Podan je sistem linearnih enačb za reševanje z uporabo Gaussove metode. Gaussova metoda (zaporedna eliminacija neznank). Primeri rešitev za lutke

16.10.2019

Ta spletni kalkulator najde rešitev za sistem linearne enačbe(SLN) po Gaussovi metodi. Podana je podrobna rešitev. Za izračun izberite število spremenljivk in število enačb. Nato vnesite podatke v celice in kliknite na gumb "Izračunaj".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Predstavitev številk:

Cela števila in/ali navadni ulomki
Cela števila in/ali decimalke

Število mest za decimalnim ločilom

Opozorilo

Počistiti vse celice?

Zapri Počisti

Navodila za vnos podatkov.Števila se vnašajo kot cela števila (primeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalna mesta (npr. 67., 102,54 itd.) ali ulomki. Ulomek mora biti vpisan v obliki a/b, kjer sta a in b (b>0) cela ali decimalna števila. Primeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda prehoda iz izvirnega sistema linearnih enačb (z uporabo ekvivalentnih transformacij) v sistem, ki ga je lažje rešiti kot izvirni sistem.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih enačb so:

zamenjava dveh enačb v sistemu,
množenje katere koli enačbe v sistemu z realnim številom, ki ni nič,
dodajanje eni enačbi druge enačbe, pomnožene s poljubnim številom.

Razmislite o sistemu linearnih enačb:

(1)

Zapišimo sistem (1) v matrični obliki:

Ax=b

(2)

(3)

A- imenovana koeficientna matrika sistema, b− desna stran omejitev, x− vektor spremenljivk, ki jih je treba najti. Naj uvrsti ( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne spremenijo ranga matrike koeficientov in ranga razširjene matrike sistema. Tudi množica rešitev sistema se ne spremeni pri ekvivalentnih transformacijah. Bistvo Gaussove metode je redukcija matrike koeficientov A diagonalno ali stopničasto.

Zgradimo razširjeno matriko sistema:

Na naslednji stopnji ponastavimo vse elemente stolpca 2, pod elementom. Če je ta element enak nič, se ta vrstica zamenja z vrstico, ki leži pod to vrstico in ima v drugem stolpcu element, ki ni nič. Nato ponastavite vse elemente stolpca 2 pod vodilnim elementom a 22. Če želite to narediti, dodajte vrstice 3, ... m z nizom 2 pomnoženim z − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22 oz. Z nadaljevanjem postopka dobimo matrico diagonalne ali stopničaste oblike. Naj ima nastala razširjena matrika obliko:

(7)

Ker rangA=zvon(A|b), potem je množica rešitev (7) ( n−p)− sorta. Zato n−p neznanke lahko izbiramo poljubno. Preostale neznanke iz sistema (7) izračunamo takole. Iz zadnje enačbe izrazimo x p skozi preostale spremenljivke in vstavite v prejšnje izraze. Nato izrazimo iz predzadnje enačbe x p−1 skozi preostale spremenljivke in vstavite v prejšnje izraze itd. Razmislite o Gaussovi metodi konkretni primeri.

Primeri reševanja sistema linearnih enačb z Gaussovo metodo

Primer 1. Najdi splošna rešitev sistemi linearnih enačb po Gaussovi metodi:

Označimo z a ij elementi i-ta vrstica in j th stolpec.

a 1 1 . Če želite to narediti, dodajte vrstici 2,3 z vrstico 1, pomnoženo z -2/3 oziroma -1/2:

Matrični pogled vnosi: Ax=b, Kje

Označimo z a ij elementi i-ta vrstica in j th stolpec.

Izločimo elemente 1. stolpca matrike pod elementom a 11. Če želite to narediti, dodajte vrstici 2,3 z vrstico 1, pomnoženo z -1/5 oziroma -6/5:

Vsako vrstico matrike delimo z ustreznim vodilnim elementom (če vodilni element obstaja):

kje x 3 , x

Če zgornje izraze nadomestimo s spodnjimi, dobimo rešitev.

Potem vektorska rešitev lahko predstavimo takole:

kje x 3 , x 4 so poljubna realna števila.

Nadaljujemo z obravnavanjem sistemov linearnih enačb. Ta lekcija je tretja na to temo. Če imate nejasno predstavo o tem, kaj je na splošno sistem linearnih enačb, če se počutite kot čajnik, potem priporočam, da začnete z osnovami na strani Naprej, koristno je preučiti lekcijo.

Gaussova metoda je enostavna! Zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je že v času svojega življenja prejel priznanje za največjega matematika vseh časov, genija in celo vzdevek »kralj matematike«. In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, denarja ne dobijo samo naivneži, ampak tudi geniji - Gaussov portret je bil na bankovcu za 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se še vedno skrivnostno nasmiha Nemcem z običajnih poštnih znamk.

Gaussova metoda je preprosta v tem, da ZNANJE PETOŠOLCA ZADOSTOJA, da jo obvlada. Moraš znati seštevati in množiti! Ni naključje, da učitelji pri izbirnih predmetih matematike pogosto upoštevajo metodo zaporednega izločanja neznank. To je paradoks, vendar se študentom Gaussova metoda zdi najtežja. Nič presenetljivega - vse je v metodologiji in poskušal bom govoriti o algoritmu metode v dostopni obliki.

Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imejte edinstveno rešitev. 2) Imeti neskončno veliko rešitev. 3) Nimate rešitev (bodite neskupni).

Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve katerikoli sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! Vklopljeno to lekcijo Ponovno bomo obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da algoritem same metode deluje enako v vseh treh primerih.

