>

Натуральные числа. Натуральный ряд чисел. Материал по математике "Числа. Натуральные числа"

1.1.Определение

Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами .

В наше время принята десятичная система записи чисел . В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Наименьшее натуральное число - это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры - 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.

1.2. Число «ноль»

Для обозначения отсутствия чего-либо используют число "ноль " или "нуль ". Его записывают при помощи цифры 0 (ноль). Например, в коробке все шары красные. Сколько среди них зеленых? - Ответ: ноль. Значит, зеленых шаров в коробке нет! Число 0 может означать, что что-то закончилось. Например, у Маши было 3 яблока. Двумя она поделилась с друзьями, одно съела сама. Значит, у неё осталось 0 (ноль) яблок, т.е. ни одного не осталось. Число 0 может означать, что что-то не случилось. Например, хоккейный матч Сборная России - Сборная Канады закончился со счетом 3:0 (читаем "три - ноль") в пользу сборной России. Значит, сборная России забила 3 гола, а сборная Канады 0 голов, не смогла забить ни одного гола. Надо помнить, что число ноль не является натуральным.

1.3. Запись натуральных чисел

В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.

Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом . Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно ). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью

38 001 102 987 000 128 425:

Классы и разряды

квинтиллионы

сотни квинтиллионов

десятки квинтиллионов

квинтиллионы

квадриллионы

сотни квадриллионов

десятки квадриллионов

квадриллионы

триллионы

сотни триллионов

десятки триллионов

триллионы

миллиарды

сотни миллиардов

десятки миллиардов

миллиарды

миллионы

сотни миллионов

десятки миллионов

миллионы

сотни тысяч

десятки тысяч

Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.

1.4. Разрядные единицы

Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы . Следующие числа называются разрядными единицами:

1 - разрядная единица разряда единиц,

10 - разрядная единица разряда десятков,

100 - разрядная единица разряда сотен,

1 000 - разрядная единица разряда тысяч,

10 000 - разрядная единица разряда десятков тысяч,

100 000 - разрядная единица разряда сотен тысяч,

1 000 000 - разрядная единица разряда миллионов, и т. д.

Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.

Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.

1.5. Сокращения в записи чисел

При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:

1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)

5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)

203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)

Блок 1.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В мире больших чисел

Экономика .

  1. Бюджет России на следующий год составит: 6328251684128 рублей.
  2. На этот год запланировано расходов: 5124983252134 рублей.
  3. Доходы страны превысили расходы на 1203268431094 рублей.

Вопросы и задания

  1. Прочитайте все три указанных числа
  2. Запишите цифры в классе миллионов каждого из трех чисел

  1. К какому разделу в каждом из чисел относится цифра, стоящая на седьмой позиции от конца записи чисел?
  2. Число каких разрядных единиц показывает цифра 2 в записи первого числа?... в записях второго и третьего числа?
  3. Назовите разрядную единицу для восьмой позиции от конца в записи трех чисел.

География (длина)

  1. Экваториальный радиус Земли: 6378245 м
  2. Длина окружности экватора: 40075696 м
  3. Наибольшая глубина мирового океана (Марианская впадина в Тихом океане) 11500 м

Вопросы и задания

  1. Переведите все три величины в сантиметры и прочитайте полученные числа.
  2. Для первого числа (в см) запишите цифры, стоящие разделах:

сотни тысяч _______

десятки миллионов _______

тысячи _______

миллиарды _______

сотни миллионов _______

  1. Для второго числа (в см) запишите разрядные единицы, соответствующие цифрам 4, 7, 5, 9 в записи числа

  1. Переведите третью величину в миллиметры, прочитайте полученное число.
  2. Для всех позиций в записи третьего числа (в мм) укажите в таблице разряды и разрядные единицы:

География (площадь)

  1. Площадь всей поверхности Земли составляет 510083 тысяч квадратных километров.
  2. Площадь поверхности сумм на Земле составляет 148628 тысяч квадратных километров.
  3. Площадь водной поверхности Земли составляет 361455 тысяч квадратных километров.

