V tej lekciji bomo nadaljevali s preučevanjem metode reševanja sistemov enačb, in sicer metode algebraičnega seštevanja. Najprej si oglejmo uporabo te metode na primeru linearne enačbe in njegovo bistvo. Spomnimo se tudi, kako izenačimo koeficiente v enačbah. In s to metodo bomo rešili številne težave.

Tema: Sistemi enačb

Lekcija: Algebraična metoda dodajanja

1. Metoda algebraičnega seštevanja na primeru linearnih sistemov

Razmislimo algebraična metoda dodajanja na primeru linearnih sistemov.

Primer 1. Rešite sistem

Če seštejemo ti dve enačbi, se y izniči in ostane enačba za x.

Če od prve enačbe odštejemo drugo, se x-ja izničita in dobimo enačbo za y. To je pomen metode algebraičnega dodajanja.

Rešili smo sistem in se spomnili metode algebraičnega seštevanja. Ponovimo njeno bistvo: enačbe lahko seštevamo in odštevamo, vendar moramo zagotoviti, da dobimo enačbo le z eno neznanko.

2. Metoda algebraičnega seštevanja s predhodnim izenačenjem koeficientov

Primer 2. Rešite sistem

Člen je prisoten v obeh enačbah, zato je metoda algebraičnega dodajanja priročna. Odštejmo drugo od prve enačbe.

Odgovor: (2; -1).

Tako lahko po analizi sistema enačb ugotovite, da je primeren za metodo algebraičnega dodajanja, in jo uporabite.

Oglejmo si še en linearni sistem.

3. Rešitev nelinearnih sistemov

Primer 3. Rešite sistem

Želimo se znebiti y, vendar sta koeficienta y v obeh enačbah različna. Izenačimo jih; prvo enačbo pomnožimo s 3, drugo s 4.

Primer 4. Rešite sistem

Izenačimo koeficiente za x

Lahko storite drugače - izenačite koeficiente za y.

Sistem smo rešili tako, da smo dvakrat uporabili metodo algebrskega seštevanja.

Metoda algebraičnega dodajanja je uporabna tudi za reševanje nelinearnih sistemov.

Primer 5. Rešite sistem

Seštejmo te enačbe in znebili se bomo y.

Isti sistem je mogoče rešiti z dvakratno uporabo metode algebraičnega seštevanja. Eni enačbi seštejmo in odštejmo drugo.

Primer 6. Rešite sistem

odgovor:

Primer 7. Rešite sistem

Z metodo algebraičnega seštevanja se bomo znebili člena xy. Pomnožimo prvo enačbo z.

Prva enačba ostane nespremenjena, namesto druge zapišemo algebraično vsoto.

odgovor:

Primer 8. Rešite sistem

Pomnožite drugo enačbo z 2, da izolirate popoln kvadrat.

Naša naloga se je skrčila na reševanje štirih preprostih sistemov.

4. Zaključek

Metodo algebraičnega seštevanja smo preučili na primeru reševanja linearnih in nelinearnih sistemov. V naslednji lekciji si bomo ogledali način uvajanja novih spremenljivk.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. razred: Učbenik. Za splošno izobrazbo Ustanove.- 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str .: ilustr.

2. Mordkovič A. G. Algebra 9. razred: Učbenik za učence splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr.

3. Makarychev N. Algebra. 9. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. izd., prev. in dodatno - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu, Sidorov V. Algebra. 9. razred. 16. izd. - M., 2011. - 287 str.

5. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. izd., izbrisano. - M.: 2010. - 224 str.: ilustr.

6. Algebra. 9. razred. V 2 delih 2. del. Problemska knjiga za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina in drugi; Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., rev. - M.: 2010.-223 str.: ilustr.

1. Višji odsek. ru v matematiki.

2. Internetni projekt »Naloge«.

3. Izobraževalni portal"REŠIL BOM UPORABO."

1. Mordkovič A. G. Algebra 9. razred: Učbenik za učence splošnih izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 str .: ilustr. št. 125 - 127.

Prenesti morate načrt lekcije na to temo » Algebraična metoda seštevanja?

