Découvrez si la fonction est paire ou impaire. Parité de fonction

même, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=f(x)\) .

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe \(y\) :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^2+\cos x\) est paire, car \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée impair, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=-f(x)\) .

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^3+x\) est impaire car \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires sont appelées fonctions vue générale. Une telle fonction peut toujours être représentée de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2-x\) est la somme de la fonction paire \(f_1=x^2\) et de l'impair \(f_2=-x\) .

\(\trianglenoirdroit\) Quelques propriétés :

1) Le produit et le quotient de deux fonctions de même parité - même fonction.

2) Le produit et le quotient de deux fonctions de parités différentes est une fonction étrange.

3) La somme et la différence des fonctions paires sont une fonction paire.

4) Somme et différence des fonctions impaires - fonction impaire.

5) Si \(f(x)\) est une fonction paire, alors l'équation \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) a une racine unique si et seulement quand \( x =0\) .

6) Si \(f(x)\) est une fonction paire ou impaire, et que l'équation \(f(x)=0\) a une racine \(x=b\), alors cette équation aura nécessairement une seconde racine \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Une fonction \(f(x)\) est appelée périodique sur \(X\) si pour un certain nombre \(T\ne 0\) ce qui suit est vrai : \(f(x)=f( x+T) \) , où \(x, x+T\in X\) . Le plus petit \(T\) pour lequel cette égalité est satisfaite est appelé la période principale (principale) de la fonction.

Une fonction périodique a n'importe quel nombre de la forme \(nT\) , où \(n\in \mathbb(Z)\) sera également un point.

Exemple : n'importe lequel fonction trigonométrique est périodique ;
pour les fonctions \(f(x)=\sin x\) et \(f(x)=\cos x\) la période principale est égale à \(2\pi\), pour les fonctions \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) et \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) la période principale est égale à \(\pi\) .

Afin de construire un graphique d'une fonction périodique, vous pouvez tracer son graphique sur n'importe quel segment de longueur \(T\) (période principale) ; puis le graphique de l'ensemble de la fonction est complété en décalant la partie construite d'un nombre entier de périodes vers la droite et la gauche :

\(\blacktriangleright\) Le domaine \(D(f)\) de la fonction \(f(x)\) est un ensemble constitué de toutes les valeurs de l'argument \(x\) pour lesquelles la fonction a un sens (est défini).

Exemple : la fonction \(f(x)=\sqrt x+1\) a un domaine de définition : \(x\in

Tâche 1 #6364

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

A quelles valeurs du paramètre \(a\) l'équation

a une seule solution ?

Notez que puisque \(x^2\) et \(\cos x\) sont des fonctions paires, si l'équation a une racine \(x_0\) , elle aura également une racine \(-x_0\) .
En effet, soit \(x_0\) une racine, c'est-à-dire l'égalité \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) droite. Remplaçons \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Ainsi, si \(x_0\ne 0\) , alors l'équation aura déjà au moins deux racines. Par conséquent, \(x_0=0\) . Alors:

Nous avons reçu deux valeurs pour le paramètre \(a\) . Notez que nous avons utilisé le fait que \(x=0\) est exactement la racine de l’équation d’origine. Mais nous n’avons jamais utilisé le fait qu’il est le seul. Par conséquent, vous devez remplacer les valeurs résultantes du paramètre \(a\) dans l'équation d'origine et vérifier pour quel \(a\) spécifique la racine \(x=0\) sera vraiment unique.

1) Si \(a=0\) , alors l'équation prendra la forme \(2x^2=0\) . Évidemment, cette équation n’a qu’une seule racine \(x=0\) . La valeur \(a=0\) nous convient donc.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , alors l'équation prendra la forme \ Réécrivons l'équation sous la forme \ Parce que \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Que \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Par conséquent, les valeurs du côté droit de l'équation (*) appartiennent au segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Puisque \(x^2\geqslant 0\) , alors le côté gauche de l'équation (*) est supérieur ou égal à \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Ainsi, l'égalité (*) ne peut être satisfaite que lorsque les deux côtés de l'équation sont égaux à \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Et cela signifie que \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] La valeur \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nous convient donc.