Вопросы и задания

  1. Переведите все три величины в квадратные метры и прочитайте полученные числа.
  2. Назовите классы и разряды, соответствующие отличным от нуля цифрам в записи этих чисел (в кв. м).
  3. В записи третьего числа (в кв. м) назовите разрядные единицы, соответствующие цифрам 1, 3, 4, 6.
  4. В двух записях второй величины (в кв. км. и кв. м) укажите, к каким разрядам относится цифра 2.
  5. Запишите разрядные единицы для цифры 2 в записях второй величины.

Блок 1.3. Диалог с компьютером.

Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Эстафета больших чисел


В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.

Строка 2 . Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 3 . Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 5 . Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.

Строка 6 . Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.

Строка 7 . Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.

Строка 8 . Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 9 . Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.

Строка 10 . Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.

Блок 1.5. Давайте поиграем

Зажги огонек

Игровое поле - это рисунок новогодней ёлки. На ней 24 лампочки. Но подключены к электросети только 12 из них. Чтобы выбрать подключённые лампы, надо верно ответить на вопросы словами «Да» или «Нет». Эту же игру можно выполнить на компьютере верный ответ «зажигает» лампочку.

  1. Верно ли, что цифры - это специальные знаки для записи натуральных чисел? (1 - да, 2 - нет)
  2. Верно ли, что число 0 -это наименьшее натуральное число? (3 - да, 4 - нет)
  3. Верно ли, что в позиционной системе счисления одна и та же цифра может обозначать различные числа? (5 - да, 6 - нет)
  4. Верно ли, что определенное место в десятичной записи чисел называется разрядом? (7 - да, 8 - нет)
  5. Дано число 543 384. Верно ли, что в нем число самых старших разрядных единиц равно 543, а самых младших 384? (9 - да, 10 - нет)
  6. Верно ли, что в классе миллиардов самая старшая из разрядных единиц - это сто миллиардов, а самая младшая - один миллиард? (11 - да, 12 - нет)
  7. Дано число 458 121. Верно ли, что сумма числа самых старших разрядных единиц и числа самых младших равна 5? (13 - да, 14 - нет)
  8. Верно ли, что самая старшая из разрядных единиц класса триллионов в миллион раз больше самой старшей из разрядных единиц класса миллионов? (15 - да, 16 - нет)
  9. Даны два числа 637 508 и 831. Верно ли, что самая старшая разрядная единица первого числа в 1000 раз больше самой старшей разрядной единицы второго числа? (17 - да, 18 - нет)
  10. Дано число 432. Верно ли, что самая старшая разрядная единица этого числа в 2 раза больше самой младшей? (19 - да, 20 - нет)
  11. Дано число 100 000 000. Верно ли, что в нем число разрядных единиц, составляющих 10 000, равно 1000? (21 - да, 22 - нет)
  12. Верно ли, что перед классом триллионов находится класс квадриллионов, а перед этим классом - класс квинтиллионов? (23 - да, 24 - нет)

1.6. Из истории чисел

С древних времен человек сталкивался с необходимостью подсчитывать количество вещей, сравнивать количества объектов (например, пять яблок, семь стрел…; в племени 20 мужчин и тридцать женщин, …). Была также необходимость устанавливать порядок внутри некоторого количества объектов. Например, на охоте первым идет вождь племени, вторым самый сильный воин племени и т.д. Для этих целей использовались числа. Для них были придуманы специальные названия. В речи они называются числительными: один, два, три и т. д. - это количественные числительные, а первый, второй, третий - порядковые числительные. Записывались числа при помощи специальных знаков - цифр.

Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления - это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком ~ (титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки - цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами - иероглифами:

Это египетский способ записи чисел. Это же число римскими цифрами: CDXXV (римский способ записи чисел) или десятичными цифрами 425 (десятичная система записи чисел). В двоичной системе записи оно выглядит так: 110101001 (двоичная или бинарная система записи чисел), а в восьмеричной - 651 (восьмеричная система записи чисел). В шестнадцатеричной системе счисления оно запишется: 1А9 (шестнадцатеричная система записи чисел). Можно поступить совсем просто: сделать, подобно Робинзону Крузо, четыреста двадцать пять зарубок (или штрихов) на деревянном столбе - IIIIIIIII …... IIII . Это самые первые изображения натуральных чисел.

