Μάθετε εάν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. Ισοτιμία συναρτήσεων

ακόμη και, εάν για όλα τα \(x\) από το πεδίο ορισμού του ισχύει το εξής: \(f(-x)=f(x)\) .

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα \(y\):

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=x^2+\cos x\) είναι άρτια, γιατί \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Καλείται η συνάρτηση \(f(x)\). Περιττός, εάν για όλα τα \(x\) από το πεδίο ορισμού του ισχύει το εξής: \(f(-x)=-f(x)\) .

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση:

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=x^3+x\) είναι περιττή επειδή \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Οι συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές ονομάζονται συναρτήσεις γενική εικόνα. Μια τέτοια συνάρτηση μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση \(f(x)=x^2-x\) είναι το άθροισμα της άρτιας συνάρτησης \(f_1=x^2\) και της περιττής \(f_2=-x\) .

\(\μαύρο τρίγωνο\) Μερικές ιδιότητες:

1) Το γινόμενο και το πηλίκο δύο συναρτήσεων της ίδιας ισοτιμίας - ομοιόμορφη λειτουργία.

2) Το γινόμενο και το πηλίκο δύο συναρτήσεων διαφορετικών ισοτιμιών είναι περιττή συνάρτηση.

3) Το άθροισμα και η διαφορά των άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

4) Άθροισμα και διαφορά περιττών συναρτήσεων - περιττών συναρτήσεων.

5) Εάν η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, τότε η εξίσωση \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) έχει μια μοναδική ρίζα αν και μόνο όταν \( x =0\) .

6) Εάν η \(f(x)\) είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση και η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει ρίζα \(x=b\), τότε αυτή η εξίσωση θα έχει αναγκαστικά μια δεύτερη ρίζα \(x =-b\) .

\(\μαύρο τρίγωνο\) Η συνάρτηση \(f(x)\) ονομάζεται περιοδική στο \(X\) αν για κάποιο αριθμό \(T\ne 0\) ισχύει το εξής: \(f(x)=f( x+T) \) , όπου \(x, x+T\σε X\) . Το μικρότερο \(T\) για το οποίο ικανοποιείται αυτή η ισότητα ονομάζεται κύρια (κύρια) περίοδος της συνάρτησης.

Μια περιοδική συνάρτηση έχει οποιονδήποτε αριθμό της μορφής \(nT\) , όπου το \(n\in \mathbb(Z)\) θα είναι επίσης τελεία.

Παράδειγμα: οποιοδήποτε τριγωνομετρική συνάρτησηείναι περιοδική?
για τις συναρτήσεις \(f(x)=\sin x\) και \(f(x)=\cos x\) η κύρια περίοδος είναι ίση με \(2\pi\), για τις συναρτήσεις \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) και \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) η κύρια περίοδος είναι ίση με \(\pi\) .

Για να κατασκευάσετε ένα γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης, μπορείτε να σχεδιάσετε το γράφημα της σε οποιοδήποτε τμήμα μήκους \(T\) (κύρια περίοδος). τότε η γραφική παράσταση ολόκληρης της συνάρτησης ολοκληρώνεται μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα κατά έναν ακέραιο αριθμό περιόδων δεξιά και αριστερά:

\(\blacktriangleright\) Ο τομέας \(D(f)\) της συνάρτησης \(f(x)\) είναι ένα σύνολο που αποτελείται από όλες τις τιμές του ορίσματος \(x\) για το οποίο έχει νόημα η συνάρτηση (ορίζεται).

Παράδειγμα: η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt x+1\) έχει έναν τομέα ορισμού: \(x\in

Εργασία 1 #6364

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Σε ποιες τιμές της παραμέτρου \(a\) κάνει η εξίσωση

έχει μια ενιαία λύση;

Σημειώστε ότι επειδή οι \(x^2\) και \(\cos x\) είναι ζυγές συναρτήσεις, εάν η εξίσωση έχει ρίζα \(x_0\) , θα έχει επίσης μια ρίζα \(-x_0\) .
Πράγματι, έστω \(x_0\) ρίζα, δηλαδή η ισότητα \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)σωστά. Ας αντικαταστήσουμε το \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Έτσι, αν \(x_0\ne 0\) , τότε η εξίσωση θα έχει ήδη τουλάχιστον δύο ρίζες. Επομένως, \(x_0=0\) . Επειτα:

Λάβαμε δύο τιμές για την παράμετρο \(a\) . Σημειώστε ότι χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το \(x=0\) είναι ακριβώς η ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Ποτέ όμως δεν χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι είναι ο μόνος. Επομένως, πρέπει να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες τιμές της παραμέτρου \(a\) στην αρχική εξίσωση και να ελέγξετε για ποιο συγκεκριμένο \(a\) η ρίζα \(x=0\) θα είναι πραγματικά μοναδική.