Répondre:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tâche 2 #3923

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles le graphique de la fonction \

symétrique par rapport à l'origine.

Si le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine, alors une telle fonction est impaire, c'est-à-dire que \(f(-x)=-f(x)\) est valable pour tout \(x\) du domaine de définition de la fonction. Ainsi, il est nécessaire de trouver les valeurs de paramètres pour lesquelles \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligné)\]

La dernière équation doit être satisfaite pour tout \(x\) du domaine de \(f(x)\) , donc, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Répondre:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tâche 3 #3069

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \ a 4 solutions, où \(f\) est une fonction périodique paire de période \(T=\dfrac(16)3\) défini sur toute la droite numérique, et \(f(x)=ax^2\) pour \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tâche des abonnés)

Puisque \(f(x)\) est une fonction paire, son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc lorsque \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Ainsi, quand \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), et c'est un segment de longueur \(\dfrac(16)3\) , fonction \(f(x)=ax^2\) .

1) Soit \(a>0\) . Alors le graphique de la fonction \(f(x)\) ressemblera à ceci :


Ensuite, pour que l'équation ait 4 solutions, il faut que le graphe \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passe par le point \(A\) :


Ainsi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligné)\end(rassemblé)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end( rassemblé)\droit.\] Puisque \(a>0\) , alors \(a=\dfrac(18)(23)\) convient.

2) Soit \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Il faut que le graphe \(g(x)\) passe par le point \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end(rassemblé)\right.\] Depuis un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Le cas où \(a=0\) ne convient pas, puisque alors \(f(x)=0\) pour tout \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) et le l'équation n'aura qu'une seule racine.

Répondre:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tâche 4 #3072

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs de \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a au moins une racine.

(Tâche des abonnés)

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) et \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
La fonction \(g(x)\) est paire et a un point minimum \(x=0\) (et \(g(0)=49\) ).
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est décroissante, et pour \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le deuxième module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\) ), donc, quelle que soit la façon dont le premier module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(-9\) ou \(-3\) . Quand \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point maximum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ \\]

Répondre:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Tâche 5 #3912

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a six solutions différentes.

Faisons le remplacement \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . L’équation prendra alors la forme \ Nous allons progressivement écrire les conditions dans lesquelles l'équation originale aura six solutions.
Notez que l'équation quadratique \((*)\) peut avoir un maximum de deux solutions. Toute équation cubique \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne peut pas avoir plus de trois solutions. Par conséquent, si l'équation \((*)\) a deux solutions différentes (positives !, puisque \(t\) doit être supérieur à zéro) \(t_1\) et \(t_2\) , alors en effectuant la substitution inverse , on obtient : \[\left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligné)\end(rassemblé)\right.\] Puisque tout nombre positif peut être représenté par \(\sqrt2\) dans une certaine mesure, par exemple, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), alors la première équation de l'ensemble sera réécrite sous la forme \ Comme nous l'avons déjà dit, toute équation cubique n'a pas plus de trois solutions, par conséquent, chaque équation de l'ensemble n'aura pas plus de trois solutions. Cela signifie que l'ensemble complet n'aura pas plus de six solutions.
Cela signifie que pour que l'équation originale ait six solutions, l'équation quadratique \((*)\) doit avoir deux solutions différentes, et chaque équation cubique résultante (de l'ensemble) doit avoir trois solutions différentes (et non une seule solution de une équation doit coïncider avec n'importe laquelle - par la décision de la seconde !)
Évidemment, si l’équation quadratique \((*)\) a une solution, alors nous n’obtiendrons pas six solutions à l’équation d’origine.

