Vendar pa sta v praksi razširjena še dva primera:
– Sistem je nekonzistenten (nima rešitev);
– Sistem je konsistenten in ima neskončno veliko rešitev.
Opomba : Izraz "konsistentnost" pomeni, da ima sistem vsaj neko rešitev. Pri številnih težavah je treba najprej preveriti združljivost sistema; kako to storiti, glejte članek o rang matrik.
Za te sisteme se uporablja najbolj univerzalna od vseh metod rešitve - Gaussova metoda. Pravzaprav bo do odgovora pripeljala tudi "šolska" metoda, vendar je v višji matematiki običajno uporabljati Gaussovo metodo zaporedno izločanje neznano. Tisti, ki ne poznate algoritma Gaussove metode, naj najprej preučijo lekcijo Gaussova metoda za telebane.
Same osnovne matrične transformacije so popolnoma enake, bo razlika v koncu rešitve. Najprej si poglejmo nekaj primerov, ko sistem nima rešitev (nekonsistentno).
Primer 1
Kaj vam pri tem sistemu takoj pade v oči? Število enačb je manjše od števila spremenljivk. Če je število enačb manjše od števila spremenljivk, potem lahko takoj rečemo, da je sistem nekonsistenten ali pa ima neskončno veliko rešitev. In vse, kar ostane, je ugotoviti.
Začetek rešitve je povsem običajen - zapišemo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami spravimo v postopno obliko:
(1) Na zgornji levi stopnici moramo dobiti +1 ali –1. V prvem stolpcu teh številk ni, zato preurejanje vrstic ne bo prineslo ničesar. Enota se bo morala organizirati, in to na več načinov. Naredil sem tako: prvi vrstici dodamo tretjo vrstico, pomnoženo z -1.
(2) Zdaj dobimo dve ničli v prvem stolpcu. Drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo s 3. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo s 5.
(3) Ko je transformacija končana, je vedno priporočljivo preveriti, ali je možno poenostaviti nastale nize? Lahko. Drugo vrstico delimo z 2, hkrati pa na drugem koraku dobimo zahtevano –1. Tretjo vrstico delite z –3.
(4) Dodajte drugo vrstico tretji vrstici.
Verjetno so vsi opazili slabo linijo, ki je nastala zaradi elementarnih preobrazb: 
. Jasno je, da temu ne more biti tako. Zares, prepišimo dobljeno matriko 
nazaj v sistem linearne enačbe: 
Če kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike, kjer je število, ki ni nič, potem je sistem nekonzistenten (nima rešitev).
Kako zapisati konec naloge? Narišimo z belo kredo: "kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike , kjer" in podamo odgovor: sistem nima rešitev (nekonsistenten).
Če je v skladu s pogojem potrebno RAZISKATI sistem za združljivost, potem je treba formalizirati rešitev v bolj trdnem slogu z uporabo koncepta matrični rang in Kronecker-Capellijev izrek.
Upoštevajte, da tukaj ni obračanja Gaussovega algoritma - ni rešitev in preprosto ni ničesar za najti.
Primer 2
Rešite sistem linearnih enačb 
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Ponovno vas opozarjam, da se vaša rešitev lahko razlikuje od moje rešitve; Gaussov algoritem nima močne "rigidnosti".
Druga tehnična lastnost rešitve: elementarne transformacije je mogoče ustaviti Naenkrat, takoj ko vrstica kot , kje . Razmislimo o pogojnem primeru: predpostavimo, da je po prvi transformaciji pridobljena matrika 
. Matrika še ni reducirana na ešalonsko obliko, vendar ni potrebe po nadaljnjih elementarnih transformacijah, saj se je pojavila črta oblike, kjer je . Takoj je treba odgovoriti, da je sistem nekompatibilen.
Ko sistem linearnih enačb nima rešitev, je to skoraj darilo, saj dobimo kratko rešitev, včasih dobesedno v 2-3 korakih.
Toda vse na tem svetu je uravnoteženo in problem, v katerem ima sistem neskončno veliko rešitev, je samo daljši.
Primer 3
Rešite sistem linearnih enačb 
Obstajajo 4 enačbe in 4 neznanke, tako da ima sistem lahko eno samo rešitev ali nima nobene rešitve ali pa ima neskončno veliko rešitev. Kakor koli že, Gaussova metoda nas bo v vsakem primeru pripeljala do odgovora. To je njegova vsestranskost.
Začetek je spet standarden. Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike: 
To je vse in bilo te je strah.
(1) Upoštevajte, da so vse številke v prvem stolpcu deljive z 2, zato je 2 v redu na zgornji levi stopnici. Drugi vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z –4. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z –2. Četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z –1.
Pozor! Marsikoga bo morda premamila četrta linija odšteti prva vrsta. To je mogoče storiti, vendar ni nujno, izkušnje kažejo, da se verjetnost napake v izračunih večkrat poveča. Samo dodajte: četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z –1 – točno!
(2) Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve izmed njih se lahko črtajo.
Tukaj moramo spet pokazati povečana pozornost, toda ali so črte res sorazmerne? Da bi bili na varni strani (zlasti za čajnik), bi bilo dobro, da drugo vrstico pomnožite z –1 in četrto vrstico delite z 2, tako da dobite tri enake vrstice. In šele nato odstranite dva od njih.
Kot rezultat elementarnih transformacij se razširjena matrika sistema reducira na stopenjsko obliko: 
Pri pisanju naloge v zvezek je priporočljivo, da zaradi jasnosti naredite iste opombe s svinčnikom.
Prepišemo ustrezen sistem enačb: 
Tukaj ne diši po »navadni« enojni rešitvi sistema. Tudi slabe linije ni. To pomeni, da je to tretji preostali primer - sistem ima neskončno veliko rešitev. Včasih je glede na pogoj treba raziskati združljivost sistema (torej dokazati, da rešitev sploh obstaja), o tem si lahko preberete v zadnjem odstavku članka Kako najti rang matrike? Toda za zdaj pojdimo čez osnove:
Neskončno množico rešitev sistema na kratko zapišemo v obliki t.i splošna rešitev sistema .
