Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε γραφικό χαρτί ή μια αριθμομηχανή γραφικών. Επιλέξτε οποιονδήποτε αριθμό αριθμητικών τιμών για την ανεξάρτητη μεταβλητή x (\displaystyle x) και συνδέστε τις στη συνάρτηση για να υπολογίσετε τις τιμές για την εξαρτημένη μεταβλητή y (\displaystyle y). Να σχεδιάσετε τις ευρεθείσες συντεταγμένες των σημείων επίπεδο συντεταγμένωνκαι, στη συνέχεια, συνδέστε αυτά τα σημεία για να γράψετε τη συνάρτηση.
- Αντικαταστήστε τις θετικές αριθμητικές τιμές x (\displaystyle x) και τις αντίστοιχες αρνητικές αριθμητικές τιμές στη συνάρτηση. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης . Αντικαταστήστε το παρακάτω τιμές x (\displaystyle x):
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ στυλ εμφάνισης (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Πήραμε έναν βαθμό με συντεταγμένες (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Πήραμε ένα σημείο με συντεταγμένες (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Ελέγξτε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Υ Με τον όρο συμμετρία εννοούμε την κατοπτρική εικόνα της γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα y. Εάν το τμήμα του γραφήματος στα δεξιά του άξονα Υ (θετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής) είναι το ίδιο με το τμήμα του γραφήματος στα αριστερά του άξονα Υ (αρνητικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής ), το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Υ Εάν η συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y, η συνάρτηση είναι άρτια.
- Μπορείτε να ελέγξετε τη συμμετρία του γραφήματος χρησιμοποιώντας μεμονωμένα σημεία. Εάν η τιμή του y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) ταιριάζει με την τιμή του y (\displaystyle y) που ταιριάζει με την τιμή του − x (\displaystyle -x) , η συνάρτηση είναι άρτια. Στο παράδειγμά μας με τη συνάρτηση f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) πήραμε τις παρακάτω συντεταγμένες των σημείων:
- (1.3) και (-1.3)
- (2.9) και (-2.9)
- Σημειώστε ότι για x=1 και x=-1 η εξαρτημένη μεταβλητή είναι y=3, και για x=2 και x=-2 η εξαρτημένη μεταβλητή είναι y=9. Έτσι η συνάρτηση είναι άρτια. Στην πραγματικότητα, για να προσδιορίσετε με ακρίβεια τη μορφή της συνάρτησης, πρέπει να λάβετε υπόψη περισσότερα από δύο σημεία, αλλά η περιγραφόμενη μέθοδος είναι μια καλή προσέγγιση.
Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή.
- Η αρχή είναι το σημείο με συντεταγμένες (0,0). Η συμμετρία σχετικά με την αρχή σημαίνει ότι μια θετική τιμή y (για μια θετική τιμή x) αντιστοιχεί σε μια αρνητική τιμή y (για μια αρνητική τιμή x) και αντίστροφα. Οι περιττές συναρτήσεις έχουν συμμετρία ως προς την προέλευση. Αν αντικαταστήσουμε πολλά θετικά και αντίστοιχααρνητικές τιμές
- x (\displaystyle x), οι τιμές του y (\displaystyle y) θα διαφέρουν ως προς το πρόσημο. Για παράδειγμα, δίνεται μια συνάρτηση f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Αντικαταστήστε πολλές τιμές του x (\displaystyle x) σε αυτό:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Πήραμε βαθμό με συντεταγμένες (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Λάβαμε πόντο με συντεταγμένες (-2,-10).
Έτσι, f(x) = -f(-x), δηλαδή η συνάρτηση είναι περιττή.
- Ελέγξτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει συμμετρία.
- Ο τελευταίος τύπος συνάρτησης είναι μια συνάρτηση της οποίας το γράφημα δεν έχει συμμετρία, δηλαδή δεν υπάρχει κατοπτρική εικόνα τόσο σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων όσο και σε σχέση με την αρχή. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης .
- Αντικαταστήστε πολλές θετικές και αντίστοιχες αρνητικές τιμές του x (\displaystyle x) στη συνάρτηση:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Πήραμε βαθμό με συντεταγμένες (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Πήραμε βαθμό με συντεταγμένες (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Πήραμε βαθμό με συντεταγμένες (2,10).
- Σημειώστε ότι η συνάρτηση f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) μπορεί να γραφτεί ως εξής: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Όταν γράφεται με αυτή τη μορφή, η συνάρτηση εμφανίζεται ακόμη και επειδή υπάρχει ένας ζυγός εκθέτης. Αλλά αυτό το παράδειγμα αποδεικνύει ότι ο τύπος της συνάρτησης δεν μπορεί να προσδιοριστεί γρήγορα εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή περικλείεται σε παρένθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες και να αναλύσετε τους ληφθέντες εκθέτες.
Η ομοιότητα και η περίεργη συνάρτηση είναι μία από τις κύριες ιδιότητές της και η ισοτιμία καταλαμβάνει ένα εντυπωσιακό μέρος σχολικό μάθημαστα μαθηματικά. Καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη συμπεριφορά της συνάρτησης και διευκολύνει πολύ την κατασκευή του αντίστοιχου γραφήματος.
Ας προσδιορίσουμε την ισοτιμία της συνάρτησης. Σε γενικές γραμμές, η υπό μελέτη συνάρτηση θεωρείται ακόμη και αν για αντίθετες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (x) που βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της, οι αντίστοιχες τιμές της y (συνάρτησης) αποδειχθούν ίσες.
Ας δώσουμε έναν πιο αυστηρό ορισμό. Θεωρήστε κάποια συνάρτηση f (x), η οποία ορίζεται στο πεδίο ορισμού D. Θα είναι άρτιο αν για οποιοδήποτε σημείο x βρίσκεται στο πεδίο ορισμού:
- -x (απέναντι σημείο) βρίσκεται επίσης σε αυτό το πεδίο,
- f(-x) = f(x).
Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει η απαραίτητη προϋπόθεση για το πεδίο ορισμού μιας τέτοιας συνάρτησης, δηλαδή η συμμετρία ως προς το σημείο Ο, που είναι η αρχή των συντεταγμένων, αφού αν κάποιο σημείο b περιέχεται στο πεδίο ορισμού μιας άρτιας συνάρτηση, τότε το αντίστοιχο σημείο b βρίσκεται επίσης σε αυτό το πεδίο. Από τα παραπάνω λοιπόν προκύπτει το συμπέρασμα: η άρτια συνάρτηση έχει μορφή συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων (Oy).
Πώς να προσδιορίσετε την ισοτιμία μιας συνάρτησης στην πράξη;
Αφήστε το να προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο h(x)=11^x+11^(-x). Ακολουθώντας τον αλγόριθμο που προκύπτει απευθείας από τον ορισμό, εξετάζουμε πρώτα το πεδίο ορισμού του. Προφανώς, ορίζεται για όλες τις τιμές του ορίσματος, δηλαδή πληρούται η πρώτη συνθήκη.
Το επόμενο βήμα είναι να αντικαταστήσετε την αντίθετη τιμή (-x) για το όρισμα (x).
Παίρνουμε:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Εφόσον η πρόσθεση ικανοποιεί τον μεταθετικό (μεταθετικό) νόμο, είναι προφανές ότι h(-x) = h(x) και η δεδομένη συναρτησιακή εξάρτηση είναι άρτια.
Ας ελέγξουμε την ισοτιμία της συνάρτησης h(x)=11^x-11^(-x). Ακολουθώντας τον ίδιο αλγόριθμο, παίρνουμε ότι h(-x) = 11^(-x) -11^x. Βγάζοντας το μείον, στο τέλος έχουμε
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Επομένως, το h(x) είναι περιττό.
Παρεμπιπτόντως, πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με αυτά τα κριτήρια, δεν ονομάζονται ούτε ζυγές ούτε περιττές.