Ainsi, le plan de solution devient clair. Notons point par point les conditions à remplir.

1) Pour que l'équation \((*)\) ait deux solutions différentes, il faut que son discriminant soit positif : \

2) Il faut aussi que les deux racines soient positives (puisque \(t>0\) ). Si le produit de deux racines est positif et que leur somme est positive, alors les racines elles-mêmes seront positives. Il vous faut donc : \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Ainsi, nous nous sommes déjà dotés de deux racines positives différentes \(t_1\) et \(t_2\) .

3) Regardons cette équation \ Pour quoi \(t\) aura-t-il trois solutions différentes ?
Considérons la fonction \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Peut être factorisé : \ Par conséquent, ses zéros sont : \(x=-1;2\) .
Si nous trouvons la dérivée \(f"(x)=3x^2-6x\) , alors nous obtenons deux points extremum \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Le graphique ressemble donc à ceci :


On voit que toute ligne horizontale \(y=k\) , où \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avait trois solutions différentes, il faut que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Ainsi, il vous faut : \[\begin(cas) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notons aussi immédiatement que si les nombres \(t_1\) et \(t_2\) sont différents, alors les nombres \(\log_(\sqrt2)t_1\) et \(\log_(\sqrt2)t_2\) seront différent, ce qui signifie que les équations \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Et \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) aura des racines différentes.
Le système \((**)\) peut être réécrit comme suit : \[\begin(cas) 1

Ainsi, nous avons déterminé que les deux racines de l'équation \((*)\) doivent se situer dans l'intervalle \((1;4)\) . Comment écrire cette condition ?
Nous n’écrirons pas explicitement les racines.
Considérons la fonction \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Son graphique est une parabole à branches ascendantes, qui possède deux points d'intersection avec l'axe des x (nous avons noté cette condition au paragraphe 1)). À quoi doit ressembler son graphique pour que les points d'intersection avec l'axe des x soient dans l'intervalle \((1;4)\) ? Donc:


Premièrement, les valeurs \(g(1)\) et \(g(4)\) de la fonction aux points \(1\) et \(4\) doivent être positives, et deuxièmement, le sommet de la la parabole \(t_0\ ) doit également être dans l'intervalle \((1;4)\) . On peut donc écrire le système : \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) a toujours au moins une racine \(x=0\) . Cela signifie que pour remplir les conditions du problème, il faut que l’équation \

avait quatre racines différentes, différentes de zéro, représentant, avec \(x=0\), une progression arithmétique.

Notez que la fonction \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) est paire, ce qui signifie que si \(x_0\) est la racine de l'équation \( (*)\ ) , alors \(-x_0\) sera également sa racine. Il faut alors que les racines de cette équation soient des nombres ordonnés par ordre croissant : \(-2d, -d, d, 2d\) (donc \(d>0\)). C'est alors que ces cinq nombres formeront une progression arithmétique (avec la différence \(d\)).

Pour que ces racines soient les nombres \(-2d, -d, d, 2d\) , il faut que les nombres \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) soient les racines de l'équation \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Alors, d’après le théorème de Vieta :

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) et \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La fonction \(g(x)\) a un point maximum \(x=0\) (et \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Dérivée nulle : \(x=0\) . Quand \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pour \(x>0\) : \(g"<0\) .
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est croissante, et pour \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le premier module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\)), donc, quelle que soit la manière dont le deuxième module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(13-10=3\) ou \(13+10 =23\) . Quand \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point minimum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ En résolvant cet ensemble de systèmes, nous obtenons la réponse : \\]

Répondre:

\(a\in \(-2\)\cup\)

Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel nombre de valeurs de variables indépendantes x (style d'affichage x) et branchez-les dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante y (style d'affichage y). Tracez les coordonnées trouvées des points sur le plan de coordonnées, puis connectez ces points pour créer un graphique de la fonction.

