Spletni kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma in faktorizacija kvadratnega trinoma.

Ta matematični program razlikuje kvadratni binom od kvadratnega trinoma, tj. naredi transformacijo, kot je:
\(ax^2+bx+c \desna puščica a(x+p)^2+q \) in faktorizira kvadratni trinom : \(ax^2+bx+c \desna puščica a(x+n)(x+m) \)

Tisti. težave se skrčijo na iskanje števil \(p, q\) in \(n, m\)

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega trinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Števila lahko vnesete kot cela ali ulomka.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke takole: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju vneseni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primer podrobna rešitev

Izolacija kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\levo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \levo(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \levo(x \levo(x +2 \desno) -1 \levo(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Odločite se

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tukaj so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Ločitev kvadrata binoma od kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kot a(x+p) 2 +q, kjer sta p in q realni števili, potem pravimo, da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je poudarjen.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izluščimo kvadrat binoma.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Če želite to narediti, si predstavljajte 6x kot zmnožek 2*3*x, nato pa seštejte in odštejte 3 2. Dobimo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

to. mi izvleček kvadratnega binoma iz kvadratnega trinoma in pokazal, da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen v obliki a(x+n)(x+m), kjer sta n in m realni števili, se reče, da je bila operacija izvedena faktorizacija kvadratnega trinoma.

S primerom pokažimo, kako poteka ta preobrazba.

Razčlenimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Vzemimo koeficient a iz oklepaja, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformirajmo izraz v oklepajih.
Če želite to narediti, si predstavljajte 2x kot razliko 3x-1x in -3 kot -1*3. Dobimo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

to. mi faktoriziral kvadratni trinom in pokazal, da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Upoštevajte, da je faktoriziranje kvadratnega trinoma možno le, če ima kvadratna enačba, ki ustreza temu trinomu, korenine.
Tisti. v našem primeru je možno faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6, če ima kvadratna enačba 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procesu faktorizacije smo ugotovili, da ima enačba 2x 2 + 4x-6 = 0 dva korena 1 in -3, ker s temi vrednostmi se enačba 2(x-1)(x+3)=0 spremeni v pravo enakost.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog

Razširitev polinomov za pridobitev produkta se lahko včasih zdi zmedeno. Vendar to ni tako težko, če razumete postopek korak za korakom. Članek podrobno opisuje, kako faktorizirati kvadratni trinom.

Mnogi ljudje ne razumejo, kako faktorizirati kvadratni trinom in zakaj se to naredi. Sprva se morda zdi, da je to nesmiselna vaja. Toda v matematiki se nič ne naredi zastonj. Transformacija je potrebna za poenostavitev izraza in enostavnost izračuna.

Polinom oblike – ax²+bx+c, imenujemo kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativen ali pozitiven. V praksi se ta izraz imenuje kvadratna enačba. Zato včasih rečejo drugače: kako razširiti kvadratno enačbo.

zanimivo! Polinom imenujemo kvadrat zaradi njegove zelo v veliki meri– kvadrat. In trinom - zaradi 3 komponent.

Nekatere druge vrste polinomov:

• linearni binom (6x+8);
• kubični kvadrinom (x³+4x²-2x+9).

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Najprej je izraz enak nič, nato pa morate najti vrednosti korenin x1 in x2. Morda ni korenin, lahko sta ena ali dve korenini. Prisotnost korenin je določena z diskriminanco. Njegovo formulo morate znati na pamet: D=b²-4ac.

Če je rezultat D negativen, ni korenin. Če je pozitiven, obstajata dva korena. Če je rezultat nič, je koren ena. Po formuli se izračunajo tudi korenine.

Če je pri izračunu diskriminante rezultat enak nič, lahko uporabite katero koli od formul. V praksi se formula preprosto skrajša: -b / 2a.

Formule za različne pomene diskriminanti se razlikujejo.

Če je D pozitiven:

Če je D nič:

Spletni kalkulatorji

Na internetu obstaja spletni kalkulator. Uporablja se lahko za izvajanje faktorizacije. Nekateri viri ponujajo možnost ogleda rešitve korak za korakom. Takšne storitve pomagajo bolje razumeti temo, vendar jo morate poskusiti dobro razumeti.

