetral, ki izhajajo iz kota med robom in bazo.
9. Če središče včrtane krogle sovpada s središčem obrobljene krogle, potem je vsota ravninskih kotov pri oglišču enaka π ali obratno, en kot je enak π/n, kjer je n število kotov na dnu piramide.
Povezava med piramido in kroglo
Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če je na dnu piramide polieder, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo presečišče ravnin, ki potekajo pravokotno skozi središča stranskih robov piramide.
Okoli vsake trikotne ali pravilne piramide je vedno mogoče opisati kroglo.
Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v eni točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo središče krogle.
Povezava piramide s stožcem
Pravimo, da je stožec vpisan v piramido, če njuni oglišči sovpadata in je osnova stožca včrtana v osnovi piramide.
Stožec je mogoče vpisati v piramido, če so apoteme piramide med seboj enake.
Pravimo, da je stožec obpisan okoli piramide, če njuni oglišči sovpadata in je vznožje stožca obkroženo okoli vznožja piramide.
Okoli piramide lahko opišemo stožec, če so vsi stranski robovi piramide med seboj enaki.
Razmerje med piramido in valjem
Piramida se imenuje včrtana v valj, če vrh piramide leži na eni podlagi valja, osnova piramide pa je včrtana v drugo osnovo valja.
Okoli piramide lahko opišemo valj, če lahko opišemo krog okoli vznožja piramide.
Tetraeder ima štiri ploskve in štiri oglišča ter šest robov, pri čemer katera koli dva roba nimata skupnih oglišč, vendar se ne dotikata.
Vsako oglišče je sestavljeno iz treh ploskev in robov, ki tvorijo trikotni kot.
Odsek, ki povezuje oglišče tetraedra s središčem nasprotne ploskve, se imenuje mediana tetraedra(GM).
Bimedian imenovan segment, ki povezuje središča nasprotnih robov, ki se ne dotikajo (KL).
Vse bimediane in mediane tetraedra se sekajo v eni točki (S). V tem primeru so bimediane razdeljene na pol, mediane pa v razmerju 3:1, začenši od vrha.
Opredelitev. Ostrokotna piramida- piramida, v kateri je apotem več kot polovica dolžine stranice baze.
Opredelitev. Topa piramida- piramida, pri kateri je apotem krajši od polovice stranice baze.
Opredelitev. Pravilni tetraeder- tetraeder, v katerem so vse štiri ploskve enakostranični trikotniki. Je eden izmed petih pravilnih mnogokotnikov. V pravilnem tetraedru so vsi diedrski koti (med ploskvami) in triedrski koti (pri oglišču) enaki.
Opredelitev. Pravokotni tetraeder je tetraeder s pravim kotom med tremi robovi na vrhu (robovi so pravokotni). Oblikujejo se trije obrazi pravokoten trikotni kot in ploskve so pravokotni trikotnik, osnova pa poljuben trikotnik. Apotem katere koli ploskve je enak polovici stranice osnove, na katero pade apotem.
Opredelitev. Izoedrski tetraeder imenujemo tetraeder, katerega stranske ploskve so med seboj enake, osnova pa je navaden trikotnik. Takšen tetraeder ima ploskve, ki so enakokraki trikotniki.
Opredelitev. Ortocentrični tetraeder imenujemo tetraeder, pri katerem se vse višine (navpičnice), ki so spuščene z vrha na nasprotno ploskev, sekajo v eni točki.
Opredelitev. Zvezdna piramida imenujemo polieder, katerega osnova je zvezda.
Trikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu trikotnik. Višina te piramide je navpičnica, ki je spuščena od vrha piramide do njenega vznožja.