Splošno rešitev sistema najdemo z inverzno Gaussovo metodo.
Najprej moramo določiti, katere spremenljivke imamo osnovni, in katere spremenljivke prost. Ni se vam treba obremenjevati s pojmi linearne algebre, samo zapomnite si, da obstajajo osnovne spremenljivke in proste spremenljivke.
Osnovne spremenljivke vedno "sedijo" strogo na stopnicah matrike.
IN v tem primeru osnovni spremenljivki sta in
Brezplačne spremenljivke so vse preostalih spremenljivke, ki niso prejele koraka. V našem primeru sta dva: – proste spremenljivke.
Zdaj potrebujete Vse osnovne spremenljivke ekspresno samo skozi proste spremenljivke.
Obratno od Gaussovega algoritma tradicionalno deluje od spodaj navzgor.
Iz druge enačbe sistema izrazimo osnovno spremenljivko:
Poglejte zdaj prvo enačbo: 
. Najprej vanj nadomestimo najdeni izraz: 
Ostaja še izraziti osnovno spremenljivko s prostimi spremenljivkami: 
Na koncu smo dobili, kar smo potrebovali - Vse izraženi sta osnovni spremenljivki ( in ). samo skozi proste spremenljivke: 
Pravzaprav je splošna rešitev pripravljena: 
Kako pravilno zapisati splošno rešitev?
Proste spremenljivke so zapisane v splošno rešitev "sami" in strogo na svojih mestih. IN v tem primeru proste spremenljivke naj bodo zapisane na drugo in četrto mesto: 
.
Dobljeni izrazi za osnovne spremenljivke 
in očitno mora biti zapisano na prvem in tretjem mestu: 
Podajanje prostih spremenljivk poljubne vrednosti, lahko jih najdete neskončno veliko zasebne rešitve. Najbolj priljubljene vrednosti so ničle, saj je določeno rešitev najlažje dobiti. Nadomestimo v splošno rešitev: 
– zasebna rešitev.
Še en sladek par so tisti, zamenjajmo jih v splošno rešitev: 
– druga zasebna rešitev.
Preprosto je videti, da ima sistem enačb neskončno veliko rešitev(ker lahko podamo proste spremenljivke kaj vrednote)
Vsak posamezna rešitev mora zadovoljiti vsakemu enačba sistema. To je osnova za »hitro« preverjanje pravilnosti rešitve. Vzemimo na primer določeno rešitev in jo nadomestimo z levo stranjo vsake enačbe izvirnega sistema: 
Vse se mora združiti. In z vsako posamezno rešitvijo, ki jo prejmete, bi se moralo tudi vse ujemati.
Toda, strogo gledano, je preverjanje določene rešitve včasih zavajajoče, tj. neka posamezna rešitev lahko zadosti vsaki enačbi sistema, vendar je sama splošna rešitev dejansko najdena nepravilno.
Zato je preverjanje splošne rešitve bolj temeljito in zanesljivo. Kako preveriti dobljeno splošno rešitev 
?
Ni težko, je pa precej dolgočasno. Sprejeti moramo izraze osnovni spremenljivke, v tem primeru 
in , ter ju nadomestite na levo stran vsake enačbe sistema.
Na levi strani prve enačbe sistema: 
Na levi strani druge enačbe sistema: 
Dobljena je desna stran prvotne enačbe.
Primer 4
Rešite sistem z Gaussovo metodo. Poiščite splošno rešitev in dve posebni. Preverite splošno rešitev. 
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tukaj je, mimogrede, ponovno število enačb manjše od števila neznank, kar pomeni, da je takoj jasno, da bo sistem ali nekonsistenten ali pa bo imel neskončno število rešitev. Kaj je pomembno pri samem odločanju? Pozornost in še enkrat pozornost. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
In še nekaj primerov za utrjevanje snovi
Primer 5
Rešite sistem linearnih enačb. Če ima sistem neskončno veliko rešitev, poiščite dve posebni rešitvi in preverite splošno rešitev 
rešitev: Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike: 
(1) Dodajte prvo vrstico drugi vrstici. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z 2. Četrti vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo s 3.
(2) Tretji vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –5. Četrti vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –7.
(3) Tretja in četrta vrstica sta enaki, eno črtamo.
To je taka lepotica: 
Osnovne spremenljivke sedijo na stopnicah, torej - osnovne spremenljivke.
Obstaja samo ena prosta spremenljivka, ki ni dobila koraka:
Zadaj:
Izrazimo osnovne spremenljivke s prosto spremenljivko:
Iz tretje enačbe: 
Razmislimo o drugi enačbi in vanjo nadomestimo najdeni izraz: 
Razmislimo o prvi enačbi in vanjo nadomestimo najdene izraze: 
Da, kalkulator, ki računa navadne ulomke, je še vedno priročen.
Splošna rešitev je torej: 
Še enkrat, kako se je izkazalo? Prosta spremenljivka je sama na svojem upravičenem četrtem mestu. Tudi dobljeni izrazi za osnovne spremenljivke so zavzeli svoja ordinalna mesta.
Takoj preverimo splošno rešitev. Delo je za črnce, ampak sem ga že opravil, tako da ujemite =)
Nadomeščamo tri junake , , v levo stran vsake enačbe sistema:
Dobljene so ustrezne desne strani enačb, s čimer je splošna rešitev najdena pravilno.
Zdaj pa iz najdene splošne rešitve 
dobimo dve posebni rešitvi. Edina prosta spremenljivka tukaj je kuhar. Ni vam treba razbijati možganov.
Naj bo potem 
– zasebna rešitev.
Naj bo potem 
– druga zasebna rešitev.
Odgovori: Skupna odločitev: 
, zasebne rešitve: 
, .
