Preučevanje številnih fizičnih in geometrijskih vzorcev pogosto vodi do reševanja problemov s parametri. Nekatere univerze v izpitne pole vključujejo tudi enačbe, neenačbe in njihove sisteme, ki so pogosto zelo kompleksni in zahtevajo nestandarden pristop k reševanju. V šoli je to eden najtežjih delov. šolski tečaj algebro obravnava le nekaj izbirnih ali predmetnih predmetov.
Po mojem mnenju je funkcionalna grafična metoda priročna in na hiter način reševanje enačb s parametrom.
Kot je znano, v zvezi z enačbami s parametri obstajata dve formulaciji problema.
- Rešite enačbo (za vsako vrednost parametra poiščite vse rešitve enačbe).
- Poiščite vse vrednosti parametra, za vsako od katerih rešitve enačbe izpolnjujejo dane pogoje.
V tem članku obravnavamo in preučujemo problem druge vrste v zvezi s koreninami kvadratni trinom, katere ugotovitev se zmanjša na reševanje kvadratne enačbe.
Avtor upa, da to delo bo pomagal učiteljem pri razvoju lekcij in pripravi učencev na enotni državni izpit.
1. Kaj je parameter
Izražanje oblike ah 2 + bx + c v šolskem tečaju algebre imenujejo kvadratni trinom glede na X, kje a, b, c podana realna števila in, a=/= 0. Vrednosti spremenljivke x, pri katerih izraz postane nič, se imenujejo korenine kvadratnega trinoma. Če želite najti korenine kvadratnega trinoma, morate rešiti kvadratno enačbo ah 2 + bх + c = 0.
Spomnimo se osnovnih enačb iz šolskega tečaja algebre sekira + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Pri iskanju njihovih korenin, vrednosti spremenljivk a, b, c, vključeni v enačbo, veljajo za fiksne in dane. Same spremenljivke se imenujejo parametri. Ker v šolskih učbenikih ni definicije parametra, predlagam, da za osnovo vzamemo naslednjo najpreprostejšo različico.
Opredelitev.Parameter je neodvisna spremenljivka, katere vrednost v problemu velja za dano fiksno ali poljubno realno število ali število, ki pripada vnaprej določenemu nizu.
2. Osnovni tipi in metode reševanja problemov s parametri
Med nalogami s parametri lahko ločimo naslednje glavne vrste nalog.
- Enačbe, ki jih je treba rešiti za katero koli vrednost parametrov ali za vrednosti parametrov, ki pripadajo vnaprej določenemu nizu. Na primer. Reši enačbe: sekira = 1, (a – 2)x = a 2 – 4.
- Enačbe, za katere morate določiti število rešitev glede na vrednost parametra (parametrov). Na primer. Pri katerih vrednostih parametrov a enačba 4X 2 – 4sekira + 1 = 0 ima en sam koren?
- Enačbe, pri katerih za zahtevane vrednosti parametra množica rešitev izpolnjuje podane pogoje v domeni definicije.
Na primer, poiščite vrednosti parametrov, pri katerih so koreni enačbe ( a – 2)X 2
–
2sekira + a + 3 =
0
pozitivno.
Glavni načini reševanja problemov s parametrom: analitični in grafični.
Analitično- to je metoda t.i neposredna rešitev, ponavljanje standardnih postopkov za iskanje odgovora v nalogah brez parametra. Poglejmo primer takšne naloge.
Naloga št. 1
Pri katerih vrednostih parametra a velja enačba X 2 – 2sekira + a 2 – 1 = 0 ima dva različna korena, ki pripadata intervalu (1; 5)?
rešitev
X 2 –
2sekira + a 2 –
1 = 0.
Glede na pogoje problema mora enačba imeti dva različna korena, to pa je možno le pod pogojem: D > 0.
Imamo: D = 4 a 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Kot vidimo, diskriminant ni odvisen od a, zato ima enačba dva različna korena za vse vrednosti parametra a. Poiščimo korenine enačbe: X 1 = A + 1, X 2
= A – 1
Koreni enačbe morajo pripadati intervalu (1; 5), tj.
Torej, ob 2<A < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Odgovor: 2<A < 4.