Vrnimo se k najpreprostejšemu sistemu iz lekcije Kako rešiti sistem linearnih enačb? in ga rešite z Gaussovo metodo.

Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika: . Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.

Referenca : Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena samo iz koeficientov za neznanke, v tem primeru sistemska matrika: . Razširjena sistemska matrica – to je ista matrika sistema plus stolpec prostih pogojev, v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.

Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice Lahko preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če v matriki obstajajo (ali so se pojavile) sorazmerne (kot poseben primer - enake) vrstice, potem morate izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene. Razmislite na primer o matriki . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: . To dejanje je zelo uporabno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Oglejmo si našo matriko iz praktičnega primera: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: , In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: . Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo "nazaj" z –2: . Kot lahko vidite, je vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Vedno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.

V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko: Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:

»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. V drugo vrstico zapišem rezultat: »

Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ni mogoče uporabiti, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric! Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico delite s 3.

Namen elementarnih transformacij – reduciraj matriko na postopno obliko: . Pri zasnovi naloge samo označijo "stopnice" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Izraz "stopničasti pogled" sam po sebi ni povsem teoretičen, v znanstveni in poučna literatura pogosto se imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.

V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .

Razmislimo o prvi enačbi sistema in vanjo nadomestimo že znano vrednost "y":

Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem: In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?

Najprej poglejte številko zgoraj levo: Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Je že lažje.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Potrebujem drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:

Rezultat zapišemo v drugo vrstico:

Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:

Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:

V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in "vnos" rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se počasi napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:
Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.

IN v tem primeru To je enostavno narediti, drugo vrstico delite z –5 (ker so vsa števila tam deljiva s 5 brez ostanka). Istočasno tretjo vrstico delimo z –2, saj manjša kot so števila, enostavnejša je rešitev:

Na zadnji stopnji elementarnih transformacij morate tukaj dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:
Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni sistem linearnih enačb: Kul.

Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.

Primer 2

To je primer samostojne rešitve, vzorec končne zasnove in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš potek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole: (1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gibanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj takega, spodaj, in v skladu s tem, , potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake pri elementarnih transformacijah.

Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.

V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma. Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer: Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle: Mimogrede, to je dokaj enostaven primer, saj ima prvi stolpec že eno ničlo in je treba izvesti manj osnovnih transformacij.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na "stopnice" postavili -1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Torej dobimo potrebne ničle v prvem stolpcu.

Ali drug običajen primer: . Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno prvič - imajo zelo strog algoritem. Toda, da bi se počutili samozavestni v Gaussovi metodi, bi morali "dobiti zobe" in rešiti vsaj 5-10 deset sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki si želite več zapleten primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Rešite sistem 4 linearnih enačb s štirimi neznankami z Gaussovo metodo.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.

V lekciji obravnavamo primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev. Nekompatibilni sistemi in sistemi s skupno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim vam uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.
Izvedene osnovne transformacije: (1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tu vas bo morda zamikalo, da bi odšteli prvo od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga! (2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Prosimo, upoštevajte , da se na “stopnicah” zadovoljimo ne samo z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.

Zadaj:

Odgovori : .

Primer 4: rešitev : Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”. (2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 6.

Z drugim "korakom" se vse poslabša , sta »kandidata« zanj števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. (4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3. Zahtevani element v drugem koraku je bil prejet . (5) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 6. (6) Druga vrstica je bila pomnožena z –1, tretja vrstica je bila deljena z –83.

Zadaj:

Odgovori :

Primer 5: rešitev : Zapišimo matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije: (1) Prva in druga vrstica sta bili zamenjani. (2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –3. (3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnoženi s 4. Druga vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnoženi z –1. (4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena namesto tretje vrstice. (5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z –5.

Zadaj:

Odgovori :

Naj bo sistem linearen algebraične enačbe, ki ga je treba rešiti (poiščite takšne vrednosti neznank xi, ki vsako enačbo sistema spremenijo v enakost).

Vemo, da lahko sistem linearnih algebrskih enačb:

1) Nimate rešitev (bodite neskupni).
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Imejte eno samo rešitev.

Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda nista primerna v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. Gaussova metoda – najmočnejše in vsestransko orodje za iskanje rešitev katerega koli sistema linearnih enačb, ki v vsakem primeru nas bo pripeljal do odgovora! Sam algoritem metode deluje enako v vseh treh primerih. Če Cramerjeva in matrična metoda zahtevata poznavanje determinant, potem za uporabo Gaussove metode potrebujete le poznavanje aritmetičnih operacij, zaradi česar je dostopna tudi osnovnošolcem.

Povečane matrične transformacije ( to je matrika sistema - matrika, sestavljena samo iz koeficientov neznank in stolpca prostih členov) sistemi linearnih algebrskih enačb v Gaussovi metodi:

1) z troki matrice Lahko preurediti ponekod.

2) če se v matriki pojavijo (ali obstajajo) sorazmerne (kot poseben primer – enake) vrstice, potem morate izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene.

3) če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, bi morala biti tudi izbrisati.

4) vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno število razen nič.

5) v vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič.

Pri Gaussovi metodi elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb.