1) Αν \(a=0\) , τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \(2x^2=0\) . Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα \(x=0\) . Επομένως, η τιμή \(a=0\) μας ταιριάζει.

2) Εάν \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \ Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα \ Επειδή \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Οτι \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Κατά συνέπεια, οι τιμές της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης (*) ανήκουν στο τμήμα \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Εφόσον \(x^2\geqslant 0\) , τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (*) είναι μεγαλύτερη ή ίση με \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Έτσι, η ισότητα (*) μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ίσες με \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Και αυτό σημαίνει ότι \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(περιπτώσεις) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(περιπτώσεις) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Επομένως, η τιμή \(a=-\mathrm(tg)\,1\) μας ταιριάζει.

Απάντηση:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Εργασία 2 #3923

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες το γράφημα της συνάρτησης \

συμμετρικά ως προς την προέλευση.

Εάν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή, τότε μια τέτοια συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή, η \(f(-x)=-f(x)\) ισχύει για οποιοδήποτε \(x\) από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Έτσι, απαιτείται να βρεθούν εκείνες οι τιμές παραμέτρων για τις οποίες \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ευθυγραμμισμένο)\]

Η τελευταία εξίσωση πρέπει να ικανοποιηθεί για όλα τα \(x\) από τον τομέα του \(f(x)\) , επομένως, \(\sin(2\pi a)=0 \Δεξί βέλος a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Απάντηση:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Εργασία 3 #3069

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \ έχει 4 λύσεις, όπου \(f\) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση με περίοδο \(T=\dfrac(16)3\) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή , και \(f(x)=ax^2\) για \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Εργασία από συνδρομητές)

Εφόσον η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων, επομένως, όταν \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Έτσι, όταν \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), και αυτό είναι ένα τμήμα μήκους \(\dfrac(16)3\) , συνάρτησης \(f(x)=ax^2\) .

1) Έστω \(a>0\) . Τότε το γράφημα της συνάρτησης \(f(x)\) θα μοιάζει με αυτό:


Τότε, για να έχει η εξίσωση 4 λύσεις, είναι απαραίτητο η γραφική παράσταση \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) να περάσει από το σημείο \(A\) :


Ως εκ τούτου, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( συγκεντρώθηκαν)\σωστά.\]Εφόσον \(a>0\) , τότε το \(a=\dfrac(18)(23)\) είναι κατάλληλο.

2) Έστω \(α<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Είναι απαραίτητο το γράφημα \(g(x)\) να περάσει από το σημείο \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(στοίχιση) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(στοίχιση) \end(συγκεντρώθηκε)\δεξιά.\]Εφόσον \(α<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Η περίπτωση που το \(a=0\) δεν είναι κατάλληλο, αφού τότε \(f(x)=0\) για όλα τα \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) και το η εξίσωση θα έχει μόνο 1 ρίζα.

Απάντηση:

\(a\in \αριστερά\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Εργασία 4 #3072

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές του \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

(Εργασία από συνδρομητές)

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) και \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) είναι άρτια και έχει ελάχιστο σημείο \(x=0\) (και \(g(0)=49\) ).
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) είναι φθίνουσα και για \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Πράγματι, όταν \(x>0\) η δεύτερη ενότητα θα ανοίξει θετικά (\(|x|=x\) ), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς θα ανοίξει η πρώτη ενότητα, το \(f(x)\) θα είναι ίσο σε \( kx+A\) , όπου \(A\) είναι η έκφραση του \(a\) , και \(k\) ισούται είτε με \(-9\) είτε \(-3\) . Όταν \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Ας βρούμε την τιμή του \(f\) στο μέγιστο σημείο: \

Για να έχει η εξίσωση τουλάχιστον μία λύση, είναι απαραίτητο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Επομένως, χρειάζεστε: \ \\]

Απάντηση:

\(a\in \(-7\)\κύπελλο\)

Εργασία 5 #3912

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει έξι διαφορετικές λύσεις.