Ta pristop k reševanju problemov obravnavane vrste je možen in racionalen v primerih, ko je diskriminanta kvadratne enačbe "dobra", tj. je natančen kvadrat poljubnega števila ali izraza ali pa lahko korenine enačbe najdemo z inverznim izrekom Vieta. Nato korenine ne predstavljajo iracionalnih izrazov. Sicer pa gre za reševanje tovrstnih problemov s tehničnega vidika precej zapletene postopke. In reševanje iracionalnih neenakosti od učenca zahteva novo znanje.
Grafični- to je metoda, pri kateri se grafi uporabljajo v koordinatni ravnini (x; y) ali (x; a). Jasnost in lepota te rešitve pomaga najti hiter način za rešitev težave. Rešimo nalogo št. 1 grafično.
Kot veste iz tečaja algebre, so korenine kvadratne enačbe (kvadratni trinom) ničle ustrezne kvadratne funkcije: Y = X 2
– 2Oh + A 2 – 1. Graf funkcije je parabola, veje so usmerjene navzgor (prvi koeficient je 1). Geometrijski model, ki ustreza vsem zahtevam problema, izgleda takole.
Zdaj ostane le še "popraviti" parabolo v želenem položaju z uporabo potrebnih pogojev.
- Ker ima parabola dve presečni točki z osjo X, potem D > 0.
- Vrh parabole je med navpičnima črtama X= 1 in X= 5, zato abscisa oglišča parabole x o pripada intervalu (1; 5), tj.
1 <X O< 5. - To opazimo pri(1) > 0, pri(5) > 0.
Torej, če preidemo iz geometrijskega modela problema v analitičnega, dobimo sistem neenakosti.
Odgovor: 2<A < 4.
Kot je razvidno iz primera, je grafična metoda za reševanje problemov obravnavane vrste možna v primeru, ko so korenine "slabe", tj. vsebujejo parameter pod radikalnim predznakom (v tem primeru diskriminanta enačbe ni popoln kvadrat).
Pri drugi metodi reševanja smo delali s koeficienti enačbe in obsegom funkcije pri = X 2 – 2Oh + A 2
– 1.
Te metode rešitve ne moremo imenovati le grafično, ker tukaj moramo rešiti sistem neenačb. Namesto tega je ta metoda kombinirana: funkcionalna in grafična. Od teh dveh metod slednja ni le elegantna, ampak tudi najpomembnejša, saj prikazuje razmerje med vsemi vrstami matematičnih modelov: besedni opis problema, geometrijski model - graf kvadratnega trinoma, analitični model - opis geometrijskega modela s sistemom neenačb.
Torej smo obravnavali problem, pri katerem korenine kvadratnega trinoma izpolnjujejo dane pogoje v domeni definicije za želene vrednosti parametrov.
Katere druge možne pogoje lahko izpolnjujejo korenine kvadratnega trinoma za želene vrednosti parametrov?
Učitelj najvišje kategorije: Minaichenko N.S., gimnazija št. 24, Sevastopol
Lekcija v 8. razredu: "Kvadratni trinom in njegove korenine"
Vrsta lekcije : lekcija novega znanja.
Cilj lekcije:
organizirati dejavnosti učencev za utrjevanje in razvijanje znanja o razgradnji kvadratnega trinoma na linearne faktorje in zmanjševanju ulomkov;
razvijati veščine uporabe znanja vseh metod faktoriziranja: oklepaji, uporaba skrajšanih formul za množenje in metode združevanja v skupine za pripravo na uspešno opravljanje izpita iz algebre;
ustvariti pogoje za razvoj kognitivnega interesa za predmet, oblikovanje logičnega mišljenja in samokontrole pri uporabi faktorizacije.
Oprema: multimedijski projektor, platno, predstavitev: “Korenine kvadratnega trinoma”, križanka, test, izročki.
Osnovni pojmi . Faktoriziranje kvadratnega trinoma.
Samostojna dejavnost študentov. Uporaba izreka o faktorizaciji kvadratnega trinoma pri reševanju problemov.
Načrt lekcije
Reševanje problemov.Odgovori na študentska vprašanja
IV. Primarni preizkus osvojenega znanja. Odsev
Sporočilo učitelja.
Študentsko sporočilo
V. Domača naloga
Pisanje na tablo
Metodološki komentar:
Ta tema je temeljna v razdelku "Identične transformacije algebrskih izrazov." Zato je pomembno, da lahko učenci samodejno vidijo formule za faktorizacijo ne samo v primerih, ampak jih tudi uporabijo pri drugih nalogah: na primer pri reševanju enačb, preoblikovanju izrazov, dokazovanju identitet.