Iskanje višine piramide
Kako najti višino piramide? Zelo preprosto! Če želite najti višino katerega koli trikotna piramida lahko uporabite formulo prostornine: V = (1/3)Sh, kjer je S površina baze, V je prostornina piramide, h je njena višina. Iz te formule izpeljite formulo višine: če želite najti višino trikotne piramide, morate prostornino piramide pomnožiti s 3 in nato dobljeno vrednost razdeliti na površino baze, bo: h = (3V)/S. Ker je osnova trikotne piramide trikotnik, lahko uporabite formulo za izračun površine trikotnika. Če poznamo: ploščino trikotnika S in njegovo stranico z, potem glede na formulo ploščine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kjer je h višina piramide, γ je rob trikotnika; kot med stranicami trikotnika in obema stranicama samima, nato z uporabo naslednje formule: S = (1/2)γφsinQ, kjer sta γ, φ strani trikotnika, najdemo površino trikotnika. Vrednost sinusa kota Q je treba pogledati v tabeli sinusov, ki je dostopna na internetu. Nato nadomestimo vrednost površine v formulo za višino: h = (2S)/γ. Če naloga zahteva izračun višine trikotne piramide, potem je prostornina piramide že znana.
Pravilna trikotna piramida
Poiščite višino pravilne trikotne piramide, to je piramide, v kateri so vse ploskve enakostranični trikotniki, pri čemer poznate velikost roba γ. V tem primeru so robovi piramide stranice enakostraničnega trikotnika. Višina pravilne trikotne piramide bo: h = γ√(2/3), kjer je γ rob enakostranični trikotnik, h je višina piramide. Če površina osnove (S) ni znana in sta podana samo dolžina roba (γ) in prostornina (V) poliedra, je treba zamenjati potrebno spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka z njegovim ekvivalentom, ki je izražen z dolžino roba. Površina trikotnika (navadnega) je enaka 1/4 zmnožka dolžine stranice tega trikotnika na kvadrat s kvadratnim korenom iz 3. To formulo zamenjamo namesto površine osnove v prejšnjem formulo in dobimo naslednjo formulo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Prostornino tetraedra lahko izrazimo z dolžino njegovega roba, nato pa lahko iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo le stranico trikotne ploskve figure. Prostornino takšne piramide lahko izračunate tako, da zmnožek kubne dolžine njene ploskve delite z 12 na kvadratni koren iz 2.
Če ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo, dobimo naslednjo formulo za izračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Tudi pravilno trikotna prizma lahko vpišemo v kroglo in če poznamo le polmer krogle (R), lahko ugotovimo višino samega tetraedra. Dolžina roba tetraedra je: γ = 4R/√6. S tem izrazom v prejšnji formuli zamenjamo spremenljivko γ in dobimo formulo: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Isto formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (R) kroga, včrtanega v tetraeder. V tem primeru bo dolžina roba trikotnika enaka 12 razmerjem med kvadratni koren od 6 in polmer. Ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo in imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Kako najti višino pravilne štirikotne piramide
Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti dolžino višine piramide, morate vedeti, kaj je običajna piramida. Štirikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu štirikotnik. Če imamo v pogojih problema: prostornino (V) in površino osnove (S) piramide, potem bo formula za izračun višine poliedra (h) naslednja - razdelite prostornina pomnožena s 3 s površino S: h = (3V)/S. Glede na kvadratno osnovo piramide z dano prostornino (V) in dolžino stranice γ zamenjajte ploščino (S) v prejšnji formuli s kvadratom dolžine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Višina pravilne piramide h = SO gre točno skozi središče kroga, ki je opisan blizu vznožja. Ker je osnova te piramide kvadrat, je točka O presečišče diagonal AD in BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Naprej smo notri pravokotni trikotnik Poiščemo SOC (z uporabo Pitagorovega izreka): SO = √(SC 2 -OC 2). Zdaj veste, kako najti višino pravilne piramide.
Še naprej obravnavamo naloge, vključene v enotni državni izpit iz matematike. Preučevali smo že naloge, kjer je podan pogoj in je treba najti razdaljo med dvema danima točkama ali kot.
Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve so trikotniki in imajo skupno oglišče.
Pravilna piramida je piramida, v osnovi katere leži pravilen mnogokotnik, njeno vrh pa je projiciran v središče baze.
Pravilna štirikotna piramida - osnova je kvadrat, ki je projiciran na presečišču diagonal baze.
ML - apotem
∠MLO - diedrski kot na dnu piramide
∠MCO - kot med stranskim robom in ravnino osnove piramide
V tem članku si bomo ogledali težave pri reševanju pravilne piramide. Najti morate nek element, stransko površino, prostornino, višino. Seveda morate poznati Pitagorov izrek, formulo za površino stranske površine piramide in formulo za iskanje volumna piramide.