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj:

"Neposredna poteza" - z uporabo elementarnih transformacij razširite razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb v "trikotno" obliko koraka: elementi razširjene matrike, ki se nahajajo pod glavno diagonalo, so enaki nič (premik od zgoraj navzdol). Na primer za to vrsto:

Če želite to narediti, izvedite naslednje korake:

1) Oglejmo si prvo enačbo sistema linearnih algebrskih enačb in koeficient za x 1 je enak K. Drugo, tretjo itd. enačbe transformiramo takole: vsako enačbo (koeficiente neznank, vključno s prostimi členi) delimo s koeficientom neznanke x 1, ki je v vsaki enačbi, in pomnožimo s K. Po tem odštejemo prvo od druga enačba (koeficienti neznank in prosti členi). Za x 1 v drugi enačbi dobimo koeficient 0. Od tretje transformirane enačbe odštevamo prvo enačbo, dokler nimajo vse enačbe razen prve, za neznano x 1, koeficient 0.

2) Pojdimo na naslednjo enačbo. Naj bo to druga enačba in koeficient za x 2 enak M. Nadaljujemo z vsemi "nižjimi" enačbami, kot je opisano zgoraj. Tako bodo "pod" neznanko x 2 v vseh enačbah ničle.

3) Nadaljujte z naslednjo enačbo in tako naprej, dokler ne ostaneta zadnja neznanka in transformirani prosti člen.

»Vzvratna poteza« Gaussove metode je pridobitev rešitve sistema linearnih algebrskih enačb (premika »od spodaj navzgor«).

Iz zadnje "nižje" enačbe dobimo prvo rešitev - neznanko x n. Da bi to naredili, rešimo osnovno enačbo A * x n = B. V zgornjem primeru je x 3 = 4. Najdeno vrednost nadomestimo v »zgornjo« naslednjo enačbo in jo rešimo glede na naslednjo neznanko. Na primer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. In tako naprej, dokler ne najdemo vseh neznank.

Primer.

Rešimo sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo, kot svetujejo nekateri avtorji:

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredimo to: . Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno dejanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

2. korak . Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3, pa tretji vrstici.

3. korak . Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to za lepoto. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

4. korak . Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z 2.

5. korak . Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Znak, ki označuje napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. Če torej spodaj dobimo nekaj takega (0 0 11 | 23) in v skladu s tem 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potem lahko z veliko verjetnostjo rečemo, da je prišlo do napake med osnovnim transformacije.

Naredimo obratno; pri oblikovanju primerov sam sistem pogosto ni prepisan, ampak so enačbe "vzete neposredno iz dane matrike." Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. V tem primeru je bil rezultat darilo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, torej x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem s predlaganim algoritmom. Dobimo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugo enačbo delimo s 5, tretjo pa s 3. Dobimo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Če drugo in tretjo enačbo pomnožimo s 4, dobimo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Če odštejemo prvo enačbo od druge in tretje enačbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Tretjo enačbo delite z 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Tretjo enačbo pomnožimo z 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Če od tretje enačbe odštejemo drugo, dobimo "stopničasto" razširjeno matriko:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Tako, ker se je med izračuni nabrala napaka, dobimo x 3 = 0,96 ali približno 1.

x 2 = 3 in x 1 = –1.

S takšnim reševanjem se ne boste nikoli zmotili pri izračunih in boste kljub računskim napakam dobili rezultat.

To metodo reševanja sistema linearnih algebrskih enačb je enostavno programirati in ne upošteva posebne lastnosti koeficienti za neznanke, ker je v praksi (pri ekonomskih in tehničnih izračunih) treba opraviti z necelimi koeficienti.

Želim vam uspeh! Se vidimo v razredu! Tutor.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Gaussova metoda kot nalašč za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE). V primerjavi z drugimi metodami ima številne prednosti:

prvič, sistema enačb ni treba najprej preučiti glede skladnosti;
drugič, Gaussova metoda lahko reši ne samo SLAE, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk in glavna matrika sistema ni singularna, temveč tudi sisteme enačb, v katerih število enačb ne sovpada s številom enačb. število neznanih spremenljivk ali determinanta glavne matrike je enaka nič;
tretjič, Gaussova metoda vodi do rezultatov z relativno majhnim številom računskih operacij.

Kratek pregled članka.

Najprej podamo potrebne definicije in uvedemo oznake.

Nato bomo opisali algoritem Gaussove metode za najpreprostejši primer, to je za sisteme linearnih algebrskih enačb, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk, determinanta glavne matrike sistema pa je ni enako nič. Pri reševanju tovrstnih sistemov enačb je najbolj jasno vidno bistvo Gaussove metode, ki je zaporedno izločanje neznanih spremenljivk. Zato Gaussovo metodo imenujemo tudi metoda zaporednega izločanja neznank. Pokazali vam bomo podrobne rešitve več primerov.

Za zaključek bomo obravnavali rešitev z Gaussovo metodo sistemov linearnih algebrskih enačb, katerih glavna matrika je pravokotna ali singularna. Rešitev takih sistemov ima nekaj funkcij, ki jih bomo podrobneje preučili na primerih.

Navigacija po straneh.

Osnovne definicije in zapisi.

Razmislite o sistemu p linearnih enačb z n neznankami (p je lahko enak n):

Kjer so neznane spremenljivke, so števila (realna ali kompleksna) in prosti izrazi.

če , potem se imenuje sistem linearnih algebrskih enačb homogena, sicer pa – heterogena.

Imenuje se niz vrednosti neznanih spremenljivk, za katere vse enačbe sistema postanejo identitete odločitev SLAU.

Če obstaja vsaj ena rešitev sistema linearnih algebrskih enačb, se imenuje skupni, sicer pa – neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene. Če obstaja več kot ena rešitev, se sistem pokliče negotova.

Pravijo, da je sistem zapisan v koordinatna oblika, če ima obliko
.