Ας κάνουμε την αντικατάσταση \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \ Σταδιακά θα γράψουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η αρχική εξίσωση θα έχει έξι λύσεις.
Σημειώστε ότι η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) μπορεί να έχει το πολύ δύο λύσεις. Οποιαδήποτε κυβική εξίσωση \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Επομένως, εάν η εξίσωση \((*)\) έχει δύο διαφορετικές λύσεις (θετική!, αφού το \(t\) πρέπει να είναι μεγαλύτερο από μηδέν) \(t_1\) και \(t_2\) , τότε κάνοντας την αντίστροφη αντικατάσταση , παίρνουμε: \[\αριστερά[\αρχή(συγκέντρωσε)\αρχή(στοίχιση) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά.\]Εφόσον οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(\sqrt2\) σε κάποιο βαθμό, για παράδειγμα, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), τότε η πρώτη εξίσωση του συνόλου θα ξαναγραφεί στη φόρμα \ Όπως έχουμε ήδη πει, οποιαδήποτε κυβική εξίσωση δεν έχει περισσότερες από τρεις λύσεις, επομένως, κάθε εξίσωση στο σύνολο δεν θα έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το σετ δεν θα έχει περισσότερες από έξι λύσεις.
Αυτό σημαίνει ότι για να έχει έξι λύσεις η αρχική εξίσωση, η δευτεροβάθμια εξίσωση \((*)\) πρέπει να έχει δύο διαφορετικές λύσεις και κάθε κυβική εξίσωση που προκύπτει (από το σύνολο) πρέπει να έχει τρεις διαφορετικές λύσεις (και όχι μία λύση του μία εξίσωση πρέπει να συμπίπτει με οποιαδήποτε -με απόφαση της δεύτερης!)
Προφανώς, αν η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) έχει μία λύση, τότε δεν θα πάρουμε έξι λύσεις στην αρχική εξίσωση.

Έτσι, το σχέδιο λύσης γίνεται σαφές. Ας γράψουμε σημείο προς σημείο τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται.

1) Για να έχει δύο διαφορετικές λύσεις η εξίσωση \((*)\), η διάκρισή της πρέπει να είναι θετική: \

2) Είναι επίσης απαραίτητο και οι δύο ρίζες να είναι θετικές (αφού \(t>0\) ). Αν το γινόμενο δύο ριζών είναι θετικό και το άθροισμά τους θετικό, τότε οι ίδιες οι ρίζες θα είναι θετικές. Επομένως, χρειάζεστε: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Έτσι, έχουμε ήδη εφοδιαστεί με δύο διαφορετικές θετικές ρίζες \(t_1\) και \(t_2\) .

3) Ας δούμε αυτή την εξίσωση \ Για ποιο \(t\) θα έχει τρεις διαφορετικές λύσεις;
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Μπορεί να παραγοντοποιηθεί: \ Επομένως, τα μηδενικά του είναι: \(x=-1;2\) .
Αν βρούμε την παράγωγο \(f"(x)=3x^2-6x\) , τότε παίρνουμε δύο ακραία σημεία \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Επομένως, το γράφημα μοιάζει με αυτό:


Βλέπουμε ότι οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή \(y=k\) , όπου \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)είχε τρεις διαφορετικές λύσεις, είναι απαραίτητο να \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Έτσι, χρειάζεστε: \[\αρχή(περιπτώσεις) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Ας σημειώσουμε επίσης αμέσως ότι εάν οι αριθμοί \(t_1\) και \(t_2\) είναι διαφορετικοί, τότε οι αριθμοί \(\log_(\sqrt2)t_1\) και \(\log_(\sqrt2)t_2\) θα είναι διαφορετικό, που σημαίνει τις εξισώσεις \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Και \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)θα έχει διαφορετικές ρίζες.
Το σύστημα \((**)\) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: \[\αρχή(περιπτώσεις) 1

Έτσι, προσδιορίσαμε ότι και οι δύο ρίζες της εξίσωσης \((*)\) πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\) . Πώς γράφεται αυτή η συνθήκη;
Δεν θα γράψουμε ρητά τις ρίζες.
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, η οποία έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα x (αυτή τη συνθήκη την καταγράψαμε στην παράγραφο 1)). Πώς πρέπει να μοιάζει η γραφική παράσταση του ώστε τα σημεία τομής με τον άξονα x να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\); Ετσι:


Πρώτον, οι τιμές \(g(1)\) και \(g(4)\) της συνάρτησης στα σημεία \(1\) και \(4\) πρέπει να είναι θετικές και, δεύτερον, η κορυφή του Η παραβολή \(t_0\ ) πρέπει επίσης να βρίσκεται στο διάστημα \((1;4)\) . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα: \[\begin(περιπτώσεις) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4Το \(a\) έχει πάντα τουλάχιστον μία ρίζα \(x=0\) . Αυτό σημαίνει ότι για να εκπληρωθούν οι συνθήκες του προβλήματος είναι απαραίτητο η εξίσωση \

είχε τέσσερις διαφορετικές ρίζες, διαφορετικές από το μηδέν, που αντιπροσωπεύουν, μαζί με το \(x=0\), μια αριθμητική πρόοδο.

Σημειώστε ότι η συνάρτηση \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) είναι άρτια, πράγμα που σημαίνει ότι αν \(x_0\) είναι η ρίζα της εξίσωσης \( (*)\ ) , τότε \(-x_0\) θα είναι επίσης η ρίζα του. Τότε είναι απαραίτητο οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι αριθμοί διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά: \(-2d, -d, d, 2d\) (τότε \(d>0\)). Τότε είναι που αυτοί οι πέντε αριθμοί θα σχηματίσουν μια αριθμητική πρόοδο (με τη διαφορά \(d\)).

Για να είναι αυτές οι ρίζες οι αριθμοί \(-2d, -d, d, 2d\) , είναι απαραίτητο οι αριθμοί \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) να είναι οι ρίζες του η εξίσωση \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) και \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) έχει μέγιστο σημείο \(x=0\) (και \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Μηδενική παράγωγος: \(x=0\) . Όταν \(x<0\) имеем: \(g">0\) , για \(x>0\) : \(g"<0\) .
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) αυξάνεται και για \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Πράγματι, όταν \(x>0\) η πρώτη ενότητα θα ανοίξει θετικά (\(|x|=x\)), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς θα ανοίξει η δεύτερη ενότητα, το \(f(x)\) θα είναι ίσο σε \( kx+A\) , όπου \(A\) είναι η έκφραση του \(a\) , και \(k\) ισούται με \(13-10=3\) ή \(13+10 =23\) . Όταν \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Ας βρούμε την τιμή του \(f\) στο ελάχιστο σημείο: \

Για να έχει η εξίσωση τουλάχιστον μία λύση, είναι απαραίτητο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Επομένως, χρειάζεστε: \ Επιλύοντας αυτό το σύνολο συστημάτων, παίρνουμε την απάντηση: \\]

Απάντηση:

\(a\σε \(-2\)\κύπελλο\)

Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε γραφικό χαρτί ή μια αριθμομηχανή γραφικών. Επιλέξτε οποιονδήποτε αριθμό ανεξάρτητων τιμών μεταβλητών x (\displaystyle x)και συνδέστε τα στη συνάρτηση για να υπολογίσετε τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y (\displaystyle y). Σχεδιάστε τις ευρεθείσες συντεταγμένες των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και, στη συνέχεια, συνδέστε αυτά τα σημεία για να δημιουργήσετε ένα γράφημα της συνάρτησης.

• Αντικαταστήστε τις θετικές αριθμητικές τιμές στη συνάρτηση x (\displaystyle x)και αντίστοιχες αρνητικές αριθμητικές τιμές. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης . Αντικαταστήστε τις παρακάτω τιμές σε αυτό x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (− 1 , 3) ​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Συναρτήσεις μηδενικά
Το μηδέν μιας συνάρτησης είναι η τιμή Χ, στο οποίο η συνάρτηση γίνεται 0, δηλαδή f(x)=0.

Μηδενικά είναι τα σημεία τομής του γραφήματος της συνάρτησης με τον άξονα Ω.

Ισοτιμία συναρτήσεων
Μια συνάρτηση καλείται έστω και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού ισχύει η ισότητα f(-x) = f(x).

Μια άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα OU

Συνάρτηση περιττής ισοτιμίας
Μια συνάρτηση λέγεται περιττή εάν υπάρχει Χαπό το πεδίο ορισμού ισχύει η ισότητα f(-x) = -f(x).

Μια περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
Μια συνάρτηση που δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή ονομάζεται γενική συνάρτηση.