V članku "" predstavlja formule, ki so potrebne za reševanje problemov v stereometriji. Torej, naloge:
SABCD pika O- središče baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Poišči stranski robS.C..
IN v tem primeru osnova je kvadrat. To pomeni, da sta diagonali AC in BD enaki, se sekata in ju razpolovi presečišče. Upoštevajte, da v pravilni piramidi višina, spuščena z njenega vrha, poteka skozi središče baze piramide. Torej je SO višina in trikotnikSOCpravokotne. Potem po pitagorejskem izreku:
Kako izvleči koren iz veliko število.
Odgovor: 85
Odločite se sami:
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Poiščite stranski rob S.C..
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Poiščite dolžino odseka SO.
V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Poišči dolžino odseka A.C..
SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 7, a S.R.= 16. Poiščite stransko površino.
Ploščina stranske ploskve pravilne trikotne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme (apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha):
Lahko pa rečemo takole: površina stranske površine piramide je enaka vsoti tri kvadrate stranski robovi. Stranske ploskve v pravilni trikotni piramidi so trikotniki enake ploščine. V tem primeru:
Odgovor: 168
Odločite se sami:
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1, a S.R.= 2. Poiščite stransko površino.
V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1 in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta S.R..
V pravilni trikotni piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da SL= 2, in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta AB.
V pravilni trikotni piramidi SABC M. Območje trikotnika ABC je 25, prostornina piramide je 100. Poiščite dolžino segmenta MS.
Osnova piramide je enakostranični trikotnik. zato Mje središče baze inMS- višina pravilne piramideSABC. Prostornina piramide SABC je enako: ogled rešitve
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Območje trikotnika ABC enako 3, MS= 1. Poiščite prostornino piramide.
V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Prostornina piramide je 1, MS= 1. Poiščite površino trikotnika ABC.
Končajmo tukaj. Kot lahko vidite, se težave rešujejo v enem ali dveh korakih. V prihodnje bomo obravnavali še druge probleme iz tega dela, kjer so podana telesa revolucije, ne spreglejte!
Vso srečo!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Opredelitev
Piramida je polieder, sestavljen iz mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) in \(n\) trikotnikov s skupnim ogliščem \(P\) (ki ne leži v ravnini mnogokotnika) in stranicami nasproti njega, ki sovpadajo s strani mnogokotnika.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primer: peterokotna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trikotniki \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itd. se imenujejo stranski obrazi piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. – stranska rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnova, točka \(P\) – vrh.
Višina piramide so pravokotnica, spuščena z vrha piramide na ravnino osnove.
Imenuje se piramida s trikotnikom na dnu tetraeder.
Piramida se imenuje pravilno, če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:
\((a)\) stranski robovi piramide so enaki;
\((b)\) višina piramide poteka skozi središče kroga, opisanega blizu baze;
\((c)\) stranska rebra so nagnjena na ravnino podnožja pod enakim kotom.
\((d)\) stranski ploskvi sta nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom.
Pravilni tetraeder je trikotna piramida, katere vse ploskve so enaki enakostranični trikotniki.
Izrek
Pogoji \((a), (b), (c), (d)\) so enakovredni.
Dokaz
Poiščimo višino piramide \(PH\) . Naj bo \(\alpha\) ravnina osnove piramide.
1) Dokažimo, da iz \((a)\) sledi \((b)\) . Naj \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Ker \(PH\perp \alpha\), potem je \(PH\) pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, kar pomeni, da so trikotniki pravokotni. To pomeni, da sta ti trikotniki enaki v skupnem kraku \(PH\) in hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To pomeni \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To pomeni, da so točke \(A_1, A_2, ..., A_n\) enako oddaljene od točke \(H\), torej ležijo na isti krožnici s polmerom \(A_1H\). Ta krog je po definiciji opisan okoli mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokoten in enak na dveh krakih. To pomeni, da sta tudi njuna kota enaka, torej \(\kot PA_1H=\kot PA_2H=...=\kot PA_nH\).