Sistem linearnih enačb z dvema neznankama je dve ali več linearnih enačb, za katere je treba najti vse njihove skupne rešitve. Obravnavali bomo sisteme dveh linearnih enačb z dvema neznankama. Splošni pogled sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama je predstavljen na spodnji sliki:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Tukaj sta x in y neznani spremenljivki, a1, a2, b1, b2, c1, c2 so nekatera realna števila. Rešitev sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama je par števil (x,y), tako da če ta števila nadomestimo v enačbe sistema, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost. Obstaja več načinov za reševanje sistema linearnih enačb. Oglejmo si enega od načinov reševanja sistema linearnih enačb, in sicer metodo dodajanja.

Algoritem za reševanje z metodo seštevanja

Algoritem za reševanje sistema linearnih enačb z dvema neznankama z metodo dodajanja.

1. Če je potrebno, uporabite ekvivalentne transformacije za izenačitev koeficientov ene od neznanih spremenljivk v obeh enačbah.

2. S seštevanjem ali odštevanjem dobljenih enačb dobimo linearno enačbo z eno neznanko

3. Reši dobljeno enačbo z eno neznanko in poišči eno od spremenljivk.

4. Dobljeni izraz nadomestimo v katerokoli od obeh enačb sistema in rešimo to enačbo ter tako dobimo drugo spremenljivko.

5. Preverite rešitev.

Primer rešitve z metodo dodajanja

Za večjo jasnost rešimo naslednji sistem linearnih enačb z dvema neznankama z metodo dodajanja:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Ker nobena od spremenljivk nima enakih koeficientov, izenačimo koeficiente spremenljivke y. Če želite to narediti, prvo enačbo pomnožite s tri, drugo enačbo pa z dve.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Dobimo naslednji sistem enačb:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sedaj odštejemo prvo od druge enačbe. Predstavimo podobne člene in rešimo nastalo linearno enačbo.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Dobljeno vrednost nadomestimo v prvo enačbo iz našega izvirnega sistema in rešimo dobljeno enačbo.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Rezultat je par števil x=6 in y=14. Preverjamo. Naredimo zamenjavo.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Kot lahko vidite, smo dobili dve pravilni enačbi, zato smo našli pravilno rešitev.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarskem sektorju pri matematičnem modeliranju različne procese. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk; lahko jih je poljubno.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ni; vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. IN šolski tečaj Matematika podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, temveč razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb v splošnem učnem načrtu za 7. razred je precej preprosto in razloženo zelo podrobno. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Akcija se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . rešitev ta primer ne povzroča težav in vam omogoča, da pridobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neizvedljivo.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z algebraičnim seštevanjem

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja izvajajo člen za členom seštevanje in množenje enačb z različne številke. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Uporaba te metode zahteva prakso in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi; tudi število neznank ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t 1. enačbo sistema reducirati na standardno kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminante je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je graditi naprej koordinatna os grafe vsake enačbe, vključene v sistem. Koordinate točk presečišča krivulj in bodo splošna odločitev sistemi.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

IN naslednji primer najti morate grafično rešitev sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne; vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrica je tabela posebna vrsta napolnjena s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrika-vektor je matrika enega stolpca z neskončno možnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, pri kateri se prvotna matrika spremeni v enotsko matriko; taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja v delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitev sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje variabilni sistemi z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam s substitucijo in algebrskim seštevanjem, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se uporablja reševanje po Gaussovi metodi za sisteme 3 in 4 enačb. Namen metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Avtor: algebraične transformacije in substitucij, se vrednost ene spremenljivke nahaja v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Dijakom je Gaussova metoda težko razumljiva srednja šola, a je eden izmed najbolj zanimive načine razvijati iznajdljivost otrok, vključenih v izpopolnjevalne programe pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.

S tem matematičnim programom lahko rešite sistem dveh linearnih enačb z dvema spremenljivkama z metodo substitucije in metodo seštevanja.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi daje podrobna rešitev z razlago korakov reševanja na dva načina: metoda zamenjave in metoda dodajanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v srednjih šolah kot priprave na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? domača naloga

pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Pravila za vnos enačb
Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.

Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd. Pri vnosu enačb lahko uporabite oklepaje
. V tem primeru so enačbe najprej poenostavljene.

Enačbe po poenostavitvah morajo biti linearne, tj. oblike ax+by+c=0 z natančnostjo vrstnega reda elementov.

Na primer: 6x+1 = 5(x+y)+2
V enačbah lahko uporabite ne samo cela števila, ampak tudi ulomke v obliki decimalnih in navadnih ulomkov. Pravila za vnos decimalnih ulomkov. Celo število in ulomki v
decimalke

lahko ločite s piko ali vejico.
Na primer: 2,1n + 3,5m = 55
Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka. /
Imenovalec ne more biti negativen. &

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje:
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &:
Primeri.

