Če želite to narediti, uporabite grafični papir ali grafični kalkulator. Izberite poljubno število številskih vrednosti za neodvisno spremenljivko x (\displaystyle x) in jih vključite v funkcijo za izračun vrednosti za odvisno spremenljivko y (\displaystyle y). Narišite najdene koordinate točk na koordinatna ravnina, in nato povežite te točke v graf funkcije.
- V funkcijo zamenjajte pozitivne številske vrednosti x (\displaystyle x) in ustrezne negativne številske vrednosti. Na primer, glede na funkcijo. Nadomestite ga naslednje vrednosti x (\displaystyle x) :
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ displaystyle (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Dobili smo točko s koordinatami (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Dobili smo točko s koordinatami (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Dobili smo točko s koordinatami (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Preverite, ali je graf funkcije simetričen glede na os Y. Pod simetrijo razumemo zrcalno sliko grafa glede na os y. Če je del grafa desno od osi Y (pozitivne vrednosti neodvisne spremenljivke) enak delu grafa levo od osi Y (negativne vrednosti neodvisne spremenljivke) ), je graf simetričen glede na os Y. Če je funkcija simetrična glede na os y, je funkcija soda.
- Simetričnost grafa lahko preverite z uporabo posameznih točk. Če se vrednost y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) ujema z vrednostjo y (\displaystyle y), ki se ujema z vrednostjo − x (\displaystyle -x), je funkcija soda. V našem primeru s funkcijo f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) smo dobili naslednje koordinate točk:
- (1,3) in (-1,3)
- (2,9) in (-2,9)
- Upoštevajte, da je za x=1 in x=-1 odvisna spremenljivka y=3, za x=2 in x=-2 pa je odvisna spremenljivka y=9. Tako je funkcija enakomerna. Pravzaprav morate za natančno določitev oblike funkcije upoštevati več kot dve točki, vendar je opisana metoda dober približek.
Preverite, ali je graf funkcije simetričen glede na izhodišče.
- Izhodišče je točka s koordinatami (0,0). Simetrija glede na izvor pomeni, da pozitivna vrednost y (za pozitivno vrednost x) ustreza negativni vrednosti y (za negativno vrednost x) in obratno. Lihe funkcije imajo simetrijo glede na izvor. Če zamenjamo več pozitivnih in ustreznih negativne vrednosti
- x (\displaystyle x) se bodo vrednosti y (\displaystyle y) razlikovale v predznaku. Na primer, dana je funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Vanj nadomestite več vrednosti x (\displaystyle x):
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Dobili smo točko s koordinatami (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Prejeli smo točko s koordinatami (-2,-10).
Tako je f(x) = -f(-x), kar pomeni, da je funkcija liha.
- Preverite, ali ima graf funkcije simetrijo.
- Zadnja vrsta funkcije je funkcija, katere graf nima simetrije, to pomeni, da ni zrcalne slike glede na ordinatno os in glede na izvor. Na primer, glede na funkcijo.
- Zamenjajte več pozitivnih in ustreznih negativnih vrednosti x (\displaystyle x) v funkcijo:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Dobili smo točko s koordinatami (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Dobili smo točko s koordinatami (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Dobili smo točko s koordinatami (2,10).
- Upoštevajte, da lahko funkcijo f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) zapišemo takole: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Ko je zapisana v tej obliki, je funkcija soda, ker obstaja sodi eksponent. Toda ta primer dokazuje, da vrste funkcije ni mogoče hitro določiti, če je neodvisna spremenljivka v oklepaju. V tem primeru morate odpreti oklepaje in analizirati dobljene eksponente.
Parnost in lihost funkcije sta eni njenih glavnih lastnosti, parnost pa zavzema impresiven delež šolski tečaj v matematiki. V veliki meri določa obnašanje funkcije in močno olajša gradnjo ustreznega grafa.
Določimo pariteto funkcije. Na splošno velja, da se obravnavana funkcija obravnava tudi, če se za nasprotne vrednosti neodvisne spremenljivke (x), ki se nahaja v njeni definicijski domeni, izkaže, da so ustrezne vrednosti y (funkcije) enake.
Dajmo strožjo definicijo. Razmislite o neki funkciji f (x), ki je definirana v domeni D. To bo celo, če za katero koli točko x, ki se nahaja v domeni definicije:
- -x (nasprotna točka) prav tako leži v tem obsegu,
- f(-x) = f(x).
Iz zgornje definicije sledi pogoj, ki je nujen za definicijsko področje take funkcije, namreč simetričnost glede na točko O, ki je izhodišče koordinat, saj če je neka točka b vsebovana v definicijskem področju sodega funkcija, potem tudi ustrezna točka b leži v tej domeni. Iz navedenega torej sledi sklep: soda funkcija ima obliko simetrično glede na ordinatno os (Oy).
Kako v praksi določiti pariteto funkcije?
Naj bo podana s formulo h(x)=11^x+11^(-x). Po algoritmu, ki izhaja neposredno iz definicije, najprej preučimo njeno domeno definicije. Očitno je definiran za vse vrednosti argumenta, to je, da je prvi pogoj izpolnjen.
Naslednji korak je zamenjava nasprotne vrednosti (-x) za argument (x).
Dobimo:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ker seštevanje zadošča komutativnemu (komutativnemu) zakonu, je očitno, da je h(-x) = h(x) in je podana funkcionalna odvisnost soda.
Preverimo pariteto funkcije h(x)=11^x-11^(-x). Po istem algoritmu dobimo, da je h(-x) = 11^(-x) -11^x. Če izvzamemo minus, na koncu imamo
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Zato je h(x) liho.
Mimogrede, opozoriti je treba, da obstajajo funkcije, ki jih ni mogoče razvrstiti po teh kriterijih; imenujemo jih niti sode niti lihe.
Tudi funkcije imajo številne zanimive lastnosti:
- kot rezultat dodajanja podobnih funkcij dobijo sodo;
- kot rezultat odštevanja takih funkcij dobimo sodo;
- celo, tudi celo;
- kot rezultat množenja dveh takšnih funkcij dobimo enakomerno;
- kot rezultat množenja lihih in sodih funkcij dobimo liho;
- kot rezultat delitve lihih in sodih funkcij dobimo liho;
- odvod takšne funkcije je lih;
- Če kvadrirate liho funkcijo, dobite sodo.
Pariteto funkcije lahko uporabimo za reševanje enačb.
Za rešitev enačbe, kot je g(x) = 0, kjer je leva stran enačbe soda funkcija, bo povsem dovolj, da najdemo njene rešitve za nenegativne vrednosti spremenljivke. Dobljene korene enačbe je treba združiti z nasprotnimi številkami. Eden od njih je predmet preverjanja.
To se uspešno uporablja tudi za reševanje nestandardnih problemov s parametrom.
Na primer, ali obstaja kakšna vrednost parametra a, za katero bo imela enačba 2x^6-x^4-ax^2=1 tri korene?
Če upoštevamo, da spremenljivka vstopi v enačbo v sodih potencah, potem je jasno, da zamenjava x z - x podana enačba ne bo spremenilo. Iz tega sledi, da če je določeno število njen koren, potem je tudi nasprotno število koren. Zaključek je očiten: korenine enačbe, ki so različne od nič, so vključene v množico njenih rešitev v "parih".
Jasno je, da samo število ni 0, to pomeni, da je število korenin takšne enačbe lahko le sodo in seveda za katero koli vrednost parametra ne more imeti treh korenin.
Toda število korenov enačbe 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 je lahko liho in za katero koli vrednost parametra. Dejansko je enostavno preveriti, ali je niz korenin podana enačba vsebuje rešitve v parih. Preverimo, ali je 0 koren. Ko ga nadomestimo v enačbo, dobimo 2=2. Tako je poleg »parnih« tudi 0 koren, kar dokazuje njihovo liho število.
Funkcija se imenuje soda (liha), če za katero koli in enakost 
.
Graf sode funkcije je simetričen glede na os 
.
Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.
Primer 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Preverite, ali je funkcija soda ali liha.
rešitev 
1) Funkcija je definirana, ko 
.
. Bomo našli 
Tisti. . pomeni, to funkcijo
je celo. 
. Bomo našli 
2) Funkcija je definirana, ko
. Zato je ta funkcija nenavadna.
,
. Zato funkcija ni niti soda niti liha. Recimo temu funkcija splošne oblike.
funkcija 
se imenuje naraščanje (padanje) na določenem intervalu, če v tem intervalu vsak višja vrednost argument ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.
Funkcije, ki naraščajo (padajo) v določenem intervalu, imenujemo monotone.
Če funkcija 
diferencibilen na intervalu 
in ima pozitiven (negativen) derivat 
, nato funkcijo 
poveča (zmanjša) v tem intervalu.
Primer 6.3. Poiščite intervale monotonosti funkcij
1)
;
3)
.
Preverite, ali je funkcija soda ali liha.
1) Ta funkcija je definirana na celotni številski premici. Poiščimo izpeljanko.
Odvod je enak nič, če 
in 
. Domena definicije je številska os, deljena s pikami 
,
v intervalih. Določimo predznak odvoda v vsakem intervalu.
V intervalu 
odvod negativen, funkcija na tem intervalu pada.
V intervalu 
odvod je pozitiven, zato funkcija v tem intervalu narašča.
2) Ta funkcija je definirana, če 
oz
.
V vsakem intervalu določimo predznak kvadratnega trinoma.
Torej domena definicije funkcije
Poiščimo izpeljanko 
,
, Če 
, tj. 
, Ampak 
. Določimo predznak odvoda v intervalih 
.
V intervalu 
odvod je negativen, zato funkcija pada na intervalu 
. V intervalu 
odvod je pozitiven, funkcija narašča v intervalu 
.
Pika 
imenovana največja (minimalna) točka funkcije 
, če obstaja takšna okolica točke 
to je za vse 
iz te soseske velja neenakost 
.
Najvišje in najmanjše točke funkcije imenujemo točke ekstrema.
Če funkcija 
na točki 
ima ekstrem, potem je odvod funkcije na tej točki enak nič ali pa ne obstaja (nujen pogoj za obstoj ekstrema).
