La somme de toutes les probabilités d’événements dans l’espace échantillon est égale à 1. Par exemple, si l'expérience consiste à lancer une pièce de monnaie avec l'événement A = face et l'événement B = face, alors A et B représentent l'intégralité de l'espace échantillon. Moyens, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Exemple.Dans l'exemple proposé précédemment de calcul de la probabilité de retirer un stylo rouge d'une poche de robe (il s'agit de l'événement A), qui contient deux stylos bleus et un rouge, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, la probabilité du contraire événement - dessiner un stylo bleu - sera
Avant de passer aux théorèmes principaux, introduisons deux concepts plus complexes : la somme et le produit des événements. Ces concepts sont différents des concepts habituels de somme et de produit en arithmétique. Addition et multiplication en théorie des probabilités - opérations symboliques, soumis à certaines règles et facilitant la construction logique de conclusions scientifiques.
Montant plusieurs événements est un événement consistant en la survenance d'au moins l'un d'entre eux. Autrement dit, la somme de deux événements A et B est appelée événement C, qui consiste en l'occurrence soit de l'événement A, soit de l'événement B, soit des événements A et B ensemble.
Par exemple, si un passager attend à un arrêt de tramway pour l'un des deux itinéraires, alors l'événement dont il a besoin est l'apparition d'un tramway sur le premier itinéraire (événement A), ou d'un tramway sur le deuxième itinéraire (événement B), ou l'apparition conjointe de tramways sur les premier et deuxième itinéraires (événement AVEC). Dans le langage de la théorie des probabilités, cela signifie que l'événement D dont le passager a besoin consiste en la survenance soit de l'événement A, soit de l'événement B, soit de l'événement C, qui s'écrira symboliquement sous la forme :
D=A+B+C
Le produit de deux événementsUN Et DANS est un événement consistant en la survenance conjointe d'événements UN Et DANS. Le produit de plusieurs événements l'occurrence conjointe de tous ces événements est appelée.
Dans l'exemple ci-dessus avec un passager, l'événement AVEC(apparition conjointe des tramways sur deux itinéraires) est le fruit de deux événements UN Et DANS, qui s'écrit symboliquement ainsi :
Disons que deux médecins examinent séparément un patient pour identifier une maladie spécifique. Lors des inspections, les événements suivants peuvent survenir :
Découverte des maladies par le premier médecin ( UN);
Défaut de détection de la maladie par le premier médecin ();
Détection de la maladie par un deuxième médecin ( DANS);
Défaut de détection de la maladie par le deuxième médecin ().
Considérez le cas où la maladie sera détectée lors des examens exactement une fois. Cet événement peut être réalisé de deux manières :
La maladie sera découverte par le premier médecin ( UN) et ne détectera pas la seconde ();
Les maladies ne seront pas détectées par le premier médecin () et seront détectées par le second ( B).
Désignons l'événement considéré par et écrivons-le symboliquement :
Considérez le cas où la maladie serait détectée lors d'examens à deux reprises (par le premier et le deuxième médecin). Notons cet événement par et écrivons : .
Nous désignons l'événement par lequel ni le premier ni le deuxième médecin ne découvrent la maladie et l'écrivons : .
Événements conjoints et non conjoints.
Les deux événements sont appelés articulation dans une expérience donnée, si l’apparition de l’un d’eux n’exclut pas l’apparition de l’autre. Exemples : Toucher une cible indestructible avec deux flèches différentes et obtenir le même nombre de points sur les deux dés.
Les deux événements sont appelés incompatible(incompatibles) dans une expérience donnée s’ils ne peuvent pas se produire ensemble dans le même essai. Plusieurs événements sont dits incompatibles s’ils sont incompatibles par paires. Exemples d'événements incompatibles : a) coup sûr d'un seul coup ; b) une pièce est tirée au hasard d'une boîte de pièces - les événements « une pièce standard est retirée » et « une pièce non standard est retirée » c) la ruine de l'entreprise et son profit.
Autrement dit, les événements UN Et DANS sont compatibles si les ensembles correspondants UN Et DANS ont des éléments communs et sont incohérents si les ensembles correspondants UN Et DANS n'ont pas d'éléments communs.