Uporaben videoposnetek: faktoriziranje kvadratnega trinoma

Primeri

Vabimo vas k ogledu preprosti primeri, kako faktorizirati kvadratno enačbo.

Primer 1

To jasno kaže, da je rezultat dva xa, ker je D pozitiven. Nadomestiti jih je treba v formulo. Če se korenine izkažejo za negativne, se znak v formuli spremeni v nasprotno.

Poznamo formulo za faktoriziranje kvadratnega trinoma: a(x-x1)(x-x2). Vrednosti postavimo v oklepaje: (x+3)(x+2/3). Pred izrazom v potenci ni števila. To pomeni, da je tam eden, gre dol.

Primer 2

Ta primer jasno prikazuje, kako rešiti enačbo z enim korenom.

Dobljeno vrednost nadomestimo:

Primer 3

Podano: 5x²+3x+7

Najprej izračunajmo diskriminanco, kot v prejšnjih primerih.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanta je negativna, kar pomeni, da ni korenin.

Po prejemu rezultata odprite oklepaje in preverite rezultat. Prikazati bi se moral izvirni trinom.

Alternativna rešitev

Nekateri ljudje se nikoli niso mogli spoprijateljiti z diskriminatorjem. Obstaja še en način za faktorizacijo kvadratnega trinoma. Za udobje je metoda prikazana s primerom.

Podano: x²+3x-10

Vemo, da bi morali dobiti 2 oklepaja: (_)(_). Ko je izraz videti takole: x²+bx+c, na začetku vsakega oklepaja postavimo x: (x_)(x_). Preostali dve števili sta zmnožek, ki daje "c", torej v tem primeru -10. Edini način, da ugotovite, katere številke so to, je z izbiro. Zamenjane številke morajo ustrezati preostalemu izrazu.

Če na primer pomnožimo naslednja števila, dobimo -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. št.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. št.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. št.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Ustreza.

To pomeni, da transformacija izraza x2+3x-10 izgleda takole: (x-2)(x+5).

Pomembno! Pazite, da znakov ne zamenjate.

Razširitev kompleksnega trinoma

Če je "a" večji od ena, se začnejo težave. A vse ni tako težko, kot se zdi.

Če želite faktorizirati, morate najprej videti, ali je mogoče kaj faktorizirati.

Na primer, glede na izraz: 3x²+9x-30. Tukaj je številka 3 izvzeta iz oklepaja:

3(x²+3x-10). Rezultat je že znani trinom. Odgovor je videti takole: 3(x-2)(x+5)

Kako razstaviti, če je člen v kvadratu negativen? IN v tem primeruŠtevilo -1 je vzeto iz oklepaja. Na primer: -x²-10x-8. Izraz bo potem videti takole:

Shema se malo razlikuje od prejšnje. Obstaja le nekaj novih stvari. Recimo, da je podan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je zapisan tudi v 2 oklepajih, ki ju je potrebno izpolniti (_)(_). V 2. oklepaju je zapisan x, v 1. pa kar ostane. Videti je takole: (2x_)(x_). V nasprotnem primeru se ponovi prejšnja shema.

Število 3 je podano s številkami:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Enačbe rešujemo tako, da te številke zamenjamo. Ustreza zadnja možnost. To pomeni, da transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda takole: (2x+1)(x+3).

Drugi primeri

Izraza ni vedno mogoče pretvoriti. Pri drugi metodi reševanje enačbe ni potrebno. Toda možnost preoblikovanja terminov v produkt se preverja le prek diskriminatorja.

Vredno je vaditi reševanje kvadratnih enačb, tako da pri uporabi formul ni težav.

Uporaben video: faktoriziranje trinoma

Zaključek

Uporabljate ga lahko na kakršen koli način. Vendar je bolje vaditi oboje, dokler ne postane samodejno. Prav tako je potrebno naučiti se dobro reševati kvadratne enačbe in faktorizirati polinome za tiste, ki nameravajo svoje življenje povezati z matematiko. Vse naslednje matematične teme temeljijo na tem.

