>

Déterminez si la fonction est paire. Propriétés de la fonction

Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel nombre de valeurs numériques pour la variable indépendante x (\displaystyle x) et branchez-les dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante y (\displaystyle y) . Tracez les coordonnées trouvées des points sur plan de coordonnées, puis connectez ces points pour représenter graphiquement la fonction.

  • Remplacez les valeurs numériques positives x (\displaystyle x) et les valeurs numériques négatives correspondantes dans la fonction. Par exemple, étant donné la fonction . Remplacez-le par valeurs suivantes x (\displaystyle x) :
    • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​​(\ style d'affichage (1,3)) .
    • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Nous avons un point avec les coordonnées (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
    • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Nous avons un point avec les coordonnées (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
    • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Nous avons un point avec les coordonnées (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

  • Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe Y. Par symétrie, nous entendons l'image miroir du graphique par rapport à l'axe Y. Si la partie du graphique à droite de l'axe Y (valeurs positives de la variable indépendante) est la même que la partie du graphique à gauche de l'axe Y (valeurs négatives de la variable indépendante ), le graphique est symétrique par rapport à l'axe Y. Si la fonction est symétrique par rapport à l'axe Y, la fonction est paire.

    • Vous pouvez vérifier la symétrie du graphique à l'aide de points individuels. Si la valeur de y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) correspond à la valeur de y (\displaystyle y) qui correspond à la valeur de − x (\displaystyle -x) , la fonction est paire. Dans notre exemple avec la fonction f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) nous avons obtenu les coordonnées suivantes des points :
      • (1,3) et (-1,3)
      • (2,9) et (-2,9)
    • Notez que pour x=1 et x=-1, la variable dépendante est y=3, et pour x=2 et x=-2, la variable dépendante est y=9. La fonction est donc paire. En fait, pour déterminer avec précision la forme de la fonction, vous devez considérer plus de deux points, mais la méthode décrite est une bonne approximation.

  • Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.

    • L'origine est le point de coordonnées (0,0). La symétrie autour de l'origine signifie qu'une valeur y positive (pour une valeur x positive) correspond à une valeur y négative (pour une valeur x négative), et vice versa. Les fonctions impaires ont une symétrie par rapport à l'origine. Si l'on substitue plusieurs positifs et correspondants valeurs négatives
      • x (\displaystyle x) , les valeurs de y (\displaystyle y) différeront en signe. Par exemple, étant donné une fonction f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Remplacez-y plusieurs valeurs de x (\displaystyle x) :
      • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Nous avons un point avec les coordonnées (1,2).
      • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
      • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
    • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . Nous avons reçu un point avec les coordonnées (-2,-10).

  • Ainsi, f(x) = -f(-x), c'est-à-dire que la fonction est impaire.

    • Vérifiez si le graphique de la fonction a une symétrie.
      • Le dernier type de fonction est une fonction dont le graphique n'a pas de symétrie, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'image miroir à la fois par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine. Par exemple, étant donné la fonction .
      • Remplacez plusieurs valeurs positives et négatives correspondantes de x (\displaystyle x) dans la fonction :
      • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Nous avons un point avec les coordonnées (1,4).
      • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Nous avons un point avec les coordonnées (-1,-2).
    • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Nous avons un point avec les coordonnées (2,10).
    • Veuillez noter que la fonction f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) peut s'écrire comme suit : f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Lorsqu'elle est écrite sous cette forme, la fonction apparaît paire car il y a un exposant pair. Mais cet exemple prouve que le type de fonction ne peut pas être déterminé rapidement si la variable indépendante est mise entre parenthèses. Dans ce cas, vous devez ouvrir les parenthèses et analyser les exposants obtenus.

    • La régularité et l'impair d'une fonction sont l'une de ses propriétés principales, et la parité y occupe une part impressionnante cours scolaire en mathématiques. Il détermine en grande partie le comportement de la fonction et facilite grandement la construction du graphe correspondant.

    Déterminons la parité de la fonction. D'une manière générale, la fonction étudiée est considérée même si pour des valeurs opposées de la variable indépendante (x) située dans son domaine de définition, les valeurs correspondantes de y (fonction) s'avèrent égales.

    Donnons une définition plus stricte. Considérons une fonction f (x), qui est définie dans le domaine D. Ce sera même si pour tout point x situé dans le domaine de définition :

    • -x (point opposé) entre également dans cette portée,
    • f(-x) = f(x).