Lors de la détermination des probabilités d'événements, le concept est souvent utilisé tout aussi possible événements. Plusieurs événements dans une expérience donnée sont dits également possibles si, selon les conditions de symétrie, il y a des raisons de croire qu'aucun d'entre eux n'est objectivement plus possible que les autres (la perte de pile et face, l'apparition d'une carte de n'importe quel autre). costume, le choix d'une balle dans une urne, etc.)
Chaque essai est associé à un certain nombre d’événements qui, en général, peuvent se produire simultanément. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement est le lancer d'un deux et l'événement est le lancer d'un nombre pair. Bien évidemment, ces événements ne s’excluent pas mutuellement.
Laissez tous les résultats de test possibles être réalisés dans un certain nombre de cas particuliers uniques et mutuellement exclusifs. Alors
ü chaque résultat de test est représenté par un et un seul événement élémentaire ;
ü tout événement associé à ce test est un ensemble d'événements élémentaires en nombre fini ou infini ;
ü un événement se produit si et seulement si l'un des événements élémentaires compris dans cet ensemble est réalisé.
Un espace arbitraire mais fixe d'événements élémentaires peut être représenté comme une certaine zone sur le plan. Dans ce cas, les événements élémentaires sont des points du plan situés à l'intérieur. Puisqu'un événement est identifié à un ensemble, toutes les opérations pouvant être effectuées sur des ensembles peuvent être effectuées sur des événements. Par analogie avec la théorie des ensembles, nous construisons algèbre des événements. Dans ce cas, les opérations et relations entre événements suivantes peuvent être définies :
UNÌ B(ensemble de la relation d'inclusion : ensemble UN est un sous-ensemble de l'ensemble DANS) – l'événement A entraîne l'événement B. Autrement dit, l'événement DANS se produit chaque fois qu'un événement se produit UN. Exemple - lancer un deux donne lieu à un nombre pair de points.
(définir la relation d'équivalence) – événement à l'identique ou équivalentévénement. Ceci est possible si et seulement si et simultanément, c'est-à-dire chacun se produit lorsque l’autre se produit. Exemple – événement A – panne de l'appareil, événement B – panne d'au moins un des blocs (parties) de l'appareil.
() – somme des événements. Il s'agit d'un événement consistant dans le fait qu'au moins un des deux événements ou ("ou" logique) s'est produit. De manière générale, on entend par somme de plusieurs événements un événement constitué par la survenance d'au moins un de ces événements. Exemple – la cible est touchée par la première arme, la seconde ou les deux simultanément.
() – produit d'événements. Il s'agit d'un événement constitué de la survenance conjointe d'événements et (« et » logique). De manière générale, la production de plusieurs événements s'entend comme un événement constitué par la survenance simultanée de tous ces événements. Ainsi, les événements sont incompatibles si leur production est un événement impossible, c'est-à-dire . Exemple – l'événement A est le retrait d'une carte de la couleur carreau du jeu, l'événement B est le retrait d'un as, alors l'apparition de l'as de carreau n'a pas eu lieu.
Une interprétation géométrique des opérations sur événements est souvent utile. Les illustrations graphiques des opérations sont appelées diagrammes de Venn.
Définition 1. On dit que dans certaines expériences, un événement UN implique suivi de la survenance d'un événement DANS, si lors de la survenance d'un événement UN l'événement arrive DANS. Notation pour cette définition UN Ì DANS. En termes d'événements élémentaires, cela signifie que chaque événement élémentaire inclus dans UN, est également inclus dans DANS.
Définition 2. Événements UN Et DANS sont appelés égaux ou équivalents (notés UN= DANS), Si UN Ì DANS Et DANSÌ A, c'est-à-dire UN Et DANS sont constitués des mêmes événements élémentaires.
Événement fiable est représenté par l'ensemble englobant Ω, et l'événement impossible est représenté par un sous-ensemble vide Æ qu'il contient. Incompatibilité des événements UN Et DANS signifie que les sous-ensembles correspondants UN Et DANS ne se croisent pas : UN∩DANS = Æ.
Définition 3. La somme de deux événements A Et DANS(noté AVEC= UN + DANS) est appelé un événement AVEC, composé de venir au moins un des événements UN ou DANS(la conjonction "ou" pour montant est mot-clé), c'est à dire. vient ou UN, ou DANS, ou UN Et DANS ensemble.
