Introducción
Los logaritmos se inventaron para acelerar y simplificar los cálculos. La idea de un logaritmo, es decir, la idea de expresar números como potencias de la misma base, pertenece a Mikhail Stiefel. Pero en la época de Stiefel las matemáticas no estaban tan desarrolladas y la idea del logaritmo no estaba desarrollada. Posteriormente, los logaritmos fueron inventados de forma simultánea e independiente entre sí por el científico escocés John Napier (1550-1617) y el suizo Jobst Burgi (1552-1632 fue el primero en publicar el trabajo en 1614). Bajo el título "Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos", la teoría de los logaritmos de Napier se presentó con suficiente detalle. en su totalidad, el método para calcular logaritmos es el más simple, por lo que los méritos de Napier en la invención de los logaritmos son mayores que los de Bürgi. Burgi trabajó en las tablas al mismo tiempo que Napier, pero las mantuvo en secreto durante mucho tiempo y no las publicó hasta 1620. Napier dominó la idea del logaritmo alrededor de 1594. aunque las tablas fueron publicadas 20 años después. Al principio llamó a sus logaritmos "números artificiales" y sólo entonces propuso llamar a estos "números artificiales" en una sola palabra "logaritmo", que en la traducción del griego significa "números correlacionados", tomados uno de una progresión aritmética y el otro de una Progresión geométrica especialmente seleccionada para ello. Las primeras tablas en ruso se publicaron en 1703. con la participación de un maravilloso maestro del siglo XVIII. L. F. Magnitsky. En el desarrollo de la teoría de los logaritmos. gran valor Tenía las obras del académico de San Petersburgo Leonhard Euler. Fue el primero en considerar los logaritmos como el inverso de la elevación a una potencia; introdujo los términos "logaritmo en base" y "mantisa". Briggs compiló tablas de logaritmos con base 10. Las tablas decimales son más convenientes para el uso práctico, según su teoría. más simple que el de los logaritmos de Napier. Por lo tanto, los logaritmos decimales a veces se denominan logaritmos de Briggs. Briggs introdujo el término "caracterización".
En aquellos tiempos lejanos, cuando los sabios empezaron a pensar en igualdades que contenían cantidades desconocidas, probablemente no existían monedas ni billeteras. Pero había montones, así como ollas y cestas, que eran perfectos para el papel de escondites de almacenamiento que podían contener un número desconocido de artículos. en los antiguos problemas matemáticos Mesopotamia, India, China, Grecia, cantidades desconocidas expresaban el número de pavos reales en el jardín, el número de toros en la manada, la totalidad de las cosas que se tenían en cuenta al dividir la propiedad. Los escribas, funcionarios y sacerdotes iniciados en el conocimiento secreto, bien entrenados en la ciencia de las cuentas, afrontaron tales tareas con bastante éxito.
Las fuentes que nos han llegado indican que los científicos antiguos tenían algunas técnicas generales para resolver problemas con cantidades desconocidas. Sin embargo, ni un solo papiro o tablilla de arcilla contiene una descripción de estas técnicas. Los autores sólo ocasionalmente proporcionaron sus cálculos numéricos con comentarios breves como: “¡Mira!”, “¡Haz esto!”, “Encontraste el correcto”. En este sentido, la excepción es la "Aritmética" del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III), una colección de problemas para componer ecuaciones con una presentación sistemática de sus soluciones.
Sin embargo, el primer manual para la resolución de problemas que se hizo ampliamente conocido fue obra de un científico de Bagdad del siglo IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. La palabra "al-jabr" del nombre árabe de este tratado - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Libro de restauración y oposición") - con el tiempo se convirtió en la conocida palabra "álgebra", y al- El propio trabajo de Khwarizmi sirvió como punto de partida en el desarrollo de la ciencia de la resolución de ecuaciones.
Ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
1. Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación que contiene una incógnita bajo el signo del logaritmo o en su base se llama ecuación logarítmica.
La ecuación logarítmica más simple es una ecuación de la forma
registro a incógnita = b . (1)
Declaración 1. Si a > 0, a≠ 1, ecuación (1) para cualquier real b tiene una solución única incógnita = un segundo .
Ejemplo 1. Resuelve las ecuaciones:
a) registro 2 incógnita= 3, b) registro 3 incógnita= -1,c)
Solución. Usando la Declaración 1, obtenemos a) incógnita= 2 3 o incógnita= 8; b) incógnita= 3-1 o incógnita= 1/3 ; do)
o incógnita = 1.Presentemos las propiedades básicas del logaritmo.
P1. Identidad logarítmica básica:
Dónde a > 0, a≠ 1 y b > 0.
P2. Logaritmo del producto de factores positivos. igual a la suma logaritmos de estos factores:
registro a norte 1 · norte 2 = registro a norte 1 + registro a norte 2 (a > 0, a ≠ 1, norte 1 > 0, norte 2 > 0).
Comentario. Si norte 1 · norte 2 > 0, entonces la propiedad P2 toma la forma
registro a norte 1 · norte 2 = registro a |norte 1 | +registro a |norte 2 | (a > 0, a ≠ 1, norte 1 · norte 2 > 0).
P3. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y el divisor.
(a
> 0, a
≠ 1, norte
1
> 0, norte
2
> 0).
Comentario. Si
, (que es equivalente norte 1 norte 2 > 0) entonces la propiedad P3 toma la forma
(a
> 0, a
≠ 1, norte
1
norte
2
> 0).
P4. El logaritmo de la potencia de un número positivo es igual al producto del exponente por el logaritmo de este número:
registro a norte k = k registro a norte (a > 0, a ≠ 1, norte > 0).
Comentario. Si k - número par (k = 2s), Eso
registro a norte 2s = 2s registro a |norte | (a > 0, a ≠ 1, norte ≠ 0).
P5. Fórmula para pasar a otra base:
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, norte
> 0),
en particular si norte = b, obtenemos
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Usando las propiedades P4 y P5, es fácil obtener las siguientes propiedades
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, do
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, do
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, do
≠ 0), (5)
y, si en (5) do- número par ( do = 2norte), sostiene
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Enumeremos las principales propiedades de la función logarítmica. F (incógnita) = iniciar sesión a incógnita :
1. El dominio de definición de una función logarítmica es el conjunto de números positivos.
2. El rango de valores de la función logarítmica es el conjunto de los números reales.
3. Cuando a> 1 función logarítmica es estrictamente creciente (0< incógnita 1 < incógnita 2 registro a incógnita 1 < loga incógnita 2), y en 0< a < 1, - строго убывает (0 < incógnita 1 < incógnita 2 registro a incógnita 1 > iniciar sesión a incógnita 2).
4.log a 1 = 0 y registro a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Si a> 1, entonces la función logarítmica es negativa cuando incógnita(0;1) y positivo en incógnita(1;+∞), y si 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при incógnita (0;1) y negativo en incógnita (1;+∞).
6. Si a> 1, entonces la función logarítmica es convexa hacia arriba, y si a(0;1) - convexo hacia abajo.
Las siguientes afirmaciones (ver, por ejemplo) se utilizan para resolver ecuaciones logarítmicas.
Una desigualdad se llama logarítmica si contiene una función logarítmica.
Métodos de solución desigualdades logarítmicas no es diferente de , excepto por dos cosas.
En primer lugar, al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, se debe seguir el signo de la desigualdad resultante. Obedece la siguiente regla.
Si la base de la función logarítmica es mayor que $1$, entonces al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, el signo de la desigualdad se conserva, pero si es menor que $1$, entonces cambia al opuesto .
En segundo lugar, la solución a cualquier desigualdad es un intervalo y, por lo tanto, al final de resolver la desigualdad de funciones sublogarítmicas es necesario crear un sistema de dos desigualdades: la primera desigualdad de este sistema será la desigualdad de funciones sublogarítmicas, y el segundo será el intervalo del dominio de definición de las funciones logarítmicas incluidas en la desigualdad logarítmica.
Práctica.
Resolvamos las desigualdades:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \en (-3;+\infty)$
La base del logaritmo es $2>1$, por lo que el signo no cambia. Usando la definición de logaritmo, obtenemos:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \en )