Ne bi se smel spomniti črncev ... ... ker so mi v glavo prihajali najrazličnejši sadistični motivi in spomnil sem se slavnega photoshopa, v katerem Ku Klux Klanovci v belih haljah tekajo po igrišču za temnopoltim nogometašem. Sedim in se tiho nasmehnem. Veste, kako moteče ...
Veliko matematike je škodljivo, zato podoben končni primer za reševanje sam.
Primer 6
Poiščite splošno rešitev sistema linearnih enačb. 
Splošno rešitev sem že preveril, odgovoru lahko zaupam. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve, glavno je, da splošne rešitve sovpadajo.
Marsikdo je verjetno opazil neprijeten trenutek v rešitvah: zelo pogosto smo se morali pri obračanju Gaussove metode ukvarjati z navadni ulomki. V praksi je res tako; primeri, ko ulomkov ni, so veliko manj pogosti. Bodite psihično in, kar je najpomembneje, tehnično pripravljeni.
Osredotočil se bom na nekatere značilnosti rešitve, ki jih v rešenih primerih ni bilo.
Splošna rešitev sistema lahko včasih vključuje konstanto (ali konstante), na primer: . Tu je ena od osnovnih spremenljivk enaka stalno število: . V tem ni nič eksotičnega, se zgodi. Očitno bo v tem primeru vsaka posamezna rešitev vsebovala petico na prvem mestu.
Redko, vendar obstajajo sistemi, v katerih število enačb je večje od števila spremenljivk. Gaussova metoda deluje v najtežjih pogojih; razširjeno matriko sistema je treba mirno reducirati v postopno obliko s standardnim algoritmom. Takšen sistem je lahko nedosleden, lahko ima neskončno veliko rešitev in, nenavadno, ima lahko eno samo rešitev.
- Sistemi m linearne enačbe z n neznano.
Reševanje sistema linearnih enačb- to je tak niz številk ( x 1, x 2, …, x n), ko jo nadomestimo v vsako od enačb sistema, dobimo pravilno enakost.
Kje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistemski koeficienti;
b i , i = 1, …, m- brezplačni člani;
x j , j = 1, …, n- neznano.
Zgornji sistem lahko zapišemo v matrični obliki: A X = B,
Kje ( A|B) je glavna matrika sistema;
A— razširjena sistemska matrika;
X— stolpec neznanih;
B— stolpec prostih članov.
Če matriko B ni ničelna matrika ∅, potem se ta sistem linearnih enačb imenuje nehomogen.
Če matriko B= ∅, potem se ta sistem linearnih enačb imenuje homogen. Homogen sistem ima vedno ničelno (trivialno) rešitev: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Skupni sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki ima rešitev.
Nekonsistentni sistem linearnih enačb je nerešljiv sistem linearnih enačb.
Določen sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb, ki ima edinstveno rešitev.
Nedoločen sistem linearnih enačb je sistem linearnih enačb z neskončnim številom rešitev. - Sistemi n linearnih enačb z n neznankami
Če je število neznank enako številu enačb, potem je matrika kvadratna. Determinanta matrike se imenuje glavna determinanta sistema linearnih enačb in je označena s simbolom Δ.
Cramerjeva metoda za reševanje sistemov n linearne enačbe z n neznano.
Cramerjevo pravilo.
Če glavna determinanta sistema linearnih enačb ni enaka nič, potem je sistem konsistenten in definiran, edina rešitev pa je izračunana z uporabo Cramerjevih formul:
kjer so Δ i determinante, dobljene iz glavne determinante sistema Δ z zamenjavo jaz stolpca v stolpec brezplačnih članov. . - Sistemi m linearnih enačb z n neznankami
Kronecker–Capellijev izrek.
Da bi bil dani sistem linearnih enačb konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike sistema, rang(Α) = rang(Α|B).
če rang(Α) ≠ rang(Α|B), potem sistem očitno nima rešitev.
če rang(Α) = rang(Α|B), potem sta možna dva primera:
1) rang (Α) = n(število neznank) - rešitev je edinstvena in jo je mogoče dobiti s Cramerjevimi formulami;
2) uvrstitev (Α)< n - rešitev je neskončno veliko. - Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih enačb
Ustvarimo razširjeno matriko ( A|B) danega sistema iz koeficientov neznank in desnih strani.
Gaussova metoda ali metoda izločanja neznank je sestavljena iz zmanjšanja razširjene matrike ( A|B) z uporabo elementarnih transformacij nad svojimi vrsticami v diagonalno obliko (v zgornjo trikotno obliko). Če se vrnemo k sistemu enačb, so vse neznanke določene.
Osnovne transformacije nad nizi vključujejo naslednje:
1) zamenjajte dve vrstici;
2) množenje niza s številom, ki ni 0;
3) dodajanje drugega niza v niz, pomnožen s poljubnim številom;
4) izločanje ničelne črte.
Razširjena matrika, reducirana na diagonalno obliko, ustreza linearni sistem, enakovreden temu, katerega rešitev ne povzroča težav. . - Sistem homogenih linearnih enačb.
Homogen sistem ima obliko:
ustreza matrični enačbi A X = 0.
1) Homogeni sistem je vedno konsistenten, saj r(A) = r(A|B), vedno obstaja ničelna rešitev (0, 0, …, 0).
2) Da ima homogeni sistem različno rešitev, je potrebno in zadostuje, da r = r(A)< n , kar je enakovredno Δ = 0.
3) Če r< n , potem je očitno Δ = 0, potem se pojavijo proste neznanke c 1 , c 2 , …, c n-r, ima sistem netrivialne rešitve in teh je neskončno veliko.
4) Splošna rešitev X pri r< n lahko zapišemo v matrični obliki, kot sledi:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
kje so rešitve X 1, X 2, …, X n-r tvori temeljni sistem rešitev.
5) Osnovni sistem rešitev lahko dobimo iz splošne rešitve homogenega sistema:
,
če zaporedno nastavimo vrednosti parametrov enake (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Razširitev splošne rešitve v smislu temeljnega sistema rešitev je zapis splošne rešitve v obliki linearne kombinacije rešitev, ki pripadajo osnovnemu sistemu.