Ακόμη και οι συναρτήσεις έχουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες:
- ως αποτέλεσμα της προσθήκης παρόμοιων συναρτήσεων, παίρνουν άρτια.
- Ως αποτέλεσμα της αφαίρεσης τέτοιων συναρτήσεων, προκύπτει ένα άρτιο.
- ακόμη, επίσης άρτιος?
- Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο τέτοιων συναρτήσεων, προκύπτει μια άρτια.
- ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού περιττών και ζυγών συναρτήσεων, προκύπτει ένα περιττό.
- ως αποτέλεσμα της διαίρεσης περιττών και ζυγών συναρτήσεων, προκύπτει μια περιττή.
- η παράγωγος μιας τέτοιας συνάρτησης είναι περιττή.
- Αν τετραγωνίσετε μια περιττή συνάρτηση, θα πάρετε μια άρτια.
Η ισοτιμία μιας συνάρτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση εξισώσεων.
Για να λύσουμε μια εξίσωση όπως g(x) = 0, όπου η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι άρτια συνάρτηση, θα είναι αρκετά αρκετό να βρούμε τις λύσεις της για μη αρνητικές τιμές της μεταβλητής. Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να συνδυαστούν με τους αντίθετους αριθμούς. Ένα από αυτά υπόκειται σε επαλήθευση.
Αυτό χρησιμοποιείται επίσης με επιτυχία για την επίλυση μη τυπικών προβλημάτων με μια παράμετρο.
Για παράδειγμα, υπάρχει κάποια τιμή της παραμέτρου a για την οποία η εξίσωση 2x^6-x^4-ax^2=1 θα έχει τρεις ρίζες;
Αν λάβουμε υπόψη ότι η μεταβλητή εισέρχεται στην εξίσωση σε ζυγές δυνάμεις, τότε είναι σαφές ότι αντικαθιστώντας το x με - x δεδομένη εξίσωσηδεν θα αλλάξει. Από αυτό προκύπτει ότι αν ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι η ρίζα του, τότε ο αντίθετος αριθμός είναι και η ρίζα. Το συμπέρασμα είναι προφανές: οι ρίζες μιας εξίσωσης που είναι διαφορετικές από το μηδέν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεών της «σε ζεύγη».
Είναι σαφές ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν είναι 0, δηλαδή, ο αριθμός των ριζών μιας τέτοιας εξίσωσης μπορεί να είναι μόνο ζυγός και, φυσικά, για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου δεν μπορεί να έχει τρεις ρίζες.
Αλλά ο αριθμός των ριζών της εξίσωσης 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 μπορεί να είναι περιττός, και για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου. Πράγματι, είναι εύκολο να ελέγξετε ότι το σύνολο των ριζών δεδομένη εξίσωσηπεριέχει διαλύματα σε ζεύγη. Ας ελέγξουμε αν το 0 είναι ρίζα. Όταν το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση, παίρνουμε 2=2. Έτσι, εκτός από τα «ζευγάρικα», το 0 είναι και ρίζα, που αποδεικνύει τον περιττό αριθμό τους.
Μια συνάρτηση λέγεται άρτια (περιττή) αν για οποιαδήποτε και η ισότητα 
.
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα 
.
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
Παράδειγμα 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Εξετάστε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
Διάλυμα 
1) Η συνάρτηση ορίζεται όταν 
.
. Θα βρούμε 
Εκείνοι. . Μέσα,αυτή τη λειτουργία
είναι άρτιος. 
. Θα βρούμε 
2) Η συνάρτηση ορίζεται όταν
. Επομένως, αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
,
. Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Ας το ονομάσουμε συνάρτηση γενικής μορφής.
Λειτουργία 
ονομάζεται αύξηση (μείωση) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν σε αυτό το διάστημα το καθένα υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.
Οι συναρτήσεις που αυξάνονται (μειώνονται) σε ένα ορισμένο διάστημα ονομάζονται μονοτονικές.
Εάν η συνάρτηση 
διαφοροποιήσιμο στο διάστημα 
και έχει θετική (αρνητική) παράγωγο 
, μετά η συνάρτηση 
αυξάνεται (μειώνεται) σε αυτό το διάστημα.