Ta sistem v matrična oblika zapis ima obliko , kjer - glavna matrika SLAE, - matrika stolpca neznanih spremenljivk, - matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1) stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Kvadratna matrika A se imenuje degeneriran, če je njegova determinanta nič. Če , potem je matrika A klicana nedegeneriran.

Upoštevati je treba naslednjo točko.

Če izvedete naslednja dejanja s sistemom linearnih algebrskih enačb

zamenjaj dve enačbi,
pomnožite obe strani poljubne enačbe s poljubnim realnim (ali kompleksnim) številom k, ki ni nič,
obema stranema katere koli enačbe dodajte ustrezne dele druge enačbe, pomnožene s poljubnim številom k,

potem dobite enakovreden sistem, ki ima enake rešitve (ali, tako kot izvirni, nima rešitev).

Za razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb bodo ta dejanja pomenila izvedbo elementarnih transformacij z vrsticami:

zamenjava dveh vrstic,
množenje vseh elementov poljubne vrstice matrike T z neničelnim številom k,
dodajanje elementom katere koli vrstice matrike ustreznih elementov druge vrstice, pomnoženih s poljubnim številom k.

Zdaj lahko nadaljujemo z opisom Gaussove metode.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznank in je glavna matrika sistema nesingularna, z uporabo Gaussove metode.

Kaj bi počeli v šoli, če bi dobili nalogo najti rešitev sistema enačb? .

Nekateri bi to storili.

Upoštevajte, da se lahko z dodajanjem leve strani prve k levi strani druge enačbe in desne strani k desni strani znebite neznanih spremenljivk x 2 in x 3 ter takoj najdete x 1:

Najdeno vrednost x 1 =1 nadomestimo v prvo in tretjo enačbo sistema:

Če obe strani tretje enačbe sistema pomnožimo z -1 in ju prištejemo ustreznim delom prve enačbe, se znebimo neznane spremenljivke x 3 in lahko najdemo x 2:

Dobljeno vrednost x 2 = 2 nadomestimo v tretjo enačbo in poiščemo preostalo neznano spremenljivko x 3:

Drugi bi naredili drugače.

Razrešimo prvo enačbo sistema glede na neznano spremenljivko x 1 in dobljeni izraz nadomestimo v drugo in tretjo enačbo sistema, da to spremenljivko izločimo iz njiju:

Zdaj pa rešimo drugo enačbo sistema za x 2 in dobljeni rezultat nadomestimo s tretjo enačbo, da izločimo neznano spremenljivko x 2 iz nje:

Iz tretje enačbe sistema je jasno, da je x 3 =3. Iz druge enačbe najdemo , in iz prve enačbe dobimo .

Znane rešitve, kajne?

Najbolj zanimivo pri tem je, da je druga metoda reševanja v bistvu metoda zaporednega izločanja neznank, torej Gaussova metoda. Ko smo neznane spremenljivke izrazili (najprej x 1, na naslednji stopnji x 2) in jih nadomestili v preostale enačbe sistema, smo jih s tem izločili. Izločanje smo izvajali, dokler v zadnji enačbi ni ostala samo ena neznana spremenljivka. Postopek zaporednega izločanja neznank se imenuje z uporabo neposredne Gaussove metode. Po končanem premikanju naprej imamo možnost izračunati neznano spremenljivko, ki jo najdemo v zadnji enačbi. Z njegovo pomočjo iz predzadnje enačbe poiščemo naslednjo neznano spremenljivko in tako naprej. Imenuje se postopek zaporednega iskanja neznanih spremenljivk med premikanjem od zadnje enačbe k prvi obratno od Gaussove metode.

Upoštevati je treba, da ko izrazimo x 1 z x 2 in x 3 v prvi enačbi in nato dobljeni izraz nadomestimo v drugo in tretjo enačbo, naslednja dejanja vodijo do enakega rezultata:

Pravzaprav tak postopek omogoča tudi izločitev neznane spremenljivke x 1 iz druge in tretje enačbe sistema:

Nianse pri izločanju neznanih spremenljivk z uporabo Gaussove metode nastanejo, ko enačbe sistema ne vsebujejo nekaterih spremenljivk.

Na primer v SLAU v prvi enačbi ni neznane spremenljivke x 1 (z drugimi besedami, koeficient pred njo je nič). Zato ne moremo rešiti prve enačbe sistema za x 1, da bi izločili to neznano spremenljivko iz preostalih enačb. Izhod iz te situacije je zamenjava enačb sistema. Ker obravnavamo sisteme linearnih enačb, katerih determinante glavnih matrik so različne od nič, vedno obstaja enačba, v kateri je prisotna spremenljivka, ki jo potrebujemo, in to enačbo lahko preuredimo na položaj, ki ga potrebujemo. Za naš primer je dovolj, da zamenjamo prvo in drugo enačbo sistema , potem lahko razrešite prvo enačbo za x 1 in jo izključite iz preostalih enačb sistema (čeprav x 1 ni več prisoten v drugi enačbi).

Upamo, da razumete bistvo.

Naj opišemo Algoritem Gaussove metode.

Recimo, da moramo rešiti sistem n linearnih algebrskih enačb z n neznankami spremenljivke oblike , in naj bo determinanta njegove glavne matrike drugačna od nič.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo z zamenjavo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Oglejmo si algoritem na primeru.

Gaussova metoda.

rešitev.