Итак, в десятичной системе записи чисел (в десятичном способе записи чисел) используются арабские цифры. Это десять различных символов - цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . В двоичной - две двоичные цифры: 0, 1; в восьмеричной - восемь восьмеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадцатеричной - шестнадцать различных шестнадцатеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестидесятеричной (вавилонской) - шестьдесят различных символов - цифр и т.д.)

Десятичные цифры пришли в страны Европы из стран Ближнего Востока, Арабских стран. Отсюда название - арабские цифры . Но к арабам они попали из Индии, где были изобретены примерно в середине первого тысячелетия.

1.7. Римская система счисления

Одна из древних систем счисления, которая используется в наши дни, - это римская система. Приведем в таблице основные цифры римской системы счисления и соответствующие числа десятичной системы.

Римская цифра
C

50 пятьдесят

500 пятьсот

1000 тысяча

Римская система счисления является системой сложения. В ней в отличие от позиционных систем (например, десятичной) каждая цифра обозначает одно и то же число. Так, запись II - обозначает число два (1 + 1 = 2), запись III - число три (1 + 1 + 1 = 3), запись XXX - число тридцать (10 + 10 + 10 = 30) и т.д. Для записи чисел применяются следующие правила.

  1. Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VII - число семь (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII - число семнадцать (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL - число одна тысяча сто пятьдесят (1000 + 100 + 50 = 1150).
  2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IX - число девять (9 = 10 - 1), LM - число девятьсот пятьдесят (1000 - 50 = 950).

Для записи больших чисел приходится использовать (придумывать) новые символы - цифры. При этом записи чисел получаются громоздкими, производить вычисления с римскими цифрами очень сложно. Так год запуска первого искусственного спутника Земли (1957 г.) в римской записи имеет вид MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Чтение натуральных чисел

Эти задания проверяются при помощи карты с окружностями. Поясним ее применение. Выполнив все задания и найдя верные ответы (они обозначены буквами А, Б, В, и т.д.), наложите на карту лист прозрачной бумаги. Знаками «X» отметьте на нем правильные ответы, а также метку совмещения « + ». Затем наложите прозрачный лист на страницу так, чтобы совпали метки совмещения. Если все знаки «X» попали в серые кружочки на этой странице, значит, задания выполнены верно.

1.9. Порядок чтения натуральных чисел

При чтении натурального числа поступают следующим образом.

  1. Мысленно разбивают число на тройки (классы) справа - налево, с конца записи числа.
  1. Начиная с младшего класса, справа - налево (с конца записи числа) записывают названия классов: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.
  2. Читают число, начиная со старших классов. При этом называют число разрядных единиц и название класса.
  3. Если в разряде стоит ноль (разряд пуст), то его не называют. Если же все три разряда называемого класса - нули (разряды пусты), то данный класс не называется.

Прочтем (назовем) число, записанное в таблице (см.§1), согласно шагам 1 - 4. Мысленно разбиваем число 38001102987000128425 на классы справа - налево: 038 001 102 987 000 128 425. Укажем названия классов в этом числе, начиная с конца его записи: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы. Теперь можно прочитать число, начиная со старшего класса. Называем трехзначные, двузначные и однозначные числа, добавляя название соответствующего класса. Пустые классы не называем. Получаем следующее число:

  • 038 - тридцать восемь квинтиллионов
  • 001 - один квадриллион
  • 102 - сто два триллиона
  • 987 - девятьсот восемьдесят семь миллиардов
  • 000 - не называем (не читаем)
  • 128 - сто двадцать восемь тысяч
  • 425 - четыреста двадцать пять

В результате натуральное число 38 001 102 987 000 128 425 прочтем так: "тридцать восемь квинтиллионов один квадриллион сто два триллиона девятьсот восемьдесят семь миллиардов сто двадцать восемь тысяч четыреста двадцать пять".