Παράδειγμα 6.3. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας συναρτήσεων
1)
;
3)
.
Εξετάστε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
1) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ας βρούμε την παράγωγο.
Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν αν 
Και 
. Το πεδίο ορισμού είναι ο αριθμητικός άξονας, διαιρούμενος με τελείες 
,
κατά διαστήματα. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε διάστημα.
Στο μεσοδιάστημα 
η παράγωγος είναι αρνητική, η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
Στο μεσοδιάστημα 
η παράγωγος είναι θετική, επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
2) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται εάν 
ή
.
Προσδιορίζουμε το πρόσημο του τετραγωνικού τριωνύμου σε κάθε διάστημα.
Έτσι, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Ας βρούμε την παράγωγο 
,
, Αν 
, δηλ. 
, Αλλά 
. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα 
.
Στο μεσοδιάστημα 
η παράγωγος είναι αρνητική, επομένως, η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα 
. Στο μεσοδιάστημα 
η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα 
.
Τελεία 
ονομάζεται μέγιστο (ελάχιστο) σημείο της συνάρτησης 
, αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου 
αυτό είναι για όλους 
από αυτή τη γειτονιά ισχύει η ανισότητα 
.
Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται ακραία σημεία.
Εάν η συνάρτηση 
στο σημείο 
έχει ακρότατο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη άκρου).
Τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα.
5. Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου.Κανόνας 1. Εάν κατά τη μετάβαση (από αριστερά προς τα δεξιά) μέσω του κρίσιμου σημείου 
παραγωγό 
αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», μετά στο σημείο 
λειτουργία 
έχει μέγιστο? εάν από "-" σε "+", τότε το ελάχιστο. Αν 
δεν αλλάζει πρόσημο, τότε δεν υπάρχει ακραίο.
Κανόνας 2. Αφήστε στο σημείο 
πρώτη παράγωγος συνάρτησης 
ίσο με μηδέν 
, και η δεύτερη παράγωγος υπάρχει και είναι διαφορετική από το μηδέν. Αν 
, Αυτό 
– μέγιστο σημείο, εάν 
, Αυτό 
– ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
Παράδειγμα 6.4. Εξερευνήστε τις μέγιστες και ελάχιστες λειτουργίες:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Διάλυμα.
1) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα 
.
Ας βρούμε την παράγωγο 
και λύνουμε την εξίσωση 
, δηλ. 
.Από εδώ 
– κρίσιμα σημεία.
Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα, 
.
Κατά τη διέλευση από σημεία 
Και 
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «–» σε «+», επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα 1 
– ελάχιστοι βαθμοί.
Όταν διέρχεται από ένα σημείο 
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», έτσι 
– μέγιστο σημείο.
,
.
2) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα 
. Ας βρούμε την παράγωγο 
.
Έχοντας λύσει την εξίσωση 
, θα βρούμε 
Και 
– κρίσιμα σημεία. Αν ο παρονομαστής 
, δηλ. 
, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει. Ετσι, 
– τρίτο κρίσιμο σημείο. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου κατά διαστήματα.
Επομένως, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο στο σημείο 
, μέγιστο σε πόντους 
Και 
.
3) Μια συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής αν 
, δηλ. στο 
.
Ας βρούμε την παράγωγο 
.
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία: 
Γειτονιές σημείων 
δεν ανήκουν στον τομέα του ορισμού, επομένως δεν είναι ακραίες. Ας εξετάσουμε λοιπόν τα κρίσιμα σημεία 
Και 
.
4) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα 
. Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα 2. Βρείτε την παράγωγο 
.
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:
Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο 
και προσδιορίστε το πρόσημο του στα σημεία 
Σε σημεία 
η λειτουργία έχει ένα ελάχιστο.
Σε σημεία 
η συνάρτηση έχει μέγιστο.
Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;
Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.
Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας απλός κώδικαςμπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.
Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.
Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.
Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.
Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.