Reši sistem enačb

Primer: 3x-4y = 5
Primer: 6x+1 = 5(x+y)+2
Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.

Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.
JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.

Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.
Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti. Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.

Počakajte prosim sek...če ti
opazil napako v rešitvi , potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije. Ne pozabi navedite, katero nalogo.

ti se odloči kaj

vnesite v polja

Naše igre, uganke, emulatorji:

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo substitucije:
1) izrazite eno spremenljivko iz neke enačbe sistema z drugo;
2) zamenjajte dobljeni izraz v drugo enačbo sistema namesto te spremenljivke;

$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matrika) \desno. $$

Izrazimo y z x iz prve enačbe: y = 7-3x. Če zamenjamo izraz 7-3x v drugo enačbo namesto y, dobimo sistem:
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matrika) \desno. $$

Enostavno je pokazati, da imata prvi in ​​drugi sistem enake rešitve. V drugem sistemu druga enačba vsebuje samo eno spremenljivko. Rešimo to enačbo:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Desna puščica -5x+14-6x=3 \Desna puščica -11x=-11 \Desna puščica x=1 $$

Če nadomestimo 1 namesto x v enakost y=7-3x, najdemo ustrezno vrednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rešitev sistema

Sistemi enačb v dveh spremenljivkah, ki imata enake rešitve, se imenujejo enakovreden. Za enakovredne se štejejo tudi sistemi, ki nimajo rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb s seštevanjem

Razmislimo o drugem načinu reševanja sistemov linearnih enačb - metodi dodajanja. Pri takšnem reševanju sistemov, pa tudi pri reševanju s substitucijo, preidemo iz tega sistema v drug, enakovredni sistem, v katerem ena od enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo dodajanja:
1) pomnožite enačbe sistemskega člena za členom, pri čemer izberite faktorje tako, da koeficienti ene od spremenljivk postanejo nasprotna števila;
2) seštejte levo in desno stran sistemskih enačb člen za členom;
3) reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko;
4) poiščite ustrezno vrednost druge spremenljivke.

Primer. Rešimo sistem enačb:
$$ \left\( \begin(matrika)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

V enačbah tega sistema so koeficienti y nasprotna števila. S seštevanjem leve in desne strani enačb člen za členom dobimo enačbo z eno spremenljivko 3x=33. Zamenjajmo eno od enačb sistema, na primer prvo, z enačbo 3x=33. Vzemimo sistem
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

Iz enačbe 3x=33 dobimo, da je x=11. Če nadomestimo to vrednost x v enačbo \(x-3y=38\), dobimo enačbo s spremenljivko y: \(11-3y=38\). Rešimo to enačbo:
\(-3y=27 \Desna puščica y=-9 \)

Tako smo našli rešitev sistema enačb s seštevanjem: \(x=11; y=-9\) ali \((11;-9)\)

Ob izkoriščanju dejstva, da so v enačbah sistema koeficienti y nasprotna števila, smo njegovo rešitev zreducirali na rešitev ekvivalentnega sistema (s seštevanjem obeh strani vsake enačbe prvotnega sistema), v katerem enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog

S tem videom začenjam serijo lekcij, posvečenih sistemom enačb. Danes bomo govorili o reševanju sistemov linearnih enačb način dodajanja- to je eden izmed najbolj preprostih načinov, a hkrati eden najučinkovitejših.

Metoda dodajanja je sestavljena iz treh preprostih korakov:

1. Oglejte si sistem in izberite spremenljivko, ki ima v vsaki enačbi enake (ali nasprotne) koeficiente;
2. Izvedite algebraično odštevanje (za nasprotna števila - seštevanje) enačb med seboj in nato prinesite podobne člene;
3. Rešite novo enačbo, dobljeno po drugem koraku.

Če je vse opravljeno pravilno, bomo na izhodu dobili eno enačbo z eno spremenljivko- ne bo težko rešiti. Nato preostane le, da najdeni koren nadomestimo z izvirnim sistemom in dobimo končni odgovor.

Vendar v praksi vse ni tako preprosto. Razlogov za to je več:

• Reševanje enačb z metodo dodajanja pomeni, da morajo vse vrstice vsebovati spremenljivke z enakimi/nasprotnimi koeficienti. Kaj storiti, če ta zahteva ni izpolnjena?
• Ne vedno, po dodajanju/odštevanju enačb na naveden način dobimo lepo konstrukcijo, ki jo je mogoče zlahka rešiti. Ali je mogoče nekako poenostaviti izračune in pospešiti izračune?

Če želite dobiti odgovor na ta vprašanja in hkrati razumeti nekaj dodatnih tankosti, ki jih številni študenti ne razumejo, si oglejte mojo video lekcijo:

S to lekcijo začenjamo serijo predavanj, posvečenih sistemom enačb. In začeli bomo z najpreprostejšimi med njimi, in sicer tistimi, ki vsebujejo dve enačbi in dve spremenljivki. Vsak od njih bo linearen.

Sistemi so gradivo za 7. razred, vendar bo ta lekcija koristna tudi za srednješolce, ki želijo obnoviti svoje znanje o tej temi.

Na splošno obstajata dve metodi za reševanje takih sistemov:

1. Metoda dodajanja;
2. Metoda izražanja ene spremenljivke z drugo.

Danes se bomo ukvarjali s prvo metodo – uporabili bomo metodo odštevanja in seštevanja. Toda za to morate razumeti naslednje dejstvo: ko imate dve ali več enačb, lahko vzamete kateri koli dve od njih in ju dodate eno drugi. Dodajajo se član za članom, tj. “X” se dodajo “X” in so podani podobni, “Y” z “Y” so spet podobni, in tisto, kar je desno od znaka enačaja, se prav tako doda drug drugemu, in tam so tudi podani podobni .

Rezultat takšnih mahinacij bo nova enačba, ki bo, če ima korenine, zagotovo med koreninami prvotne enačbe. Zato je naša naloga narediti odštevanje ali seštevanje tako, da $x$ ali $y$ izgine.

Kako to doseči in katero orodje za to uporabiti - o tem bomo zdaj govorili.

Reševanje enostavnih nalog z metodo seštevanja

Tako se naučimo uporabljati metodo dodajanja na primeru dveh preprostih izrazov.

Naloga št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da ima $y$ koeficient $-4$ v prvi enačbi in $+4$ v drugi. Med seboj so nasprotni, zato je logično domnevati, da če jih seštejemo, se bodo v dobljenem seštevku »igre« medsebojno uničile. Seštejte in dobite:

Rešimo najpreprostejšo konstrukcijo:

Super, našli smo "x". Kaj naj zdaj naredimo s tem? Imamo pravico, da ga nadomestimo v katero koli enačbo. Nadomestimo prvo:

\[-4y=12\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(2;-3 \desno)$.

Problem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \desno.\]

Tukaj je situacija popolnoma podobna, le z "X-ji". Seštejmo jih:

Imamo najpreprostejšo linearno enačbo, rešimo jo:

Zdaj pa poiščimo $x$:

Odgovor: $\levo(-3;3 \desno)$.

Pomembne točke

Torej, pravkar smo rešili dva preprosta sistema linearnih enačb z uporabo metode dodajanja. Ponovno ključne točke:

1. Če sta za eno od spremenljivk nasprotna koeficienta, je treba sešteti vse spremenljivke v enačbi. V tem primeru bo eden od njih uničen.
2. Najdeno spremenljivko nadomestimo v katero koli sistemsko enačbo, da poiščemo drugo.
3. Končni odzivni zapis je mogoče predstaviti na različne načine. Na primer tako - $x=...,y=...$ ali v obliki koordinat točk - $\left(...;... \right)$. Druga možnost je boljša. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da je prva koordinata $x$, druga pa $y$.
4. Pravilo zapisovanja odgovora v obliki koordinat točke ni vedno uporabno. Na primer, ni ga mogoče uporabiti, če spremenljivki nista $x$ in $y$, ampak na primer $a$ in $b$.

V naslednjih nalogah bomo obravnavali tehniko odštevanja, ko koeficienti niso nasprotni.

Reševanje lažjih nalog z metodo odštevanja

Naloga št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \desno.\]

Upoštevajte, da tukaj ni nasprotnih koeficientov, ampak so enaki. Zato od prve enačbe odštejemo drugo:

Sedaj zamenjamo vrednost $x$ v katero koli sistemsko enačbo. Gremo najprej:

Odgovor: $\levo(2;5\desno)$.

Problem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno vidimo isti koeficient $5$ za $x$ v prvi in ​​drugi enačbi. Zato je logično domnevati, da morate od prve enačbe odšteti drugo:

Izračunali smo eno spremenljivko. Zdaj poiščemo drugega, na primer tako, da vrednost $y$ nadomestimo v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $\levo(-3;-2 \desno)$.

Nianse rešitve

Kaj torej vidimo? Shema se v bistvu ne razlikuje od rešitve prejšnjih sistemov. Edina razlika je v tem, da enačb ne seštevamo, ampak odštevamo. Delamo algebraično odštevanje.

Z drugimi besedami, takoj ko vidite sistem, sestavljen iz dveh enačb z dvema neznankama, morate najprej pogledati koeficiente. Če sta kjer koli enaki, se enačbi odštejeta, če sta nasprotni pa se uporabi metoda seštevanja. To se vedno naredi tako, da ena izmed njih izgine, v končni enačbi, ki ostane po odštevanju, pa ostane samo ena spremenljivka.

Seveda to še ni vse. Zdaj bomo obravnavali sisteme, v katerih so enačbe na splošno neskladne. Tisti. V njih ni spremenljivk, ki bi bile enake ali nasprotne. V tem primeru se za reševanje takih sistemov uporablja dodatna tehnika, in sicer množenje vsake enačbe s posebnim koeficientom. Kako ga najti in kako rešiti takšne sisteme na splošno, o tem bomo zdaj govorili.

Reševanje nalog z množenjem s koeficientom

Primer št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \desno.\]

Vidimo, da niti za $x$ niti za $y$ koeficienta nista le medsebojno nasprotna, ampak tudi nista v nobeni korelaciji z drugo enačbo. Ti koeficienti nikakor ne bodo izginili, tudi če enačbe med seboj seštejemo ali odštejemo. Zato je treba uporabiti množenje. Poskusimo se znebiti spremenljivke $y$. Da bi to naredili, pomnožimo prvo enačbo s koeficientom $y$ iz druge enačbe, drugo enačbo pa s koeficientom $y$ iz prve enačbe, ne da bi se dotaknili predznaka. Pomnožimo in dobimo nov sistem:

\[\levo\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo: pri $y$ sta si koeficienta nasprotna. V takšni situaciji je treba uporabiti metodo dodajanja. Dodajmo:

Zdaj moramo najti $y$. Če želite to narediti, zamenjajte $x$ v prvi izraz:

\[-9y=18\levo| :\levo(-9 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\levo(4;-2 \desno)$.

Primer št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \desno.\]

Ponovno, koeficienti za nobeno od spremenljivk niso skladni. Pomnožimo s koeficienti $y$:

\[\levo\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \desno. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \desno. \\\end(align) \right .\]

\[\levo\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \desno.\]

Naš nov sistem je enakovredna prejšnjemu, vendar sta koeficienta $y$ medsebojno nasprotna, zato je tukaj enostavno uporabiti metodo dodajanja:

Zdaj pa poiščimo $y$ tako, da nadomestimo $x$ v prvo enačbo:

Odgovor: $\levo(-2;1 \desno)$.

Nianse rešitve

Ključno pravilo pri tem je naslednje: vedno množimo samo s pozitivnimi števili - to vas bo rešilo pred neumnimi in žaljivimi napakami, povezanimi s spreminjanjem znakov. Na splošno je shema rešitve precej preprosta:

1. Ogledamo si sistem in analiziramo vsako enačbo.
2. Če vidimo, da niti $y$ niti $x$ nista konsistentna, tj. niso niti enaki niti nasprotni, potem naredimo naslednje: izberemo spremenljivko, ki se je moramo znebiti, nato pa pogledamo koeficiente teh enačb. Če prvo enačbo pomnožimo s koeficientom iz druge, drugo pa ustrezno pomnožimo s koeficientom iz prve, potem bomo na koncu dobili sistem, ki je popolnoma enakovreden prejšnjemu, in koeficiente $ y$ bo dosleden. Vsa naša dejanja ali transformacije so usmerjene le v to, da dobimo eno spremenljivko v eni enačbi.
3. Najdemo eno spremenljivko.
4. Najdeno spremenljivko nadomestimo v eno od obeh enačb sistema in poiščemo drugo.
5. Odgovor zapišemo v obliki koordinat točk, če imamo spremenljivki $x$ in $y$.

Toda tudi tako preprost algoritem ima svoje posebnosti, na primer, koeficienti $x$ ali $y$ so lahko ulomki in druga "grda" števila. Zdaj bomo te primere obravnavali ločeno, saj lahko v njih delujete nekoliko drugače kot po standardnem algoritmu.

Reševanje nalog z ulomki

Primer št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \desno.\]

Najprej opazite, da druga enačba vsebuje ulomke. Vendar upoštevajte, da lahko 4 $ delite z 0,8 $. Prejeli bomo 5$. Pomnožimo drugo enačbo s $5$:

\[\levo\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Enačbe odštejemo eno od druge:

Našli smo $n$, zdaj pa preštejmo $m$:

Odgovor: $n=-4;m=5$

Primer št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \desno. \\& 2p-5k=2\left| 5 \desno. \\\end(align )\ prav.\]

Tukaj, tako kot v prejšnjem sistemu, obstajajo delni koeficienti, vendar se za nobeno od spremenljivk koeficienti ne prilegajo drug drugemu celo število krat. Zato uporabljamo standardni algoritem. Znebite se $p$:

\[\levo\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \desno.\]

Uporabljamo metodo odštevanja:

Poiščimo $p$ tako, da $k$ nadomestimo v drugo konstrukcijo:

Odgovor: $p=-4;k=-2$.

Nianse rešitve

To je vsa optimizacija. V prvi enačbi nismo množili z ničemer, ampak smo drugo enačbo pomnožili s 5 $. Kot rezultat smo dobili konsistentno in celo identično enačbo za prvo spremenljivko. Pri drugem sistemu smo sledili standardnemu algoritmu.

Kako pa najdeš števila, s katerimi pomnožiš enačbe? Konec koncev, če množimo z ulomki, dobimo nove ulomke. Zato je treba ulomke pomnožiti s številom, ki bi dalo novo celo število, nato pa spremenljivke pomnožiti s koeficienti po standardnem algoritmu.

Na koncu bi vas rad opozoril na obliko zapisa odgovora. Kot sem že rekel, ker tukaj nimamo $x$ in $y$, ampak druge vrednosti, uporabljamo nestandardni zapis oblike:

Reševanje kompleksnih sistemov enačb

Za zaključek današnje video vadnice si poglejmo nekaj res zapletenih sistemov. Njihova kompleksnost bo v tem, da bodo imeli spremenljivke na levi in ​​desni strani. Zato bomo morali za njihovo rešitev uporabiti predobdelavo.

Sistem št. 1

\[\levo\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\desno)+4 \\& 6\left(y+1 \desno )-1=5\levo(2x-1 \desno)+8 \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Vsaka enačba nosi določeno kompleksnost. Zato obravnavajmo vsak izraz kot navadno linearno konstrukcijo.

Skupaj dobimo končni sistem, ki je enakovreden prvotnemu:

\[\levo\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Poglejmo koeficiente $y$: $3$ se dvakrat prilega $6$, zato pomnožimo prvo enačbo z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \desno.\]

Koeficienti $y$ so zdaj enaki, zato odštejemo drugo od prve enačbe: $$

Zdaj pa poiščimo $y$:

Odgovor: $\levo(0;-\frac(1)(3) \desno)$

Sistem št. 2

\[\levo\( \begin(align)& 4\left(a-3b \desno)-2a=3\levo(b+4 \desno)-11 \\& -3\levo(b-2a \desno) )-12=2\levo(a-5 \desno)+b \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Preoblikujemo prvi izraz:

Ukvarjajmo se z drugim:

\[-3\levo(b-2a \desno)-12=2\levo(a-5 \desno)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Skupaj bo naš začetni sistem imel naslednjo obliko:

\[\levo\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Če pogledamo koeficiente $a$, vidimo, da je treba prvo enačbo pomnožiti z $2$:

\[\levo\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \desno.\]

Odštejte drugo od prve konstrukcije:

Zdaj pa poiščimo $a$:

Odgovor: $\levo(a=\frac(1)(2);b=0 \desno)$.

To je vse. Upam, da vam bo ta video vadnica pomagala razumeti to težko temo, namreč reševanje sistemov preprostih linearnih enačb. Na to temo bo še veliko lekcij: pogledali jih bomo več zapleteni primeri, kjer bo več spremenljivk, same enačbe pa bodo že nelinearne. Se vidimo spet!