Αύξηση της λειτουργίας
Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι αυξάνεται εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης, δηλ.

Φθίνουσα συνάρτηση
Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται φθίνουσα εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης, δηλ.

Τα διαστήματα κατά τα οποία η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε μόνο αυξάνεται καλούνται διαστήματα μονοτονίας. Η συνάρτηση f(x) έχει 3 διαστήματα μονοτονίας:

Βρείτε διαστήματα μονοτονίας χρησιμοποιώντας την υπηρεσία Διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης

Τοπικό μέγιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό μέγιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό την γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ανισότητα: f(x 0) > f(x)

Τοπικό ελάχιστο
Τελεία x 0ονομάζεται τοπικό ελάχιστο σημείο εάν υπάρχει Χαπό την γειτονιά ενός σημείου x 0ισχύει η ανισότητα: f(x 0)< f(x).

Τα τοπικά μέγιστα σημεία και τα τοπικά ελάχιστα σημεία ονομάζονται τοπικά ακραία σημεία.

τοπικά ακραία σημεία.

Συχνότητα λειτουργίας
Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται περιοδική, με περίοδο Τ, εάν υπάρχει Χισχύει η ισότητα f(x+T) = f(x).

Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου
Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι είτε μόνο θετική είτε μόνο αρνητική ονομάζονται διαστήματα σταθερού πρόσημου.

Συνέχεια λειτουργίας
Μια συνάρτηση f(x) ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο x 0 αν το όριο της συνάρτησης ως x → x 0 είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, δηλ. .

Ορια ΑΝΤΟΧΗΣ
Τα σημεία στα οποία παραβιάζεται η συνθήκη συνέχειας ονομάζονται σημεία διακοπής λειτουργίας.

x 0- σημείο διακοπής.

Γενικό σχήμα σχεδίασης γραφημάτων συναρτήσεων

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Δ(υ).

2. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων με τους άξονες συντεταγμένων.

3. Εξετάστε τη συνάρτηση για άρτιο ή περιττό.

4. Εξετάστε τη συνάρτηση για περιοδικότητα.

5. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας και ακραία σημεία της συνάρτησης.

6. Βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της συνάρτησης.

7. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης.

8. Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης κατασκευάστε ένα γράφημα.

Παράδειγμα:Εξερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε την: y = x 3 – 3x

1) Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι D(y) = (-∞; +∞).

2) Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων:

με τον άξονα OX: λύστε την εξίσωση x 3 – 3x = 0

με άξονα OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Βρείτε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι περιττή.

4) Η συνάρτηση είναι μη περιοδική.

5) Ας βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακραία σημεία της συνάρτησης: y’ = 3x 2 - 3.

Κρίσιμα σημεία: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και τα σημεία καμπής της συνάρτησης: y’’ = 6x

Κρίσιμα σημεία: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Η συνάρτηση είναι συνεχής, δεν έχει ασύμπτωτες.

8) Με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης, θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης.

Η εξάρτηση μιας μεταβλητής y από μια μεταβλητή x, στην οποία κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y ονομάζεται συνάρτηση. Για τον προσδιορισμό χρησιμοποιήστε τον συμβολισμό y=f(x). Κάθε συνάρτηση έχει μια σειρά από βασικές ιδιότητες, όπως μονοτονία, ισοτιμία, περιοδικότητα και άλλες.

Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στην ιδιότητα ισοτιμίας.

Μια συνάρτηση y=f(x) καλείται ακόμα κι αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

2. Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x, που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πρέπει να είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο -x. Δηλαδή, για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = f(-x).

Γράφημα άρτιας συνάρτησης

Εάν σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας άρτιας συνάρτησης, θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^2 είναι άρτια. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Επομένως f(x) = f(-x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^2.

Το σχήμα δείχνει ότι το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.

Γράφημα περιττής συνάρτησης

Μια συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται περιττή αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

1. Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το σημείο Ο. Δηλαδή, εάν κάποιο σημείο a ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε το αντίστοιχο σημείο -a πρέπει επίσης να ανήκει στο πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης.

2. Για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = -f(x).

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς το σημείο Ο - την αρχή των συντεταγμένων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^3 είναι περιττή. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Επομένως f(x) = -f(x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^3.

Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι η περιττή συνάρτηση y=x^3 είναι συμμετρική ως προς την αρχή.