Metode zapisovanja odsekov ravnih žarkov. Ravna črta. Pojem ravne črte, njene lastnosti

Točka in premica sta osnovni geometrijski liki na ravnini.

Starogrški znanstvenik Evklid je rekel: "točka" je nekaj, kar nima delov. Beseda "točka" v prevodu iz latinščine pomeni rezultat trenutnega dotika, injekcijo. Točka je osnova za konstrukcijo katere koli geometrijske figure.

Ravna črta ali preprosto ravna črta je črta, vzdolž katere je razdalja med dvema točkama najkrajša. Ravna črta je neskončna in je nemogoče upodobiti celotno ravnino in jo izmeriti.

Točke označujemo z velikimi latiničnimi črkami A, B, C, D, E itd., ravne črte pa z istimi črkami, le z malimi a, b, c, d, e itd. Ravno črto lahko označujemo tudi z dve črki, ki ustrezata točkama, ki ležita na njej. Na primer, ravno črto a lahko označimo z AB.

Lahko rečemo, da točke AB ležijo na premici a ali pripadajo premici a. In lahko rečemo, da premica a poteka skozi točki A in B.

Praživali geometrijske oblike na ravnini je odsek, žarek, prekinjena črta.

Odsek je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, omejene z dvema izbranima točkama. Te točke so konci segmenta. Odsek je označen z navedbo njegovih koncev.

Žarek ali polpremica je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo na eni strani dane točke. To točko imenujemo izhodišče polpremice ali začetek žarka. Žarek ima začetno točko, nima pa konca.

Polpremice ali žarke označujemo z dvema malima latinskima črkama: z začetnico in katero koli drugo črko, ki ustreza točki, ki pripada polpremici. V tem primeru je izhodišče postavljeno na prvo mesto.

Izkaže se, da je ravna črta neskončna: nima ne začetka ne konca; žarek ima samo začetek, nima pa konca, odsek pa ima začetek in konec. Zato lahko merimo le segment.

Več segmentov, ki so med seboj zaporedno povezani tako, da segmenti (sosednji), ki imajo eno skupno točko, niso na isti ravni črti, predstavljajo lomljeno črto.

Prekinjena črta je lahko zaprta ali odprta. Če konec zadnjega odseka sovpada z začetkom prvega, imamo sklenjeno prekinjeno črto, če ne, je to odprta črta.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

V tem članku se bomo podrobno posvetili enemu od primarnih konceptov geometrije - konceptu ravne črte na ravnini. Najprej opredelimo osnovne pojme in poimenovanja. Nato bomo obravnavali relativni položaj premice in točke ter dveh premic na ravnini in predstavili potrebne aksiome. Na koncu bomo razmislili o načinih definiranja ravne črte na ravnini in podali grafične ponazoritve.

Navigacija po straneh.

Ravna črta na ravnini je koncept.

Preden podate koncept ravne črte na ravnini, morate jasno razumeti, kaj je ravnina. Koncept letala vam omogoča, da dobite na primer ravno površino na mizi ali na steni hiše. Upoštevati pa je treba, da so dimenzije mize omejene, ravnina pa sega čez te meje v neskončnost (kot da bi imeli poljubno veliko mizo).

Če vzamemo dobro nabrušen svinčnik in se z njegovo konico dotaknemo površine »mize«, dobimo sliko točke. Tako dobimo predstavitev točke na ravnini.

Zdaj lahko nadaljujete na koncept premice na ravnini.

Na površino mize (na ravnino) položite list čistega papirja. Da narišemo ravno črto, moramo vzeti ravnilo in s svinčnikom narisati črto, kolikor nam velikost ravnila in lista papirja, ki ju uporabljamo, dopuščata. Treba je opozoriti, da bomo na ta način dobili le del črte. Lahko si samo predstavljamo celotno premico, ki se razteza v neskončnost.

Relativni položaj premice in točke.

Začeti bi morali z aksiomom: na vsaki premici in v vsaki ravnini so točke.

Točke so običajno označene z velikimi latiničnimi črkami, na primer točki A in F. Po drugi strani pa so ravne črte označene z malimi latinskimi črkami, na primer ravne črte a in d.

Možno dve možnosti relativni položaj premica in točke na ravnini: ali točka leži na premici (v tem primeru tudi pravimo, da premica poteka skozi točko), ali pa točka ne leži na premici (pravimo tudi, da točka ne pripada premici oz. črta ne poteka skozi točko).

Če želite označiti, da točka pripada določeni premici, uporabite simbol “”. Na primer, če točka A leži na premici a, potem lahko zapišemo . Če točka A ne pripada premici a, zapišimo .

