इस पाठ में हम समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधि, अर्थात् बीजगणितीय जोड़ की विधि का अध्ययन करना जारी रखेंगे। सबसे पहले, आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस पद्धति के अनुप्रयोग को देखें रेखीय समीकरणऔर इसका सार. आइए यह भी याद रखें कि समीकरणों में गुणांकों को कैसे बराबर किया जाए। और हम इस पद्धति का उपयोग करके कई समस्याओं का समाधान करेंगे।

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: बीजगणितीय जोड़ विधि

1. उदाहरण के तौर पर रैखिक प्रणालियों का उपयोग करके बीजगणितीय जोड़ की विधि

आइए विचार करें बीजगणितीय जोड़ विधिरैखिक प्रणालियों के उदाहरण का उपयोग करना।

उदाहरण 1. सिस्टम को हल करें

यदि हम इन दो समीकरणों को जोड़ते हैं, तो y रद्द हो जाता है, x के लिए एक समीकरण बचता है।

यदि हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं, तो x एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और हमें y के लिए एक समीकरण मिलता है। बीजगणितीय योग विधि का यही अर्थ है।

हमने सिस्टम को हल किया और बीजगणितीय जोड़ की विधि को याद किया। आइए इसके सार को दोहराएं: हम समीकरण जोड़ और घटा सकते हैं, लेकिन हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि हमें केवल एक अज्ञात वाला समीकरण मिले।

2. गुणांकों के प्रारंभिक समीकरण के साथ बीजगणितीय जोड़ की विधि

उदाहरण 2. सिस्टम को हल करें

पद दोनों समीकरणों में मौजूद है, इसलिए बीजगणितीय जोड़ विधि सुविधाजनक है। आइए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ।

उत्तर: (2; -1).

इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली का विश्लेषण करने के बाद, आप देख सकते हैं कि यह बीजगणितीय जोड़ की विधि के लिए सुविधाजनक है, और इसे लागू करें।

आइए एक अन्य रैखिक प्रणाली पर विचार करें।

3. अरेखीय प्रणालियों का समाधान

उदाहरण 3. सिस्टम को हल करें

हम y से छुटकारा पाना चाहते हैं, लेकिन दोनों समीकरणों में y के गुणांक भिन्न हैं। आइए उन्हें बराबर करें; ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को 3 से गुणा करें, दूसरे को 4 से गुणा करें।

उदाहरण 4. सिस्टम को हल करें

आइए x के गुणांकों को बराबर करें

आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं - y के गुणांकों को बराबर करें।

हमने बीजगणितीय जोड़ विधि को दो बार लागू करके सिस्टम को हल किया।

बीजगणितीय जोड़ विधि अरैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए भी लागू होती है।

उदाहरण 5. सिस्टम को हल करें

आइए इन समीकरणों को एक साथ जोड़ें और हम y से छुटकारा पा लेंगे।

बीजगणितीय जोड़ विधि को दो बार लागू करके एक ही प्रणाली को हल किया जा सकता है। आइए एक समीकरण से दूसरे समीकरण को जोड़ें और घटाएं।

उदाहरण 6. सिस्टम को हल करें

उत्तर:

उदाहरण 7. सिस्टम को हल करें

बीजगणितीय जोड़ की विधि का उपयोग करके हम xy पद से छुटकारा पा लेंगे। आइए पहले समीकरण को इससे गुणा करें।

पहला समीकरण अपरिवर्तित रहता है, दूसरे के बजाय हम बीजगणितीय योग लिखते हैं।

उत्तर:

उदाहरण 8. सिस्टम को हल करें

एक पूर्ण वर्ग निकालने के लिए दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें।

हमारा कार्य चार सरल प्रणालियों को हल करने तक सीमित रह गया था।

4. निष्कर्ष

हमने रैखिक और अरैखिक प्रणालियों को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके बीजगणितीय जोड़ की विधि की जांच की। अगले पाठ में हम नये वेरिएबल्स को प्रस्तुत करने की विधि पर गौर करेंगे।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थाएँ.- चौथा संस्करण। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी.: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार।

3. मकारिचेव यू. बीजगणित। 9वीं कक्षा: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए. संस्थान / यू. एन. मकारिचेव, एन. जी. मिंड्युक, के. आई. नेशकोव, आई. ई. फेओक्टिस्टोव। - 7वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.: मेनेमोसिन, 2008।

4. अलीमोव एस., कोल्यागिन यू., सिदोरोव यू. बीजगणित। 9वीं कक्षा. 16वां संस्करण. - एम., 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। 9वीं कक्षा. 2 घंटे में। भाग 1। सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी.सेमेनोव। - 12वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: 2010. - 224 पी.: बीमार।

6. बीजगणित. 9वीं कक्षा. 2 भागों में। भाग 2. सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ए. अलेक्जेंड्रोवा, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य; एड. ए जी मोर्दकोविच। - 12वां संस्करण, रेव। - एम.: 2010.-223 पी.: बीमार।

1. कॉलेज अनुभाग. गणित में आरयू.

2. इंटरनेट प्रोजेक्ट "कार्य"।

3. शैक्षिक पोर्टल"मैं उपयोग का समाधान करूंगा।"

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित 9वीं कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए समस्या पुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच, टी.एन. मिशुस्टिना और अन्य। - एम.: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी.: बीमार। क्रमांक 125 - 127.

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दो अज्ञात वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण हैं जिनके लिए उनके सभी सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करेंगे। सामान्य रूप से देखेंदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत की गई है:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (x,y) की एक जोड़ी है, जैसे कि यदि हम इन संख्याओं को प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो प्रणाली का प्रत्येक समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। आइए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् जोड़ विधि।

जोड़ विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम

जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम।

1. यदि आवश्यक हो, समतुल्य परिवर्तनों के माध्यम से, दोनों समीकरणों में अज्ञात चर में से एक के गुणांक को बराबर करें।

2. परिणामी समीकरणों को जोड़कर या घटाकर, एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करें

3. एक अज्ञात के साथ परिणामी समीकरण को हल करें और एक चर खोजें।

4. परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें.

जोड़ विधि का उपयोग करके समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, आइए जोड़ विधि का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

चूँकि किसी भी चर के गुणांक समान नहीं हैं, हम चर y के गुणांकों को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

हम पाते हैं समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

अब हम दूसरे समीकरण से पहले को घटाते हैं। हम समान पद प्रस्तुत करते हैं और परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

परिणाम संख्याओं x=6 और y=14 की एक जोड़ी है। हम जांच कर रहे हैं. आइए एक प्रतिस्थापन करें.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सही समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमें सही समाधान मिला।

आर्थिक क्षेत्र में गणितीय मॉडलिंग में समीकरणों की प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है विभिन्न प्रक्रियाएँ. उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्गों (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

जनसंख्या आकार ज्ञात करने की समस्याओं को हल करते समय समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण सच्ची समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध कर देते हैं कि अनुक्रम का अस्तित्व ही नहीं है।

रैखिक समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं जिनका मान पाया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
किसी समीकरण को प्लॉट करके हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरण दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली माने जाते हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फ़ंक्शन हैं और (x, y) फ़ंक्शन वेरिएबल हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका मतलब उन मानों (x, y) को ढूंढना है जिन पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या यह स्थापित करना कि x और y के उपयुक्त मान मौजूद नहीं हैं।

मानों की एक जोड़ी (x, y), जिसे एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम में एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। यदि समान चिह्न के बाद दाएँ भाग का कोई मान हो या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया हो, तो ऐसी प्रणाली विषमांगी होती है।

चरों की संख्या दो से कहीं अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना होता है, तो स्कूली बच्चे यह मान लेते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से मेल खानी चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चरों पर निर्भर नहीं करती, जितनी चाहें उतनी हो सकती हैं;

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक विधि नहीं है; सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। में स्कूल पाठ्यक्रमगणित में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफ़िकल और मैट्रिक्स विधियों, गाऊसी विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाते समय मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही ढंग से विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की एक प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि एक विशेष विधि का उपयोग करने के सिद्धांतों को समझना है

7वीं कक्षा के सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना काफी सरल है और बहुत विस्तार से समझाया गया है। किसी भी गणित की पाठ्यपुस्तक में इस अनुभाग पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षा के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करने का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटा दिया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके कक्षा 7 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . समाधान यह उदाहरणकठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मानों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और चर को दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करना आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगा। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात हों, तो प्रतिस्थापन द्वारा हल करना भी अव्यावहारिक है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम के लिए समाधान खोजते समय, वे समीकरणों का शब्द-दर-शब्द जोड़ और गुणा करते हैं अलग-अलग नंबर. गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चर होने पर जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव हों तो बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय संक्रिया के परिणामस्वरूप, चर का एक गुणांक 1 के बराबर हो जाना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति को पद दर पद जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान की विधि

यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है तो एक नया चर पेश किया जा सकता है; अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए;

इस विधि का उपयोग एक नए चर को प्रस्तुत करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रस्तुत अज्ञात के लिए नया समीकरण हल किया जाता है, और परिणामी मान का उपयोग मूल चर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया वैरिएबल टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक एक में कम करना संभव था द्विघात त्रिपद. आप विवेचक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहां D वांछित विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विभेदक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2*a.

परिणामी प्रणालियों का समाधान जोड़ विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त। विधि आगे निर्माण करना है समन्वय अक्षसिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक और होंगे सामान्य निर्णयसिस्टम.

ग्राफ़िकल विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए दृश्यात्मक तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरण देखें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सिस्टम का समाधान है।

में निम्नलिखित उदाहरणआपको रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और अपनी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 की प्रणालियाँ समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान भिन्न हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम में कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ़ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक तालिका है विशेष प्रकारसंख्याओं से भरा हुआ. n*m में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। मैट्रिक्स-वेक्टर एक कॉलम का मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों की असीमित संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई मैट्रिक्स में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद होता है;

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स संख्याओं के रूप में लिखा जाता है; एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है;

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य नहीं है। अत: यदि किसी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न हो तो लुप्त अज्ञात के स्थान पर शून्य डालना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहले, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

किसी मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और |K| मैट्रिक्स का निर्धारक है. |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

दो-दो मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की गणना आसानी से की जाती है, आपको बस विकर्ण तत्वों को एक-दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता होती है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि काम में स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि आपको बड़ी संख्या में चर और समीकरणों वाले सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में, a nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त पद हैं।

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

उच्च गणित में, गॉसियन विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। खोजने के लिए इन विधियों का उपयोग किया जाता है परिवर्तनशील प्रणालियाँबड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों के साथ.

गॉस विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ द्वारा समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूली पाठ्यक्रम में, गॉसियन विधि द्वारा समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करना है। द्वारा बीजगणितीय परिवर्तनऔर प्रतिस्थापन, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 और 4 क्रमशः 3 और 4 चर के साथ हैं।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, आगे का समाधान सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन तक कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7। किसी भी समीकरण को हल करने से आप किसी एक चर x n का पता लगा सकेंगे।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, बताता है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष समीकरण से बदल दिया जाता है, तो परिणामी सिस्टम भी मूल के बराबर होगा।

छात्रों के लिए गॉस विधि को समझना कठिन है हाई स्कूल, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रमों में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करना।

रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, गणनाएँ आमतौर पर निम्नानुसार की जाती हैं:

समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, जिस मैट्रिक्स पर काम करना है उसे लिखें, फिर किसी एक पंक्ति के साथ की गई सभी कार्रवाइयां लिखें। परिणामी मैट्रिक्स को "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन जारी रखा जाता है।

नतीजा एक मैट्रिक्स होना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 के बराबर है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, यानी, मैट्रिक्स एक इकाई रूप में कम हो गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह रिकॉर्डिंग विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान पद्धति के निःशुल्क उपयोग के लिए देखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ व्यावहारिक प्रकृति की नहीं होतीं। समाधान खोजने के कुछ तरीके मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।

इस गणितीय कार्यक्रम का उपयोग करके, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि का उपयोग करके दो चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि देता भी है विस्तृत समाधानसमाधान चरणों की दो तरीकों से व्याख्या के साथ: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

यह कार्यक्रम माध्यमिक विद्यालयों में तैयारी कर रहे हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है परीक्षणऔर परीक्षा, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे यथाशीघ्र पूरा करना चाहते हैं?गृहकार्य

गणित में या बीजगणित में? इस मामले में, आप विस्तृत समाधानों के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना स्वयं का प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाई-बहनों का प्रशिक्षण संचालित कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ता है।

समीकरण दर्ज करने के नियम
कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि। समीकरण दर्ज करते समयआप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं
. इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है।

सरलीकरण के बाद समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ फॉर्म ax+by+c=0 का।

उदाहरण के लिए: 6x+1 = 5(x+y)+2
समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण भिन्न के रूप में भिन्नों का भी उपयोग कर सकते हैं। दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.पूर्णांक और भिन्नात्मक भाग
दशमलव

बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55
साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है। /
हर ऋणात्मक नहीं हो सकता. &

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है:
संपूर्ण भाग को एम्परसेंड चिन्ह द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है:
उदाहरण.

समीकरणों की प्रणाली को हल करें

उदाहरण: 3x-4y = 5
उदाहरण: 6x+1 = 5(x+y)+2
यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।

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प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के कुछ समीकरण से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें;
2) परिणामी अभिव्यक्ति को इस चर के बजाय सिस्टम के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

आइए पहले समीकरण से y को x के संदर्भ में व्यक्त करें: y = 7-3x। दूसरे समीकरण में y के स्थान पर व्यंजक 7-3x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणाली के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \दायाँ तीर -5x+14-6x=3 \दायाँ तीर -11x=-11 \दायाँ तीर x=1 $$

समानता y=7-3x में x के बजाय 1 प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान पाते हैं:
$$ y=7-3 \cdot 1 \दायाँ तीर y=4 $$

जोड़ी (1;4) - सिस्टम का समाधान

दो चरों वाले समीकरणों के निकाय जिनका समाधान समान हो, कहलाते हैं समकक्ष. जिन प्रणालियों में समाधान नहीं है उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

जोड़ द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ विधि। इस तरह से सिस्टम को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन द्वारा हल करते समय, हम इस सिस्टम से दूसरे, समकक्ष सिस्टम में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम के समीकरणों को पद दर पद गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्याएं बन जाएं;
2) सिस्टम समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को शब्द दर शब्द जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे वेरिएबल का संगत मान ज्ञात करें।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद दर पद जोड़ने पर, हमें एक चर 3x=33 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए सिस्टम के समीकरणों में से एक को, उदाहरण के लिए पहले समीकरण को, समीकरण 3x=33 से बदलें। आइए सिस्टम प्राप्त करें
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

समीकरण 3x=33 से हम पाते हैं कि x=11. इस x मान को समीकरण \(x-3y=38\) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \(11-3y=38\) वाला एक समीकरण मिलता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\(-3y=27 \दायां तीर y=-9 \)

इस प्रकार, हमने जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली का समाधान पाया: \(x=11; y=-9\) या \((11;-9)\)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y के गुणांक विपरीत संख्याएँ हैं, हमने इसके समाधान को एक समतुल्य सिस्टम के समाधान में बदल दिया (मूल सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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इस वीडियो के साथ मैं समीकरणों की प्रणालियों को समर्पित पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। आज हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बारे में बात करेंगे अतिरिक्त विधि- यह सबसे अधिक में से एक है सरल तरीके, लेकिन साथ ही सबसे प्रभावी में से एक।