Koeficient a 11 je različen od nič, zato pojdimo na neposredno napredovanje Gaussove metode, to je na izločitev neznane spremenljivke x 1 iz vseh enačb sistema razen prve. Če želite to narediti, levi in desni strani druge, tretje in četrte enačbe dodajte levo in desno stran prve enačbe, pomnoženo z. in:

Neznana spremenljivka x 1 je bila izločena, pojdimo k izločitvi x 2 . Levi in desni strani tretje in četrte enačbe sistema prištejemo levo in desno stran druge enačbe, pomnožene s in :

Za dokončanje nadaljnjega napredovanja Gaussove metode moramo odstraniti neznano spremenljivko x 3 iz zadnje enačbe sistema. Levi in desni strani četrte enačbe prištejmo levo in desno stran tretje enačbe, pomnoženo z :

Lahko začnete obratno od Gaussove metode.

Iz zadnje enačbe imamo ,
iz tretje enačbe dobimo,
od drugega,
od prvega.

Če želite preveriti, lahko dobljene vrednosti neznanih spremenljivk nadomestite z izvirnim sistemom enačb. Vse enačbe se spremenijo v identitete, kar pomeni, da je bila rešitev z Gaussovo metodo najdena pravilno.

odgovor:

Zdaj pa dajmo rešitev za isti primer z uporabo Gaussove metode v matričnem zapisu.

Poiščite rešitev sistema enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Razširjena matrika sistema ima obliko . Na vrhu vsakega stolpca so neznane spremenljivke, ki ustrezajo elementom matrike.

Neposredni pristop Gaussove metode tukaj vključuje redukcijo razširjene matrike sistema na trapezoidno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Ta proces je podoben izločanju neznanih spremenljivk, ki smo ga naredili s sistemom v koordinatni obliki. Zdaj boste videli to.

Preoblikujemo matriko tako, da vsi elementi v prvem stolpcu, začenši z drugim, postanejo nič. Da bi to naredili, elementom druge, tretje in četrte vrstice dodamo ustrezne elemente prve vrstice, pomnožene z , in temu primerno:

Nato transformiramo nastalo matriko tako, da v drugem stolpcu vsi elementi, začenši s tretjim, postanejo nič. To bi ustrezalo izločitvi neznane spremenljivke x 2 . Da bi to naredili, elementom tretje in četrte vrstice dodamo ustrezne elemente prve vrstice matrike, pomnožene z oz. in :

Ostaja še izključitev neznane spremenljivke x 3 iz zadnje enačbe sistema. Da bi to naredili, elementom zadnje vrstice dobljene matrike dodamo ustrezne elemente predzadnje vrstice, pomnožene z :

Opozoriti je treba, da ta matrika ustreza sistemu linearnih enačb

ki je bil pridobljen prej po premiku naprej.

Čas je, da se obrnemo. Pri matričnem zapisu inverz Gaussove metode vključuje transformacijo nastale matrike na tak način, da matrika, označena na sliki

postala diagonalna, to je dobila obliko

kje so neke številke.

Te transformacije so podobne naprej transformacijam Gaussove metode, vendar se ne izvajajo od prve vrstice do zadnje, ampak od zadnje do prve.

Elementom tretje, druge in prve vrstice dodajte ustrezne elemente zadnje vrstice, pomnožene s , naprej in naprej oziroma:

Sedaj elementom druge in prve vrstice dodajte ustrezne elemente tretje vrstice, pomnožene z oz.

V zadnjem koraku reverzne Gaussove metode elementom prve vrstice dodamo ustrezne elemente druge vrstice, pomnožene z:

Dobljena matrika ustreza sistemu enačb , od koder najdemo neznane spremenljivke.

odgovor:

PROSIMO, UPOŠTEVAJTE.

Pri uporabi Gaussove metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb se je treba izogibati približnim izračunom, saj lahko pride do popolnoma napačnih rezultatov. Priporočamo, da decimalnih mest ne zaokrožujete. Bolje od decimalke pojdite na navadne ulomke.

Rešite sistem treh enačb z Gaussovo metodo .

rešitev.

Upoštevajte, da imajo v tem primeru neznane spremenljivke drugačno oznako (ne x 1, x 2, x 3, temveč x, y, z). Pojdimo k navadnim ulomkom:

Izključimo neznanko x iz druge in tretje enačbe sistema:

V dobljenem sistemu neznana spremenljivka y ni v drugi enačbi, vendar je y prisoten v tretji enačbi, zato zamenjajmo drugo in tretjo enačbo:

S tem je dokončano neposredno napredovanje Gaussove metode (iz tretje enačbe ni treba izključiti y, ker ta neznana spremenljivka ne obstaja več).

Začnimo z obratnim gibom.

Iz zadnje enačbe najdemo ,
od predzadnjega

iz prve enačbe, ki jo imamo

odgovor:

X = 10, y = 5, z = -20.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih število enačb ne sovpada s številom neznank ali je glavna matrika sistema singularna, z uporabo Gaussove metode.

Sistemi enačb, katerih glavna matrika je pravokotna ali kvadratna singularna, morda nimajo rešitev, lahko imajo eno samo rešitev ali pa neskončno število rešitev.

Zdaj bomo razumeli, kako nam Gaussova metoda omogoča ugotavljanje združljivosti ali neskladnosti sistema linearnih enačb in v primeru njegove združljivosti določitev vseh rešitev (ali ene same rešitve).

Načeloma ostaja postopek izločanja neznanih spremenljivk v primeru takih SLAE enak. Vendar pa je vredno podrobneje opisati nekatere situacije, ki se lahko pojavijo.

Pojdimo na najpomembnejšo fazo.