Exemple. Laissez deux tireurs tirer sur une cible en même temps, et l'événement UN consiste dans le fait que le 1er tireur touche la cible, et l'événement B- que le 2ème tireur touche la cible. Événement UN+ B signifie que la cible est touchée, ou, en d'autres termes, qu'au moins un des tireurs (1er tireur ou 2e tireur, ou les deux tireurs) a touché la cible.
De même, la somme d'un nombre fini d'événements UN 1 , UN 2 , …, UN n (noté UN= UN 1 + UN 2 + … + UN n) l'événement est appelé UN, composé de la survenance d'au moins un des événements UN je( je = 1, … , n), ou une collection arbitraire UN je( je = 1, 2, … , n).
Exemple. La somme des événements A, B, C est un événement consistant en la survenance de l’un des événements suivants : UN, AVANT JC, UN Et DANS, UN Et AVEC, DANS Et AVEC, UN Et DANS Et AVEC, UN ou DANS, UN ou AVEC, DANS ou AVEC,UN ou DANS ou AVEC.
Définition 4. Le produit de deux événements UN Et DANSévénement appelé AVEC(noté AVEC = UNE∙B), consistant dans le fait qu'à la suite du test, l'événement s'est également produit UN, et événement DANS simultanément. (La conjonction « et » pour produire des événements est le mot clé).
Similaire au produit d'un nombre fini d'événements UN 1 , UN 2 , …, UN n (noté UN = UN 1 ∙UN 2 ∙…∙ UN n) l'événement est appelé UN, consistant dans le fait qu'à la suite du test, tous les événements spécifiés se sont produits.
Exemple. Si les événements UN, DANS, AVEC il y a l'apparition d'un « blason » respectivement dans les première, deuxième et troisième épreuves, puis l'événement UN× DANS× AVEC Il y a une goutte des « armoiries » dans les trois procès.
Remarque 1. Pour les événements incompatibles UN Et DANS l'égalité est vraie UNE∙B= Æ, où Æ est un événement impossible.
Remarque 2. Événements UN 1 , UN 2, … , UN n forment un groupe complet d’événements incompatibles par paires si .
Définition 5. Événements opposés deux événements incompatibles uniquement possibles qui forment un groupe complet sont appelés. Événement opposé à l'événement UN, noté par . Événement opposé à l'événement UN, est un ajout à l'événement UNà l'ensemble Ω.
Pour des événements opposés, deux conditions sont simultanément satisfaites A∙= Æ et A+= Ω.
Définition 6. Par différenceévénements UN Et DANS(noté UN– DANS) est appelé événement consistant en ce que l'événement UN viendra, et l'événement DANS - non et c'est égal UN– DANS= UN× .
Notez que les événements A + B, A ∙ B, , UN B il est pratique de l'interpréter graphiquement à l'aide de diagrammes d'Euler – Venn (Fig. 1.1).
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Riz. 1.1. Opérations sur les événements : négation, somme, produit et différence |
Formulons l'exemple de cette façon : laissez l'expérience g consiste à tirer au hasard dans la zone Ω dont les points sont des événements élémentaires ω. Que l'entrée dans la région Ω soit un événement fiable Ω, et que l'entrée dans la région UN Et DANS– respectivement les événements UN Et DANS. Puis les événements A+B(ou UNÈ DANS- lumière zone sur la figure), UNE∙B(ou UNÇ DANS - zone au centre), UN B(ou UN\DANS - sous-régions claires) correspondra aux quatre images de la Fig. 1.1. Dans les conditions de l'exemple précédent avec deux tireurs tirant sur une cible, le produit des événements UN Et DANS il y aura un événement C = UNEÇ DANS, consistant à toucher la cible avec les deux flèches.
Remarque 3. Si les opérations sur les événements sont représentées comme des opérations sur des ensembles et que les événements sont représentés comme des sous-ensembles d'un certain ensemble Ω, alors la somme des événements A+B correspond au syndicat UNÈ DANS ces sous-ensembles et le produit des événements UNE∙B- carrefour UN∩DANS ces sous-ensembles.