Izrek. Da ima sistem linearnih homogenih enačb različno rešitev, je nujno in zadostno, da je Δ ≠ 0.
Torej, če je determinanta Δ ≠ 0, ima sistem edinstveno rešitev.
Če je Δ ≠ 0, ima sistem linearnih homogenih enačb neskončno število rešitev.
Izrek. Da bi imel homogeni sistem različno rešitev, je potrebno in zadostuje, da r(A)< n .
Dokaz:
1) r ne more biti več n(rang matrike ne presega števila stolpcev ali vrstic);
2) r< n , Ker če r = n, potem je glavna determinanta sistema Δ ≠ 0 in po Cramerjevih formulah obstaja edinstvena trivialna rešitev x 1 = x 2 = … = x n = 0, kar je v nasprotju s pogojem. pomeni, r(A)< n .
Posledica. Za homogen sistem n linearne enačbe z n neznanke imele različno rešitev, je nujno in zadostno, da je Δ = 0.
- ali je sistem sodelovalen;
- če je sistem združljiv, potem je določen ali nedoločen (merilo združljivosti sistema določa izrek);
- če je sistem definiran, kako najti njegovo edinstveno rešitev (uporabljena je Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda);
- če je sistem negotov, kako potem opisati množico njegovih rešitev.
Klasifikacija sistemov linearnih enačb
Poljubni sistem linearnih enačb ima obliko:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Sistemi linearnih nehomogenih enačb (število spremenljivk je enako številu enačb, m = n).
- Poljubni sistemi linearnih nehomogenih enačb (m > n ali m< n).
Opredelitev. Dva sistema naj bi bila enakovredna, če je rešitev prvega rešitev drugega in obratno.
Opredelitev. Sistem, ki ima vsaj eno rešitev, se imenuje sklep. Sistem, ki nima ene rešitve, se imenuje nekonzistenten.
Opredelitev. Sistem, ki ima edinstveno rešitev, se imenuje določene, in imeti več kot eno rešitev ni gotovo.
Algoritem za reševanje sistemov linearnih enačb
- Poiščite rang glavne in razširjene matrice. Če nista enaka, potem je po Kronecker-Capellijevem izreku sistem nekonsistenten in tu se študija konča.
- Naj bo rang(A) = rang(B). Izberemo osnovni mol. V tem primeru so vsi neznani sistemi linearnih enačb razdeljeni v dva razreda. Neznanke, katerih koeficienti so vključeni v osnovni minor, imenujemo odvisne, neznanke, katerih koeficienti niso vključeni v osnovni minor, pa proste. Upoštevajte, da izbira odvisnih in prostih neznank ni vedno enostavna.
- Prečrtamo tiste enačbe sistema, katerih koeficienti niso vključeni v bazični minor, saj so posledice ostalih (po izreku o bazičnem minoru).
- Člene enačb, ki vsebujejo proste neznanke, premaknemo na desno stran. Kot rezultat dobimo sistem r enačb z r neznankami, ki je enak dani, katere determinanta je različna od nič.
- Nastali sistem se rešuje na enega od naslednjih načinov: Cramerjeva metoda, metoda inverzne matrike ali Jordan-Gaussova metoda. Najdene so relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke skozi proste.
Nadaljujemo z obravnavo sistemov linearnih enačb. Do sedaj smo obravnavali sisteme, ki imajo edinstveno rešitev. Takšne sisteme je mogoče rešiti na kakršen koli način: po substitucijski metodi(»šola«), po Cramerjevih formulah, matrična metoda, Gaussova metoda. Vendar pa sta v praksi razširjena še dva primera:
1) sistem je nekonzistenten (nima rešitev);
2) sistem ima neskončno veliko rešitev.
Za te sisteme se uporablja najbolj univerzalna od vseh metod rešitve - Gaussova metoda. Pravzaprav bo do odgovora pripeljala tudi "šolska" metoda, vendar je v višji matematiki običajno uporabiti Gaussovo metodo zaporednega izločanja neznank. Tisti, ki ne poznate algoritma Gaussove metode, naj najprej preučijo lekcijo Gaussova metoda
Same osnovne matrične transformacije so popolnoma enake, bo razlika v koncu rešitve. Najprej si poglejmo nekaj primerov, ko sistem nima rešitev (nekonsistentno).
Primer 1
Kaj vam pri tem sistemu takoj pade v oči? Število enačb je manjše od števila spremenljivk. Obstaja teorem, ki pravi: »Če je število enačb v sistemu manjše od števila spremenljivk, potem je sistem bodisi nedosleden bodisi ima neskončno veliko rešitev.« In vse, kar ostane, je ugotoviti.
Začetek rešitve je povsem običajen - zapišemo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami spravimo v postopno obliko:
(1). Na zgornji levi stopnici moramo dobiti (+1) ali (–1). V prvem stolpcu teh številk ni, zato preurejanje vrstic ne bo prineslo ničesar. Enota se bo morala organizirati, in to na več načinov. To smo naredili. Prvi vrstici dodamo tretjo vrstico, pomnoženo z (–1).
(2). Zdaj dobimo dve ničli v prvem stolpcu. Drugi vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo s 3. Tretji vrstici dodamo prvo, pomnoženo s 5.
(3). Ko je transformacija končana, je vedno priporočljivo preveriti, ali je možno poenostaviti nastale nize? Lahko. Drugo vrstico delimo z 2, hkrati pa na drugem koraku dobimo želeno (–1). Tretjo vrstico razdelite z (–3).
(4). Tretji vrstici dodajte drugo vrstico. Verjetno so vsi opazili slabo linijo, ki je nastala zaradi elementarnih preobrazb:
. Jasno je, da temu ne more biti tako.
Zares, prepišimo dobljeno matriko
nazaj k sistemu linearnih enačb:
Če kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike , Kjeλ je število, ki ni nič, potem je sistem nekonzistenten (nima rešitev).
Kako zapisati konec naloge? Zapisati morate besedno zvezo:
»Kot rezultat elementarnih transformacij je bil dobljen niz oblike, kjer λ ≠ 0 " Odgovor: “Sistem nima rešitev (nedosledno).”
Upoštevajte, da v tem primeru ni obračanja Gaussovega algoritma, ni rešitev in preprosto ni ničesar za najti.
Primer 2
Rešite sistem linearnih enačb 
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Ponovno vas opozarjamo, da se lahko vaša rešitev razlikuje od naše; Gaussova metoda ne določa enoznačnega algoritma; vrstni red dejanj je treba uganiti v vsakem primeru posebej.
Druga tehnična lastnost rešitve: elementarne transformacije je mogoče ustaviti Naenkrat, takoj ko vrstica, kot je , kje λ ≠ 0 . Razmislimo o pogojnem primeru: predpostavimo, da je po prvi transformaciji pridobljena matrika
.
Ta matrika še ni bila zreducirana na ešalonsko obliko, vendar ni potrebe po nadaljnjih elementarnih transformacijah, saj se je pojavila linija oblike, kjer λ ≠ 0 . Takoj je treba odgovoriti, da je sistem nekompatibilen.
Ko sistem linearnih enačb nima rešitev, je to skoraj darilo za študenta, saj dobimo kratko rešitev, včasih dobesedno v 2-3 korakih. Toda vse na tem svetu je uravnoteženo in problem, v katerem ima sistem neskončno veliko rešitev, je samo daljši.
Primer 3:
Rešite sistem linearnih enačb
Obstajajo 4 enačbe in 4 neznanke, tako da ima sistem lahko eno samo rešitev ali nima nobene rešitve ali pa ima neskončno veliko rešitev. Kakor koli že, Gaussova metoda nas bo v vsakem primeru pripeljala do odgovora. To je njegova vsestranskost.
Začetek je spet standarden. Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
To je vse in bilo te je strah.
(1). Upoštevajte, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2, zato je 2 v redu na zgornji levi stopnici. Drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z (–4). Tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z (–2). Četrti vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z (–1).
Pozor! Marsikoga bo morda premamila četrta linija odšteti prva vrsta. To je mogoče storiti, vendar ni nujno, izkušnje kažejo, da se verjetnost napake v izračunih večkrat poveča. Samo seštejemo: četrti vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z (–1) – točno!
(2). Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve od njih lahko izbrišete. Tukaj moramo spet pokazati povečana pozornost, toda ali so črte res sorazmerne? Zaradi varnosti bi bilo dobro, da drugo vrstico pomnožite z (–1) in četrto vrstico delite z 2, tako da dobite tri enake vrstice. In šele nato odstranite dva od njih. Kot rezultat elementarnih transformacij se razširjena matrika sistema reducira na stopenjsko obliko:
Pri pisanju naloge v zvezek je priporočljivo, da zaradi jasnosti naredite iste opombe s svinčnikom.
Prepišemo ustrezen sistem enačb: 
Tukaj ne diši po »navadni« enojni rešitvi sistema. Slaba linija kje λ ≠ 0, tudi št. To pomeni, da je to tretji preostali primer - sistem ima neskončno veliko rešitev.
Neskončno množico rešitev sistema na kratko zapišemo v obliki t.i splošna rešitev sistema.
Splošno rešitev sistema najdemo z inverzno Gaussovo metodo. Za sisteme enačb z neskončno množico rešitev se pojavijo novi koncepti: "osnovne spremenljivke" in "proste spremenljivke". Najprej določimo, katere spremenljivke imamo osnovni, in katere spremenljivke - prost. Ni treba podrobno razlagati izrazov linearne algebre, dovolj je, da se spomnimo, da obstajajo osnovne spremenljivke in proste spremenljivke.
Osnovne spremenljivke vedno "sedijo" strogo na stopnicah matrike. V tem primeru so osnovne spremenljivke x 1 in x 3 .
Brezplačne spremenljivke so vse preostalih spremenljivke, ki niso prejele koraka. V našem primeru sta dva: x 2 in x 4 – proste spremenljivke.
Zdaj potrebujete Vseosnovne spremenljivke ekspresno samo skoziproste spremenljivke. Obratno od Gaussovega algoritma tradicionalno deluje od spodaj navzgor. Iz druge enačbe sistema izrazimo osnovno spremenljivko x 3:
Poglejte zdaj prvo enačbo: 
. Najprej vanj nadomestimo najdeni izraz:
Ostaja še izraziti osnovno spremenljivko x 1 prek prostih spremenljivk x 2 in x 4:
Na koncu smo dobili, kar smo potrebovali - Vse osnovne spremenljivke ( x 1 in x 3) izraženo samo skozi proste spremenljivke ( x 2 in x 4):
Pravzaprav je splošna rešitev pripravljena:
.
Kako pravilno zapisati splošno rešitev? Prvič, proste spremenljivke so zapisane v splošno rešitev "same" in strogo na svojih mestih. V tem primeru proste spremenljivke x 2 in x Na drugem in četrtem mestu naj piše 4:
.
Dobljeni izrazi za osnovne spremenljivke in očitno mora biti zapisano na prvem in tretjem mestu:
Iz splošne rešitve sistema jih lahko najdemo neskončno veliko zasebne rešitve. Je zelo preprosto. Proste spremenljivke x 2 in x 4 se imenujejo tako, ker jih je mogoče dati vse končne vrednosti. Najbolj priljubljene vrednosti so vrednosti nič, saj je to delna rešitev najlažje dobiti.
Zamenjava ( x 2 = 0; x 4 = 0) v splošno rešitev, dobimo eno izmed partikularnih rešitev:
, ali je določena rešitev, ki ustreza prostim spremenljivkam z vrednostmi ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Še en sladek par je ones, zamenjajmo ( x 2 = 1 in x 4 = 1) v splošno rešitev:
, tj. (-1; 1; 1; 1) – druga posebna rešitev.