1.9. Порядок записи натуральных чисел

Запись натуральных чисел выполняют в следующем порядке.

  1. Записывают по три цифры каждого класса, начиная со старшего класса до разряда единиц. При этом для старшего класса цифр может быть две или одна.
  2. Если класс или разряд не назван, то в соответствующих разрядах записывают нули.

Например, число двадцать пять миллионов триста два записано в виде: 25 000 302 (класс тысяч не назван, поэтому во всех разрядах класса тысяч записаны нули).

1.10. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Приведём пример: 7 563 429 - это десятичная запись числа семь миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи четыреста двадцать девять. Данное число содержит семь миллионов, пять сотен тысяч, шесть десятков тысяч, три тысячи, четыре сотни, два десятка и девять единиц. Его можно представить как сумму: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Такая запись называется представлением натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Блок 1.11. Давайте поиграем

Сокровища подземелья

На игровом поле рисунок к сказке Киплинга «Маугли». На пяти сундуках навесные замки. Чтобы открыть их, надо решить задачи. При этом, открыв деревянный сундук, вы получаете одно очко. Открыв оловянный сундук, получаете два очка, медный - три очка, серебряный - четыре, золотой - пять. Выигрывает тот, кто быстрее откроет все сундуки. Эту же игру можно выполнить на компьютере.

  1. Деревянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) находится в этом сундуке. Для этого надо найти общее число самых младших разрядных единиц класса миллионов для числа: 125308453231.

  1. Оловянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) в этом сундуке. Для этого в числе 12530845323 найдите число самых младших разрядных единиц класса единиц и число самых младших разрядных единиц класса миллионов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите число, стоящее в разряде десятков миллионов.

  1. Медный сундук

Чтобы найти деньги этого сундука (в тыс. рублей), надо в числе 751305432198203 найдите число самых младших разрядных единиц в классе триллионов и число самых младших единиц в классе миллиардов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите натуральные числа класса единиц этого числа в порядке их расположения.

  1. Серебряный сундук

Деньги этого сундука (в млн. рублей) покажет сумма двух чисел: числа самых младших разрядных единиц класса тысяч и средних разрядных единиц класса миллиардов для числа 481534185491502.

  1. Золотой сундук

Дано число 800123456789123456789. Если перемножить числа в самых старших разрядах всех классов этого числа, то получим деньги этого сундука в млн. рублей.

Блок 1.12. Установите соответствие

Запись натуральных чисел. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Каждому заданию в левой колонке подберите решение из правой колонки. Ответ запишите в виде: 1а; 2г; 3б…

Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать пять тысяч

Запишите цифрами число: пять миллиардов двадцать пять миллионов

Запишите цифрами число: пять триллионов двадцать пять

Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь

Запишите цифрами число: семьдесят семь триллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь

Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь

Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиарда четыреста пятьдесят шесть миллионов семьсот восемьдесят девять тысяч

Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять

Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать

Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать миллионов

Вариант 2

тридцать два миллиарда сто семьдесят пять миллионов двести девяносто восемь тысяч триста сорок один

100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: триста двадцать один миллион сорок один

30000000000 + 2000000000 +

100000000 + 70000000 + 5000000 +

200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 321000175298341

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 101010101

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 11111

300000000 + 20000000 + 1000000 +

5000000 + 300000 + 20000 + 1000

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 5000000 + 300 + 20 + 1

30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

10000000000 + 2000000000 + 100000000 +

10000000 + 9000000

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9

10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетный тест

Название теста происходит от слова «фасеточный глаз насекомых». Это сложный глаз, состоящий из отдельных «глазков». Задания фасетного теста образуются из отдельных элементов, обозначенных цифрами. Обычно фасетные тесты содержат большое число заданий. Но в этом тесте задач всего четыре, но они составляются из большого числа элементов. Это сделано для того, чтобы научить вас «собирать» задачи теста. Если вы сможете их составить, то легко справитесь с другими фасетными тестами.