Ainsi, les opérations sur les événements peuvent être associées aux opérations sur les ensembles. Cette correspondance est présentée dans le tableau. 1.1
Tableau 1.1
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Désignations |
Langage de probabilité |
Langage de la théorie des ensembles |
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Élément spatial. événements |
Ensemble universel |
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Événement élémentaire |
Élément de l'ensemble universel |
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Événement aléatoire |
Sous-ensemble d'éléments ω de Ω |
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Événement fiable |
L’ensemble de tous ω |
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Événement impossible |
Ensemble vide |
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UNÀ |
UN implique DANS |
UN– sous-ensemble DANS |
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A+B(UNÈ DANS) |
Somme des événements UN Et DANS |
Union d'ensembles UN Et DANS |
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UN×V(UNÇ DANS) |
Produire des événements UN Et DANS |
Intersection de plusieurs UN Et DANS |
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UN B(UN\DANS) |
Différence d'événement |
Définir la différence |
Les actions sur les événements ont les propriétés suivantes :
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(commutatif);
(A+B) ∙ C = UNE× C + B× C, UNE ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (distribution);
(A+B) + AVEC = UN + (B + C), (UNE∙B) ∙ AVEC= UN ∙ (B∙C) (associatif);
A + A = A, A ∙ A = A;
UN + Ω = Ω, UN∙ Ω = UN;
Règle d'addition- si l'élément A peut être choisi de n façons, et l'élément B peut être choisi de m façons, alors A ou B peut être choisi de n + m façons.
^ Règle de multiplication - si l'élément A peut être choisi de n façons, et pour tout choix de A, l'élément B peut être choisi de m façons, alors le couple (A, B) peut être choisi de n·m façons.
Réarrangement. La permutation d'un ensemble d'éléments est la disposition des éléments dans un certain ordre. Ainsi, toutes les permutations différentes d’un ensemble de trois éléments sont
Le nombre de toutes les permutations d'éléments est noté . Par conséquent, le nombre de toutes les permutations différentes est calculé par la formule
Hébergement. Le nombre de placements d'un ensemble d'éléments par éléments est égal à
^ Placement avec répétition. S'il existe un ensemble de n types d'éléments et que vous devez placer un élément d'un certain type à chacun des m endroits (les types d'éléments peuvent coïncider à différents endroits), alors le nombre d'options pour cela sera de n m .
^ Combinaison. Définition. Combinaisons de divers éléments selonles éléments sont appelés des combinaisons constituées de donnéeséléments par éléments et diffèrent par au moins un élément (en d’autres termes,-sous-ensembles d'éléments d'un ensemble donné deéléments). maisback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=LARGEUR INFÉRIEURE=230 HAUTEUR=26 BORDURE=0>
Espace d'événements élémentaires. Événement aléatoire. Événement fiable. Événement impossible.
Événement aléatoire - tout sous-ensemble de l’espace des événements élémentaires.
^ Événement fiable - cela se produira certainement à la suite de l'expérience.
Événement impossible - ne se produira pas à la suite de l’expérience.
Actions sur des événements : somme, produit et différence des événements. Événement contraire. Événements conjoints et non conjoints. Groupe completévénements.
^ Événements incompatibles – s'ils ne peuvent pas se produire simultanément à la suite de l'expérience. On dit que plusieurs événements incompatibles se forment groupe complet d'événements, si l'un d'eux apparaît à la suite de l'expérience.
Si le premier événement est constitué de tous les résultats élémentaires à l'exception de ceux inclus dans le deuxième événement, alors ces événements sont appelés opposé.
La somme de deux événements A et B est un événement constitué d'événements élémentaires appartenant à au moins un des événements A ou B. ^ Le produit de deux événements A et B – un événement constitué d'événements élémentaires appartenant simultanément à A et B. Différence A et B – un événement constitué d'éléments de A qui n'appartiennent pas à l'événement B.
Classique, statistique et définitions géométriques probabilités. Propriétés de base de la probabilité d'un événement.
, g – partie de la figure G. ^ Propriétés de base de la probabilité : 1) 0≤P(A)≤1, 2) La probabilité d'un événement fiable est 1, 3) La probabilité d'un événement impossible est 0.
Le théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles et de ses conséquences.
Probabilite conditionnelle. Événements indépendants. Multiplier les probabilités d'événements dépendants et indépendants.
^ Multiplication des probabilités : pour les toxicomanes. Théorème. P(UNE∙B) = P(UNE)∙P UNE (B). Commentaire. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Conséquence. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Pour les indépendants. P(UNE∙B) = P(UNE)∙P(B).