    De la définition ci-dessus découle la condition nécessaire au domaine de définition d'une telle fonction, à savoir la symétrie par rapport au point O, qui est l'origine des coordonnées, car si un point b est contenu dans le domaine de définition d'un pair fonction, alors le point correspondant b se trouve également dans ce domaine. De ce qui précède découle donc la conclusion : la fonction paire a une forme symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).

    Comment déterminer la parité d’une fonction en pratique ?

    Soit spécifié en utilisant la formule h(x)=11^x+11^(-x). En suivant l'algorithme qui découle directement de la définition, nous examinons d'abord son domaine de définition. Évidemment, il est défini pour toutes les valeurs de l'argument, c'est-à-dire que la première condition est satisfaite.

    L'étape suivante consiste à remplacer l'argument (x) par la valeur opposée (-x).
    On obtient :
    h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
    Puisque l'addition satisfait la loi commutative (commutative), il est évident que h(-x) = h(x) et la dépendance fonctionnelle donnée est paire.

    Vérifions la parité de la fonction h(x)=11^x-11^(-x). En suivant le même algorithme, nous obtenons que h(-x) = 11^(-x) -11^x. En enlevant le moins, au final nous avons
    h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Donc h(x) est impair.

    D'ailleurs, il convient de rappeler qu'il existe des fonctions qui ne peuvent être classées selon ces critères ; elles ne sont appelées ni paires ni impaires.

    Même les fonctions ont un certain nombre de propriétés intéressantes :

    • suite à l'ajout de fonctions similaires, ils en obtiennent une paire ;
    • en soustrayant de telles fonctions, on obtient une fonction paire ;
    • même, aussi même;
    • en multipliant deux de ces fonctions, on en obtient une paire ;
    • en multipliant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
    • en divisant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
    • la dérivée d'une telle fonction est impaire ;
    • Si vous mettez au carré une fonction impaire, vous obtenez une fonction paire.

    La parité d'une fonction peut être utilisée pour résoudre des équations.

    Pour résoudre une équation comme g(x) = 0, où le côté gauche de l'équation est une fonction paire, il suffira amplement de trouver ses solutions pour des valeurs non négatives de la variable. Les racines résultantes de l'équation doivent être combinées avec les nombres opposés. L'un d'eux est soumis à vérification.

    Ceci est également utilisé avec succès pour résoudre des problèmes non standard avec un paramètre.

    Par exemple, existe-t-il une valeur du paramètre a pour laquelle l'équation 2x^6-x^4-ax^2=1 aura trois racines ?

    Si l'on tient compte du fait que la variable entre dans l'équation avec des puissances paires, alors il est clair que remplacer x par - x équation donnée ne changera pas. Il s’ensuit que si un certain nombre est sa racine, alors le nombre opposé est également la racine. La conclusion est évidente : les racines d'une équation différentes de zéro sont incluses dans l'ensemble de ses solutions « par paires ».

    Il est clair que le nombre lui-même n'est pas 0, c'est-à-dire que le nombre de racines d'une telle équation ne peut être que pair et, bien entendu, pour toute valeur du paramètre, il ne peut pas y avoir trois racines.

    Mais le nombre de racines de l'équation 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 peut être impair, et pour n'importe quelle valeur du paramètre. En effet, il est facile de vérifier que l’ensemble des racines équation donnée contient des solutions par paires. Vérifions si 0 est une racine. Lorsque nous le substituons dans l’équation, nous obtenons 2=2. Ainsi, en plus des « paires », 0 est aussi une racine, ce qui prouve leur nombre impair.

    Une fonction est appelée paire (impaire) si pour tout et l'égalité

    .

    Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe
    .

    Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

    Exemple 6.2.

    1)
    ; 2)
    ; 3)
    .

    Examiner si une fonction est paire ou impaire.

    Solution
    1) La fonction est définie lorsque
    .

    . Nous trouverons
    Ceux. . Moyens, cette fonction

    est pair.

    . Nous trouverons
    2) La fonction est définie lorsque

    . Cette fonction est donc étrange.

    ,
    . La fonction n’est donc ni paire ni impaire. Appelons cela une fonction de forme générale.