Preprosto je videti, da ima sistem enačb neskončno veliko rešitev saj lahko podamo proste spremenljivke kaj pomeni.
Vsak posamezna rešitev mora zadovoljiti vsakemu enačba sistema. To je osnova za »hitro« preverjanje pravilnosti rešitve. Vzemimo na primer določeno rešitev (-1; 1; 1; 1) in jo nadomestimo z levo stranjo vsake enačbe izvirnega sistema:
Vse se mora združiti. In z vsako posamezno rešitvijo, ki jo prejmete, bi se moralo tudi vse ujemati.
Strogo gledano je preverjanje določene rešitve včasih zavajajoče, tj. neka posamezna rešitev lahko zadosti vsaki enačbi sistema, vendar je sama splošna rešitev dejansko najdena nepravilno. Zato je najprej preverjanje splošne rešitve bolj temeljito in zanesljivo.
Kako preveriti dobljeno splošno rešitev 
?
Ni težko, vendar zahteva nekaj dolgotrajnih preobrazb. Sprejeti moramo izraze osnovni spremenljivke, v tem primeru 
in , ter ju nadomestite na levo stran vsake enačbe sistema.
Na levi strani prve enačbe sistema:
Dobimo desno stran začetne prve enačbe sistema.
Na levi strani druge enačbe sistema:
Dobimo desno stran začetne druge enačbe sistema.
In potem - na levi strani tretje in četrte enačbe sistema. To preverjanje traja dlje, vendar zagotavlja 100% pravilnost celotne rešitve. Poleg tega nekatere naloge zahtevajo preverjanje splošne rešitve.
Primer 4:
Rešite sistem z Gaussovo metodo. Poiščite splošno rešitev in dve posebni. Preverite splošno rešitev.
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tukaj je, mimogrede, ponovno število enačb manjše od števila neznank, kar pomeni, da je takoj jasno, da bo sistem ali nekonsistenten ali pa bo imel neskončno število rešitev.
Primer 5:
Rešite sistem linearnih enačb. Če ima sistem neskončno veliko rešitev, poiščite dve posebni rešitvi in preverite splošno rešitev
rešitev: Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
(1). Dodajte prvo vrstico drugi vrstici. Tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z 2. Četrti vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo s 3.
(2). Tretji vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (–5). Četrti vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (–7).
(3). Tretja in četrta vrstica sta enaki, eno od njiju izbrišemo. To je taka lepotica:
Osnovne spremenljivke sedijo na stopnicah, torej - osnovne spremenljivke.
Obstaja samo ena prosta spremenljivka, ki tukaj ni dobila koraka: .
(4). Povratni premik. Izrazimo osnovne spremenljivke s prosto spremenljivko:
Iz tretje enačbe:
Razmislimo o drugi enačbi in vanjo nadomestimo najdeni izraz:
, 
, ,
Razmislimo o prvi enačbi in vanjo nadomestimo najdene izraze:
Torej splošna rešitev z eno prosto spremenljivko x 4:
Še enkrat, kako se je izkazalo? Prosta spremenljivka x 4 zaseda samo četrto mesto, ki mu pripada. Na mestu so tudi dobljeni izrazi za osnovne spremenljivke , .
Takoj preverimo splošno rešitev.
Osnovne spremenljivke , , nadomestimo v levo stran vsake enačbe sistema:
Dobimo ustrezne desne strani enačb in tako najdemo pravilno splošno rešitev.
Zdaj pa iz najdene splošne rešitve 
dobimo dve posebni rešitvi. Vse spremenljivke so tukaj izražene z enim prosta spremenljivka x 4. Ni vam treba razbijati možganov.
Pustiti x 4 = 0 torej 
– prva posebna rešitev.
Pustiti x 4 = 1 potem 
– druga zasebna rešitev.
odgovor: Skupna odločitev: . Zasebne rešitve:
In .
Primer 6:
Poiščite splošno rešitev sistema linearnih enačb.
Splošno rešitev smo že preverili; odgovoru lahko zaupamo. Vaša rešitev se lahko razlikuje od naše rešitve. Glavna stvar je, da splošne odločitve sovpadajo. Verjetno je veliko ljudi opazilo neprijeten trenutek v rešitvah: zelo pogosto smo se morali med obratnim potekom Gaussove metode ukvarjati z navadnimi ulomki. V praksi je res tako; primeri, ko ulomkov ni, so veliko manj pogosti. Bodite psihično in, kar je najpomembneje, tehnično pripravljeni.
Oglejmo si značilnosti rešitve, ki jih v rešenih primerih nismo našli. Splošna rešitev sistema lahko včasih vključuje konstanto (ali konstante).
Na primer, splošna rešitev: . Tu je ena od osnovnih spremenljivk enaka konstantnemu številu: . V tem ni nič eksotičnega, se zgodi. Očitno bo v tem primeru vsaka posamezna rešitev vsebovala petico na prvem mestu.
Redko, vendar obstajajo sistemi, v katerih število enačb je večje od števila spremenljivk. Vendar pa Gaussova metoda deluje v najtežjih pogojih. Razširjeno matriko sistema morate mirno zmanjšati na postopno obliko z uporabo standardnega algoritma. Takšen sistem je lahko nedosleden, lahko ima neskončno veliko rešitev in, nenavadno, ima lahko eno samo rešitev.
Naj ponovimo naš nasvet - da bi se počutili udobno pri reševanju sistema po Gaussovi metodi, morate dobro rešiti vsaj ducat sistemov.
Rešitve in odgovori:
Primer 2:
rešitev:Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.
Izvedene osnovne transformacije:
(1) Prva in tretja vrstica sta bili zamenjani.
(2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z (–6). Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z (–7).
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z (–1).
Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo niz oblike, Kje λ ≠ 0 .To pomeni, da je sistem nedosleden.odgovor: ni rešitev.
Primer 4:
rešitev:Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Izvedene konverzije:
(1). Prva vrstica, pomnožena z 2, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3, pa tretji vrstici.
Za drugi korak ni enote , transformacija (2) pa je namenjena le-temu.