^Tthéorème pour ajouter des probabilités d'événements conjoints. Théorème . La probabilité de survenance d'au moins un des deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur survenance conjointe
Formule de probabilité totale. Formules bayésiennes.
H 1, H 2 ...H n - forment un groupe complet - hypothèses.
L'événement A ne peut se produire que si H 1, H 2 ... H n apparaît,
Alors P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
^ Formule de Bayes
Soient N 1, N 2 ...H n des hypothèses, l'événement A peut se produire sous l'une des hypothèses
P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
Supposons que l'événement A s'est produit.
Comment la probabilité H 1 a-t-elle changé du fait que A s'est produit ? Ceux. R A (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 ( A) )/P(A)
H 2, H 3 ... H n sont déterminés de la même manière
Forme générale:
P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , où i=1,2,3…n.
Les formules permettent de surestimer les probabilités des hypothèses du fait que le résultat des tests ayant abouti à la survenance de l'événement A est connu.
Tests « avant » – probabilités a priori - P(N 1), P(N 2)…P(N n)
"Après" le test - probabilités a posteriori - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)
Les probabilités postérieures, ainsi que les probabilités antérieures, totalisent 1.
9.Formules de Bernoulli et Poisson.
La formule de Bernoulli
Soit n essais effectués, dans chacun desquels A peut apparaître ou non. Si la probabilité de l’événement A dans chacun de ces essais est constante, alors ces essais sont indépendants par rapport à A.
Considérons n essais indépendants, dans chacun desquels A peut se produire avec une probabilité p. Cette séquence de tests est appelée circuit de Bernoulli.
Théorème : la probabilité que dans n épreuves l'événement A se produise exactement m fois est égale à : P n (m)=C n m *p m *q n - m
Nombre m 0 - la survenance de l'événement A est dite la plus probable si la probabilité correspondante P n (m 0) n'est pas inférieure aux autres P n (m)
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Pour trouver m 0, utilisez :
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ La formule de Poisson
Considérez le test de Bernoulli :
n est le nombre de tests, p est la probabilité de réussite
Soit p petit (p→0) et n grand (n→∞)
nombre moyen de réussites dans n essais
On ajoute λ=n*p → p= λ dans la formule de Bernoulli :
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)
Si p≤0,1 et λ=n*p≤10, alors la formule donne de bons résultats.
10. Théorèmes locaux et intégraux de Moivre-Laplace.
Soit n le nombre de tests, p la probabilité de réussite, n grand et tendant vers l'infini. (n->∞)
^ Théorème local
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, où f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Si npq≥ 20 – donne de bons résultats, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Théorème intégral
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
où ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Fonction de Laplace
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Propriétés de la fonction de Laplace
ȹ(x) – fonction impaire: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – augmente de façon monotone
valeurs ȹ(x) (-0,5 ;0,5), et lim x →∞ ȹ(x)=0,5 ; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), où z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Variable aléatoire. Types de variables aléatoires. Méthodes de spécification d'une variable aléatoire.
SV est une fonction définie sur un ensemble d'événements élémentaires.
X,Y,Z – NE, et sa valeur est x,y,z
Aléatoire Ils appellent une grandeur qui, à la suite de tests, prendra une et une seule valeur possible, non connue à l'avance et dépendant de raisons aléatoires qui ne peuvent être prises en compte à l'avance.
NE discret, si l'ensemble de ses valeurs est fini ou dénombrable (elles peuvent être numérotées). Il prend des valeurs possibles individuelles et isolées avec des probabilités spécifiques. Le nombre de valeurs possibles d'un SV discret peut être fini ou infini.
NE continu, s'il prend toutes les valeurs possibles d'un certain intervalle (sur tout l'axe). Ses significations peuvent différer très peu.
^ Loi de distribution des SV discrètes M.B. donné par:
1.table
| X | x1 | x2 | … | xn |
| P(X) | page 1 | page 2 | … | pn |
(série de distribution)
X=x 1) sont incohérents
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p je
2.graphique
Polygone de distribution de probabilité
3.analytique
P=P(X)
12. Fonction de distribution d'une variable aléatoire. Propriétés de base de la fonction de distribution.
La fonction de distribution de SV X est une fonction F(X), qui détermine la probabilité que SV X prenne une valeur inférieure à x, c'est-à-dire
x x = fonction de distribution cumulée
Un SV continu a une fonction continue et différentiable par morceaux.