    3. Etude de la fonction de monotonie.

    Fonction
    est appelé croissant (décroissant) sur un certain intervalle si dans cet intervalle chacun valeur plus élevée L’argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

    Les fonctions croissantes (décroissantes) sur un certain intervalle sont appelées monotones.

    Si la fonction
    différentiable sur l'intervalle
    et a une dérivée positive (négative)
    , alors la fonction
    augmente (diminue) sur cet intervalle.

    Exemple 6.3. Trouver des intervalles de monotonie des fonctions

    1)
    ; 3)
    .

    Examiner si une fonction est paire ou impaire.

    1) Cette fonction est définie sur toute la droite numérique. Trouvons la dérivée.

    La dérivée est nulle si
    Et
    . Le domaine de définition est l'axe des nombres, divisé par des points
    ,
    à intervalles. Déterminons le signe de la dérivée dans chaque intervalle.

    Dans l'intervalle
    la dérivée est négative, la fonction décroît sur cet intervalle.

    Dans l'intervalle
    la dérivée est positive, donc la fonction augmente sur cet intervalle.

    2) Cette fonction est définie si
    ou

    .

    Nous déterminons le signe du trinôme quadratique dans chaque intervalle.

    Ainsi, le domaine de définition de la fonction

    Trouvons la dérivée
    ,
    , Si
    , c'est-à-dire
    , Mais
    . Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles
    .

    Dans l'intervalle
    la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur l'intervalle
    . Dans l'intervalle
    la dérivée est positive, la fonction augmente sur l'intervalle
    .

    4. Etude de la fonction à l'extremum.

    Point
    appelé le point maximum (minimum) de la fonction
    , s'il existe un tel voisinage du point c'est pour tout le monde
    de ce quartier, l'inégalité persiste

    .

    Les points maximum et minimum d’une fonction sont appelés points extremum.

    Si la fonction
    au point a un extremum, alors la dérivée de la fonction en ce point est égale à zéro ou n'existe pas (condition nécessaire à l'existence d'un extremum).

    Les points auxquels la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelés critiques.

    5. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum.

    Règle 1. Si pendant la transition (de gauche à droite) par le point critique dérivé
    change de signe de « + » à « – », puis au point fonction
    a un maximum ; si de « – » à « + », alors le minimum ; Si
    ne change pas de signe, alors il n’y a pas d’extremum.

    Règle 2. Laissez au point
    dérivée première d'une fonction
    égal à zéro
    , et la dérivée seconde existe et est différente de zéro. Si
    , Que – point maximum, si
    , Que – point minimum de la fonction.

    Exemple 6.4. Explorez les fonctions maximales et minimales :

    1)
    ; 2)
    ; 3)
    ;

    4)
    .

    Solution.

    1) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
    .

    Trouvons la dérivée
    et résoudre l'équation
    , c'est-à-dire
    .D'ici
    – les points critiques.

    Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles ,
    .

    Lors du passage par des points
    Et
    la dérivée change de signe de « – » à « + », donc, selon la règle 1
    – un minimum de points.

    En passant par un point
    la dérivée change de signe de « + » à « – », donc
    – point maximum.

    ,
    .

    2) La fonction est définie et continue dans l'intervalle
    . Trouvons la dérivée
    .

    Après avoir résolu l'équation
    , nous trouverons
    Et
    – les points critiques. Si le dénominateur
    , c'est-à-dire
    , alors la dérivée n’existe pas. Donc,
    – troisième point critique. Déterminons le signe de la dérivée par intervalles.

    Par conséquent, la fonction a un minimum au point
    , maximum en points
    Et
    .

    3) Une fonction est définie et continue si
    , c'est-à-dire à
    .

    Trouvons la dérivée

    .

    Trouvons les points critiques :

    Quartiers de points
    n’appartiennent pas au domaine de la définition, ils ne sont donc pas des extrema. Alors, examinons les points critiques
    Et
    .

    4) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
    . Utilisons la règle 2. Trouvez la dérivée
    .

    Trouvons les points critiques :

    Trouvons la dérivée seconde
    et déterminer son signe aux points

    Aux points
    la fonction a un minimum.

    Aux points
    la fonction a un maximum.

    Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

    Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . En plus de la simplicité, cette méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

    Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

    Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) en utilisant code simple vous pouvez connecter rapidement un script MathJax à votre site web, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

    Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

    L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

    Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est ça. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

    Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

    L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.