(2). Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3.
(3). Druga in tretja vrstica sta bili zamenjani (nastalo –1 smo premaknili v drugi korak)
(4). Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena s 3.
(5). Prvi dve vrstici sta imeli spremenjen predznak (pomnožen z –1), tretja vrstica je bila deljena s 14.
Zadaj:
(1). Tukaj so osnovne spremenljivke (ki so na stopnicah) in – proste spremenljivke (ki niso dobile koraka).
(2). Izrazimo osnovne spremenljivke s prostimi spremenljivkami:
Iz tretje enačbe: .
(3). Razmislite o drugi enačbi:, zasebne rešitve:
odgovor: Skupna odločitev: 
Kompleksna števila
V tem razdelku bomo predstavili koncept kompleksno število, razmislite algebrski, trigonometrična in eksponentna oblika kompleksno število. Naučili se bomo tudi izvajati operacije s kompleksnimi števili: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, potenciranje in izločanje korena.
Za obvladovanje kompleksnih števil ni potrebno posebno znanje iz tečaja višje matematike, gradivo pa je dostopno tudi šolarjem. Dovolj je, da lahko izvajate algebraične operacije z "navadnimi" številkami in se spomnite trigonometrije.
Najprej se spomnimo »navadnih« številk. V matematiki se imenujejo množica realnih števil in so označeni s črko R, ali R (odebeljeno). Vsa realna števila ležijo na znani številski premici:
Družba realnih števil je zelo raznolika - tu so cela števila, ulomki in iracionalna števila. V tem primeru vsaka točka na številski osi nujno ustreza nekemu realnemu številu.
Preučiti sistem linearnih starostnih enačb (SLAE) za doslednost pomeni ugotoviti, ali ima ta sistem rešitve ali ne. No, če obstajajo rešitve, navedite, koliko jih je.
Potrebovali bomo informacije iz teme "Sistem linearnih algebrskih enačb. Osnovni izrazi. Matrična oblika zapisa". Potrebni so zlasti koncepti, kot sta sistemska matrika in razširjena sistemska matrika, saj na njih temelji formulacija Kronecker-Capellijevega izreka. Kot običajno bomo sistemsko matriko označili s črko $A$, razširjeno matriko sistema pa s črko $\widetilde(A)$.
Kronecker-Capellijev izrek
Linearni sistem algebraične enačbe je skladen, če in samo če je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike sistema, tj. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
Naj vas spomnim, da se sistem imenuje skupni, če ima vsaj eno rešitev. Kronecker-Capellijev izrek pravi tole: če $\rang A=\rang\widetilde(A)$, potem obstaja rešitev; če $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potem ta SLAE nima rešitev (nedosledno). Odgovor na vprašanje o številu teh rešitev daje posledica Kronecker-Capellijevega izreka. Pri formulaciji posledice je uporabljena črka $n$, ki je enaka številu spremenljivk danega SLAE.
Posledica Kronecker-Capellijevega izreka
- Če je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potem je SLAE nedosleden (nima rešitev).
- Če je $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Če je $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, potem je SLAE dokončen (ima natanko eno rešitev).
Upoštevajte, da formulirani izrek in njegova posledica ne nakazujeta, kako najti rešitev za SLAE. Z njihovo pomočjo lahko le ugotovite, ali te rešitve obstajajo ali ne, in če obstajajo, koliko.
Primer št. 1
Raziščite SLAE $ \left \(\begin(poravnano) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(poravnano )\right.$ za združljivost Če je SLAE združljiv, navedite število rešitev.
Da ugotovimo obstoj rešitev za dano SLAE, uporabimo Kronecker-Capellijev izrek. Potrebovali bomo matriko sistema $A$ in razširjeno matriko sistema $\widetilde(A)$, zapisali ju bomo:
$$ A=\levo(\begin(matrika) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(matrika) \desno);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(niz) \desno). $$
Najti moramo $\rang A$ in $\rang\widetilde(A)$. Obstaja veliko načinov za to, nekateri so navedeni v razdelku Matrix Rank. Običajno se za preučevanje takšnih sistemov uporabljata dve metodi: "Izračun ranga matrike po definiciji" ali "Izračun ranga matrike z metodo elementarnih transformacij".
Metoda št. 1. Računalniški rangi po definiciji.
Po definiciji je rang najvišji vrstni red minorov matrike, med katerimi je vsaj eden, ki je različen od nič. Običajno se študija začne z minorji prvega reda, vendar je tukaj bolj priročno takoj začeti računati minor tretjega reda matrike $A$. Manjši elementi tretjega reda se nahajajo na presečišču treh vrstic in treh stolpcev zadevne matrike. Ker matrika $A$ vsebuje le 3 vrstice in 3 stolpce, je minor tretjega reda matrike $A$ determinanta matrike $A$, tj. $\Delta A$. Za izračun determinante uporabimo formulo št. 2 iz teme "Formule za izračun determinant drugega in tretjega reda":
$$ \Delta A=\levo| \begin(matrika) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(matrika) \right|=-21. $$
Obstaja torej minor tretjega reda matrike $A$, ki ni enak nič. Nemogoče je sestaviti minor četrtega reda, saj zahteva 4 vrstice in 4 stolpce, matrika $A$ pa ima le 3 vrstice in 3 stolpce. Torej je najvišji red manjših matrike $A$, med katerimi je vsaj eden, ki ni enak nič, enak 3. Zato je $\rang A=3$.
Najti moramo tudi $\rang\widetilde(A)$. Poglejmo strukturo matrike $\widetilde(A)$. Do črte v matriki $\widetilde(A)$ so elementi matrike $A$ in ugotovili smo, da je $\Delta A\neq 0$. Posledično ima matrika $\widetilde(A)$ minor tretjega reda, ki ni enak nič. Ne moremo sestaviti minorjev četrtega reda matrike $\widetilde(A)$, zato sklepamo: $\rang\widetilde(A)=3$.
