Прямоугольные
треугольники
Геометрия, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
АС, ВС – катеты
АВ - гипотенуза
Свойство 1 0 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .
Задача 1. Найдите угол А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С если: а) ے В = 32 0 ; б) ے В в 2 раза меньше угла А; в) ے В на 20 0 меньше угла А.
Задача 2.
Задача 3.
Угол А:
ВС – катет, лежащий против угла А
АС – катет, прилежащий к углу А
Угол В:
АС – катет, …
ВС – катет, …
Назвать катеты, противолежащие углам N и К
Назвать катеты, прилежащие углам N и К
0
Задача. Доказать, что 0 , равен половине гипотенузы.
Свойство 2 0 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача. Докажите, что 0 .
Свойство 3 0 . Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 4 .
АВ = 12 см. Найдите ВС
Задача 5.
ВС = 7,5 см. Найдите АВ
Задача 6.
АВ +ВС = 15 см.
Найдите АВ и ВС
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 7.
АС = 4 см. Найдите АВ
Задача 8.
АВ - АС = 15 см.
Найдите АВ и АС
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 9 .
Найдите острые углы прямоугольного треугольника АВС, если АВ = 12 см, ВС = 6 см.
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 10 .
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен 15 0 .
СК - биссектриса
СМ - высота
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 11 .
В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120 0 , а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.
АМ - высота
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 12 .
Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой. Найдите углы равнобедренного треугольника.
АК – биссектриса угла А
АМ - высота
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 14 .
Докажите, что если треугольник прямоугольный, то медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство 4 0 .
ΔАВС - прямоугольный
СМ – медиана
Получили противоречие!
Прямоугольный треугольник с углом в 30 0
Задача 13 .
Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
ВМ – медиана
Доказать: ΔАВС - прямоугольный
Свойство 5 0 .
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Свойство 1 0 . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .
Свойство 2 0 . Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы .
Свойство 3 0 . Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .
Свойство 4 0 . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство 5 0 . Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
Свойства прямоугольного треугольника
Дорогие семиклассники, вы уже знаете какие геометрические фигуры называются треугольниками, умеете доказывать признаки их равенства. Знаете вы и о частных случаях треугольников: равнобедренных и прямоугольных. Свойства равнобедренных треугольников вам хорошо известны.
Но и у прямоугольных треугольников есть немало свойств. Одно, очевидное, связано с теоремой о сумме внутренних углов треугольника: в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равно 90°. Самое удивительное свойство прямоугольного треугольника вы узнаете в 8 классе , когда изучите знаменитую теорему Пифагора.
А сейчас мы поговорим еще о двух важных свойствах. Одно из них относится к прямоугольным треугольникам с углом 30°, а другое к произвольным прямоугольным треугольникам. Сформулируем и докажем эти свойства.
Вам хорошо известно, что в геометрии принято формулировать утверждения обратные к доказанным, когда условие и заключение в утверждении меняются местами. Далеко не всегда обратные утверждения оказываются верными. В нашем случае оба обратных утверждения верны.
Свойство 1.1 В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐА=90°, ÐВ=30°, тогда ÐС=60°..gif" width="167" height="41">, следовательно , что и требовалось доказать.
Свойство 1.2 (обратное к свойству 1.1) Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
Свойство 2.1 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АВС, в котором ÐВ=90°.
BD-медиана, то есть AD=DC. Докажем, что .
Для доказательства сделаем дополнительное построение: продолжим BD за точку D так, чтоBD=DN и соединим N с A и C..gif" width="616" height="372 src=">
Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см
1. ÐEBC=30o, т. к. в прямоугольном ∆BCE сумма острых углов 90о
2. BE=14см(свойство 1)
3. ÐABE=30o, так как ÐA+ÐABE=ÐBEC (свойство внешнего угла треугольника) поэтому ∆AEB- равнобедренный AE=EB=14см.
BC=2AN=20 см (свойство 2).
Задача 3. Доказать, что высота и медиана прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника.
Дано: ∆ АВС, ÐВАС=90°, АМ-медиана, АН-высота.
Доказать: ÐМАН=ÐС-ÐВ.
Доказательство:
1)ÐМАС=ÐС (по свойству 2 ∆ АМС-равнобедренный, АМ=СМ)
2)ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.
Остается доказать, что ÐНАС=ÐВ. Это следует из того, что ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) и ÐНАС+ÐС=90° (из ∆ АНС).