Ta tema se osredotoča na faktorizacijo kvadratnega trinoma:
sekira+ bx + c = a(x – x)(x – x
),
kjer sta x in x – koreni kvadratne enačbe ax + bx + c = 0.
To vam omogoča, da razširite učenčevo vidno polje, ga naučite razmišljati v nestandardni situaciji z uporabo materiala, ki se preučuje, tj. z uporabo formule za faktoriziranje kvadratnega trinoma:
sposobnost zmanjševanja algebrskih ulomkov;
sposobnost poenostavitve algebrskih izrazov;
sposobnost reševanja enačb;
sposobnost dokazovanja identitete.
Glavna vsebina lekcije:
a) 3x + 5x – 2;
b) –x + 16x – 15;
c) x – 12x + 24;
d) –5x + 6x – 1.
№2. Zmanjšajte ulomek:
№3. Poenostavite izraz:
№4. Reši enačbo:
b) 
Napredek lekcije:
I. Stopnja obnavljanja znanja.
Motivacija za učne dejavnosti.
a) iz zgodovine:
b) križanka:
Ogrevanje – urjenje uma – križanka:
Vodoravno:
1) Koren druge stopnje se imenuje .... (kvadrat)
2) Vrednosti spremenljivke, pri katerih enačba postane prava enakost (korenine)
3) Enačbi, ki vsebuje neznanko, rečemo ... (enačba)
4) Indijski znanstvenik, ki je postavil splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb (Brahmagupta)
5) Koeficienti kvadratne enačbe so... (številke)
6) starogrški znanstvenik, ki je izumil geometrijsko metodo za reševanje enačb (Evklid)
7) Izrek, ki povezuje koeficiente in korene kvadratne enačbe (Vieta)
8) "diskriminanta", ki določa korenine kvadratne enačbe - to je ... (diskriminanta)
Dodatno:
Če je D>0, koliko korenin? (dva)
Če je D=0, koliko korenin? (ena)
Če D<0, сколько корней? (нет действительных корней)
Vodoravna in navpična tema lekcije: "Kvadratni trinom"
b) motivacija:
Ta tema je temeljna v razdelku "Identične transformacije algebrskih izrazov." Zato je pomembno, da lahko samodejno vidite formule za faktorizacijo ne le v primerih, temveč jih tudi uporabite pri drugih nalogah: kot je zmanjševanje ulomkov, reševanje enačb, preoblikovanje izrazov, dokazovanje identitet.
Danes se bomo osredotočili na faktorizacijo kvadratnega trinoma:
II. Učenje nove snovi.
Tema: Kvadratni trinom in njegove korenine.
Splošna teorija polinomov številnih spremenljivk daleč presega obseg šolskega predmeta. Zato se bomo omejili na preučevanje polinomov ene realne spremenljivke in le v najpreprostejših primerih. Oglejmo si polinome ene spremenljivke, reducirane na standardno obliko.
Koren polinoma je vrednost spremenljivke, pri kateri je vrednost polinoma enaka nič. To pomeni, da če želite najti korenine polinoma, ga morate enačiti z nič, tj. reši enačbo.
Koren polinoma prve stopnje 
enostavno najti 
. Pregled: 
.
Korenine kvadratnega trinoma je mogoče najti z rešitvijo enačbe: 
.
Z uporabo formule za korenine kvadratne enačbe najdemo:
; 
če 
in 
- korenine kvadratnega trinoma 
, Kje 
≠ 0,
to.
Dokaz:
Izvedimo naslednje transformacije kvadratnega trinoma:
=
=
=
=
=
=
=
=
Ker je diskriminant 
, dobimo:
=
=
Uporabimo formulo razlike kvadratov v oklepajih in dobimo:
=
=
,
ker ; . Izrek je dokazan.
Nastala formula se imenuje formulafaktoriziranje kvadratnega trinoma.
III. Oblikovanje spretnosti in spretnosti.
№1. Faktoriziraj kvadratni trinom:
a) 3x + 5x – 2;rešitev:
Odgovor: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)
Na tabli:
b) –5x + 6x – 1;
Dodatno:
c) x – 12x + 24;
d) –x + 16x – 15.
№2. Zmanjšajte ulomek:
A)
№4. Reši enačbo:
b)
IV. Primarni preizkus osvojenega znanja.
A) Test.
Možnost 1.
1. Poiščite korenine kvadratnega trinoma:2x 2 -9x-5
odgovor:
2. S katerim polinomom je treba zamenjati elipso, da bo enakost resnična:
b) Medsebojno preverjanje možnosti (odgovori in parametri ocenjevanja so prikazani).
c) Odsev.
V. Domača naloga.
Koren kvadratnega trinoma lahko najdete z diskriminantom. Poleg tega za reducirani polinom druge stopnje velja Vietov izrek, ki temelji na razmerju koeficientov.
Navodila
- Kvadratne enačbe so v šolski algebri precej obsežna tema. Leva stran takšne enačbe je polinom druge stopnje oblike A x² + B x + C, tj. izraz treh monomov različnih stopenj neznanega x. Če želite najti koren kvadratnega trinoma, morate izračunati vrednost x, pri kateri je ta izraz enak nič.
- Če želite rešiti kvadratno enačbo, morate najti diskriminanco. Njegova formula je posledica izolacije celotnega kvadrata polinoma in predstavlja določeno razmerje njegovih koeficientov: D = B² – 4 A C.
- Diskriminant ima lahko različne vrednosti, tudi negativne. In če lahko mlajši šolarji z olajšanjem rečejo, da takšna enačba nima korenin, jih srednješolci že znajo določiti na podlagi teorije kompleksnih števil. Torej so lahko tri možnosti: Diskriminanta – pozitivno število. Potem sta korena enačbe enaka: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
Diskriminant je šel na nič. Teoretično ima tudi v tem primeru enačba dva korena, praktično pa sta enaka: x1 = x2 = -B/2 A;
Diskriminanta je manjša od nič. V izračun vnesemo določeno vrednost i² = -1, ki nam omogoča, da zapišemo kompleksno rešitev: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A. - Diskriminantna metoda je veljavna za katero koli kvadratno enačbo, vendar obstajajo situacije, ko je priporočljivo uporabiti hitrejšo metodo, zlasti za majhne cele koeficiente. Ta metoda se imenuje Vietov izrek in je sestavljena iz para odnosov med koeficienti v zmanjšanem trinomu: x² + P x + Q
x1 + x2 = -P;
x1 x2 = Q. Vse, kar ostane, je najti korenine. - Opozoriti je treba, da je enačbo mogoče reducirati na podobno obliko. Če želite to narediti, morate vse člene trinoma deliti s koeficientom največje potence A: A x² + B x + C | A
x² + B/A x + C/A
x1 + x2 = -B/A;
x1 x2 = C/A.
Tema "Kvadratni trinom in njegove korenine" se obravnava pri predmetu algebra 9. razreda. Kot vsaka druga lekcija matematike tudi lekcija na to temo zahteva posebna učna sredstva in metode. Prepoznavnost je nujna. To vključuje to video lekcijo, ki je bila zasnovana posebej za olajšanje učiteljevega dela.
Ta lekcija traja 6:36 minut. V tem času avtorju uspe popolnoma razkriti temo. Učitelj bo moral samo izbrati naloge na temo za utrjevanje snovi.
Lekcija se začne s prikazom primerov polinomov z eno spremenljivko. Nato se na zaslonu prikaže definicija korena polinoma. To definicijo podpira primer, kjer je treba najti korenine polinoma. Po rešitvi enačbe avtor dobi korenine polinoma.
Sledi opomba, da so med kvadratne trinome tudi tisti polinomi druge stopnje, pri katerih je drugi, tretji ali oba koeficienta, razen vodilnega, enaka nič. Ta podatek je podprt s primerom, kjer je prosti koeficient enak nič.
Avtor nato razloži, kako najti korenine kvadratnega trinoma. Če želite to narediti, morate rešiti kvadratno enačbo. In avtor predlaga, da to preverite na primeru, kjer je podan kvadratni trinom. Moramo najti njegove korenine. Rešitev je sestavljena na podlagi rešitve kvadratne enačbe, dobljene iz podanega kvadratnega trinoma. Rešitev je podrobno, jasno in razumljivo zapisana na ekranu. Med reševanjem tega primera se avtor spomni, kako rešiti kvadratno enačbo, si zapiše formule in dobi rezultat. Odgovor se zabeleži na zaslonu.