Ker je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, je po Kronecker-Capellijevem izreku sistem konsistenten, tj. ima rešitev (vsaj eno). Za navedbo števila rešitev upoštevamo, da naš SLAE vsebuje 3 neznanke: $x_1$, $x_2$ in $x_3$. Ker je število neznank $n=3$, sklepamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, torej je po posledici Kronecker-Capellijevega izreka sistem določen, tj. ima edinstveno rešitev.
Problem je rešen. Kakšne so slabosti in prednosti ta metoda? Najprej se pogovorimo o prednostih. Najprej smo morali najti samo eno determinanto. Po tem smo takoj sklepali o številu rešitev. Običajno standardni standardni izračuni dajejo sisteme enačb, ki vsebujejo tri neznanke in imajo edinstveno rešitev. Za takšne sisteme je ta metoda zelo priročna, saj že vnaprej vemo, da obstaja rešitev (sicer primera ne bi bilo v standardnem izračunu). Tisti. vse, kar moramo storiti, je pokazati obstoj rešitve v najbolj na hiter način. Drugič, izračunana vrednost determinante sistemske matrike (tj. $\Delta A$) bo uporabna kasneje: ko začnemo reševati dani sistem po Cramerjevi metodi ali z uporabo inverzne matrike.
Vendar je metoda izračuna ranga po definiciji nezaželena za uporabo, če je matrika sistema $A$ pravokotna. V tem primeru je bolje uporabiti drugo metodo, o kateri bomo razpravljali spodaj. Poleg tega, če $\Delta A=0$, potem ne moremo reči ničesar o številu rešitev dane nehomogene SLAE. Morda ima SLAE neskončno število rešitev ali pa nobene. Če je $\Delta A=0$, so potrebne dodatne raziskave, ki so pogosto okorne.
Če povzamem povedano, ugotavljam, da je prva metoda dobra za tiste SLAE, katerih sistemska matrika je kvadratna. Poleg tega sam SLAE vsebuje tri ali štiri neznanke in je vzet iz standardnih standardnih izračunov ali testov.
Metoda št. 2. Izračun ranga z metodo elementarnih transformacij.
Ta metoda je podrobno opisana v ustrezni temi. Začeli bomo računati rang matrike $\widetilde(A)$. Zakaj matrike $\widetilde(A)$ in ne $A$? Dejstvo je, da je matrika $A$ del matrike $\widetilde(A)$, zato bomo z izračunom ranga matrike $\widetilde(A)$ hkrati našli rang matrike $A$ .
\begin(poravnano) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(matrika) \desno) \desna puščica \levo|\besedilo (zamenjaj prvo in drugo vrstico)\desno| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(matrika) \desno) \begin(matrika) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(matrika) \rightarrow \left(\begin (matrika) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(matrika) \desno) \begin(matrika) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\desna puščica \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(matrika) \desno) \end(poravnano)
Matriko $\widetilde(A)$ smo reducirali na trapezoidno obliko. Na glavni diagonali dobljene matrike $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ vsebuje tri neničelne elemente: -1, 3 in -7. Sklep: rang matrike $\widetilde(A)$ je 3, tj. $\rang\widetilde(A)=3$. Pri transformacijah z elementi matrike $\widetilde(A)$ smo hkrati transformirali elemente matrike $A$, ki se nahajajo do premice. Tudi matrika $A$ je reducirana na trapezoidno obliko: $\left(\begin(matrika) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(matrika) \desno )$. Sklep: tudi rang matrike $A$ je 3, tj. $\rang A=3$.
Ker je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, je po Kronecker-Capellijevem izreku sistem konsistenten, tj. ima rešitev. Za navedbo števila rešitev upoštevamo, da naš SLAE vsebuje 3 neznanke: $x_1$, $x_2$ in $x_3$. Ker je število neznank $n=3$, sklepamo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, torej je po posledici Kronecker-Capellijevega izreka sistem definiran, tj. ima edinstveno rešitev.
Kakšne so prednosti druge metode? Glavna prednost je njegova vsestranskost. Za nas je vseeno, ali je matrika sistema kvadratna ali ne. Poleg tega smo dejansko izvedli naprej transformacije Gaussove metode. Ostalo je le še nekaj korakov in lahko bi dobili rešitev za ta SLAE. Iskreno povedano, drugi način mi je bolj všeč kot prvi, a izbira je stvar okusa.
Odgovori: Podan SLAE je dosleden in definiran.
Primer št. 2
Raziščite SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(aligned) \right.$ za združljivost.
Range sistemske matrike in razširjene sistemske matrike bomo poiskali z metodo elementarnih transformacij. Razširjena sistemska matrika: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(matrika) \desno)$. Poiščimo zahtevane range s transformacijo razširjene matrike sistema:
Razširjena matrika sistema je reducirana na stopenjsko obliko. Če je matrika reducirana na obliko ešalona, potem je njen rang enak številu neničelnih vrstic. Zato je $\rang A=3$. Matrika $A$ (do premice) je reducirana na trapezoidno obliko in njen rang je 2, $\rang A=2$.
Ker je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, je v skladu s Kronecker-Capellijevim izrekom sistem nekonsistenten (tj. nima rešitev).
Odgovori: Sistem je nedosleden.
Primer št. 3
Raziščite SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(poravnano) \right.$ za združljivost.
Razširjena matrika sistema ima obliko: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(matrika) \desno)$. Zamenjajmo prvo in drugo vrstico te matrike, tako da prvi element prve vrstice postane ena: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(matrika) \right)$.
Razširjeno matriko sistema in matriko samega sistema smo zreducirali na trapezoidno obliko. Rang razširjene matrike sistema je enak tri, rang matrike sistema je prav tako enak tri. Ker sistem vsebuje $n=5$ neznank, tj. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Odgovori: Sistem je negotov.
V drugem delu si bomo ogledali primere, ki so pogosto vključeni v standardne izračune oz testne naloge v višji matematiki: preučevanje skladnosti in rešitve SLAE glede na vrednosti parametrov, ki so vanj vključeni.