Как составляются задачи, поясним на примере третьей задачи. Она составляется из элементов теста под номерами: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

«Если » 1) из таблицы взять цифры (цифру); 4) 7; 7) поместить её в разряд; 11) миллиардов; 1) из таблицы взять цифру; 5) 8; 7) поместить её в разряды; 9) десятки миллионов; 10) сотни миллионов; 16) сотни тысяч; 17) десятки тысяч; 22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6. 21) остальные разряды заполнить нулями; «ТО » 26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с); «Это число равно »: 7880889600 с. В ответах оно обозначено буквой «в».

Решая задачи, карандашом записывайте цифры в ячейки таблицы.

Фасетный тест. Составьте число

В таблице записаны цифры:

Если

1) из таблицы взять цифру (цифры):

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) поместить эту цифру (цифры) в разряд (разряды);

8) сотни квадриллионов и десятки квадриллионов;

9) десятки миллионов;

10) сотни миллионов;

11) миллиардов;

12) квинтиллионов;

13) десятки квинтиллионов;

14) сотни квинтиллионов;

15) триллионов;

16) сотен тысяч;

17) десятки тысяч;

18) заполнить ею (ими) класс (классы);

19) квинтиллионов;

20) миллиардов;

21) остальные разряды заполнить нулями;

22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6;

23) получим число, равное массе Земли в десятках тонн;

24) получим число, примерно равное объему Земли в куб.м;

25) получим число, равное расстоянию (в метрах) от Солнца до самой дальней планеты солнечной системы Плутона;

26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с);

Это число равно:

а) 5929000000000

б) 999990000000000000000

г) 598000000000000000000

Решите задачи:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Ответы

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - г

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - в

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703 , 881 , 13 , 333 , 1 023 , 7 , 500 001 . Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Определение 1

Записи вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не являются записями натуральных чисел, т.к. слева располагается цифра 0 .

Верная запись натурального числа, произведенная с учетом всех описанных требований, называется десятичной записью натурального числа .

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Представим некий предмет, например, такой: Ψ . Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: Ψ Ψ . Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет - 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».

Далее, по аналогии: Ψ Ψ Ψ – 3 предмета («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («четыре»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («пять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шесть»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («семь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («восемь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Определение 1

Если запись числа совпадает с записью цифры 0 , то такое число называют «нуль». Нуль - не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9) , мы используем один знак – одну цифру.

Определение 2

Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.

Однозначных натуральных чисел девять: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Определение 3

Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.

Например, натуральные числа 71 , 64 , 11 – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0 , то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их - 90 .

Определение 4

Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.

Например, 413 , 222 , 818 , 750 – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Определение 5

Одна сотня (1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0 , она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Определение 6

Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Число Мужской род Женский род Средний род

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Один
Два
Три
Четыре
Пять
Шесть
Семь
Восемь
Девять

Одна
Две
Три
Четыре
Пять
Шесть
Семь
Восемь
Девять

Одно
Два
Три
Четыре
Пять
Шесть
Семь
Восемь
Девять
Число Именительнный падеж Родительный падеж Дательный падеж Винительный падеж Творительный падеж Предложный падеж
1
2
3
4
5
6
7
8
9 		Один
Два
Три
Четыре
Пять
Шесть
Семь
Восемь
Девять 		Одного
Двух
Трех
Четырех
Пяти
Шести
Семи
Восьми
Девяти 		Одному
Двум
Трем
Четырем
Пяти
Шести
Семи
Восьми
Девяти 		Один
Два
Три
Четыре
Пять
Шесть
Семь
Восемь
Девять 		Одним
Двумя
Тремя
Четырьмя
Пятью
Шестью
Семью
Восьмью
Девятью 		Об одном
О двух
О трех
О четырех
О пять
О шести
О семи
О восьми
О девяти

Для грамотного прочтения и написания двузначных чисел, необходимо выучить данные таблицы 2:

Число

Мужской, женский и средний род
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90 		Десять
Одиннадцать
Двенадцать
Тринадцать
Четырнадцать
Пятнадцать
Шестнадцать
Семнадцать
Восемнадцать
Девятнадцать
Двадцать
Тридцать
Сорок
Пятьдесят
Шестьдесят
Семьдесят
Восемьдесят
Девяносто
Число Именительнный падеж Родительный падеж Дательный падеж Винительный падеж Творительный падеж Предложный падеж
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
60
70
80
90 		Десять
Одиннадцать
Двенадцать
Тринадцать
Четырнадцать
Пятнадцать
Шестнадцать
Семнадцать
Восемнадцать
Девятнадцать
Двадцать
Тридцать
Сорок
Пятьдесят
Шестьдесят
Семьдесят
Восемьдесят
Девяносто

Десяти
Одиннадцати
Двенадцати
Тринадцати
Четырнадцати
Пятнадцати
Шестнадцати
Семнадцати
Восемнадцати
Девятнадцати
Двадцати
Тридцати
Сорока
Пятидесяти
Шестидесяти
Семидесяти
Восьмидесяти
Девяноста

 Десяти
Одиннадцати
Двенадцати
Тринадцати
Четырнадцати
Пятнадцати
Шестнадцати
Семнадцати
Восемнадцати
Девятнадцати
Двадцати
Тридцати
Сорока
Пятидесяти
Шестидесяти
Семидесяти
Восьмидесяти
Девяноста 		Десять
Одиннадцать
Двенадцать
Тринадцать
Четырнадцать
Пятнадцать
Шестнадцать
Семнадцать
Восемнадцать
Девятнадцать
Двадцать
Тридцать
Сорок
Пятьдесят
Шестьдесят
Семьдесят
Восемьдесят
Девяносто 		Десятью
Одиннадцатью
Двенадцатью
Тринадцатью
Четырнадцатью
Пятнадцатью
Шестнадцатью
Семнадцатью
Восемнадцатью
Девятнадцатью
Двадцатью
Тридцатью
Сорока
Пятидесятью
Шестидесятью
Семидесятью
Восьмидесятью
Девяностью 		О десяти
Об одиннадцати
О двенадцати
О тринадцати
О четырнадцати
О пятнадцати
О шестнадцати
О семнадцати
О восемнадцати
О девятнадцати
О двадцати
О тридцати
О сорока
О пятидесяти
О шестидесяти
О семидесяти
О восьмидесяти
О девяноста

Для чтения прочих натуральных двузначных чисел будем использовать данные обеих таблиц, рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо прочитать натуральное двузначное число 21 . Это число содержит в себе 1 единицу и 2 десятка, т.е. 20 и 1 . Обратившись к таблицам, прочтем указанное число как «двадцать один», при этом союз «и» между словами произносить не нужно. Допустим, нам необходимо использовать указанное число 21 в некотором предложении, указывая на количество предметов в родительном падеже: «нет 21 яблока». Звучать в данном случае произношение будет следующим образом: «нет двадцати одного яблока».

Приведем для наглядности еще пример: число 76 , которое прочтется как «семьдесят шесть» и, к примеру – «семьюдесятью шестью тоннами».

Число Именительный падеж Родительный падеж Дательный падеж Винительный падеж Творительный падеж Предложный падеж
100
200
300
400
500
600
700
800
900 		Сто
Двести
Триста
Четыреста
Пятьсот
Шестьсот
Семьсот
Восемьсот
Девятьсот 		Ста
Двухсот
Трехсот
Четырехсот
Пятисот
Шестисот
Семисот
Восьмисот
Девятисот 		Ста
Двумстам
Тремстам
Четыремстам
Пятистам
Шестистам
Семистам
Восьмистам
Девятистам 		Сто
Двести
Триста
Четыреста
Пятьсот
Шестьсот
Семьсот
Восемьсот
Девятьсот 		Ста
Двумстами
Тремстами
Четыремстами
Пятистами
Шестистами
Семистами
Восьмистами
Девятистами 		О ста
О двухстах
О трехстах
О четырехстах
О пятистах
О шестистах
О семистах
О восьмистах
О девятистах

Чтобы полностью прочитать трехзначное число, также используем данные всех указанных таблиц. Например, дано натуральное число 305 . Данному числу соответствует 5 единиц, 0 десятков и 3 сотни: 300 и 5 . Взяв за основу таблицы, прочитаем: «триста пять» или в склонении по падежам, к примеру, так: «тремстам пяти метрам».