Avtor je na primeru razložil iskanje korenin kvadratnega trinoma. Ko učenci razumejo bistvo, lahko preidejo na splošnejše točke, kar avtor tudi stori. Zato vse zgoraj povzema še naprej. Na splošno v matematičnem jeziku avtor zapiše pravilo za iskanje korenin kvadratnega trinoma.
Sledi pripomba, da je v nekaterih nalogah primerneje kvadratni trinom zapisati nekoliko drugače. Ta vnos je prikazan na zaslonu. To pomeni, da se iz kvadratnega trinoma izvleče kvadratni binom. Predlaga se, da se takšno preoblikovanje obravnava na primeru. Rešitev tega primera je prikazana na zaslonu. Kot v prejšnjem primeru je rešitev izdelana v podrobnosti z vsemi potrebnimi pojasnili. Avtor nato obravnava problem, ki uporablja pravkar podane informacije. To je geometrijski dokazni problem. Rešitev vsebuje ilustracijo v obliki risbe. Rešitev problema je podrobno in jasno opisana.
S tem se lekcija zaključi. Toda učitelj lahko izbere naloge glede na sposobnosti učencev, ki bodo ustrezale dani temi.
To video lekcijo lahko uporabite kot razlago nove snovi pri pouku algebre. Primeren je za samostojno pripravo dijakov na pouk.
Iskanje korenin kvadratnega trinoma
Cilji: predstavi pojem kvadratnega trinoma in njegove korenine; razvijajo sposobnost iskanja korenin kvadratnega trinoma.
Napredek lekcije
I. Organizacijski trenutek.
II. Ustno delo.
Katero od števil: –2; –1; 1; 2 – so koreni enačb?
a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;
b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.
III. Razlaga nove snovi.
Razlago novega materiala je treba izvesti po naslednji shemi:
1) Predstavite pojem korena polinoma.
2) Predstavite koncept kvadratnega trinoma in njegove korenine.
3) Analizirajte vprašanje možnega števila korenin kvadratnega trinoma.
Vprašanje izolacije kvadrata binoma od kvadratnega trinoma je najbolje obravnavati v naslednji lekciji.
Na vsaki stopnji razlage nove snovi je treba učencem ponuditi ustno nalogo, da preverijo svoje obvladovanje glavnih točk teorije.
Naloga 1. Katero od števil: –1; 1; ; 0 – so korenine polinoma X 4 + 2X 2 – 3?
Naloga 2. Kateri od naslednjih polinomov so kvadratni trinomi?
1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;
2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;
3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;
4) 3X 2 – ; 9) 
+ 3X – 6;
5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .
Kateri kvadratni trinomi imajo koren 0?
Naloga 3. Ali ima lahko kvadratni trinom tri korenine? Zakaj? Koliko korenin ima kvadratni trinom? X 2 + X – 5?
IV. Oblikovanje spretnosti in spretnosti.
vaje:
1. № 55, № 56, № 58.
2. Št. 59 (a, c, d), št. 60 (a, c).
Pri tej nalogi vam ni treba iskati korenin kvadratnih trinomov. Dovolj je, da poiščemo njihovo diskriminanto in odgovorimo na zastavljeno vprašanje.
a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;
D 1 = 16 – 15 = 1;
D 1 0, kar pomeni, da ima ta kvadratni trinom dva korena.
b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;
D 1 = 9 – 9 = 0;
D 1 = 0, kar pomeni, da ima kvadratni trinom en koren.
c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;
7X 2 – 6X + 2 = 0;
D 1 = 9 – 14 = –5;
Če ostane čas, lahko št. 63.
rešitev
Naj sekira 2 + bx + c je dani kvadratni trinom. Ker a+ b +
+c= 0, potem je ena od korenin tega trinoma enaka 1. Po Vietovem izreku je druga korenina enaka . Glede na pogoj, z = 4A, torej je drugi koren tega kvadratnega trinoma enak 
.
ODGOVOR: 1 in 4.
V. Povzetek lekcije.
Pogosta vprašanja:
– Kaj je koren polinoma?
– Kateri polinom imenujemo kvadratni trinom?
– Kako najti korenine kvadratnega trinoma?
– Kaj je diskriminanta kvadratnega trinoma?
– Koliko korenin ima lahko kvadratni trinom? Od česa je to odvisno?
domača naloga:št. 57, št. 59 (b, d, f), št. 60 (b, d), št. 62.