Итак, ÐМАН=ÐС-ÐВ, что и требовалось доказать.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-высота, .
Найти: ÐВ, ÐС.
Решение: Проведем медиану АМ. Пусть АН=х, тогда ВС=4х и
ВМ=МС=АМ=2х.
В прямоугольном ∆ АМН, гипотенуза АМ в 2 раза больше катета АН, поэтому ÐАМН=30°. Так как ВМ=АМ,
ÐВ=ÐВАМ100%">
Продолжим AC за точку А так, что AD=AC. Тогда ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким образом ∆DBC-равносторонний, ÐС=60о и ÐАВС=30о.
Задача 5
В равнобедренном треугольнике один из углов 120о, основание равно 10 см. Найти высоту, проведенную к боковой стороне.
Решение: для начала отметим, что угол 120о может быть только при вершине треугольника и что высота проведенная к боковой стороне попадет на её продолжение.
АВ - лестница, К - котенок.
При любом положении лестницы, пока она окончательно не упала на землю ∆АВС- прямоугольный. СК - медиана ∆АВС.
По свойству 2 СК=1/2АВ. То есть в любой момент времени длина отрезка СК постоянна.
Ответ: точка К будет двигаться по дуге окружности с центром С и радиусом СК=1/2АВ.
Задачи для самостоятельного решения.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4см. найти длину гипотенузы. В прямоугольном ∆ АВС с гипотенузой ВС и углом В, равным 60о, проведена высота АD. Найти DC, если DB=2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - высот, ВС=2ВD. Докажите, что АD=3ВD. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на части 3см и 9см. Найти углы треугольника и расстояние от середины гипотенузы до большего катета. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы исходного треугольника. Медиана разбивает треугольник на два равнобедренных. Можно ли найти углы
Исходного треугольника?
Средний уровень
Прямоугольный треугольник. Полный иллюстрированный гид (2019)
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.
В задачах прямой угол вовсе не обязательно - левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,
и в таком,
и в таком
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.
Внимание на рисунок!
Запомни и не путай: катетов - два, а гипотенуза - всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!
Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора.
Эта теорема - ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она - простая.
Итак, Теорема Пифагора:
Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?
Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Правда, похоже на какие - то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:
«Сумма площадей квадратов , построенных на катетах, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе».
Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.
Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора
А Пифагор мучился и рассуждал про площади?
Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей. Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:
Теперь уже должно быть легко:
| Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А почему же всё только про угол? Где же угол? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!
1.
Вообще-то звучит это так:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Резюме
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
 |
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Теорема Пифагора
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Прямоугольный треугольник и тригонометрия
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
Признаки равенства прямоугольных треугольников
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Медиана в прямоугольном треугольнике
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
- - медиана:
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по двум катетам:
- по катету и гипотенузе: или
- по катету и прилежащему острому углу: или
- по катету и противолежащему острому углу: или
- по гипотенузе и остром углу: или.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- одному острому углу: или
- из пропорциональности двух катетов:
- из пропорциональности катета и гипотенузы: или.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
- Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
- через катеты:
Средний уровень
Прямоугольный треугольник. Полный иллюстрированный гид (2019)
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.
В задачах прямой угол вовсе не обязательно - левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,
и в таком,
и в таком
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.
Внимание на рисунок!
Запомни и не путай: катетов - два, а гипотенуза - всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!
Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора.
Эта теорема - ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она - простая.
Итак, Теорема Пифагора:
Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?
Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Правда, похоже на какие - то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:
«Сумма площадей квадратов , построенных на катетах, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе».
Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.
Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора
А Пифагор мучился и рассуждал про площади?
Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей. Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:
Теперь уже должно быть легко:
| Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А почему же всё только про угол? Где же угол? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!
1.
Вообще-то звучит это так:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Резюме
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
|
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Теорема Пифагора
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно, . А площадь меньшего? Конечно, . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Прямоугольный треугольник и тригонометрия
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
Признаки равенства прямоугольных треугольников
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Медиана в прямоугольном треугольнике
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
- - медиана:
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по двум катетам:
- по катету и гипотенузе: или
- по катету и прилежащему острому углу: или
- по катету и противолежащему острому углу: или
- по гипотенузе и остром углу: или.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- одному острому углу: или
- из пропорциональности двух катетов:
- из пропорциональности катета и гипотенузы: или.
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
- Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
- Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
- Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
- Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
- через катеты: