Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων γεγονότων στον χώρο του δείγματος ισούται με 1.Για παράδειγμα, εάν το πείραμα ρίχνει ένα νόμισμα με Γεγονός Α = κεφαλές και Γεγονός Β = ουρές, τότε τα Α και Β αντιπροσωπεύουν ολόκληρο το χώρο του δείγματος. Που σημαίνει, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Παράδειγμα.Στο προηγουμένως προτεινόμενο παράδειγμα υπολογισμού της πιθανότητας αφαίρεσης ενός κόκκινου στυλό από μια τσέπη ρόμπας (αυτό είναι το συμβάν Α), το οποίο περιέχει δύο μπλε και ένα κόκκινο στυλό, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, η πιθανότητα του αντίθετου εκδήλωση - σχέδιο μπλε στυλό - θα είναι
Πριν προχωρήσουμε στα κύρια θεωρήματα, εισάγουμε δύο πιο σύνθετες έννοιες - το άθροισμα και το γινόμενο των γεγονότων. Αυτές οι έννοιες είναι διαφορετικές από τις συνήθεις έννοιες του αθροίσματος και του γινόμενου στην αριθμητική. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός στη θεωρία πιθανοτήτων - συμβολικές πράξεις, με την επιφύλαξη ορισμένων κανόνων και διευκολύνοντας τη λογική κατασκευή επιστημονικών συμπερασμάτων.
Ποσόπολλά γεγονότα είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Δηλαδή, το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β ονομάζεται γεγονός Γ, το οποίο αποτελείται από την εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε των γεγονότων Α και Β μαζί.
Για παράδειγμα, εάν ένας επιβάτης περιμένει σε στάση τραμ για μία από τις δύο διαδρομές, τότε το γεγονός που χρειάζεται είναι η εμφάνιση ενός τραμ στην πρώτη διαδρομή (γεγονός Α) ή ενός τραμ στη δεύτερη διαδρομή (γεγονός Β). ή την κοινή εμφάνιση τραμ στο πρώτο και δεύτερο δρομολόγιο (εκδήλωση ΜΕ). Στη γλώσσα της θεωρίας πιθανοτήτων, αυτό σημαίνει ότι το γεγονός D που χρειάζεται ο επιβάτης συνίσταται στην εμφάνιση είτε του γεγονότος Α, είτε του γεγονότος Β, είτε του γεγονότος Γ, το οποίο θα γραφτεί συμβολικά με τη μορφή:
Δ=Α+Β+Γ
Το προϊόν δύο γεγονότωνΕΝΑΚαι ΣΕείναι ένα γεγονός που αποτελείται από την κοινή εμφάνιση γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕ. Προϊόν πολλών γεγονότωνη κοινή εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων ονομάζεται.
Στο παραπάνω παράδειγμα με έναν επιβάτη, το συμβάν ΜΕ(κοινή εμφάνιση τραμ σε δύο διαδρομές) είναι προϊόν δύο γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕ, που συμβολικά γράφεται ως εξής:
Ας πούμε ότι δύο γιατροί εξετάζουν ξεχωριστά έναν ασθενή για να εντοπίσουν μια συγκεκριμένη ασθένεια. Κατά τη διάρκεια των επιθεωρήσεων, μπορεί να συμβούν τα ακόλουθα συμβάντα:
Ανακάλυψη ασθενειών από τον πρώτο γιατρό ( ΕΝΑ);
Αποτυχία εντοπισμού της νόσου από τον πρώτο γιατρό ()
Ανίχνευση της νόσου από δεύτερο γιατρό ( ΣΕ);
Αποτυχία εντοπισμού της νόσου από τον δεύτερο γιατρό ().
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια θα ανιχνευθεί κατά τη διάρκεια των εξετάσεων ακριβώς μία φορά. Αυτή η εκδήλωση μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους:
Η ασθένεια θα ανακαλυφθεί από τον πρώτο γιατρό ( ΕΝΑ) και δεν θα εντοπίσει το δεύτερο ();
Οι ασθένειες δεν θα εντοπιστούν από τον πρώτο γιατρό () και θα εντοπιστούν από τον δεύτερο ( σι).
Ας υποδηλώσουμε το υπό εξέταση γεγονός και ας το γράψουμε συμβολικά:
Σκεφτείτε το γεγονός ότι η ασθένεια θα ανιχνευθεί κατά τη διάρκεια των εξετάσεων δύο φορές (τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο γιατρό). Ας υποδηλώσουμε αυτό το γεγονός και ας γράψουμε: .
Σημειώνουμε το γεγονός που ούτε ο πρώτος ούτε ο δεύτερος γιατρός ανακαλύπτει την ασθένεια και το γράφουμε: .
Κοινές και μη εκδηλώσεις.
Τα δύο γεγονότα λέγονται άρθρωσησε ένα δεδομένο πείραμα, εάν η εμφάνιση του ενός δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Παραδείγματα : Χτυπώντας έναν άφθαρτο στόχο με δύο διαφορετικά βέλη και κερδίζοντας τον ίδιο αριθμό πόντων και στα δύο ζάρια.
Τα δύο γεγονότα λέγονται ασύμβατες(μη συμβατό) σε ένα δεδομένο πείραμα, εάν δεν μπορούν να συμβούν μαζί στην ίδια δοκιμή. Πολλά συμβάντα ονομάζονται μη συμβατά εάν είναι ασύμβατα κατά ζεύγη. Παραδείγματα ασυμβίβαστων γεγονότων: α) χτύπημα και αστοχία με μία βολή. β) ένα εξάρτημα λαμβάνεται τυχαία από ένα κουτί με ανταλλακτικά - τα γεγονότα «βγάζεται ένα τυπικό εξάρτημα» και «βγάζεται ένα μη τυποποιημένο εξάρτημα» γ) η καταστροφή της εταιρείας και το κέρδος της.
Με άλλα λόγια, γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕείναι συμβατά εάν τα αντίστοιχα σύνολα ΕΝΑΚαι ΣΕέχουν κοινά στοιχεία και είναι ασυνεπή εάν τα αντίστοιχα σύνολα ΕΝΑΚαι ΣΕδεν έχουν κοινά στοιχεία.
Κατά τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων γεγονότων, η έννοια χρησιμοποιείται συχνά εξίσου δυνατό εκδηλώσεις. Πολλά γεγονότα σε ένα δεδομένο πείραμα ονομάζονται εξίσου πιθανά εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες συμμετρίας, υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένα από αυτά δεν είναι αντικειμενικά πιο δυνατό από τα άλλα (απώλεια κεφαλιών και ουρών, εμφάνιση κάρτας οποιουδήποτε κοστούμι, η επιλογή μιας μπάλας από μια τεφροδόχο κ.λπ.)
Κάθε δοκιμή σχετίζεται με έναν αριθμό γεγονότων, τα οποία, σε γενικές γραμμές, μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, το γεγονός είναι η ρίψη ενός δύο και το γεγονός είναι η ρίψη ενός ζυγού αριθμού. Προφανώς, αυτά τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται.
Αφήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα δοκιμών να πραγματοποιηθούν σε έναν αριθμό μοναδικά δυνατών συγκεκριμένων περιπτώσεων που είναι αμοιβαία αποκλειστικές. Επειτα
ü κάθε αποτέλεσμα δοκιμής αντιπροσωπεύεται από ένα και μόνο στοιχειώδες γεγονός.
ü κάθε γεγονός που σχετίζεται με αυτό το τεστ είναι ένα σύνολο πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού στοιχειωδών γεγονότων.
ü ένα γεγονός συμβαίνει εάν και μόνο εάν πραγματοποιηθεί ένα από τα στοιχειώδη συμβάντα που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο.
Ένας αυθαίρετος αλλά σταθερός χώρος στοιχειωδών γεγονότων μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συγκεκριμένη περιοχή στο επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, τα στοιχειώδη γεγονότα είναι σημεία του αεροπλάνου που βρίσκονται μέσα. Εφόσον ένα συμβάν ταυτίζεται με ένα σύνολο, όλες οι λειτουργίες που μπορούν να εκτελεστούν σε σύνολα μπορούν να εκτελεστούν σε συμβάντα. Κατ' αναλογία με τη θεωρία συνόλων, κατασκευάζουμε άλγεβρα των γεγονότων. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούν να οριστούν οι ακόλουθες λειτουργίες και σχέσεις μεταξύ συμβάντων:
ΕΝΑÌ σι(Σχέση συμπερίληψης συνόλου: σύνολο ΕΝΑείναι ένα υποσύνολο του συνόλου ΣΕ) – Το γεγονός Α συνεπάγεται το γεγονός Β. Με άλλα λόγια, η εκδήλωση ΣΕσυμβαίνει κάθε φορά που συμβαίνει ένα γεγονός ΕΝΑ. Παράδειγμα - η κύλιση δύο οδηγεί σε κύλιση ζυγού αριθμού πόντων.
(συνάρτηση ισοδυναμίας) – Εκδήλωση πανομοιότυπαή ισοδύναμοςΕκδήλωση. Αυτό είναι δυνατό εάν και μόνο εάν και ταυτόχρονα, δηλ. το καθένα συμβαίνει όποτε συμβαίνει το άλλο. Παράδειγμα – συμβάν Α – βλάβη της συσκευής, συμβάν Β – ανάλυση τουλάχιστον ενός από τα μπλοκ (τμήματα) της συσκευής.
() – άθροισμα γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι τουλάχιστον ένα από τα δύο συμβάντα ή (λογικό "ή") έχει συμβεί. Γενικά, το άθροισμα πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα. Παράδειγμα – ο στόχος χτυπιέται από το πρώτο όπλο, το δεύτερο ή και τα δύο ταυτόχρονα.
() – προϊόν των γεγονότων. Αυτό είναι ένα γεγονός που αποτελείται από την κοινή εμφάνιση γεγονότων και (λογικό «και»). Γενικά, η παραγωγή πολλών γεγονότων νοείται ως ένα γεγονός που αποτελείται από την ταυτόχρονη εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων. Έτσι, τα γεγονότα είναι ασύμβατα εάν η παραγωγή τους είναι ένα αδύνατο γεγονός, δηλ. . Παράδειγμα – το γεγονός Α είναι η αφαίρεση ενός φύλλου της διαμαντένιας στολής από την τράπουλα, το γεγονός Β είναι η αφαίρεση ενός άσου, τότε η εμφάνιση του άσου των διαμαντιών δεν έχει συμβεί.
Μια γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων σε γεγονότα είναι συχνά χρήσιμη. Οι γραφικές απεικονίσεις πράξεων ονομάζονται διαγράμματα Venn.
Ορισμός 1. Λένε ότι σε κάποια εμπειρία ένα γεγονός ΕΝΑ συνεπάγεταιακολουθούμενη από την εμφάνιση ενός γεγονότος ΣΕ, εάν κατά την εμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑέρχεται η εκδήλωση ΣΕ. Σημείωση για αυτόν τον ορισμό ΕΝΑ Ì ΣΕ. Όσον αφορά τα στοιχειώδη γεγονότα, αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχειώδες γεγονός περιλαμβάνεται σε ΕΝΑ, περιλαμβάνεται επίσης σε ΣΕ.
Ορισμός 2. Γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕονομάζονται ίσα ή ισοδύναμα (σημ ΕΝΑ= ΣΕ), Αν ΕΝΑ Ì ΣΕΚαι ΣΕÌ A, δηλ. ΕΝΑΚαι ΣΕαποτελούνται από τα ίδια στοιχειώδη γεγονότα.
Αξιόπιστο συμβάναντιπροσωπεύεται από το εναγκαλιστικό σύνολο Ω και το αδύνατο γεγονός αναπαρίσταται από ένα κενό υποσύνολο Æ σε αυτό. Ασυμβατότητα γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕσημαίνει ότι τα αντίστοιχα υποσύνολα ΕΝΑΚαι ΣΕμην τέμνονται: ΕΝΑ∩ΣΕ = Æ.
Ορισμός 3. Το άθροισμα δύο γεγονότων ΑΚαι ΣΕ(σημειώνεται ΜΕ= ΕΝΑ + ΣΕ) ονομάζεται γεγονός ΜΕ, που αποτελείται από έρχεται τουλάχιστονένα από τα γεγονότα ΕΝΑή ΣΕ(ο σύνδεσμος "ή" για το ποσό είναι λέξη-κλειδί), δηλ. έρχεται ή ΕΝΑ, ή ΣΕ, ή ΕΝΑΚαι ΣΕμαζί.
Παράδειγμα. Αφήστε δύο σκοπευτές να πυροβολήσουν σε έναν στόχο ταυτόχρονα, και το συμβάν ΕΝΑσυνίσταται στο γεγονός ότι ο 1ος σκοπευτής χτυπά το στόχο, και το γεγονός σι- ότι ο 2ος σκοπευτής χτυπά το στόχο. Εκδήλωση ΕΝΑ+ σισημαίνει ότι ο στόχος χτυπήθηκε, ή, με άλλα λόγια, ότι τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές (1ος σκοπευτής ή 2ος σκοπευτής, ή και οι δύο σκοπευτές) χτύπησε τον στόχο.
Ομοίως, το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, ΕΝΑ n (σημειώνεται ΕΝΑ= ΕΝΑ 1 + ΕΝΑ 2 + … + ΕΝΑιδ) το συμβάν καλείται ΕΝΑ, που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενόςαπό εκδηλώσεις ΕΝΑΕγώ ( Εγώ = 1, … , n), ή αυθαίρετη συλλογή ΕΝΑΕγώ ( Εγώ = 1, 2, … , n).
Παράδειγμα. Το άθροισμα των γεγονότων Α, Β, Γείναι ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση ενός από τα ακόλουθα γεγονότα: ΕΝΑ, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ, ΕΝΑΚαι ΣΕ, ΕΝΑΚαι ΜΕ, ΣΕΚαι ΜΕ, ΕΝΑΚαι ΣΕΚαι ΜΕ, ΕΝΑή ΣΕ, ΕΝΑή ΜΕ, ΣΕή ΜΕ,ΕΝΑή ΣΕή ΜΕ.
Ορισμός 4. Το προϊόν δύο γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕπου ονομάζεται συμβάν ΜΕ(σημειώνεται ΜΕ = Α ∙ Β), που συνίσταται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής συνέβη και το συμβάν ΕΝΑ,και εκδήλωση ΣΕΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ. (Ο σύνδεσμος «και» για την παραγωγή γεγονότων είναι η λέξη κλειδί).
Παρόμοιο με το γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, ΕΝΑ n (σημειώνεται ΕΝΑ = ΕΝΑ 1 ∙ΕΝΑ 2 ∙…∙ ΕΝΑιδ) το συμβάν καλείται ΕΝΑ, που συνίσταται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής συνέβησαν όλα τα καθορισμένα συμβάντα.
Παράδειγμα. Εάν τα γεγονότα ΕΝΑ, ΣΕ, ΜΕυπάρχει η εμφάνιση ενός «εθνόσημου» στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη δοκιμή, αντίστοιχα, και στη συνέχεια το γεγονός ΕΝΑ× ΣΕ× ΜΕΥπάρχει μια πτώση του «εθνόσημου» και στις τρεις δοκιμές.
Παρατήρηση 1. Για ασύμβατα συμβάντα ΕΝΑΚαι ΣΕη ισότητα είναι αληθινή Α ∙ Β= Æ, όπου το Æ είναι ένα αδύνατο γεγονός.
Σημείωση 2. Εκδηλώσεις ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2, … , ΕΝΑ n σχηματίστε μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη εάν .
Ορισμός 5. Αντίθετα γεγονότακαλούνται δύο μοναδικά πιθανά ασύμβατα συμβάντα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα. Γεγονός αντίθετο από το γεγονός ΕΝΑ,συμβολίζεται με . Γεγονός αντίθετο από το γεγονός ΕΝΑ, είναι μια προσθήκη στην εκδήλωση ΕΝΑστο σύνολο Ω.
Για αντίθετα γεγονότα, δύο προϋποθέσεις ικανοποιούνται ταυτόχρονα A∙= Æ και Α+= Ω.
Ορισμός 6. Με διαφοράεκδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕ(σημειώνεται ΕΝΑ– ΣΕ) ονομάζεται γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι το συμβάν ΕΝΑθα έρθει, και η εκδήλωση ΣΕ -όχι και είναι ίσο ΕΝΑ– ΣΕ= ΕΝΑ× .
Σημειώστε ότι τα γεγονότα A + B, A ∙ B, , Α – Βείναι βολικό να ερμηνεύεται γραφικά χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler–Venn (Εικ. 1.1).
|
Ρύζι. 1.1. Πράξεις σε γεγονότα: άρνηση, άθροισμα, γινόμενο και διαφορά |
Ας διατυπώσουμε το παράδειγμα ως εξής: αφήστε την εμπειρία σολσυνίσταται σε τυχαία βολή στην περιοχή Ω, τα σημεία της οποίας είναι στοιχειώδη γεγονότα ω. Αφήστε το να μπείτε στην περιοχή Ω ένα αξιόπιστο γεγονός Ω και αφήστε το να μπείτε στην περιοχή ΕΝΑΚαι ΣΕ– αντίστοιχα εκδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕ. Μετά τα γεγονότα Α+Β(ή ΕΝΑÈ ΣΕ- φως περιοχή στο σχήμα), Α ∙ Β(ή ΕΝΑÇ ΣΕ -περιοχή στο κέντρο), Α – Β(ή ΕΝΑ\ΣΕ -ελαφριές υποπεριοχές) θα αντιστοιχεί στις τέσσερις εικόνες στο Σχ. 1.1. Στις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος με δύο σκοπευτές να πυροβολούν στόχο, προϊόν γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕθα γίνει εκδήλωση Γ = ΑÇ ΣΕ, που αποτελείται από το χτύπημα του στόχου και με τα δύο βέλη.
Παρατήρηση 3. Εάν οι πράξεις σε συμβάντα αναπαριστώνται ως πράξεις σε σύνολα και τα συμβάντα ως υποσύνολα κάποιου συνόλου Ω, τότε το άθροισμα των γεγονότων Α+Βταιριάζει με την ένωση ΕΝΑÈ ΣΕαυτά τα υποσύνολα και το προϊόν των γεγονότων Α ∙ Β- σημείο τομής ΕΝΑ∩ΣΕαυτά τα υποσύνολα.
Έτσι, οι πράξεις σε συμβάντα μπορούν να συσχετιστούν με πράξεις σε σύνολα. Αυτή η αντιστοιχία φαίνεται στον πίνακα. 1.1
Πίνακας 1.1
|
Ονομασίες |
Γλώσσα πιθανοτήτων |
Γλώσσα θεωρίας συνόλων |
|
Διαστημικό στοιχείο. εκδηλώσεις |
Σετ γενικής χρήσης |
|
|
Στοιχειώδη εκδήλωση |
Στοιχείο από το καθολικό σύνολο |
|
|
Τυχαίο συμβάν |
Υποσύνολο στοιχείων ω από Ω |
|
|
Αξιόπιστο συμβάν |
Το σύνολο όλων των ω |
|
|
Αδύνατο γεγονός |
Αδειο σετ |
|
|
ΕΝΑМ В |
ΕΝΑσυνεπάγεται ΣΕ |
ΕΝΑ– υποσύνολο ΣΕ |
|
Α+Β(ΕΝΑÈ ΣΕ) |
Άθροισμα γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕ |
Ένωση συνόλων ΕΝΑΚαι ΣΕ |
|
ΕΝΑ× V(ΕΝΑÇ ΣΕ) |
Παραγωγή Εκδηλώσεων ΕΝΑΚαι ΣΕ |
Διασταύρωση πολλών ΕΝΑΚαι ΣΕ |
|
Α – Β(ΕΝΑ\ΣΕ) |
Διαφορά γεγονότος |
Ρυθμίστε τη διαφορά |
Οι ενέργειες σε συμβάντα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(ανταλλαγή)
(Α + Β) ∙ Γ = Α× Γ + Β× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( Β + Γ) (διανομή);
(Α + Β) + ΜΕ = ΕΝΑ + (Β + Γ), (Α ∙ Β) ∙ ΜΕ= ΕΝΑ ∙ (Β ∙ Γ) (προσεταιριστική);
A + A = A, A ∙ A = A;
ΕΝΑ + Ω = Ω, ΕΝΑ∙ Ω = ΕΝΑ;
Κανόνας προσθήκης- εάν το στοιχείο Α μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους και το στοιχείο Β μπορεί να επιλεγεί με m τρόπους, τότε το Α ή το Β μπορούν να επιλεγούν με n + m τρόπους.
^ Κανόνας πολλαπλασιασμού - εάν το στοιχείο Α μπορεί να επιλεγεί με n τρόπους και για οποιαδήποτε επιλογή του Α, το στοιχείο Β μπορεί να επιλεγεί με m τρόπους, τότε το ζεύγος (Α, Β) μπορεί να επιλεγεί με n·m τρόπους.
Διευθέτηση εκ νέου.Μετάθεση ενός συνόλου στοιχείων είναι η διάταξη των στοιχείων σε μια ορισμένη σειρά. Έτσι, όλες οι διαφορετικές μεταθέσεις ενός συνόλου τριών στοιχείων είναι
Ο αριθμός όλων των μεταθέσεων των στοιχείων συμβολίζεται με . Επομένως, ο αριθμός όλων των διαφορετικών μεταθέσεων υπολογίζεται από τον τύπο
Κατάλυμα.Ο αριθμός των τοποθετήσεων ενός συνόλου στοιχείων ανά στοιχεία είναι ίσος με
^ Τοποθέτηση με επανάληψη. Εάν υπάρχει ένα σύνολο n τύπων στοιχείων και πρέπει να τοποθετήσετε ένα στοιχείο κάποιου τύπου σε καθεμία από τις θέσεις m (οι τύποι στοιχείων μπορεί να συμπίπτουν σε διαφορετικά σημεία), τότε ο αριθμός των επιλογών για αυτό θα είναι n m .
^ Συνδυασμός. Ορισμός. Συνδυασμοί των διάφορα στοιχεία σύμφωνα μεΤα στοιχεία ονομάζονται συνδυασμοί που αποτελούνται από δεδομέναστοιχεία από στοιχεία και διαφέρουν σε τουλάχιστον ένα στοιχείο (με άλλα λόγια,-υποσύνολα στοιχείων ενός δεδομένου συνόλου τωνστοιχεία). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>
Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων. Τυχαίο συμβάν. Αξιόπιστο συμβάν. Αδύνατον γεγονός.
Τυχαίο συμβάν -οποιοδήποτε υποσύνολο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων.
^ Αξιόπιστο συμβάν - σίγουρα θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Αδύνατο γεγονός -δεν θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Ενέργειες σε γεγονότα: άθροισμα, γινόμενο και διαφορά γεγονότων. Το αντίθετο γεγονός. Κοινές και μη εκδηλώσεις. Πλήρης ομάδαεκδηλώσεις.
^ Μη συμβατά συμβάντα - εάν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Λένε ότι σχηματίζονται αρκετά ασύμβατα γεγονότα πλήρη ομάδα εκδηλώσεων, εάν ένα από αυτά εμφανιστεί ως αποτέλεσμα του πειράματος.
Εάν το πρώτο συμβάν αποτελείται από όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα εκτός από αυτά που περιλαμβάνονται στο δεύτερο γεγονός, τότε τέτοια συμβάντα καλούνται απεναντι απο.
Το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β είναιένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα Α ή Β. ^ Το γινόμενο δύο γεγονότων Α και Β – ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχειώδη γεγονότα που ανήκουν ταυτόχρονα στο Α και στο Β. Διαφορά Α και Β -ένα γεγονός που αποτελείται από στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο γεγονός Β.
Κλασική, στατιστική και γεωμετρικούς ορισμούςπιθανότητες. Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας συμβάντος.
, ζ – μέρος του σχήματος G. ^ Βασικές ιδιότητες πιθανοτήτων: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος είναι 1, 3) Η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι 0.
Το θεώρημα για την πρόσθεση των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων και των συνεπειών του.
Υπό όρους πιθανότητα. Ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων εξαρτημένων και ανεξάρτητων γεγονότων.
^ Πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων: Για εξαρτημένους. Θεώρημα. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). Σχόλιο. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Συνέπεια. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Για ανεξάρτητους. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^ΤΘεώρημα για την προσθήκη πιθανοτήτων κοινών γεγονότων. Θεώρημα . Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο κοινά συμβάντα ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους
Συνολικός τύπος πιθανότητας. Φόρμουλες Bayes.
H 1, H 2 ...H n - σχηματίστε μια πλήρη ομάδα - υποθέσεις.
Το συμβάν Α μπορεί να συμβεί μόνο εάν εμφανιστεί H 1, H 2 ...H n,
Τότε P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
^ Η φόρμουλα του Bayes
Έστω N 1, N 2 ...H n υποθέσεις, το γεγονός A μπορεί να συμβεί κάτω από μία από τις υποθέσεις
P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός Α έχει συμβεί.
Πώς άλλαξε η πιθανότητα H 1 λόγω του γεγονότος ότι συνέβη το A; Εκείνοι. R A (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 (A) )/ P(A)
Τα H 2, H 3 ...H n προσδιορίζονται παρόμοια
Γενική μορφή:
P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , όπου i=1,2,3…n.
Οι τύποι καθιστούν δυνατή την επανεκτίμηση των πιθανοτήτων των υποθέσεων ως αποτέλεσμα του γεγονότος ότι το αποτέλεσμα των δοκιμών που οδήγησαν στην εμφάνιση του συμβάντος Α γίνεται γνωστό.
«Πριν» τη δοκιμή – a priori πιθανότητες - P(N 1), P(N 2)…P(N n)
«Μετά» τη δοκιμή - μεταγενέστερες πιθανότητες - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)
Οι μεταγενέστερες πιθανότητες, καθώς και οι προηγούμενες, αθροίζονται σε 1.
9. Τύποι Bernoulli και Poisson.
Ο τύπος του Bernoulli
Έστω να πραγματοποιηθούν n δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το συμβάν Α μπορεί να εμφανίζεται ή όχι. Εάν η πιθανότητα του συμβάντος Α σε καθεμία από αυτές τις δοκιμές είναι σταθερή, τότε αυτές οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες σε σχέση με το Α.
Εξετάστε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το A μπορεί να συμβεί με πιθανότητα p. Αυτή η ακολουθία δοκιμών ονομάζεται κύκλωμα Bernoulli.
Θεώρημα: η πιθανότητα ότι σε n δοκιμές το γεγονός A θα συμβεί ακριβώς m φορές είναι ίση με: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Αριθμός m 0 - η εμφάνιση του γεγονότος Α ονομάζεται πιο πιθανή εάν η αντίστοιχη πιθανότητα P n (m 0) δεν είναι μικρότερη από άλλες P n (m)
Pn (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Για να βρείτε m 0 χρησιμοποιήστε:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Ο τύπος του Poisson
Εξετάστε το τεστ του Bernoulli:
n είναι ο αριθμός των δοκιμών, p είναι η πιθανότητα επιτυχίας
Έστω το p μικρό (p→0) και το n μεγάλο (n→∞)
μέσος αριθμός εμφανίσεων επιτυχίας σε n δοκιμές
Προσθέτουμε λ=n*p → p= λ στον τύπο του Bernoulli:
Pn (m)=C n m *p m *(1-q) n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Αν p≤0,1 και λ=n*p≤10, τότε ο τύπος δίνει καλά αποτελέσματα.
10. Τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre-Laplace.
Έστω n ο αριθμός των τεστ, p η πιθανότητα επιτυχίας, n μεγάλος και τείνει στο άπειρο. (n->∞)
^ Τοπικό θεώρημα
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, όπου f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Εάν npq≥ 20 – δίνει καλά αποτελέσματα, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Ολοκληρωτικό θεώρημα
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
όπου ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Συνάρτηση Laplace
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Ιδιότητες της συνάρτησης Laplace
ȹ(x) – περιττή συνάρτηση: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – αυξάνεται μονότονα
τιμές ȹ(x) (-0,5;0,5), και lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), όπου z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Τυχαία μεταβλητή. Τύποι τυχαίων μεταβλητών. Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας τυχαίας μεταβλητής.
Το SV είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο στοιχειωδών γεγονότων.
X,Y,Z – NE, και η τιμή του είναι x,y,z
ΤυχαίοςΟνομάζουν μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, θα λάβει μία και μόνο πιθανή τιμή, άγνωστη εκ των προτέρων και ανάλογα με τυχαίους λόγους που δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη εκ των προτέρων.
ΒΑ διακεκριμένος, εάν το σύνολο των τιμών του είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο (μπορούν να αριθμηθούν). Παίρνει διακριτές, απομονωμένες πιθανές τιμές με καθορισμένες πιθανότητες. Ο αριθμός των πιθανών τιμών ενός διακριτού SV μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος.
ΒΑ συνεχής, εάν παίρνει όλες τις πιθανές τιμές από ένα συγκεκριμένο διάστημα (σε ολόκληρο τον άξονα). Οι έννοιές του μπορεί να διαφέρουν ελάχιστα.
^ Νόμος κατανομής διακριτών SV Μ.Β. δίνεται από:
1.πίνακας
| Χ | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | σελ 1 | σελ 2 | … | p n |
(σειρά διανομής)
X=x 1) είναι ασυνεπείς
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.γραφικό
Πολύγωνο κατανομής πιθανότητας
3.αναλυτικός
P=P(X)
12. Συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής.
Η συνάρτηση κατανομής του SV X είναι μια συνάρτηση F(X), η οποία καθορίζει την πιθανότητα ότι η SV X θα λάβει τιμή μικρότερη από x, δηλ.
x x = αθροιστική συνάρτηση κατανομής
Ένα συνεχές SV έχει μια συνεχή, τμηματικά διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.