Točke, v katerih je odvod enak nič ali ne obstaja, imenujemo kritične.
5. Zadostni pogoji za obstoj ekstrema.1. pravilo Če pri prehodu (od leve proti desni) skozi kritično točko 
izpeljanka 
spremeni predznak iz »+« v »–«, nato na piko 
funkcijo 
ima največ; če je od "–" do "+", potem najmanjša; če 
ne spremeni predznaka, potem ekstrema ni.
2. pravilo. Naj pri bistvu 
prvi odvod funkcije 
enako nič 
, drugi odvod pa obstaja in je različen od nič. če 
, To 
– največja točka, če 
, To 
– minimalna točka funkcije.
Primer 6.4. Raziščite maksimalne in minimalne funkcije:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
rešitev.
1) Funkcija je definirana in zvezna na intervalu 
.
Poiščimo izpeljanko 
in reši enačbo 
, tj. 
.Od tukaj 
– kritične točke.
Določimo predznak odvoda v intervalih , 
.
Pri prehodu skozi točke 
in 
izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+", torej v skladu s pravilom 1 
– minimalne točke.
Pri prehodu skozi točko 
izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”, torej 
– največja točka.
,
.
2) Funkcija je definirana in zvezna v intervalu 
. Poiščimo izpeljanko 
.
Ko smo rešili enačbo 
, bomo našli 
in 
– kritične točke. Če imenovalec 
, tj. 
, potem izpeljanka ne obstaja. Torej, 
– tretja kritična točka. Določimo predznak odvoda v intervalih.
Zato ima funkcija minimum v točki 
, največ v točkah 
in 
.
3) Funkcija je definirana in zvezna, če 
, tj. pri 
.
Poiščimo izpeljanko 
.
Poiščimo kritične točke: 
Soseske točk 
ne spadajo v domeno definicije, torej niso ekstremi. Torej, preučimo kritične točke 
in 
.
4) Funkcija je definirana in zvezna na intervalu 
. Uporabimo pravilo 2. Poiščite odvod 
.
Poiščimo kritične točke:
Poiščimo drugo izpeljanko 
in določite njegov predznak v točkah 
Na točkah 
funkcija ima minimum.
Na točkah 
funkcija ima maksimum.
Kako vstaviti matematične formule na spletno stran?
Če boste kdaj morali na spletno stran dodati eno ali dve matematični formuli, potem je to najlažji način, kot je opisano v članku: matematične formule se enostavno vstavijo na spletno mesto v obliki slik, ki jih samodejno ustvari Wolfram Alpha. . Poleg preprostosti bo ta univerzalna metoda pomagala izboljšati prepoznavnost spletnega mesta v iskalnikih. Deluje že dolgo (in mislim, da bo deloval večno), vendar je že moralno zastarel.
Če na svojem spletnem mestu redno uporabljate matematične formule, vam priporočam, da uporabite MathJax - posebno knjižnico JavaScript, ki prikazuje matematične zapise v spletnih brskalnikih z uporabo oznak MathML, LaTeX ali ASCIIMathML.
MathJax lahko začnete uporabljati na dva načina: (1) z uporabo preprosta koda na spletno stran lahko hitro povežete MathJax skripto, ki se bo ob pravem času samodejno naložila z oddaljenega strežnika (seznam strežnikov); (2) prenesite skript MathJax z oddaljenega strežnika na svoj strežnik in ga povežite z vsemi stranmi vašega spletnega mesta. Druga metoda - bolj zapletena in dolgotrajna - bo pospešila nalaganje strani vašega spletnega mesta in če nadrejeni strežnik MathJax iz nekega razloga postane začasno nedosegljiv, to na noben način ne bo vplivalo na vaše lastno spletno mesto. Kljub tem prednostim sem izbral prvo metodo, saj je preprostejša, hitrejša in ne zahteva tehničnega znanja. Sledite mojemu zgledu in v samo 5 minutah boste lahko uporabljali vse funkcije MathJaxa na svojem spletnem mestu.
Skript knjižnice MathJax lahko povežete z oddaljenega strežnika z uporabo dveh možnosti kode, vzetih z glavnega spletnega mesta MathJax ali na strani z dokumentacijo:
Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami in ali takoj za oznako. Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno spremlja in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če vstavite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.
MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgoraj predstavljene kode za prenos in postavite gradnik bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vstavljanje matematičnih formul na spletne strani vašega mesta.
Vsak fraktal je zgrajen po določenem pravilu, ki se dosledno uporablja neomejeno število krat. Vsak tak čas se imenuje ponovitev.
Iterativni algoritem za izdelavo Mengerjeve gobe je precej preprost: originalna kocka s stranico 1 je razdeljena z ravninami, vzporednimi z njenimi ploskvami, na 27 enakih kock. Iz nje se odstrani ena osrednja kocka in 6 kock, ki mejijo nanjo vzdolž ploskev. Rezultat je niz, sestavljen iz preostalih 20 manjših kock. Če enako naredimo z vsako od teh kock, dobimo niz, sestavljen iz 400 manjših kock. Če ta postopek nadaljujemo v nedogled, dobimo gobo Menger.