Прочтем еще одно число: 543 . Согласно правилам таблиц, звучать указанное число будет так: «пятьсот сорок три» или в склонении по падежам, к примеру, так: «нет пятисот сорока трех рублей».

Перейдем к общему принципу чтения многозначных натуральных чисел: чтобы прочесть многозначное число, необходимо разбить его справа налево в группы по три цифры, причем в крайней левой группе может быть 1 , 2 или 3 цифры. Такие группы называют классами.

Крайний правый класс – класс единиц; затем следующий класс, левее – класс тысяч; далее – класс миллионов; потом следует класс миллиардов, за ним - класс триллионов. Следующие классы также имеют название, но натуральные числа, состоящие из большого количества знаков (16 , 17 и более) редко используются на чтении, воспринимать их на слух довольно тяжело.

Для удобства восприятия записи классы отделяют друг от друга небольшим отступом. Например, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Класс
триллионов 		Класс
миллиардов 		Класс
миллионов 		Класс тысяч Класс единиц
134 678
31 013 736
23 476 009 434
2 533 467 001 222

Для прочтения многозначного числа называем по очереди числа, которые его составляют (слева направо по классам, добавляя название класса). Название класса единиц не произносится, а также не произносятся те классы, которые составляют три цифры 0 . Если в составе одного класса слева присутствуют одна или две цифры 0 , то они при прочтении не используются никак. К примеру, 054 прочтется как «пятьдесят четыре» или 001 – как «один».

Пример 1

Разберем подробно чтение числа 2 533 467 001 222:

Читаем число 2 , как составляющую класса триллионов – «два»;

Добавив название класса, получим: «два триллиона»;

Читаем следующее число, добавив название соответствующего класса: «пятьсот тридцать три миллиарда»;

Продолжаем по аналогии, зачитывая следующий класс правее: «четыреста шестьдесят семь миллионов»;

В следующем классе видим две цифры 0 , расположенные слева. Согласно вышеуказанным правилам чтения, цифры 0 отбрасываются и не участвуют в чтении записи. Тогда получим: «одна тысяча»;

Читаем последний класс единиц, не добавляя его название – «двести двадцать два».

Таким образом, число 2 533 467 001 222 будет звучать так: два триллиона пятьсот тридцать три миллиарда четыреста шестьдесят семь миллионов одна тысяча двести двадцать два. Используя указанный принцип, прочтем и прочие заданные числа:

31 013 736 – тридцать один миллион тринадцать тысяч семьсот тридцать шесть;

134 678 – сто тридцать четыре тысячи шестьсот семьдесят восемь;

23 476 009 434 – двадцать три миллиарда четыреста семьдесят шесть миллионов девять тысяч четыреста тридцать четыре.

Таким образом, основой правильного прочтения многозначных чисел является навык разбивать многозначное число на классы, знание соответствующих названий и понимание принципа прочтения двух- и трехзначных чисел.

Как уже становится понятно из всего вышесказанного, от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Т.е., например, цифра 3 в составе натурального числа 314 обозначает количество сотен, а именно – 3 сотни. Цифра 2 – количество десятков (1 десяток), а цифра 4 – количество единиц (4 единицы). При этом мы будем говорить, что цифра 4 находится в разряде единиц и является значением разряда единиц в заданном числе. Цифра 1 стоит в разряде десятков и служит значением разряда десятков. Цифра 3 располагается в разряде сотен и является значением разряда сотен.

Определение 7

Разряд – это позиция цифры в записи натурального числа, а также и значение этой цифры, которое определяется ее позицией в заданном числе.