3) Dokažimo, da \((c)\) implicira \((a)\) .
Podobno kot pri prvi točki, trikotniki \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokotne in vzdolž kraka ter oster kot. To pomeni, da sta tudi njuni hipotenuzi enaki, to je \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((d)\) .
Ker v pravilnem mnogokotniku središča opisanega in včrtanega kroga sovpadata (na splošno se tej točki reče središče pravilnega mnogokotnika), potem je \(H\) središče včrtanega kroga. Narišimo navpičnici iz točke \(H\) na stranice osnove: \(HK_1, HK_2\) itd. To so polmeri včrtanega kroga (po definiciji). Potem je glede na TTP (\(PH\) pravokotna na ravnino, \(HK_1, HK_2\) itd. so projekcije, pravokotno na stranice) poševno \(PK_1, PK_2\) itd. pravokotno na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. oz. Torej, po definiciji \(\kot PK_1H, \kot PK_2H\) enaka kotom med stranskimi ploskvami in podstavkom. Ker trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) so enaki (kot pravokotnik na dveh stranicah), potem so koti \(\kot PK_1H, \kot PK_2H, ...\) so enaki.
5) Dokažimo, da \((d)\) implicira \((b)\) .
Podobno kot pri četrti točki so trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) enaki (kot pravokotniki vzdolž kraka in ostrega kota), kar pomeni, da so segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) enaka. To pomeni, da je po definiciji \(H\) središče kroga, včrtanega v osnovico. Ampak ker Pri pravilnih mnogokotnikih se središča včrtanega in opisanega kroga ujemajo, potem je \(H\) središče opisanega kroga. Chtd
Posledica
Stranske ploskve pravilne piramide so enaki enakokraki trikotniki.
Opredelitev
Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema.
Apoteme vseh stranskih ploskev pravilne piramide so med seboj enake in so hkrati mediane in simetrale.
Pomembne opombe
1. Višina pravilne trikotne piramide pade na presečišče višin (ali simetral ali median) osnove (osnova je pravilen trikotnik).
2. Višina pravilne štirikotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je kvadrat).
3. Višina pravilne šesterokotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je pravilni šestkotnik).
4. Višina piramide je pravokotna na poljubno premico, ki leži na dnu.
Opredelitev
Piramida se imenuje pravokotne, če je eden od njegovih stranskih robov pravokoten na ravnino baze.
Pomembne opombe
1. V pravokotni piramidi je rob, pravokoten na osnovo, višina piramide. To pomeni, \(SR\) je višina.
2. Ker \(SR\) je torej pravokotna na poljubno premico od osnove \(\trikotnik SRM, \trikotnik SRP\)– pravokotne trikotnike.
3. Trikotniki \(\trikotnik SRN, \trikotnik SRK\)- tudi pravokotne.
To pomeni, da bo vsak trikotnik, ki ga tvorita ta rob in diagonala, ki izhaja iz oglišča tega roba, ki leži na dnu, pravokoten.
\[(\Large(\text(Obseg in površina piramide)))\]
Izrek
Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine piramide: \
Posledice
Naj bo \(a\) stranica baze, \(h\) višina piramide.
1. Prostornina pravilne trikotne piramide je \(V_(\text(desni trikotnik.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Prostornina pravilne štirikotne piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Prostornina pravilne šesterokotne piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Prostornina pravilnega tetraedra je \(V_(\besedilo(desno tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Izrek
Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovičnemu produktu oboda osnove in apoteme.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Opredelitev
Razmislite o poljubni piramidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narišimo skozi točko, ki leži na stransko rebro piramida, je ravnina vzporedna z vznožjem piramide. Ta ravnina bo razdelila piramido na dva poliedra, od katerih je eden piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), drugi pa se imenuje prisekana piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Prisekana piramida ima dve osnovi - poligona \(A_1A_2...A_n\) in \(B_1B_2...B_n\), ki sta si podobna.
Višina prisekane piramide je navpičnica, ki poteka iz neke točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove.
Pomembne opombe
1. Vse stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.
2. Segment, ki povezuje središča baz pravilne prisekane piramide (to je piramide, dobljene s prerezom pravilne piramide), je višina.