Naslednja trditev velja: skozi katerikoli dve točki poteka samo ena premica.

Ta izjava je aksiom in jo je treba sprejeti kot dejstvo. Poleg tega je to povsem očitno: na papirju označimo dve točki, nanje nanesemo ravnilo in narišemo ravno črto. Premico, ki poteka skozi dve dani točki (na primer skozi točki A in B), lahko označimo s tema dvema črkama (v našem primeru premico AB ali BA).

Treba je razumeti, da je na premici, določeni na ravnini, neskončno veliko različnih točk in vse te točke ležijo v isti ravnini. Ta trditev temelji na aksiomu: če dve točki premice ležita v določeni ravnini, potem vse točke te premice ležijo v tej ravnini.

Množica vseh točk, ki se nahajajo med dvema točkama na premici, skupaj s temi točkami, se imenuje odsek ravne črte ali samo segment. Točke, ki omejujejo odsek, se imenujejo konci odseka. Odsek je označen z dvema črkama, ki ustrezata končnim točkam odseka. Na primer, naj bosta točki A in B konci segmenta, potem lahko ta segment označimo kot AB ali BA. Upoštevajte, da ta oznaka za segment sovpada z oznako za ravno črto. Da bi se izognili zmedi, priporočamo, da oznaki dodate besedo "segment" ali "ravno".

Za kratko beleženje, ali določena točka pripada ali ne pripada določenemu odseku, se uporabljata enaka simbola in . Če želite pokazati, da določen segment leži ali ne leži na premici, uporabite simbole oz. Na primer, če segment AB pripada vrstici a, lahko na kratko zapišete.

Upoštevati je treba tudi primer, ko tri različne točke pripadajo isti premici. V tem primeru ena in samo ena točka leži med drugima dvema. Ta izjava je še en aksiom. Naj ležijo točke A, B in C na isti premici, točka B pa med točkama A in C. Potem lahko rečemo, da sta točki A in C na nasprotnih straneh točke B. Lahko tudi rečemo, da ležita točki B in C na isti strani točke A, točki A in B pa ležita na isti strani točke C.

Za popolnost slike opazimo, da vsaka točka na črti to črto deli na dva dela - dva žarek. Za ta primer je podan aksiom: poljubna točka O, ki pripada premici, deli to premico na dva žarka in kateri koli dve točki enega žarka ležita na isti strani točke O in katerikoli dve točki različnih žarkov ležijo na nasprotnih straneh točke O.

Relativni položaj premic na ravnini.

Zdaj odgovorimo na vprašanje: "Kako se lahko dve ravni črti nahajata na ravnini glede na drugo?"

Prvič, dve ravni črti na ravnini lahko sovpadajo.

To je mogoče, če imata premici vsaj dve skupni točki. Dejansko na podlagi aksioma, navedenega v prejšnjem odstavku, obstaja samo ena ravna črta, ki poteka skozi dve točki. Z drugimi besedami, če dve ravni črti potekata skozi dve dani točki, potem sovpadata.

Drugič, dve ravni črti na ravnini lahko križ.

V tem primeru imata premici eno skupno točko, ki ji rečemo presečišče premic. Presečišče premic je označeno s simbolom “”, na primer zapis pomeni, da se premici a in b sekata v točki M. Sekajoče se premice nas pripeljejo do pojma kota med sekajočimi se premicami. Ločeno je vredno razmisliti o lokaciji ravnih črt na ravnini, ko je kot med njimi devetdeset stopinj. V tem primeru se vrstice imenujejo pravokotno(priporočamo članek pravokotne črte, pravokotnost črt). Če je premica a pravokotna na premico b, lahko uporabimo kratek zapis.

Tretjič, dve ravni črti na ravnini sta lahko vzporedni.

S praktičnega vidika je priročno obravnavati ravno črto na ravnini skupaj z vektorji. Poseben pomen imajo neničelne vektorje, ki ležijo na dani premici ali na kateri koli vzporedni premici, se imenujejo usmerjevalni vektorji premice. Članek Usmerjevalni vektor premice na ravnini podaja primere usmerjevalnih vektorjev in prikazuje možnosti njihove uporabe pri reševanju problemov.

Pozorni morate biti tudi na neničelne vektorje, ki ležijo na kateri koli premici, ki je pravokotna na to. Takšni vektorji se imenujejo vektorji normalne črte. Uporaba vektorjev normalne črte je opisana v članku Vektor normalne črte na ravnini.

Ko so na ravnini dane tri ali več ravnih črt, nastane množica različne možnosti njihov relativni položaj. Vse premice so lahko vzporedne, sicer se nekatere ali vse sekajo. V tem primeru se lahko vse premice sekajo v eni sami točki (glej članek o šopku premic) ali pa imajo različne presečišča.

O tem se ne bomo podrobneje ukvarjali, ampak bomo brez dokazov predstavili nekaj izjemnih in zelo pogosto uporabljenih dejstev:

• če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta med seboj vzporedni;
• če sta dve premici pravokotni na tretjo premico, sta med seboj vzporedni;
• Če določena premica na ravnini seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo premico.

Metode določanja premice na ravnini.

Sedaj bomo našteli glavne načine, kako lahko določite določeno premico na ravnini. To znanje je zelo uporabno s praktičnega vidika, saj na njem temelji rešitev številnih primerov in problemov.

Prvič, ravno črto lahko definiramo z določitvijo dveh točk na ravnini.

Dejansko iz aksioma, obravnavanega v prvem odstavku tega članka, vemo, da ravna črta poteka skozi dve točki in samo eno.

Če so koordinate dveh divergentnih točk označene v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini, potem je mogoče zapisati enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki.

Drugič, črto lahko določite tako, da določite točko, skozi katero poteka, in črto, s katero je vzporedna. Ta metoda je pravična, saj skozi dano točko na ravnini poteka ena sama premica, vzporedna z dano premico. Dokaz tega dejstva je bil izveden pri pouku geometrije v srednji šoli.

Če je premica na ravnini tako definirana glede na uvedeni pravokotni kartezični koordinatni sistem, potem je mogoče sestaviti njeno enačbo. O tem piše v članku enačba premice, ki poteka skozi dano točko vzporedno z dano premico.

Tretjič, ravno črto lahko določite tako, da določite točko, skozi katero poteka, in njen smerni vektor.

Če je premica podana v pravokotnem koordinatnem sistemu na ta način, potem je enostavno sestaviti njeno kanonično enačbo premice na ravnini in parametrične enačbe premice na ravnini.

Četrti način določanja črte je navedba točke, skozi katero poteka, in črte, na katero je pravokotna. Dejansko skozi dano točko ravnini je na dano premico pravokotna samo ena premica. Pustimo to dejstvo brez dokaza.

Končno lahko premico v ravnini določimo tako, da določimo točko, skozi katero poteka, in normalni vektor premice.

Če so znane koordinate točke, ki leži na dani premici, in koordinate normalnega vektorja premice, potem je mogoče zapisati splošno enačbo premice.

Reference.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. – 9. razred: učbenik za splošne izobraževalne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Učbenik za 10.-11. razred srednje šole.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Višja matematika. Prvi zvezek: elementi linearne algebre in analitične geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitična geometrija.

Avtorske pravice cleverstudents

Vse pravice pridržane.
Zaščiten z zakonom o avtorskih pravicah. Nobenega dela www.site, vključno z notranjimi materiali in videzom, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.

Točka in premica sta osnovni geometrijski liki na ravnini.

Starogrški znanstvenik Evklid je rekel: "točka" je nekaj, kar nima delov. Beseda "točka" v prevodu iz latinščine pomeni rezultat trenutnega dotika, injekcijo. Točka je osnova za konstrukcijo katere koli geometrijske figure.

Ravna črta ali preprosto ravna črta je črta, vzdolž katere je razdalja med dvema točkama najkrajša. Ravna črta je neskončna in je nemogoče upodobiti celotno ravnino in jo izmeriti.

Točke označujemo z velikimi latiničnimi črkami A, B, C, D, E itd., ravne črte pa z istimi črkami, le z malimi a, b, c, d, e itd. Ravno črto lahko označujemo tudi z dve črki, ki ustrezata točkama, ki ležita na njej. Na primer, ravno črto a lahko označimo z AB.

Lahko rečemo, da točke AB ležijo na premici a ali pripadajo premici a. In lahko rečemo, da premica a poteka skozi točki A in B.

Najenostavnejše geometrijske figure na ravnini so segment, žarek, lomljena črta.

Odsek je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, omejene z dvema izbranima točkama. Te točke so konci segmenta. Odsek je označen z navedbo njegovih koncev.

Žarek ali polpremica je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo na eni strani dane točke. To točko imenujemo izhodišče polpremice ali začetek žarka. Žarek ima začetno točko, nima pa konca.

Polpremice ali žarke označujemo z dvema malima latinskima črkama: z začetnico in katero koli drugo črko, ki ustreza točki, ki pripada polpremici. V tem primeru je izhodišče postavljeno na prvo mesto.