Разряды имеют свои названия, мы уже использовали их выше. Справа налево следуют разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.

Для удобства запоминания можно использовать следующую таблицу (укажем 15 разрядов):

Уточним такую деталь: количество разрядов в заданном многозначном числе такое же, как количество знаков в составе записи числа. К примеру, данная таблица содержит названия всех разрядов для числа, в котором 15 знаков. Последующие разряды также имеют названия, но используются крайне редко и очень неудобны для восприятия на слух.

При помощи такой таблицы возможно наработать навык определения разряда, записывая заданное натуральное число в таблицу так, чтобы крайняя правая цифра была записана в разряде единиц и далее – в каждый разряд по цифре. К примеру, запишем многозначное натуральное число 56 402 513 674 так:

Обратите внимание на цифру 0 , находящуюся в разряде десятков миллионов – она означает отсутствие единиц данного разряда.

Введем также еще понятия низшего и высшего разрядов многозначного числа.

Определение 8

Низший (младший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд единиц.

Высший (старший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд, соответствующий крайней левой цифре в записи заданного числа.

Так, например, в числе 41 781: низший разряд – разряд единиц; высший разряд – разряд десятков тысяч.

Логически следует, что возможно говорить о старшинстве разрядов относительно друг друга. Каждый последующий разряд при движении слева направо ниже (младше) предыдущего. И наоборот: при движении справа налево каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. К примеру, разряд тысяч старше разряда сотен, но младше разряда миллионов.

Уточним, что при решении некоторых практических примеров используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых заданного числа.

Кратко о десятичной системе счисления

Определение 9

Система счисления – метод записи чисел при помощи знаков.

Позиционные системы счисления – такие, в которых значение цифры в составе числа зависит от ее позиции в записи числа.

Согласно данному определению, можно говорить о том, что, изучая выше натуральные числа и способ их записи, мы пользовались позиционной системой счисления. Особое место здесь играет число 10 . Счет мы ведем десятками: десять единиц составляют десяток, десяток десятков объединится в сотню и т.д. Число 10 служит основанием этой системы счисления, и саму систему также называют десятичной.

Помимо нее, существуют и прочие системы счисления. Например, информатика использует двоичную систему. Когда же мы ведем счет времени, то задействуем шестидесятеричную систему счисления.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд , который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

    Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

    За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

    Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

    Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

    Переместительное свойство: $a+b=b+a$

    Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

    Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

    Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

    От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

    Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

    Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

    Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

    Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

    Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

    Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

    Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

    Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

    Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

    Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

    При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

    При умножении на нуль произведение равно нулю

    Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

    Распределительное свойство умножения относительно сложения

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

    Например, $5(x+y)=5x+5y$

    Распределительное свойство умножение относительно вычитания

    $(a-b)\cdot c=ac-bc$

    Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

    Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

    Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

    Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

    Пример 1

    Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

    Решение : На основании указанного свойства,т.к. по условию $a

    в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

    Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

    Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

    Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число,заменяют нулями

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й класс единицы

1-й разряд единицы

2-й разряд десятки

3-й разряд сотни

2-й класс тысячи

1-й разряд единицы тысяч

2-й разряд десятки тысяч

3-й разряд сотни тысяч

3-й класс миллионы

1-й разряд единицы миллионов

2-й разряд десятки миллионов

3-й разряд сотни миллионов

4-й класс миллиарды

1-й разряд единицы миллиардов

2-й разряд десятки миллиардов

3-й разряд сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.

Основные свойства натуральных чисел.

  • Коммутативность сложения. a + b = b + a
  • Коммутативность умножения. ab = ba
  • Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Ассоциативность умножения.
  • Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Действия над натуральными числами.

4. Деление натуральных чисел - операция, обратная операции умножения.

Если b ∙ с = а , то

Формулы для деления:

а: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(а ∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(а ∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Числовые выражения и числовые равенства.

Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением .

Например, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами . У равенства есть левая и правая части.

Порядок выполнения арифметических действий.

Сложение и вычитание чисел - это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени.

Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.

Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени.

Когда в выражении есть скобки - сначала выполняют действия в скобках.

Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.