Faktoriziranje kvadratnih trinomov je ena izmed šolskih nalog, s katero se prej ali slej sreča vsak. Kako narediti? Kakšna je formula za faktoriziranje kvadratnega trinoma? Ugotovimo korak za korakom s pomočjo primerov.

Splošna formula

Faktorizacijo kvadratnih trinomov izvedemo z reševanjem kvadratna enačba. To je preprost problem, ki ga je mogoče rešiti na več načinov – z iskanjem diskriminante po Vietovem izreku obstaja tudi grafična rešitev. Prvi dve metodi se učijo v srednji šoli.

Splošna formula izgleda takole:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritem za dokončanje naloge

Če želite faktorizirati kvadratne trinome, morate poznati Vitin izrek, imeti pri roki program za reševanje, biti sposoben grafično poiskati rešitev ali iskati korenine enačbe druge stopnje z diskriminantno formulo. Če je podan kvadratni trinom in ga je treba faktorizirati, je algoritem naslednji:

1) Izenačite izvirni izraz z nič, da dobite enačbo.

2) Navedite podobne izraze (če je potrebno).

3) Poiščite korenine s katero koli znano metodo. Grafično metodo je najbolje uporabiti, če je vnaprej znano, da so koreni cela in majhna števila. Ne smemo pozabiti, da je število korenin enako največji stopnji enačbe, to pomeni, da ima kvadratna enačba dve korenini.

4) Nadomestite vrednost X v izraz (1).

5) Zapišite faktorizacijo kvadratnih trinomov.

Primeri

Praksa vam omogoča, da končno razumete, kako se ta naloga izvaja. Naslednji primeri ponazarjajo faktorizacijo kvadratnega trinoma:

izraz je treba razširiti:

Zatecimo se k našemu algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) podobni pogoji so zmanjšani

3) z uporabo Vietove formule je težko najti korenine za ta primer, zato je bolje uporabiti izraz za diskriminanto:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Nadomestimo najdene korene v osnovno formulo za razgradnjo:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potem bo odgovor tak:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Preverimo, ali rešitve, ki jih je našel diskriminant, ustrezajo formulam Vieta:

14,845 . 2,155=32

Za te korene velja Vietov izrek, našli so jih pravilno, kar pomeni, da je tudi faktorizacija, ki smo jo dobili, pravilna.

Podobno razširimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

V prejšnjem primeru so bile rešitve necela, temveč realna števila, ki jih zlahka najdemo, če imamo pred seboj kalkulator. Zdaj pa poglejmo več zapleten primer, v katerem bodo koreni kompleksni: faktor x 2 + 4x + 9. Z uporabo Vietove formule korenin ni mogoče najti, diskriminanta pa je negativna. Korenine bodo na kompleksni ravnini.

D=-20

Na podlagi tega dobimo korene, ki nas zanimajo -4+2i*5 1/2 in -4-2i * 5 1/2, ker je (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Želeno razgradnjo dobimo tako, da korene nadomestimo v splošno formulo.

Drug primer: izraz morate faktorizirati 23x 2 -14x+7.

Imamo enačbo 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

To pomeni, da so korenine 14+21.166i in 14-21.166i. Odgovor bo:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Naj navedemo primer, ki ga je mogoče rešiti brez pomoči diskriminatorja.

Recimo, da moramo kvadratno enačbo razširiti x 2 -32x+255. Očitno jo je mogoče rešiti tudi z diskriminanto, vendar je v tem primeru hitreje najti korenine.

x 1 =15

x 2 =17

Pomeni x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).

Kvadratni trinom imenujemo trinom oblike a*x 2 +b*x+c, kjer so a,b,c nekatera poljubna realna števila, x pa spremenljivka. Poleg tega število a ne sme biti enako nič.

Števila a,b,c imenujemo koeficienti. Število a imenujemo vodilni koeficient, število b je koeficient pri x, število c pa prosti člen.