Izkaže se, da je ravna črta neskončna: nima ne začetka ne konca; žarek ima samo začetek, nima pa konca, odsek pa ima začetek in konec. Zato lahko merimo le segment.

Več segmentov, ki so med seboj zaporedno povezani tako, da segmenti (sosednji), ki imajo eno skupno točko, niso na isti ravni črti, predstavljajo lomljeno črto.

Prekinjena črta je lahko zaprta ali odprta. Če konec zadnjega odseka sovpada z začetkom prvega, imamo sklenjeno prekinjeno črto, če ne, je to odprta črta.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Ogledali si bomo vsako izmed tem, na koncu pa sledijo testi na teme.

Točka v matematiki

Kaj je točka pri matematiki? Matematična točka je brez dimenzij in je označena z velikimi črkami: A, B, C, D, F itd.

Na sliki lahko vidite sliko točk A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment pri matematiki

Kaj je segment v matematiki? Pri pouku matematike lahko slišite naslednjo razlago: matematični segment ima dolžino in se konča. Odsek v matematiki je množica vseh točk, ki ležijo na ravni črti med koncema odseka. Konca segmenta sta dve mejni točki.

Na sliki vidimo: odseke ,,, in , ter dve točki B in S.

Neposredno v matematiki

Kaj je ravna črta v matematiki? Definicija ravne črte v matematiki je, da ravna črta nima koncev in se lahko nadaljuje v obe smeri neomejeno dolgo. Premico v matematiki označujemo s poljubnima točkama na premici. Če želite študentu razložiti koncept ravne črte, lahko rečete, da je ravna črta segment, ki nima dveh koncev.

Slika prikazuje dve ravni črti: CD in EF.

Žarek v matematiki

Kaj je žarek? Definicija žarka v matematiki: žarek je del črte, ki ima začetek in nima konca. Ime žarka vsebuje dve črki, na primer DC. Poleg tega prva črka vedno označuje začetno točko žarka, zato črk ni mogoče zamenjati.

Slika prikazuje žarke: DC, KC, EF, MT, MS. Nosilca KC in KD sta en žarek, ker imajo skupen izvor.

Številska premica v matematiki

Definicija številske premice v matematiki: premica, katere točke označujejo števila, se imenuje številska premica.

Slika prikazuje številsko premico ter žarek OD in ED

Točka je abstrakten predmet, ki nima merskih lastnosti: ne višine, ne dolžine, ne polmera. V okviru naloge je pomembna le njegova lokacija

Točka je označena s številko ali veliko (veliko) latinično črko. Več pik – različne številke oz z različnimi črkami tako da jih je mogoče razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

1. točka, 2. točka, 3. točka

1 2 3

Na list papirja lahko narišete tri pike »A« in povabite otroka, da nariše črto skozi dve piki »A«. Toda kako razumeti, skozi katere?

A A A

Črta je množica točk. Meri se le dolžina. Nima širine ali debeline

Označeno z malimi (majhnimi) latiničnimi črkami

vrstica a, vrstica b, vrstica c

a b c

1. Vrstica je lahko
2. zaprta, če sta njen začetek in konec na isti točki,

odprta, če njen začetek in konec nista povezana

zaprte linije

odprte linije

1. Zapustili ste stanovanje, kupili kruh v trgovini in se vrnili nazaj v stanovanje. Katero vrstico si dobil? Tako je, zaprto. Vrnili ste se na začetno točko. Odšli ste iz stanovanja, kupili kruh v trgovini, vstopili v vhod in se začeli pogovarjati s sosedom. Katero vrstico si dobil? Odpri. Niste se vrnili na začetno točko. Odšli ste iz stanovanja in kupili kruh v trgovini. Katero vrstico si dobil? Odpri. Niste se vrnili na začetno točko.
2. samosekajoči se

brez samopresečišč

premice, ki se sekajo same s seboj

1. črte brez samopresečišč
2. neposredno
3. pokvarjen

ukrivljen

ravne črte

lomljene črte

ukrivljene črte

Ravna črta je črta, ki ni kriva, nima ne začetka ne konca, lahko jo nadaljujemo v nedogled v obe smeri.

Tudi če je viden majhen odsek ravne črte, se domneva, da se nadaljuje v obe smeri za nedoločen čas.

Označeno z malo (majhno) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinični črki - točki, ki ležita na ravni črti

ravna črta a

a

ravna črta AB

B A

1. Neposredno je lahko
   • sekajo, če imajo skupno točko. Dve črti se lahko sekata samo v eni točki.
2. pravokotno, če se sekata pod pravim kotom (90°).