Predpostavimo torej, da ima sistem linearnih algebrskih enačb po zaključku napredovanja Gaussove metode obliko in niti ena enačba ni bila reducirana na (v tem primeru bi sklepali, da je sistem nekompatibilen). Nastane logično vprašanje: "Kaj storiti naprej"?

Zapišimo neznane spremenljivke, ki so prve v vseh enačbah nastalega sistema:

V našem primeru so to x 1, x 4 in x 5. Na levih straneh enačb sistema pustimo le tiste člene, ki vsebujejo zapisane neznane spremenljivke x 1, x 4 in x 5, preostale člene prenesemo na desno stran enačb z nasprotnim predznakom:

Dajmo neznanim spremenljivkam, ki so na desni strani enačb, poljubne vrednosti, kjer - poljubna števila:

Po tem desne strani vseh enačb našega SLAE vsebujejo števila in lahko nadaljujemo z obratno Gaussovo metodo.

Iz zadnje enačbe sistema imamo, iz predzadnje enačbe najdemo, iz prve enačbe dobimo

Rešitev sistema enačb je niz vrednosti neznanih spremenljivk

Dajanje številk različne pomene, bomo dobili različne rešitve sistema enačb. To pomeni, da ima naš sistem enačb neskončno veliko rešitev.

odgovor:

kje - poljubna števila.

Za utrjevanje gradiva bomo podrobno analizirali rešitve več primerov.

Rešite homogeni sistem linearnih algebrskih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, levi in desni strani druge enačbe dodamo levo in desno stran prve enačbe, pomnožene z , ter levi in desni strani tretje enačbe dodamo levo in desne strani prve enačbe, pomnožene z:

Zdaj pa izključimo y iz tretje enačbe nastalega sistema enačb:

Nastali SLAE je enakovreden sistemu .

Na levi strani enačb sistema pustimo samo člene, ki vsebujejo neznani spremenljivki x in y, člene z neznano spremenljivko z pa premaknemo na desno stran:

V tem članku je metoda obravnavana kot metoda za reševanje sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, kar pomeni, da vam omogoča pisanje algoritma rešitve splošni pogled, nato pa tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno število rešitev. Ali pa ga sploh nimajo.

Kaj pomeni reševanje po Gaussovi metodi?

Najprej moramo zapisati naš sistem enačb. Videti je takole. Vzemite sistem:

Koeficienti so zapisani v obliki tabele, prosti izrazi pa so zapisani v ločenem stolpcu na desni strani. Stolpec s prostimi izrazi je ločen zaradi priročnosti, ki vključuje ta stolpec in se imenuje razširjeni.

Nato je treba glavno matriko s koeficienti reducirati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema z Gaussovo metodo. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah mora biti matrika videti tako, da njen spodnji levi del vsebuje samo ničle:

Če nato novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki je nato substituirana v zgornjo enačbo, najden je drug koren itd.

To je v večini opis rešitve po Gaussovi metodi splošni oris. Kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno veliko? Za odgovor na ta in mnoga druga vprašanja je treba ločeno obravnavati vse elemente, ki se uporabljajo pri reševanju Gaussove metode.

Matrike, njihove lastnosti

Noben skriti pomen ne v matrici. Enostavno je priročen način snemanje podatkov za nadaljnje operacije z njimi. Tudi šolarjem se jih ni treba bati.

Matrica je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse spušča v konstrukcijo matrike trikotne oblike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničle morda niso zapisane, vendar so implicitne.

Matrica ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), "dolžina" je število stolpcev (n). Potem bo velikost matrike A (za označevanje se običajno uporabljajo velike latinične črke) označena kot A m×n. Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna in m=n je njen vrstni red. V skladu s tem lahko vsak element matrike A označimo s številkami vrstic in stolpcev: a xy ; x - številka vrstice, spremembe, y - številka stolpca, spremembe.

B ni bistvo odločitve. Načeloma lahko vse operacije izvajamo neposredno s samimi enačbami, vendar bo zapis veliko bolj okoren in veliko lažje se bomo zmešali v njem.

Determinanta

Matrika ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Zdaj ni treba ugotoviti njegovega pomena; lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Determinanto najlažje poiščemo po diagonalah. V matriki so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo dobljeni izdelki: diagonale z naklonom v desno - z znakom plus, z naklonom v levo - z znakom minus.

Zelo pomembno je vedeti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: med številom vrstic in številom stolpcev izberete najmanjšo (naj bo k), nato pa v matriki naključno označite k stolpcev in k vrstic. Elementi na presečišču izbranih stolpcev in vrstic bodo tvorili novo kvadratno matriko. Če je determinanta takšne matrike neničelno število, se imenuje osnovni minor prvotne pravokotne matrike.

Preden začnete reševati sistem enačb z Gaussovo metodo, ne škodi izračunati determinanto. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika neskončno število rešitev ali pa nobene. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in izvedeti o rangu matrice.

Sistemska klasifikacija

Obstaja nekaj takega, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njegove neničelne determinante (če se spomnimo o manjši bazi, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red manjše osnove).

Glede na situacijo z uvrstitvijo lahko SLAE razdelimo na:

Skupni. U V skupnih sistemih rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene matrike (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, vendar ne nujno eno, torej dodatno sklepni sistemi razdeljen na:
- določene- z eno samo rešitvijo. V nekaterih sistemih sta rang matrike in število neznank (ali število stolpcev, kar je isto) enaka;
- nedefinirano - z neskončnim številom rešitev. Rang matrik v takih sistemih je manjši od števila neznank.
Nezdružljivo. U V takih sistemih se rangi glavne in razširjene matrice ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.