Koren kvadratnega trinoma a*x 2 +b*x+c je katera koli vrednost spremenljivke x, tako da kvadratni trinom a*x 2 +b*x+c izgine.

Da bi našli korenine kvadratnega trinoma, je treba rešiti kvadratno enačbo oblike a*x 2 +b*x+c=0.

Kako najti korenine kvadratnega trinoma

Če želite to rešiti, lahko uporabite eno od znanih metod.

• 1 način.

Iskanje korenin kvadratnega trinoma z uporabo formule.

1. Poiščite vrednost diskriminante s formulo D =b 2 -4*a*c.

2. Glede na vrednost diskriminante izračunajte korenine po formulah:

Če je D > 0, potem ima kvadratni trinom dva korena.

x = -b±√D / 2*a

Če D< 0, potem ima kvadratni trinom en koren.

Če je diskriminant negativen, potem kvadratni trinom nima korenin.

• Metoda 2.

Iskanje korenin kvadratnega trinoma z izolacijo polni kvadrat. Poglejmo primer danega kvadratnega trinoma. Zmanjšana kvadratna enačba, katere vodilni koeficient je enak ena.

Poiščimo korenine kvadratnega trinoma x 2 +2*x-3. Da bi to naredili, rešimo naslednjo kvadratno enačbo: x 2 +2*x-3=0;

Preoblikujemo to enačbo:

Na levi strani enačbe je polinom x 2 +2*x, da bi ga predstavili kot kvadrat vsote, potrebujemo še en koeficient, ki je enak 1. Temu izrazu dodamo in odštejemo 1, dobimo :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Kaj lahko v oklepajih predstavimo kot kvadrat binoma

Ta enačba je razdeljena na dva primera: x+1=2 ali x+1=-2.

V prvem primeru dobimo odgovor x=1, v drugem pa x=-3.

Odgovor: x=1, x=-3.

Kot rezultat transformacij moramo na levi strani dobiti kvadrat binoma, na desni strani pa določeno število. Desna stran ne sme vsebovati spremenljivke.

Koren kvadratnega trinoma lahko najdete z diskriminantom. Poleg tega za reducirani polinom druge stopnje velja Vietov izrek, ki temelji na razmerju koeficientov.

Navodila

• Kvadratne enačbe so v šolski algebri precej obsežna tema. Leva stran takšne enačbe je polinom druge stopnje oblike A x² + B x + C, tj. izraz treh monomov različnih stopenj neznanega x. Če želite najti koren kvadratnega trinoma, morate izračunati vrednost x, pri kateri je ta izraz enak nič.
• Če želite rešiti kvadratno enačbo, morate najti diskriminanco. Njegova formula je posledica izolacije celotnega kvadrata polinoma in predstavlja določeno razmerje njegovih koeficientov: D = B² – 4 A C.
• Diskriminator lahko sprejme različne pomene, vključno z negativnostjo. In če lahko mlajši šolarji z olajšanjem rečejo, da takšna enačba nima korenin, jih srednješolci že znajo določiti na podlagi teorije kompleksnih števil. Torej so lahko tri možnosti: Diskriminanta – pozitivno število. Potem sta korena enačbe enaka: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
  Diskriminant je šel na nič. Teoretično ima tudi v tem primeru enačba dva korena, praktično pa sta enaka: x1 = x2 = -B/2 A;
  Diskriminanta je manjša od nič. V izračun se vnese določena vrednost i² = -1, ki nam omogoča zapis celovita rešitev: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
• Diskriminantna metoda je veljavna za katero koli kvadratno enačbo, vendar obstajajo situacije, ko je priporočljivo uporabiti več hiter način, še posebej za majhne cele koeficiente. Ta metoda se imenuje Vietov izrek in je sestavljena iz para odnosov med koeficienti v zmanjšanem trinomu: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Vse, kar ostane, je najti korenine.
• Opozoriti je treba, da je enačbo mogoče reducirati na podobno obliko. Če želite to narediti, morate vse člene trinoma deliti s koeficientom največje potence A: A x² + B x + C | A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.