Vzporedni, če se ne sekata, nimata skupne točke.

vzporedne črte

sekajoče se črte

pravokotne črte

Žarek je del premice, ki ima začetek, nima pa konca, lahko se nadaljuje v nedogled le v eno smer

Svetlobni žarek na sliki ima začetno točko sonce.

sonce

Točka deli premico na dva dela - dva žarka A A

Žarek je označen z malo (malo) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinski črki, kjer je prva točka, iz katere se začne žarek, druga pa točka, ki leži na žarku.

ravna črta a

žarek a

ravna črta AB

žarek AB

1. Žarki sovpadajo, če
2. ki se nahajajo na isti ravni črti
3. začeti na eni točki

usmerjen v eno smer

žarka AB in AC sovpadata

žarka CB in CA sovpadata

Odsek je del črte, ki je omejen z dvema točkama, torej ima začetek in konec, kar pomeni, da je njegovo dolžino mogoče izmeriti. Dolžina odseka je razdalja med njegovo začetno in končno točko

Skozi eno točko lahko narišete poljubno število črt, vključno z ravnimi črtami

Skozi dve točki - neomejeno število krivulj, vendar samo ena ravna črta

ukrivljene črte, ki potekajo skozi dve točki

B A

a

ravna črta AB

Kos je bil "odrezan" od ravne črte in ostal je segment. Iz zgornjega primera lahko vidite, da je njegova dolžina najkrajša razdalja med dvema točkama.

✂ B A ✂

Odsek označujemo z dvema velikima latinskima črkama, pri čemer je prva točka, v kateri se odsek začne, druga pa točka, v kateri se odsek konča.

ravna črta AB

segment AB

Problem: kje je premica, žarek, odsek, krivulja?

Lomljena črta je črta, sestavljena iz zaporedno povezanih odsekov, ki niso pod kotom 180°.

Dolg segment je bil "zlomljen" na več kratkih

Členi lomljene črte (podobno kot členi verige) so segmenti, ki tvorijo lomljeno črto. Sosednje povezave so povezave, pri katerih je konec ene povezave začetek druge. Sosednje povezave ne smejo ležati na isti ravni črti.

Oglišča lomljene črte (podobno kot pri vrhovih gora) so točka, v kateri se lomljena začne, točke, v katerih se povezujejo odseki, ki tvorijo lomljeno, in točka, v kateri se lomljena konča.

Lomljeno črto označimo tako, da naštejemo vsa njena oglišča.

lomljena črta ABCDE

oglišče poličrte A, oglišče poličrte B, oglišče poličrte C, oglišče poličnije D, oglišče poličn

prekinjena povezava AB, prekinjena povezava BC, prekinjena povezava CD, prekinjena povezava DE

člen AB in člen BC sta sosednji

povezava BC in povezava CD sta sosednji

povezava CD in povezava DE sta sosednji

A B C D E 64 62 127 52

Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Naloga: katera lomljena črta je daljša , A ki ima več oglišč

? V prvi liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 13 cm. V drugi liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 49 cm. V tretji liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 41 cm.

Poligon je sklenjena večkotna črta

Stranice mnogokotnika (izrazi, ki si jih boste lažje zapomnili: »pojdi v vse štiri smeri«, »teci proti hiši«, »na kateri strani mize boš sedel?«) so členi lomljene črte. Sosednji stranici mnogokotnika sta sosednji členi lomljene črte.

Oglišča mnogokotnika so oglišča lomljene črte. Sosednja oglišča so končne točke ene stranice mnogokotnika.

zaprt poličrt brez samopresečišča, ABCDEF

mnogokotnik ABCDEF

oglišče poligona A, oglišče poligona B, oglišče poligona C, oglišče poligona D, oglišče poligona E, oglišče poligona F

oglišče A in oglišče B sta sosednji

oglišče B in oglišče C sta sosednji

oglišče C in oglišče D sta sosednji

oglišče D in oglišče E sta sosednji

oglišče E in oglišče F sta sosednji

oglišče F in oglišče A sta sosednji

stran poligona AB, stranica mnogokotnika BC, stranica mnogokotnika CD, stranica mnogokotnika DE, stranica mnogokotnika EF

stranica AB in stranica BC sta sosednji

stranica BC in stran CD sta sosednji

CD stran in DE stran sta sosednji

stran DE in stranica EF sta sosednji

stranica EF in stranica FA sta sosednji

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Obseg mnogokotnika je dolžina lomljene črte: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokotnik s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik itd.