Gaussova metoda je dobra, ker med rešitvijo omogoča pridobitev bodisi nedvoumnega dokaza o nekonsistentnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi rešitve v splošni obliki za sistem z neskončnim številom rešitev.

Elementarne transformacije

Preden nadaljujete neposredno z reševanjem sistema, ga lahko naredite manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – takimi, da njihova izvedba v ničemer ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da so nekatere od navedenih elementarnih transformacij veljavne le za matrike, katerih izvor je bil SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:

Preurejanje vrstic. Očitno je, da če spremenite vrstni red enačb v sistemskem zapisu, to na noben način ne bo vplivalo na rešitev. Posledično lahko vrstice v matriki tega sistema tudi zamenjamo, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih členov.
Množenje vseh elementov niza z določenim koeficientom. Zelo uporabno! Lahko se uporablja za krajšanje velike številke v matriko ali odstraniti ničle. Številne odločitve se, kot običajno, ne bodo spremenile, vendar bodo nadaljnje operacije postale bolj priročne. Glavna stvar je, da koeficient ni enak nič.
Odstranjevanje vrstic s proporcionalnimi faktorji. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki proporcionalne koeficiente, potem ko eno od vrstic pomnožimo/delimo s sorazmernostnim koeficientom, dobimo dve (ali spet več) popolnoma enakih vrstic, odvečne pa lahko odstranimo, tako da ostane samo ena.
Odstranjevanje ničelne vrstice. Če med transformacijo nekje dobimo vrstico, v kateri so vsi elementi, vključno s prostim členom, enaki nič, potem lahko tako vrstico imenujemo nič in jo vržemo iz matrike.
Dodajanje elementom ene vrstice elementov druge (v ustreznih stolpcih), pomnoženih z določenim koeficientom. Najbolj neočitna in najpomembnejša preobrazba od vseh. Na njem se je vredno podrobneje posvetiti.

Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem

Za lažje razumevanje je vredno ta postopek razčleniti korak za korakom. Iz matrike sta vzeti dve vrstici:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Recimo, da morate prvo dodati drugemu, pomnoženo s koeficientom "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Nato se druga vrstica v matriki nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Upoštevati je treba, da je koeficient množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi dodajanja dveh vrstic eden od elementov nova vrstica je bila enaka nič. Zato je mogoče dobiti enačbo v sistemu, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve takšni enačbi, lahko operacijo izvedete znova in dobite enačbo, ki bo vsebovala dve neznanki manj. In če vsakič en koeficient spremenite v nič za vse vrstice, ki so pod prvotno, potem se lahko, kot po stopnicah, spustite na sam dno matrike in dobite enačbo z eno neznanko. To se imenuje reševanje sistema z uporabo Gaussove metode.

Na splošno

Naj bo sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga zapišete na naslednji način:

Glavna matrika je sestavljena iz sistemskih koeficientov. Razširjeni matriki je dodan stolpec prostih izrazov in zaradi priročnosti ločen s črto.

prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k = (-a 21 /a 11);
dodani sta prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat seštevanja iz prejšnjega odstavka;
zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Zdaj se izvaja ista serija transformacij, vključeni sta samo prva in tretja vrstica. V skladu s tem se na vsakem koraku algoritma element a 21 nadomesti z 31. Nato se vse ponovi za 41, ... a m1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah nič. Zdaj morate pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druga spremenjena vrstica se doda "trenutni" vrstici;
rezultat seštevanja se nadomesti v tretjo, četrto in tako naprej, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjeni;
v vrsticah matrike sta prva dva elementa že enaka nič.

Algoritem moramo ponavljati, dokler se ne pojavi koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To pomeni, da v zadnjič algoritem je bil izveden samo za spodnjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. V spodnji vrstici je enačba a mn × x n = b m. Znana sta koeficient in prosti člen, skozenj pa je izražen koren: x n = b m /a mn. Dobljeni koren nadomestimo v zgornjo vrstico, da poiščemo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežete "vrh" sistema, lahko najdete veliko rešitev. Edina bo.

Ko ni rešitev

Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi razen prostega člena enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0 = b. Nima rešitve. In ker je taka enačba vključena v sistem, potem je množica rešitev celotnega sistema prazna, to je degenerirana.

Ko obstaja neskončno število rešitev

Lahko se zgodi, da v dani trikotni matriki ni vrstic z enim koeficientnim elementom enačbe in enim prostim členom. Obstajajo le črte, ki bi bile, če bi jih prepisali, videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru lahko odgovor podamo v obliki splošne rešitve. Kako to narediti?

Vse spremenljivke v matriki so razdeljene na osnovne in proste. Osnovni so tisti, ki stojijo »na robu« vrstic v stopenjski matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane preko prostih.

Za udobje je matrika najprej prepisana nazaj v sistem enačb. Potem pa v zadnji izmed njih, kjer ostane le še ena osnovna spremenljivka, ta ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je to mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti dobljeni izraz. Če je rezultat ponovno izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se ta ponovno izrazi od tam in tako naprej, dokler ni vsaka osnovna spremenljivka zapisana kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev SLAE.

Najdete lahko tudi osnovno rešitev sistema - prostim spremenljivkam dodelite poljubne vrednosti, nato pa za ta konkreten primer izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk. Obstaja neskončno število posebnih rešitev, ki jih je mogoče dati.

Rešitev s konkretnimi primeri

Tukaj je sistem enačb.