जोड़ विधि में तीन सरल चरण होते हैं:

1. सिस्टम को देखें और एक ऐसा चर चुनें जिसके प्रत्येक समीकरण में समान (या विपरीत) गुणांक हों;
2. एक दूसरे से समीकरणों का बीजगणितीय घटाव (विपरीत संख्याओं के लिए - जोड़) करें, और फिर समान पद लाएँ;
3. दूसरे चरण के बाद प्राप्त नये समीकरण को हल करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आउटपुट पर हमें एक एकल समीकरण मिलेगा एक चर के साथ- इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। फिर जो कुछ बचता है वह पाया गया मूल को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना और अंतिम उत्तर प्राप्त करना है।

हालाँकि, व्यवहार में सब कुछ इतना सरल नहीं है। इसके अनेक कारण हैं:

• जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने का अर्थ है कि सभी पंक्तियों में समान/विपरीत गुणांक वाले चर होने चाहिए। यदि यह आवश्यकता पूरी न हो तो क्या करें?
• हमेशा नहीं, संकेतित तरीके से समीकरणों को जोड़ने/घटाने के बाद, हमें एक सुंदर निर्माण मिलता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। क्या किसी तरह गणनाओं को सरल बनाना और गणनाओं में तेजी लाना संभव है?

इन प्रश्नों का उत्तर पाने के लिए, और साथ ही कुछ अतिरिक्त बारीकियों को समझने के लिए, जिनमें कई छात्र असफल हो जाते हैं, मेरा वीडियो पाठ देखें:

इस पाठ के साथ हम समीकरणों की प्रणालियों पर समर्पित व्याख्यानों की एक श्रृंखला शुरू करते हैं। और हम उनमें से सबसे सरल से शुरू करेंगे, अर्थात् जिनमें दो समीकरण और दो चर हैं। उनमें से प्रत्येक रैखिक होगा.

सिस्टम 7वीं कक्षा की सामग्री है, लेकिन यह पाठ हाई स्कूल के छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जो इस विषय पर अपने ज्ञान को बढ़ाना चाहते हैं।

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणालियों को हल करने की दो विधियाँ हैं:

1. जोड़ विधि;
2. एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने की एक विधि।

आज हम पहली विधि से निपटेंगे - हम घटाव और जोड़ की विधि का उपयोग करेंगे। लेकिन ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित तथ्य को समझने की आवश्यकता है: एक बार जब आपके पास दो या दो से अधिक समीकरण हों, तो आप उनमें से कोई भी दो ले सकते हैं और उन्हें एक दूसरे में जोड़ सकते हैं। उन्हें सदस्य-दर-सदस्य जोड़ा जाता है, अर्थात्। "एक्स" को "एक्स" में जोड़ा जाता है और समान दिए जाते हैं, "वाई" के साथ "वाई" फिर से समान होते हैं, और जो समान चिह्न के दाईं ओर है उसे भी एक दूसरे में जोड़ा जाता है, और समान चिह्न भी वहां दिए जाते हैं .

ऐसी साजिशों के नतीजे एक नए समीकरण के रूप में सामने आएंगे, जिनकी जड़ें अगर होंगी तो वे निश्चित रूप से मूल समीकरण की जड़ों में से होंगी। इसलिए, हमारा काम घटाना या जोड़ना इस तरह से करना है कि या तो $x$ या $y$ गायब हो जाए।

इसे कैसे प्राप्त करें और इसके लिए किस टूल का उपयोग करें - हम अब इस बारे में बात करेंगे।

जोड़ का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

इसलिए, हम दो सरल अभिव्यक्तियों के उदाहरण का उपयोग करके जोड़ विधि का उपयोग करना सीखते हैं।

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-4$ है, और दूसरे में $+4$ है। वे परस्पर विपरीत हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि यदि हम उन्हें जोड़ते हैं, तो परिणामी योग में "खेल" पारस्परिक रूप से नष्ट हो जाएंगे। इसे जोड़ें और प्राप्त करें:

आइए सबसे सरल निर्माण को हल करें:

बढ़िया, हमें "x" मिल गया। अब हमें इसका क्या करना चाहिए? हमें इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने का अधिकार है। आइए पहले स्थानापन्न करें:

\[-4y=12\बाएं| :\left(-4 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(2;-3 \right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

यहां स्थिति पूरी तरह से समान है, केवल "एक्स" के साथ। आइए उन्हें जोड़ें:

हमारे पास सबसे सरल रैखिक समीकरण है, आइए इसे हल करें:

आइए अब $x$ खोजें:

उत्तर: $\left(-3;3 \right)$.

महत्वपूर्ण बिंदु

इसलिए, हमने जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की दो सरल प्रणालियों को हल किया है। मुख्य बिंदु फिर से:

1. यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो समीकरण में सभी चरों को जोड़ना आवश्यक है। इस मामले में, उनमें से एक को नष्ट कर दिया जाएगा.
2. हम दूसरे चर को खोजने के लिए किसी भी सिस्टम समीकरण में पाए गए चर को प्रतिस्थापित करते हैं।
3. अंतिम प्रतिक्रिया रिकॉर्ड विभिन्न तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस तरह - $x=...,y=...$, या बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में - $\left(...;... \right)$. दूसरा विकल्प बेहतर है. याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि पहला निर्देशांक $x$ है, और दूसरा $y$ है।
4. उत्तर को बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखने का नियम हमेशा लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब चर $x$ और $y$ नहीं हैं, बल्कि, उदाहरण के लिए, $a$ और $b$ हैं।

निम्नलिखित समस्याओं में हम घटाने की तकनीक पर विचार करेंगे जब गुणांक विपरीत न हों।

घटाव विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि यहां कोई विपरीत गुणांक नहीं हैं, बल्कि समान हैं। इसलिए, हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं:

अब हम किसी भी सिस्टम समीकरण में मान $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं। आइए पहले चलते हैं:

उत्तर: $\left(2;5\right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम पहले और दूसरे समीकरण में फिर से $x$ के लिए $5$ का समान गुणांक देखते हैं। इसलिए, यह मान लेना तर्कसंगत है कि आपको पहले समीकरण से दूसरे को घटाना होगा:

हमने एक वेरिएबल की गणना की है। आइए अब दूसरा खोजें, उदाहरण के लिए, दूसरे निर्माण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करके:

उत्तर: $\left(-3;-2 \right)$.

समाधान की बारीकियां

तो हम क्या देखते हैं? मूलतः, यह योजना पिछली प्रणालियों के समाधान से भिन्न नहीं है। फर्क सिर्फ इतना है कि हम समीकरण जोड़ते नहीं, बल्कि घटाते हैं। हम बीजगणितीय घटाव कर रहे हैं.

दूसरे शब्दों में, जैसे ही आप दो अज्ञात में दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली देखते हैं, सबसे पहली चीज जो आपको देखने की जरूरत है वह है गुणांक। यदि वे कहीं भी समान हैं, तो समीकरण घटा दिए जाते हैं, और यदि वे विपरीत हैं, तो जोड़ विधि का उपयोग किया जाता है। ऐसा हमेशा इसलिए किया जाता है ताकि उनमें से एक गायब हो जाए और अंतिम समीकरण में, जो घटाने के बाद बचता है, केवल एक चर रह जाए।

निःसंदेह, इतना ही नहीं। अब हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरण आम तौर पर असंगत होते हैं। वे। उनमें कोई भी वेरिएबल नहीं है जो समान या विपरीत हो। इस मामले में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए, एक अतिरिक्त तकनीक का उपयोग किया जाता है, अर्थात् प्रत्येक समीकरण को एक विशेष गुणांक से गुणा करना। इसे कैसे खोजा जाए और सामान्य तौर पर ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, हम अब इस बारे में बात करेंगे।