• Remplacez les valeurs numériques positives dans la fonction x (style d'affichage x) et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, étant donné la fonction . Remplacez-y les valeurs suivantes x (style d'affichage x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Nous avons un point avec des coordonnées (2 , 9) (\style d'affichage (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Nous avons un point avec des coordonnées (− 1 , 3) ​​​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Nous avons un point avec des coordonnées (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Zéros de fonction
Le zéro d'une fonction est la valeur X, auquel la fonction passe à 0, c'est-à-dire f(x)=0.

Les zéros sont les points d'intersection du graphe de fonction avec l'axe Oh.

Parité de fonction
Une fonction est appelée même si pour n'importe quel X du domaine de définition, l'égalité f(-x) = f(x) est vraie

Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe UO

Fonction de parité impaire
Une fonction est dite impaire si pour tout Xà partir du domaine de définition, l'égalité f(-x) = -f(x) est vraie.

Une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
Une fonction qui n’est ni paire ni impaire est appelée fonction générale.

Fonction croissante
Une fonction f(x) est dite croissante si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction, c'est-à-dire

Fonction descendante
Une fonction f(x) est dite décroissante si une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction, c'est-à-dire

Les intervalles sur lesquels la fonction ne fait que diminuer ou seulement augmenter sont appelés intervalles de monotonie. La fonction f(x) a 3 intervalles de monotonie :

Trouver des intervalles de monotonie à l'aide du service Intervalles de fonction croissante et décroissante

Maximum local
Point x0 est appelé un point maximum local si pour n'importe quel X du voisinage d'un point x0 l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) > f(x)

Minimum local
Point x0 est appelé un point minimum local si pour un X du voisinage d'un point x0 l'inégalité est vraie : f(x 0)< f(x).

Les points maximum locaux et les points minimum locaux sont appelés points extremum locaux.

points extrêmes locaux.

Fréquence de fonction
La fonction f(x) est dite périodique, de période T, si pour quelque X l'égalité f(x+T) = f(x) est vraie.

Intervalles de constance des signes
Les intervalles sur lesquels la fonction est soit uniquement positive, soit uniquement négative sont appelés intervalles de signe constant.

Continuité de fonction
Une fonction f(x) est dite continue en un point x 0 si la limite de la fonction comme x → x 0 est égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire .

Points de rupture
Les points auxquels la condition de continuité est violée sont appelés points d'arrêt de fonction.

x0- point de rupture.

Schéma général de traçage de graphiques de fonctions

1. Trouver le domaine de définition de la fonction D(y).

2. Trouvez les points d'intersection du graphique des fonctions avec les axes de coordonnées.

3. Examinez la fonction pour déterminer si elle est paire ou impaire.

4. Examinez la fonction pour la périodicité.

5. Trouvez les intervalles de monotonie et les points extrêmes de la fonction.

6. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion de la fonction.

7. Trouvez les asymptotes de la fonction.

8. Sur la base des résultats de la recherche, construisez un graphique.

Exemple: Explorez la fonction et tracez-la : y = x 3 – 3x

1) La fonction est définie sur tout l'axe numérique, c'est-à-dire que son domaine de définition est D(y) = (-∞; +∞).

2) Trouver les points d'intersection avec les axes de coordonnées :

avec l’axe OX : résoudre l’équation x 3 – 3x = 0

avec axe OY : y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Découvrez si la fonction est paire ou impaire :

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Il s’ensuit que la fonction est impaire.

4) La fonction est non périodique.

5) Trouvons les intervalles de monotonie et les points extremum de la fonction : y’ = 3x 2 - 3.

Points critiques : 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Trouver les intervalles de convexité et les points d’inflexion de la fonction : y’’ = 6x

Points critiques : 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) La fonction est continue, elle n'a pas d'asymptote.

8) Sur la base des résultats de l'étude, nous construirons un graphique de la fonction.

La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = f(-x).

Graphique d'une fonction paire

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Regardons ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.