Za udobje je bolje, da takoj ustvarite njegovo matrico

Znano je, da pri reševanju z Gaussovo metodo enačba, ki ustreza prvi vrstici, na koncu transformacij ostane nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če je zgornji levi element matrike najmanjši - takrat se bodo prvi elementi preostalih vrstic po operacijah spremenili na nič. To pomeni, da bo v sestavljeni matriki koristno postaviti drugo vrstico namesto prve.

druga vrstica: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tretja vrstica: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Zdaj, da ne bi prišlo do zmede, morate zapisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.

Očitno je mogoče takšno matriko narediti bolj priročno za zaznavanje z uporabo določenih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da pomnožite vsak element z "-1".

Omeniti velja tudi, da so v tretji vrstici vsi elementi večkratniki treh. Nato lahko vrstico skrajšate za to številko, tako da vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).

Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo pustiti prvo vrstico pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim koeficientom, da postane element a 32 enak nič.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (če se med nekaterimi transformacijami odgovor ne izkaže za celo število, je priporočljivo ohraniti natančnost izračunov, da pustite je "kot je", v obliki navadni ulomek, šele nato, ko so odgovori prejeti, se odločite, ali boste zaokrožili in pretvorili v drugo obliko zapisa)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrika se ponovno zapiše z novimi vrednostmi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kot lahko vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema z uporabo Gaussove metode niso potrebne. Tukaj lahko odstranite skupni koeficient "-1/7" iz tretje vrstice.

Zdaj je vse lepo. Vse kar morate storiti je, da matriko ponovno zapišete v obliki sistema enačb in izračunate korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritem, s katerim bodo sedaj najdeni koreni, se v Gaussovi metodi imenuje obratna poteza. Enačba (3) vsebuje vrednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

In prva enačba nam omogoča, da najdemo x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Takšen sistem imamo pravico imenovati skupen in celo dokončen, to je edinstvena rešitev. Odgovor je zapisan v naslednji obliki:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primer negotovega sistema

Različica reševanja določenega sistema z Gaussovo metodo je bila analizirana, zdaj je treba upoštevati primer, če je sistem negotov, to je, da je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Že sam videz sistema je zaskrbljujoč, saj je število neznank n = 5, rang sistemske matrike pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m = 4, tj. najvišji vrstni red determinantnega kvadrata je 4. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev in morate iskati njegov splošni videz. To vam omogoča Gaussova metoda za linearne enačbe.

Najprej se, kot običajno, sestavi razširjena matrika.

Druga vrstica: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, zato se vam ni treba ničesar dotikati, pustiti ga morate tako, kot je. Četrta vrstica: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Če pomnožimo elemente prve vrstice z vsakim od njihovih koeficientov po vrsti in jih dodamo zahtevanim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:

Kot lahko vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljene iz elementov, sorazmernih drug z drugim. Drugi in četrti sta na splošno enaki, zato je mogoče eno od njih takoj odstraniti, preostalo pa pomnožiti s koeficientom "-1" in dobiti številko vrstice 3. In spet od dveh enakih vrstic pustite eno.

Rezultat je takšna matrika. Medtem ko sistem še ni zapisan, je tu treba določiti osnovne spremenljivke - tiste, ki stojijo pri koeficientih a 11 = 1 in a 22 = 1, ter proste - vse ostale.

V drugi enačbi je le ena osnovna spremenljivka - x 2. To pomeni, da ga je mogoče izraziti od tam tako, da ga zapišemo skozi spremenljivke x 3 , x 4 , x 5 , ki so proste.

Dobljeni izraz nadomestimo v prvo enačbo.

Rezultat je enačba, v kateri je edina osnovna spremenljivka x 1 . Naredimo z njim enako kot z x 2.

Vse osnovne spremenljivke, ki sta dve, so izražene s tremi prostimi; sedaj lahko odgovor zapišemo v splošni obliki.

Določite lahko tudi eno od posameznih rešitev sistema. V takih primerih so običajno izbrane ničle kot vrednosti za proste spremenljivke. Potem bo odgovor:

16, 23, 0, 0, 0.

Primer nekooperativnega sistema

Reševanje nekompatibilnih sistemov enačb z Gaussovo metodo je najhitrejše. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da je stopnja izračunavanja korenin, ki je precej dolga in dolgočasna, odpravljena. Upoštevan je naslednji sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kot običajno je matrika sestavljena:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

In zmanjšano je na postopno obliko:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvi transformaciji je v tretji vrstici enačba oblike

brez rešitve. Posledično je sistem nedosleden in odgovor bo prazna množica.

Prednosti in slabosti metode

Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, o kateri smo razpravljali v tem članku, videti najbolj privlačna. Veliko težje se je zmešati pri elementarnih transformacijah, kot če bi morali ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer preglednice, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, manjši, inverzni itd. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in ne bo delal napak, je bolj priporočljivo uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverznih matrik. .

Aplikacija

Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalna matrika, jo je mogoče uporabiti pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba reči, da je metodo najlažje vnesti v preglednice, na primer Excel. Vsak SLAE, vnesen v tabelo v obliki matrike, bo Excel obravnaval kot dvodimenzionalno polje. In za operacije z njimi obstaja veliko lepih ukazov: seštevanje (seštevate lahko samo matrike enake velikosti!), množenje s številom, množenje matrik (tudi z določenimi omejitvami), iskanje inverznih in transponiranih matrik in, kar je najpomembnejše , izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomestimo z enim samim ukazom, je mogoče veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost oz.