किसी गुणांक से गुणा करके समस्याओं का समाधान करना

उदाहरण #1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हम देखते हैं कि न तो $x$ के लिए और न ही $y$ के लिए गुणांक न केवल परस्पर विपरीत हैं, बल्कि किसी भी तरह से अन्य समीकरण से संबंधित नहीं हैं। ये गुणांक किसी भी तरह से गायब नहीं होंगे, भले ही हम समीकरणों को एक-दूसरे से जोड़ या घटा दें। अतः गुणन लगाना आवश्यक है। आइए $y$ वेरिएबल से छुटकारा पाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, बिना चिह्न को छुए। हम गुणा करते हैं और एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए इसे देखें: $y$ पर गुणांक विपरीत हैं। ऐसी स्थिति में योग विधि का प्रयोग आवश्यक है। आइए जोड़ें:

अब हमें $y$ ढूंढने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, पहली अभिव्यक्ति में $x$ प्रतिस्थापित करें:

\[-9y=18\बाएँ| :\left(-9 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(4;-2 \right)$.

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

फिर, किसी भी चर के लिए गुणांक सुसंगत नहीं हैं। आइए $y$ के गुणांकों से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें)& 11x+4y=-18\बाएं| 6 \दाएं। \\& 13x-6y=-32\बाएं| 4 \दाएं। \\\अंत(संरेखित) \दाएं .\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हमारा नई प्रणालीपिछले वाले के बराबर है, हालाँकि, $y$ के गुणांक परस्पर विपरीत हैं, और इसलिए यहां जोड़ विधि को लागू करना आसान है:

आइए अब पहले समीकरण में $x$ को प्रतिस्थापित करके $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(-2;1 \right)$.

समाधान की बारीकियां

यहां मुख्य नियम निम्नलिखित है: हम हमेशा केवल सकारात्मक संख्याओं से गुणा करते हैं - यह आपको बदलते संकेतों से जुड़ी मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियों से बचाएगा। सामान्य तौर पर, समाधान योजना काफी सरल है:

1. हम सिस्टम को देखते हैं और प्रत्येक समीकरण का विश्लेषण करते हैं।
2. यदि हम देखते हैं कि न तो $y$ और न ही $x$ गुणांक सुसंगत हैं, अर्थात। वे न तो बराबर हैं और न ही विपरीत हैं, फिर हम निम्नलिखित करते हैं: हम उस चर का चयन करते हैं जिससे हमें छुटकारा पाना है, और फिर हम इन समीकरणों के गुणांकों को देखते हैं। यदि हम पहले समीकरण को दूसरे के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे को, तदनुसार, पहले के गुणांक से गुणा करते हैं, तो अंत में हमें एक प्रणाली मिलेगी जो पूरी तरह से पिछले एक के बराबर है, और $ के गुणांक y$ सुसंगत रहेगा। हमारे सभी कार्यों या परिवर्तनों का उद्देश्य केवल एक समीकरण में एक चर प्राप्त करना है।
3. हमें एक चर मिलता है।
4. हम पाए गए चर को सिस्टम के दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा पाते हैं।
5. यदि हमारे पास चर $x$ और $y$ हैं तो हम उत्तर को बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखते हैं।

लेकिन ऐसे सरल एल्गोरिदम की भी अपनी सूक्ष्मताएं होती हैं, उदाहरण के लिए, $x$ या $y$ के गुणांक भिन्न और अन्य "बदसूरत" संख्याएं हो सकते हैं। अब हम इन मामलों पर अलग से विचार करेंगे, क्योंकि उनमें आप मानक एल्गोरिदम के अनुसार कुछ अलग तरीके से कार्य कर सकते हैं।

भिन्नों से संबंधित समस्याओं का समाधान

उदाहरण #1

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सबसे पहले, ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में भिन्न शामिल हैं। लेकिन ध्यान रखें कि आप $4$ को $0.8$ से विभाजित कर सकते हैं। हमें $5$ मिलेंगे. आइए दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम समीकरणों को एक दूसरे से घटाते हैं:

हमें $n$ मिला, अब $m$ की गिनती करते हैं:

उत्तर: $n=-4;m=5$

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 2.5p+1.5k=-13\बाएं| 4 \दाएं। \\& 2p-5k=2\बाएं| 5 \दाएं। \\\अंत(संरेखित )\ सही।\]

यहां, पिछली प्रणाली की तरह, भिन्नात्मक गुणांक हैं, लेकिन किसी भी चर के लिए गुणांक एक दूसरे में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं होते हैं। इसलिए, हम मानक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। $p$ से छुटकारा पाएं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम घटाव विधि का उपयोग करते हैं:

आइए दूसरी रचना में $k$ को प्रतिस्थापित करके $p$ खोजें:

उत्तर: $p=-4;k=-2$.

समाधान की बारीकियां

वह सब अनुकूलन है. पहले समीकरण में, हमने किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया, लेकिन दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें पहले चर के लिए एक सुसंगत और समरूप समीकरण प्राप्त हुआ। दूसरी प्रणाली में हमने एक मानक एल्गोरिदम का पालन किया।

लेकिन आप उन संख्याओं को कैसे खोजते हैं जिनसे समीकरणों को गुणा किया जा सके? आख़िरकार, यदि हम भिन्नों से गुणा करते हैं, तो हमें नए भिन्न प्राप्त होते हैं। इसलिए, भिन्नों को एक संख्या से गुणा किया जाना चाहिए जो एक नया पूर्णांक देगा, और उसके बाद मानक एल्गोरिदम का पालन करते हुए चर को गुणांकों से गुणा किया जाना चाहिए।

अंत में, मैं आपका ध्यान प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करने के प्रारूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा। जैसा कि मैंने पहले ही कहा, चूँकि यहाँ हमारे पास $x$ और $y$ नहीं, बल्कि अन्य मान हैं, हम फॉर्म के एक गैर-मानक नोटेशन का उपयोग करते हैं:

समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

आज के वीडियो ट्यूटोरियल के अंतिम नोट के रूप में, आइए कुछ बेहद जटिल प्रणालियों पर नजर डालें। उनकी जटिलता इस तथ्य में समाहित होगी कि उनमें बाएँ और दाएँ दोनों तरफ चर होंगे। इसलिए, उन्हें हल करने के लिए हमें प्रीप्रोसेसिंग लागू करना होगा।

सिस्टम नंबर 1

\[\left\( \begin(संरेखित)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​ \right)+4 \\& 6\left(y+1 \दाएं )-1=5\बाएं(2x-1 \दाएं)+8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

प्रत्येक समीकरण में एक निश्चित जटिलता होती है। इसलिए, आइए प्रत्येक अभिव्यक्ति को एक नियमित रैखिक निर्माण के रूप में मानें।

कुल मिलाकर, हमें अंतिम प्रणाली मिलती है, जो मूल के बराबर है:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए $y$ के गुणांकों को देखें: $3$ $6$ में दो बार फिट बैठता है, तो आइए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

$y$ के गुणांक अब बराबर हैं, इसलिए हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं: $$

आइए अब $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

सिस्टम नंबर 2

\[\left\( \begin(ign)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\बाएँ(a-5 \दाएँ)+b \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

आइए पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए दूसरे से निपटें:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

कुल मिलाकर, हमारी प्रारंभिक प्रणाली निम्नलिखित रूप लेगी:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

$a$ के गुणांकों को देखते हुए, हम देखते हैं कि पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने की आवश्यकता है:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 4a-30=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

पहली रचना से दूसरी घटाएँ:

आइए अब $a$ खोजें:

उत्तर: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

इतना ही। मुझे आशा है कि यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको इस कठिन विषय, अर्थात् सरल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने, को समझने में मदद करेगा। इस विषय पर और भी कई पाठ होंगे: हम और अधिक देखेंगे जटिल उदाहरण, जहां अधिक चर होंगे, और समीकरण स्वयं पहले से ही अरेखीय होंगे। फिर मिलेंगे!